广东省揭阳市惠来县东港中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 实数的算术平方根是（ ）
A. 2B. C. ±2D. ±
【答案】A
【解析】
【分析】先得出＝4，进而利用算术平方根的定义得出答案．
【详解】解：∵＝4，
∴的算术平方根是：2
故选：A．
【点睛】本题考查算术平方根的定义，解题的关键是正确理解算术平方根的定义，本题属于基础题型．
2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A. 5，12，13B. 7，9，11C. 6，9，12D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股数，勾股数的定义：满足勾股定理的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解．
【详解】解：A，，故5，12，13是勾股数；
B，，故7，9，11不是勾股数；
C，，故6，9，12不勾股数；
D，不是整数，故不是勾股数．
故选A．
3. 在下列实数中，不是无理数的是( )
A. B. 1.010010001 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】无限不循环小数是无理数，根据定义依次判断即可.
【详解】A、是无限不循环小数，是无理数；
B、1.010010001是无限不循环小数，不是无理数；
C、是无限不循环小数，是无理数；
D、=2是整数，不是无理数，
故选：D
【点睛】此题考查无理数定义，熟记定义并掌握无理数的特点是解题的关键.
4. 已知点P的坐标为，且点P到两坐标轴距离相等，则a的值为( )
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】点P到两坐标轴的距离相等，分两种情况：①当时，②当时，分别求得m的值，则点P的坐标可得．
【详解】∵点P到两坐标轴的距离相等，
∴①当时，，
∴②当时，，
综上所述，则a的值为或．
故选：C.
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中坐标与图形的性质特点，明确平面直角坐标系中点的坐标特点是解题的关键．
5. 估计的值在（ ）
A. 0到l之间B. 1到2之间C. 2到3之间D. 3到4之间
【答案】B
【解析】
【详解】∵9<11<16,
∴,
∴
故选B.
6. 已知点，不论x取何值，点A不会在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据各象限的坐标特点得到四个不等式组，分别解不等式组，找出无解的不等式组即可得出答案．
【详解】解：因为的解集为，
所以点可能在第一象限，选项A不符合题意；
因为无解，
所以点不会在第二象限，选项B符合题意；
因为的解集为，
所以点可能在第三象限，选项C不符合题意；
因为的解集为，
所以点可能在第四象限，选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了各象限内的点的坐标特点、一元一次不等式组，熟练掌握各象限内的点的坐标特点是解题关键．
7. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A. a＝32，b＝42，c＝52B. a＝b，∠C＝45°
C. ∠A：∠B：∠C＝6：8：10D. a＝，b＝，c＝2
【答案】D
【解析】
【分析】由勾股定理的逆定理及直角三角形的定义即可求解．
【详解】解：A、∵，，∴，不是直角三角形，故A不符合题意；
B、 a＝b，∠C＝45°∴∠A=∠B=，不是直角三角形，故B不符合题意；
C、∠A：∠B：∠C＝6：8：10，解得∠C=180°×，不是直角三角形，故C不符合题意；
D、 ∵，∴是直角三角形，∠B是直角，故D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和等知识，掌握相关知识是解题关键．
8. 如图，等边的边长为2，则点的坐标为( )

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点作于点，由勾股定理求出BH的长，即可求出点B的坐标.
【详解】过点作于点，∵是等边三角形，
∴，．
∴点的坐标为．
故选B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理以及图形与坐标，正确作出辅助线是解答本题的关键.
9. 如图，在△ABC中，，D，E分别在上，且．将沿折叠，使C点落在斜边上的F点处，则的长是（ ）
A. 3.6B. 4C. 4.8D. 6.4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理的知识，解答本题的关键是理解折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．连接，根据折叠的性质可知，，得到，根据勾股定理求出的长．
【详解】解：连接，

根据折叠的性质得，，
又，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
10. 在一水塔A的东北方向处有一抽水池B，在水塔A的东南方向处有一建筑工地C，在间需建一条直水管道，则水管的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可．
【详解】解：如图，
已知东北方向和东南方向刚好是一直角，
∴，
又∵，，
故选：B．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 平方得9的数是_____________
【答案】
【解析】
【分析】根据有理数乘方的意义解答即可．
【详解】解：∵，
∴平方得9的数是；
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟知的平方等于9是关键．
12. 已知点到两坐标轴的距离相等，则____________________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查点到坐标轴的距离，根据点到坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值，列出方程进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：或，
解得：或；
故答案为：或．
13. 如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面周长为30，如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的点，沿圆柱表面爬到与相对的上底面点，则蚂蚁爬的最短路线长约为_________．
【答案】25
【解析】
【分析】要求最短路线，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：将圆柱体侧面沿点所在直线展开，点A，B的最短距离为线段AB的长，
由上图可知：，，
∴为最短路径．
则蚂蚁爬的最短路线长约为25．
故答案为：25．
【点睛】本题主要考查了平面展开图的最短路径问题，本题的关键是要明确，要求两点间的最短线段，就要把这两点放到一个平面内，即把圆柱的侧面展开再计算．
14. 绝对值小于3的所有整数的和是_____，绝对值小于3的所有整数的积是_____．
【答案】 ①. 0 ②. 0
【解析】
【分析】本题考查了绝对值与整数的概念、有理数的加法与乘法运算，解题的关键熟知相关概念．
将绝对值小于3的所有整数全列出来，然后进行和与积的计算即可．
【详解】解：绝对值小于3的所有整数为，，2，之和为；之积为，
故答案为：0；0
15. 如图，点A1，A2，A3…，An在x轴正半轴上，点C1，C2，C3，…，在y轴正半轴上，点B1，B2，B3，…，Bn在第一象限角平分线OM上，OB1＝B1B2＝B2B3＝…＝Bn﹣1Bn＝a，A1B1⊥B1C1，A2B2⊥B2C2，A3B3⊥B3C3，…，，…，则第n个四边形的面积是____．
【答案】.
【解析】
【分析】过点作于点E，过点作于点F，过点分别作于点H，于点N，先证明：（AAS），再证明：（AAS），即可证得：进而可得：，同理可得：， ，…，．
【详解】如图，过点C1作C1E⊥OB1于点E，过点A1作A1F⊥OB1于点F，过点B1分别作B1H⊥OC1于点H，B1N⊥OA1于点N，
∵∠B1OC1＝∠B1OA1，
∴B1H＝B1N
∵∠HB1N＝∠C1BA1＝90°
∴∠HB1C1＝∠NB1A1
∵∠B1HC1＝∠B1NA1＝90°
∴△B1HC1≌△B1NA1（AAS）
∴B1C1＝B1A1
∵∠C1B1F+∠A1B1F＝90°，∠A1B1F＝90°
∴∠C1B1F＝∠B1A1F
∵∠C1EB1＝∠B1FA1＝90°
∴△B1C1E≌△A1B1F（AAS）
∴C1E＝B1F
∵∠B1OA1＝45°
∴∠FA1O＝45°
∴A1F＝OF
∴C1E+A1F＝B1F+OF＝OB1
＝•C1E+＝（C1E+A1F）＝＝＝，
同理， ＝＝＝，
＝＝，
…，
＝＝＝＝．
故答案为．
【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，角平分线性质，等腰直角三角形性质，找规律，三角形面积等；属于填空压轴题，综合性强，难度较大，解题时要善于发现和总结规律．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16 计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的化简，和零指数幂的运算法则，即可求解，
（2）应用平方差公式和完全平方公式，即可求解，
本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．
【小问1详解】
解：
，
【小问2详解】
解：
．
17. 如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）求△ABC的周长；
（2）求∠ACB的度数．
【答案】（1）△ABC的周长为5+3；（2）∠ACB＝90°．
【解析】
【分析】（1）分别利用勾股定理求出AB，BC，AC，然后求其周长即可；
（2）利用勾股定理的逆定理进行判断求解即可.
【详解】解：（1）由题意得：，，，
∴三角形ABC的周长；
（2）∵，，
∴AC2+BC2＝AB3，
∴△ABC是直角三角形，AB是斜边，
∴∠ACB＝90°．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
18. 已知2a－1的平方根是±3，3a＋b−9的立方根是2，c是的整数部分，求a＋b＋c的平方根．
【答案】±3
【解析】
【分析】由2a−1的平方根是±3求出a的值，由3a＋b−9的立方根是2求出b的值，由c是的整数部分求出c的值，即可确定a＋b＋c的平方根．
【详解】解：∵2a−1的平方根是±3，
∴2a−1＝9，
∴a＝5，
∵3a＋b−9的立方根是2，
∴3a＋b−9＝8，
∴15＋b−9＝8，
∴b＝2，
∵2＜＜3，
∴c＝2，
∴a＋b＋c＝5＋2＋2＝9，
∵9的平方根是±3，
∴a＋b＋c的平方根是±3．
【点睛】本题主要考查平方根，立方根的概念，关键是要求出a，b，c的值．
19. 小明计划制作一架小型飞机模型，如图的四边形材料是飞机垂直尾翼，小明测量发现，，．根据设计要求需保证．请判断该尾翼是否符合设计要求，并说明理由．
【答案】符合设计要求，理由见解析
【解析】
【分析】根据勾股定理可得，再由勾股定理的逆定理可得，即可求解．
【详解】解：符合设计要求，理由如下：
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴，
∴．
所以该尾翼符合设计要求.
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
20. 如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）面积 ；
（2）在坐标系中作出关于y轴对称的，并写出点的坐标．
【答案】（1）7.5 （2）作图见解析，，，．
【解析】
【分析】本题考查作图轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（1）利用三角形的面积公式求解即可．
（2）分别作出，，的对应点，，即可．
【小问1详解】
；
故答案为：；
【小问2详解】
如图，即为所求作．并写出点，，．
21. 设a＝－1＋，b＝－1－，求a2－b2，a2－2ab＋b2的值．
【答案】-4；12．
【解析】
【分析】根据a、b的值计算出a+b、a-b的值，再将所求代数式因式分解，代入即可得出答案．
【详解】解：∵a＝－1＋，b＝－1－，，
∴a+b=-1+-1-=-2，
a-b=（-1+）-（-1-）
=-1++1+
=2，
则a2-b2=（a+b）（a-b）=-2×2=-4；
a2-2ab+b2=（a-b）2=（2）2=12．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及平方差公式和完全平方公式．
22. 对于任意实数a，b我们规定：a⊗b＝．根据上述规定解决下列问题：
（1）计算：（﹣）⊗（﹣1）．
（2）若（x﹣3）⊗（x+3）＝1，求x的值．
【答案】（1）；（2）x＝
【解析】
【分析】（1）根据新运算得出算式，再根据有理数的运算法则求出即可；
（2）根据新运算得出算式，再解分式方程即可．
【详解】解：（1）由题意得：
（﹣）⊗（﹣1）
＝
＝
＝；
（2）∵，
∴（x﹣3）⊗（x+3）＝1，
＝1，
＝1，
方程两边都乘以5x﹣9，得x-3＝5x﹣9，
解得：x＝1.5，
经检验x＝1.5是原方程的解，
所以x＝．
【点睛】本题主要考查分式方程及定义新运算的问题，熟练掌握分式方程的求解是解题的关键．
23. 如图所示，已知O为坐标原点，矩形（点A与坐标原点重合）的顶点D、B分别在x轴、y轴上，且点C的坐标为，连接，将沿直线翻折至，交于点E．

（1）求点坐标．
（2）试在x轴上找点P，使的长度最短，请求出这个最短距离．
【答案】（1）；
（2）的长度的最短距离为．
【解析】
【分析】（1）由点坐标，求得矩形的边长，连接，与交于点，过作于点，由三角形的面积公式求得，设，由勾股定理列出的方程求得，再求得，便可得点的坐标；
（2）作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，则的值最小，根据两点距离公式求出便可．
【小问1详解】
点的坐标为，
，，
连接，与交于点，过作于点，

由折叠知，，，，
，
，
，
设，则，
，
即，
解得，，即，
，
；
【小问2详解】
作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，则的值最小，

，
，
故的长度的最短距离为．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，两点之间线段最短，第（1）题关键在于构造直角三角形，利用勾股定理列出方程，第（2）题关键在于确定点的位置．