专题02 坐标系中的循环周期问题（选择压轴）-2024年中考数学压轴专题重难点突破

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1．如图，已知点的坐标为（1，0），将点绕着原点O按逆时针方向旋转30°得到点，延长O到，使得O＝2O；再将点绕着原点O按逆时针方向旋转30°得到，延长到，使得＝2……如此继续下去，点坐标为（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
【答案】A
【分析】由题意可得，，，，可以推出（n=0，1，2…），则，再由每经过24个点就落到x正半轴上，推出在第二象限，且与y轴正半轴的夹角为30°，再由含30度角的直角三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴可以推出（n=0，1，2…）
∴，
∵在x轴正半轴，在y轴正半轴，在x轴负半轴，在y轴负半轴，在x正半轴，在直线上，
∴每经过24个点就落到x正半轴上，
∵2022÷24=84余6，
∴点是第85循环组的第7个点，在第二象限，与y轴正半轴的夹角为30°，
∴的横坐标为：，
纵坐标，
即，故A正确．
故选：A．
【我思故我在】本题主要考查了旋转的性质，点坐标的规律探索，含30度角的直角三角形的性质，坐标与图形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
2．如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为( )
A．(1，-1)B．(-1，-1)C．(，0)D．(0，-)
【答案】B
【详解】试题分析：根据已知条件O（0,0），B（2,2），可求得D（1,1），OB与x轴、y轴的交角为45°，当菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，时，8秒可旋转到原来的位置，因60÷8=，所以第60秒时是第8循环的地上个位置，这时点D的坐标原来位置点D的坐标关于原点对称，所以为（-1，-1），故答案选B.
考点：规律探究题.
3．在平面直角坐标系中，若干个半径为1个单位长度，圆心角为60°的扇形组成一条连续的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右上下起伏运动，P点在直线上的速度为1个单位长度/秒，在弧线上的速度为个单位长度/秒，则2022秒时，点P的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设第n秒运动到Pn（n为自然数）点，根据点P的运动规律找出部分Pn点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论．
【详解】解：设第n秒运动到Pn（n为自然数点）
观察，发现规律：，，，，，…
2022＝4505＋2
为（1011，0）
故选：A
【我思故我在】本题主要考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出变化规律，并加以运用．
4．如图所示，在平面直角坐标系中，将点A（-1，0）做如下的连续平移，A（-1，0）→A1（-1，1）→A2（2，1）→A3（2，-4）→A4（-5，-4）→A5（-5，5）…，按此规律平移下去，则A102的点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可知，点A平移时每4次为一个周期，由102÷4=25•••2，可知点A102的坐标与A4n+2的点的坐标规律相同，分别求出A2，A6，A10的坐标，找出规律，进而求解即可．
【详解】解：由题意可知，将点A（-1，0）向上平移1个单位长度得到A1（-1，1），再向右平移3个单位长度得到A2（2，1），再向下平移5个单位长度得到A3（2，-4），再向左平移7个单位长度得到A4（-5，-4）；再向上平移9个单位长度得到A5（-5，5）…，
∴点A平移时每4次为一个周期．
∵102÷4=25•••2，
∴点A102的坐标与A4n+2的点的坐标规律相同．
∵A2（2，1），A6（6，5），A10（10，9），
以此类推，
∴A4n+2（4n+2，4n+1），
∴A102的点坐标是（102，101）．
故选：C．
【我思故我在】本题考查了规律型：点的坐标．分析题意得出点A平移时每4次为一个周期，进而得到点A102的坐标与A4n+2的点的坐标规律相同是解题的关键．
5．如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2，0)，A2(1，−1)，A3(0，0)，则依图中所示规律，A2022的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据下标确定出下标为偶数时的点的坐标，得到规律：当下标是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为下标的一半的相反数，当下标是4、8、12．…时，横坐标是2，纵坐标为下标的一半，然后确定出第2022个点的坐标即可．
【详解】解：观察点的坐标变化发现：
当下标为偶数时的点的坐标，得到规律：
当下标是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为下标的一半的相反数，
当下标是4、8、12．…时，横坐标是2，纵坐标为下标的一半，
因为2022÷4=505…2，
所以横坐标为1，纵坐标为=-1011，
故选：D．
【我思故我在】本题是对点的坐标变化规律的考查，根据2022是偶数，求出点的下标是偶数时的变化规律是解题的关键．
6．如图，边长为的等边，边在轴上，点在轴的正半轴上，以为边作等边，边与交于点，以为边作等边，边与交于点，以为边作等边，边与交于点，，依此规律继续作等边，则的横坐标________．
【答案】0
【分析】根据正三角形与旋转的特点得到旋转次为一个循环，故可求出的横坐标．
【详解】解：∵△ABC是正三角形，BO⊥AC
∴∠ABO=30°
同理=30°，
360°÷30°=12，
∴的横坐标旋转次为一个循环，
∵，
∴与在同一直线上，即轴上，
∴的横坐标为．
故答案为：0．
【我思故我在】此题主要考查坐标的旋转变换，解题的关键是根据图形的特点找到变换规律．
7．如图，已知(1，0)，(1，1)，(-1，1)，(-1，-1)，(2，-1)…，则的坐标是________.
【答案】（506，-505）
【分析】根据题意可得各个点分别位于象限的角平分线上（A1和第四象限内的点除外），逐步探索出下标和个点坐标之间的关系，总结出规律，根据规律推理点A2021的坐标．
【详解】解：通过观察可得数字是4的倍数的点在第三象限，
∵2021÷4=505…1，
∴点A2021在第四象限， 纵坐标为-505，横坐标为505+1=506，
∴A2021的坐标是（506，-505）．
故答案为（506，-505）．
【我思故我在】本题考查规律型-点的坐标，解题的关键是注意观察，寻找规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
8．如图，已知正方形的对角线，相交于点，顶点，，的坐标分别为，，，规定“把正方形先沿轴翻折，再向右平移个单位”为一次变换，如此这样，连续经过次变换后，点的坐标变为_________．
【答案】
【分析】根据正方形的性质和中点坐标公式求出点坐标，然后根据轴对称与平移坐标变换特征总结出点坐标变换规律：第次变换后点的对应点的坐标为：当为奇数时，，当为偶数时，，根据规律求解即可．
【详解】解：正方形，顶点，，，
对角线交点坐标为．
根据翻折与平移的性质，
第次变换后点的对应点的坐标为，即；
第次变换后点的对应点的坐标为，即；
第次变换后点的对应点的坐标为，即；
第次变换后点的对应点的坐标为：
当为奇数时，点的坐标为；
当为偶数时，点的坐标为，
连续经过次变换后，
点的对应点的坐标为，即．
故答案为：．
【我思故我在】此题主要考查坐标的变换，解题的关键是根据题意找到变换的规律进行求解．
9．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别在，轴上，且．将正方形绕原点顺时针旋转，且，得到正方形，再将正方绕原点顺时针旋转，且，得到正方形，以此规律，得到正方形，则点的坐标为__________．
【答案】
【分析】根据题意得出B点坐标变化规律，进而得出的坐标位置即可．
【详解】解：∵四边形正方形，且，
∴B点的坐标为（1，1），
将正方形OABC绕原点O顺时针旋转90°，且A1O=2AO，得到正方形，
此时B1的坐标为（2，-2），
再将正方绕原点顺时针旋转，且，得到正方形，
此时B2的坐标为（-4，-4），
……
依次类推得B3的坐标为（-8，8），B4的坐标为（16，16），
∴每四次循环一周，
2019÷4=，
∴点B2019与B3同在一个象限内，
∵-4=-22，8=23，16=24，
∴点B2019的坐标为（-22019，22019），
故答案为：（-22019，22019）．
【我思故我在】本题考查了规律的探索，根据题意总结出规律是解题关键．
10．如图所示，一个机器人从O点出发，向正东方向走到达点，再向正北方向走到达点，再向正西方向走到达点，再向正南方向走到达点，再向正东方向走到达点，按照此规律走下去，相对于点O，机器人走到时，点的坐标是______，点的坐标是______．
【答案】
【分析】根据题意求出点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为，依此类推，从点开始，每走动4次一个循环，从而得到点位于第一象限内，再由落在第一象限内的点每个循环，横坐标增加6，纵坐标增加6，即可求解．
【详解】解：根据题意可知：，
∴点的坐标为；
点的坐标为，即；
点的坐标为，即；
点的坐标为，即；
点的坐标为，即；
依此类推，可得点的坐标为，即．
由此发现，从点开始，每走动4次一个循环，
∵，
∴点位于第一象限内，
∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
∴落在第一象限内的点每个循环，横坐标增加6，纵坐标增加6，
∴点的坐标为，即．
故答案为①，②．
【我思故我在】本题主要考查了坐标确定位置的运用，解题的关键是发现规律，利用规律解决问题．
11．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2022次得到正方形OA2022B2022C2022，那么点B2022的坐标是 _____．
【答案】
【分析】根据图形可知：点在以O为圆心，为半径的圆上运动，再根据旋转可知：将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段绕点O顺时针旋转45°，可得对应的坐标，然后发现规律8次一循环，进而得出答案．
【详解】解：∵四边形是边长为1的正方形，
∴，
∵将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段绕点O顺时针旋转45°，
∴，，，，，，，，，……，
发现是8次一循环，则2022÷8＝252…6，
∴点B2022的坐标是，
故答案为：．
【我思故我在】此题主要考查了旋转的性质，坐标与图形的变化，解题关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法．
12．如图，在平面直角坐标系中放置一菱形，已知，点在轴上，，先将菱形沿轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转次，点的落点依次为，，，，则的横坐标为______．
【答案】1348
【分析】连接，根据条件可以求出，画出第次、第次、第次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转次，图形向右平移，由于，因此点向右平移（即），即可到达点，根据点的坐标就可求出点的横坐标．
【详解】解：连接，如图所示：

四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
画出第次、第次、第次翻转后的图形，如图所示：
由图可知：每翻转次，图形向右平移，
，
点向右平移即到点，
的坐标为，
的坐标为，
故答案为：．
【我思故我在】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力，发现“每翻转次，图形向右平移”是解决本题的关键．
13．如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形……照此规律作下去，则的长为_______
【答案】
【分析】首先根据各点的坐标求出，，，，，，，，的长度，找出这些长度之间的规律，然后根据规律计算出OB2022的长度即可．
【详解】解：∵正方形OABC边长为1，
∴OB=，
∵正方形OBB1C1是正方形OABC的对角线OB为边，
∴OB1=2，
∴B1点坐标为（0，2），
同理可知；
∴B2点坐标为（-2，2），
同理可知；
B3点坐标为（-4，0），
可知；
∴B4点坐标为（-4，-4），
可知，
∴B5点坐标为（0，-8），
可知，
∴B6（8，-8），
可知，
∴B7（16，0），
可知，
∴B8（16，16），
···
由规律可以发现，，
所以
故答案为：．
【我思故我在】本题主要考查正方形的性质，坐标与图形的性质，解答本题的关键是由点坐标的规律变化发现．