河南省名校2022-2023学年高一下学期3月调研考试数学试卷(含答案)

这是一份河南省名校2022-2023学年高一下学期3月调研考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知复数z满足（i为虚数单位）,则在复平面内复数z对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2．已知向量,,且,那么等于( )
A.B.C.D.
3．已知集合,,若,则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
4．若,,则的值为( )
A.B.C.D.
5．已知a,b,,且,关于x的不等式的解集为,则关于x的不等式的解集为( )
A.B.C.D.
6．一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东的方向直线航行,2小时后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东,在B处观察灯塔,其方向是北偏东,那么B,C两点间的距离是( )
A.海里B.海里C.海里D.海里
7．在中,,,,点D为边BC上靠近B的三等分点,则的值为( )
A.B.C.D.4
8．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,则面积的最大值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.若,且,则
B.若,为复数,则
C.设,是非零向量,若,则
D.设,为复数,若,则
10．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列结论正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则是等腰三角形
D.若为锐角三角形,则
11．在平行四边形ABCD中,E是BC上的点,,F是CD的中点,且,,,则下列说法正确的是( )
A.B.
C.D.
12．在锐角中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,且,则下列结论正确的是( )
A.B.C.D.
三、填空题
13．已知函数,则的单调增区间为_______.
14．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,则的值为_______.
15．已知函数,若,则实数a的取值范围是_______.
16．在中,G满足,过G的直线与AB,AC分别交于M,N两点.若,,则的最小值为_______.
四、解答题
17．已知复数,,其中i为虚数单位.
（1）若复数z为纯虚数,求m的值;
（2）若,求m的值.
18．已知向量,满足,,且.
（1）若,求实数的值;
（2）求与的夹角的余弦值.
19．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求角A的大小;
（2）若,D是线段AC上的一点,,,求c.
20．已知向量,,设函数.
（1）求的单调递减区间;
（2）若函数在区间上的最大值为6,求实数a的值.
21．对于定义在D上函数,如果存在实数,使得,那么称是函数的一个不动点.已知函数.
（1）若,求的不动点;
（2）若函数恰有两个不动点,,且,求正数a的取值范围.
22．如图,某小区有一块空地,其中,,,小区物业拟在中间挖一个小池塘,E,F在边BC上(E,F不与B,C重合,且E在B,F之间),且.
（1）若,求EF的值;
（2）为节省投入资金,小池塘的面积需要尽可能的小.设,试确定的值,使得的面积取得最小值,并求出面积的最小值.
参考答案
1．答案：D
解析：由,可得,
故复数z对应的点位于第四象限,
故选:D
2．答案：C
解析：由题设,故,则.
故选:C
3．答案：A
解析：,,
因为,所以A为B的子集,
所以.
故选:A.
4．答案：D
解析：因为,所以,
所以,
所以
.
故选:D.
5．答案：C
解析：因为不等式,的解集为,
所以且即,
不等式等价于,
即,,解得或,
所以不等式的解集为:,
故选:C.
6．答案：A
解析：由题设可得如下示意图,且,,即,
由图知:,则,又,
所以,则海里.
故选:A
7．答案：B
解析：如下图所示:
,
由平面向量数量积的定义可得,
因此,
.
故选:B.
8．答案：B
解析：由正弦定理得:
由余弦定理得:,即
当且仅当时,即,,时取等号,
,
则,所以面积的最大值.
故选:B
9．答案：BC
解析：A:且,只能说明,但,不一定相等,错误;
B:令,,a,b,c,,
,则,
,则,
所以,正确;
C:由,则,即,正确;
D:复数,,满足,但,错误;
故选:BC
10．答案：ABD
解析：对于选项A,在中,大边对大角,若,则,
根据正弦定理可得,选项A正确;
同理,选项B正确;
对于选项C,若,由正弦定理可得,
即,所以即或即,
所以为等腰角三角形或直角三角形,选项C错误;
对于选项D,若为锐角三角形,则,,
又正弦函数在上为单调增函数,
,即,选项D正确.
故选:ABD.
11．答案：AC
解析：由题设,①,
②,
所以①2②得即,
②①得,故,A正确,B错误;
所以
,
故,故C正确,D错误.
故选:AC
12．答案：ACD
解析：由正弦边角关系知:,则,
所以,而,则,A正确;
由上知:,即,B错误,C正确;
由知:,则,
又,故,则,即,D正确.
故选:ACD
13．答案：
解析：令,即,
由,则y在上递增,在上递减,
综上,y上递增,在上递减,而在定义域上递增,
所以的单调增区间为.
故答案为:
14．答案：2
解析：根据正弦定理可知,,
所以,
而,
所以.
故答案为:2
15．答案：
解析：由,且定义域为R,
所以为奇函数,则,
根据在R上均为减函数,故也为减函数,
所以,则
故答案为:
16．答案：
解析：取BC中点D,连接GD,如图,
由可得,即,
所以A,G,D三点共线且,即G为的重心,
所以,
因为M,G,N三点共线,
所以,
又,,,
所以,当且仅当,
即,时,等号成立,
故答案为:
17．答案：（1）或
（2）
解析：（1）因为复数z为纯虚数,所以满足,解得:或.
（2）设,则,将其代入,
则,整理得:,
且,解得:,或,
或,
解得:
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,,且,
所以,所以,
因为,
所以,解得;
（2）因为,,由（1）得,
所以,
,
设与的夹角为,则.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
所以由正弦定理可得,,
即,
所以,
因为,所以.
（2）设,则,
所以,解得,,
所以,
由正弦定理,,所以.
20．答案：（1）
（2）或
解析：（1）因为,,
所以
由,得,,
所以的单调递减区间为
（2）
,
令,
因为,所以,且,
所以,
当即时,当时y有最大值,此时,解得不合题意;
当即,当时有最大值,此时,解得符合题意;
当即,当时y有最大值,此时,解得符合题意;
综上,a的值为或.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题设,定义域为R,若,即,
所以,可得,故是的不动点.
（2）令,且,
所以,整理得,
令,则,即方程在上有两个不相等的根,且,
若开口向上且对称轴,
,则,故.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意可得,
设,则,
在中,由余弦定理,
则,即,
由正弦定理,可得,
即,可得,
在中,,
,
由正弦定理,可得,
故.
故EF的值.
（2）设,则,,
由正弦定理,可得,
在中,由正弦定理,可得,
故的面积
,
,,,
,当且仅当,即时,等号成立,
故面积的最小值.