惠州市第一中学2024届高三下学期元月阶段测试数学试卷(含答案)

这是一份惠州市第一中学2024届高三下学期元月阶段测试数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则的真子集个数为( )
A.3B.4C.7D.8
2．设虚数z和是方程的两根，则( )
A.B.C.D.
3．已知函数，则下列四个结论中正确的是( )
A.函数的图象关于中心对称
B.函数的图象关于直线对称
C.函数在区间内有4个零点
D.函数在区间上单调递增
4．如图所示，O点在内部，D，E分别是，边的中点，且有，则的面积与的面积的比为( )
A.B.C.D.
5．已知数列满足，，则( )
A.B.C.D.
6．药物的半衰期指的是血液中药物浓度降低一半所需要的时间，在特定剂量范围内，药物的半衰期，其中K是药物的消除速度常数，不同药物的消除速度常数一般不同，若内药物在血液中浓度由降低到，则该药物的消除速度常数.已知某药物半衰期为，首次服用后血药浓度为，当血药浓度衰减到时需要再次给药，则第二次给药与首次给药时间间隔约为(,)( )
A.B.C.D.
7．已知椭圆的左、右焦点分别为,,的上顶点为M，且，双曲线和椭圆有相同的焦点，P为与的一个公共点.若（O为坐标原点），则的离心率( )
A.B.C.D.
8．已知体积为的正四棱锥的所有顶点均在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．在中，，则可为( )
A.12B.16C.24D.30
10．某地环境部门对辖区内甲、乙、丙、丁四个地区的环境治理情况进行检查督导，若一地区连续10天每天的空气质量指数均不大于100，则认为该地区的环境治理达标，否则认为该地区的环境治理不达标.根据连续10天检测所得数据的数字特征推断，环境治理一定达标的地区是( )
A.甲地区：平均数为90，方差为10B.乙地区：平均数为60，众数为50
C.丙地区：中位数为50，极差为70D.丁地区：极差为20，80%分位数为80
11．已知椭圆的上顶点为B，左、右焦点分别为，,则下列叙述正确的是( )
A.若椭圆C的离心率为，则
B.若直线与椭圆C的另一个交点为A，且，则
C.当时，过点B的直线被椭圆C所截得的弦长的最大值为
D.当时，椭圆C上存在异于B的两点P,Q，满足，则直线过定点
12．若函数有极值点，且，，则下列说法正确的是( )
A.，有B.，使得
C.D.
三、填空题
13．将序号分别为1，2，3，4，5，6的六张参观券全部分给甲、乙等5人，每人至少一张，如果分给甲的两张参观券是连号，则不同分法共有________种.
14．已知数列满足，则的最小值为___________.
15．设O为正四棱台下底面的中心，且.记四棱锥和的体积分别为，,则______.
16．设函数，若不等式有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是__________.
四、解答题
17．已知A，B，C，D四点逆时针排列于同一个圆O上，其中,的面积为，.
（1）求边的长；
（2）当圆心O在上时，求.
18．如图，在四棱锥中，平面，，.，，E为的中点，点F在上，且.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.
19．已知n把相同的椅子围成一个圆环；两个人分别从中随机选择一把椅子坐下.
（1）当时，设两个人座位之间空了X把椅子（以相隔位子少的情况计数），求X的分布列及数学期望；
（2）若另有m把相同的椅子也围成一个圆环，两个人从上述两个圆环中等可能选择一个，并从中选择一把椅子坐下，若两人选择相邻座位的概率为，求整数m，的所有可能取值.
20．已知函数.
（1）证明：.
（2）若关于x的不等式有解，求a的取值范围.
21．已知点，圆，点E是圆C上的任意一点.动圆D过点C，且与相切，点D的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若与x轴不垂直的直线l与曲线交于A、B两点，点N为l与x轴的交点，且，若在x轴上存在异于点N的一点G，使得为定值，求点G的坐标；
（3）过点的直线与曲线交于P、Q两点，且曲线在P、Q两点处的切线交于点S，证明：S在定直线上.
22．已知数列A：，，…， 的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为.
（1）①若数列A：1，2，4，5，求集合T，并写出的值；
②若数列A：1，3，x，y，且，，求数列A和集合T；
（2）若A是递增数列，求证：“”的充要条件是“A为等差数列”；
（3）请你判断是否存在最大值，并说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：因为，
，则，
所以，的真子集个数为.
故选：C.
2．答案：D
解析：因为方程的两根互为共轭复数，
设虚数，且，
所以.
所以，，所以，，
所以方程的两根为，
所以，
所以，.
故选：D.
3．答案：C
解析：A选项，，A错误；
B选项，，B错误；
C选项.当时，函数，
当，，0，π时，，
解得或或或，有4个零点，C正确；
D选项，由，，
解得，，
所以单调递增区间为，，
令，得，，得，
所以在区间上不是单调递增的，D错误.
故选：C.
4．答案：A
解析：由可得，
又因为D，E分别是，边的中点，
所以，，
所以，即，
所以O，D，E三点共线，且，
所以E到的距离与O到的距离之比也为，
又的面积与的面积都以为底，
所以的面积与的面积的比为.
故选：A.
5．答案：D
解析：若，则，则，
这与矛盾，所以，
对同时除以，
所以，则，，……，，
上面的式子相加可得：
，
所以，所以，
故选：D.
6．答案：B
解析：因为，所以，
由题意，得，,,
所以.
故选：B.
7．答案：C
解析：依题意，设焦距为，椭圆的长轴长为，短轴长为，离心率为，
双曲线的长轴长为，短轴长为，离心率为，
因为，则在中，，
根据对称性，不妨设椭圆与双曲线的交点P在第二象限，
因为，所以，则，
由双曲线的定义知：，由椭圆的定义知：，
则，则，
则，则，又，解得.
所以的离心率.
故选：C.
8．答案：B
解析：设正四棱锥的底面边长为，高为h，
则体积，所以，
设球O的半径为R，则，即，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以球O的表面积的最小值为.
故选：B.
9．答案：ABC
解析：在中，因为，可得点C在以为直径的圆上，
设点C到的距离为h，根据圆的性质，可得，
所以的面积，
结合选项，可得A、B、C符合题意.
故选：ABC.
10．答案：AD
解析：设每天的空气质量指数为（，2，…，10），则方差.
对于A，由，得，若这10天中有1天的空气质量指数大于100，则必有，矛盾，所以这10天每天的空气质量指数都不大于100，故A正确；
对于B，假设有8天为50，有1天为140，有1天为60，此时平均数为60，众数为50，但该地区的环境治理不达标，故B错误；
对于C，假设第1天为120，后面9天为50，此时中位数为50，极差为70，但该地区的环境治理不达标，故C错误；
对于D，如果最大值大于100，根据极差为20，则最小值大于80，这与分位数为80矛盾，故最大值不大于100，故D正确.
故选：AD.
11．答案：ACD
解析：对于A：，，，解得，所以，故A正确；
对于B：因为，，又，
设，则，解得，，
所以，
代入椭圆方程得到，所以，所以，解得，故B错误；
对于C：当时椭圆为，设点在椭圆上，则，
所以，
因为，所以当时取得最大值，所以弦长最大值为，
故C正确；
对于D：设点，，当的斜率不为零时，设直线的方程为，
由，可得，
显然，所以，，
因为，可得，
因为，，代入可得，
所以，
整理得，所以或，
当时直线的方程为，恒过，不成立，
当时直线的方程为，恒过，
若直线的斜率为且过点，不妨取、，
则，满足，
综上可得直线恒过点，故D正确；
故选：ACD.
12．答案：AD
解析：有题意可得：，
因为函数有极值点，
则，
可得，，
令，解得或；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，
可知在取到极小值，所以符合题意，
则的极大值为，极小值为，
若，且，
则，解得，
且，，
所以，，，
对于选项AB：因为,
若，则，故，所以A正确；B错误；
对于选项C：，有，则，即，
因为，,且在上单调递减，
可得，即，故C错误；
对于选项D：令，
则在内恒成立，
可知在内单调递减，可得，
可得，,则，
且，,在上单调递增，
可得，即，故D正确；
故选：AD.
13．答案：120
解析：由题意得，如果分给甲的两张参观券是连号，则有种分法，
再将剩余的4张分给剩余4个人，有种分法，
所以一共有种分法.
故答案为：120.
14．答案：
解析：，但,没有正整数解，
所以等号不等成立，，
，,,
所以的最小值为.
故答案为：.
15．答案：
解析：设四棱台上、下底面的边长分别为a,，高为h，
则四棱锥的体积，
四棱台的体积.
由对称性可知四个侧面与点O构成的四个四棱锥大小和形状完全相同，
所以四棱锥的体积.所以.
故答案为：.
16．答案：
解析：由函数，若不等式，即，
因为，可化为，令，可得，
令，可得，所以在R上单调递增，
又由，,所以存在唯一的使得，
当时，，可得，所以单调递减，
当时，，可得，所以单调递增，且，
又因为，,,,
所以当原不等式有且仅有三个整数解时，有，
解得，即实数的取值范围是.
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）在中，，的面积为，
则，解得，
而，于是，由余弦定理得.
（2）由（1）知，而线段为圆O的直径，则，
因此，
所以.
18．答案：（1）证明过程见解析
（2）
解析：（1）因为平面，平面，
所以，
因为，，,平面，
所以平面.
（2）以D为坐标原点，,所在直线分别为x，y轴，垂直于平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
，，E为的中点，点F在上，且，
故，，，，
设，由得，
解得，，，故，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，所以，
又平面的法向量为，
故，
故二面角的正弦值为.
19．答案：（1）分布列见解析，数学期望为
（2）或或
解析：（1）由题意，得随机变量X可以取0,1,2,3,4,5，
其中，
，
所以随机变量X的分布列为：
故.
（2）记“两人选择n把相同的椅子围成的圆环”为事件A，
“两人选择m把相同的椅子围成的圆环”为事件B，
“两人选择相邻座位”为事件C.
因为两个人从上述两个圆环中等可能选择一个，
所以，,
.
因为，所以.
化简，得.
因为，,,所以，且.
所以，7,49即，15,57,
此时或或.
所以m，n的所有可能取值为或或.
20、
（1）答案：证明见解析
解析：.
当时，；
当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
故.
（2）答案：
解析：由题意可得不等式有解.
因为，
所以，
当时，等号成立，所以.
故a的取值范围为.
21．答案：（1）
（2）
（3）证明见解析
解析：（1）由题意知，点D到点C的距离和它到直线的距离相等，
所以，点D的轨迹是以为焦点的抛物线，所以的方程为.
（2）设、，设直线l的方程为，
联立方程组，得，，可得，
所以①，②，
，
即，
将①②代入得，因为，所以，所以点N的坐标为，
设、，则，
，
使为定值，需满足，即，
因为，所以，则，所以点G坐标为.
（3）设直线的方程为，设、，
联立方程组得，则，可得，
则③，④，
接下来证明出抛物线在点P处的切线方程为，
联立，可得，即，
，
又因为，即点P在直线上，
所以，曲线在点P处的切线方程为，
同理可得曲线在点Q处的切线方程为，
联立，解得，
则，所以点S的坐标为，
所以点S在定直线上.
22．答案：（1）①集合，，②数列A：1，3，5，7，
（2）证明见解析
（3）存在最大值，理由见解析
解析：（1）①因为，，，，，，
所以集合，.
②因为A：1,3,x,y，且，所以，，均不相等，
所以2，，都是集合T中的元素，
因为，所以.可得：，，
所以数列A：1,3,5,7，；
（2）充分性；A是递增数列，若A为等差数列，
设A的公差为d（），当时，
所以，所以，
则，故充分性成立.
必要性：若A是递增数列，，则A为等差数列，
因为A是递增数列，所以，
所以，,,…，且互不相等，
所以，
又因为，
所以，，…，，且互不相等，
所以，，，，
所以，所以A为等差数列，必要性成立.
所以若A是递增数列，“”的充要条件是“A为等差数列”.
（3）存在最大值.理由如下：
由题意集合中的元素个数最多为个，
即，
取，，…，，此时，
若存在，则，其中，，
故，
若，不妨设，则，
而，，故为偶数，为奇数，矛盾，
故，故，
故由，，…，得到的彼此相异，故，
即的最大值为.
因此必有最大值.
X
0
1
2
3
4
5
P