江苏省泰州市2024届高三下学期2月调研测试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省泰州市2024届高三下学期2月调研测试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．有一组样本数据9,4,5,7,8,2,则样本中位数为( )
A.5B.6C.7D.8
2．已知为等差数列,若m,n,p,q是正整数,则是的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分不必要条件
3．每袋食盐的标准质量为500克,现采用自动流水线包装食盐,抽取一袋食盐检测,它的实际质量与标准质量存在一定的误差,误差值为实际质量减去标准质量.随机抽取100袋食盐,检测发现误差X（单位：克）近似服从正态分布,,则X介于－2~2的食盐袋数大约为( )
A.4B.48C.50D.96
4．若,是夹角为60°的两个单位向量,则向量与的夹角为( )
A.30°B.60°C.90°D.120°
5．已知函数是定义在R上的奇函数,则实数( )
A.－1B.0C.D.1
6．若复数z满足,则的最小值为( )
A.B.C.1D.
7．已知点在双曲线上,过点P作双曲线的渐近线的垂线,垂足分别为A,B,若,,则( )
A.B.2C.D.
8．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知函数,则( )
A.函数的图象关于点对称
B.函数在区间上单调递增
C.函数的图象向左平移个单位长度所得到的图象所对应的函数为偶函数
D.函数在区间上恰有3个零点
10．已知正方形ABCD的边长为4,点E在线段AB上,.沿DE将折起,使点A翻折至平面BCDE外的点P,则( )
A.存在点P,使得B.存在点P,使得直线平面PDE
C.不存在点P,使得D.不存在点P,使得四棱锥的体积为8
11．甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球,这些球除颜色外完全相同.把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作,重复n次操作后,甲口袋中恰有0个红球,1个红球,2个红球分别记为事件,,,则( )
A.B.C.D.
三、填空题
12．已知集合,,则中元素的个数为__________.
13．在平面直角坐标系xOy中,椭圆的左焦点为F,点P在椭圆上,PF的中点为Q,若,,则椭圆离心率的值为____________.
14．将“用一条线段联结两个点”称为一次操作,把操作得到的线段称为“边”.若单位圆上n个颜色各不相同的点经过k次操作后,从任意一点出发,沿着边可以到达其他任意点,就称这n个点和k条边所构成的图形满足“条件T”,并将所有满足“条件T”的图形个数记为,则____________.
四、解答题
15．已知函数,.
（1）若函数在点处的切线过原点,求实数a的值;
（2）若,求函数在区间上的最大值.
16．某游戏设置了两套规则,规则A：抛掷一颗骰子n次,若n次结果向上的点数之和大于2时,继续下一次抛掷,否则停止抛掷;规则B：抛掷一颗骰子一次,结果向上的点数大于2时,继续下一次抛掷,否则停止抛掷.
（1）若执行规则A,求抛掷次数恰为1次的概率;
（2）若执行规则B,证明：抛掷次数的数学期望不大于3.
17．如图,在四棱锥中,底面ABCD是菱形,,为等边三角形,点M,N分别为AB,PC的中点.
（1）证明：直线平面PAD;
（2）当二面角为120°时,求直线MN与平面PCD所成的角的正弦值.
18．已知抛物线E：,焦点为F,过F作y轴的垂线,点P在x轴下方,过点P作抛物线E的两条切线,,,分别交x轴于A,B两点,,分别交于C,D两点.
（1）若,与抛物线E相切于C,D两点,求点P的坐标;
（2）证明：的外接圆过定点;
（3）求面积S的最小值.
19．已知数列满足,.
（1）已知,
①若,求;
②若关于m的不等式的解集为M,集合M中的最小元素为8,求的取值范围;
（2）若,是否存在正整数,使得,若存在,求出k的最小值,若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：2,4,5,7,8,9,中位数,故选：B.
2．答案：A
解析：时,,
充分时,,
时,与不一定相等,不必要,
故选：A.
3．答案：D
解析：,,则,
,,
故选：D.
4．答案：D
解析：,
,
,夹角120°,
故选：D.
5．答案：C
解析：为奇函数,为偶函数,,
, ,,,
故选：C.
6．答案：B
解析：令,, ,
,
时取最小值,
故选：B.
7．答案：C
解析： ,,
解得,;
,,
解得,,
,,
,
,
故选：C.
8．答案：A
解析：,
,
,
,,
∴,
故选：A.
9．答案：BCD
解析：,对称中心纵坐标为1,A错.
,则, 的一个单调增区间为,
而, 在,B对.
为偶函数,C对.
,则,或,
或,,;,;,,
在有三个零点,D对,
故选：BCD.
10．答案：AC
解析：若,又,则面PCD,则,
而,,有解,A对.
若平面PDE,平面BCDE,平面平面,
,矛盾,舍去.
取PC中点N, ,则,若,则面DEN,
则,则矛盾,不存在P使得,C对.
,A到DE距离,
,存在,D错,
故选：AC.
11．答案：ABD
解析：方法一：,A对.
,B对.
,C错.
,
,
,D对,
故选：ABD.
方法二：甲：1红2白,乙：1红2白.
对于A,重复1次操作,甲口袋中有1红的概率,A正确.
对于B,,,
（：甲：3白乙2红1白,：甲2白1红;乙1红2白）
,B正确.
或（甲：2白1红,乙1红2白）
对于C,,C错.
对于D,
,D正确.
故选：ABD.
12．答案：2
解析：B表示为圆心1为半径的圆,A表示直线,,
直线与圆相交有两个公共点,的元素的个数为2.
13．答案：
解析：取右焦点,Q为PF中点,,
则为等腰三角形,, 为直角三角形,
,,,.
14．答案：30
解析：情形1：有3个点是2条边的端点,另2个点是1条边的端点,.
情形2：有1个点是3条边的端点,有1个点是2条边的端点,
另3个点是1条边的端点,
,.
15．答案：（1）
（2）5
解析：（1）切点,,.
切线过,
, .
（2）,,
,或3,
在,,
,, .
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）若执行规则A,抛掷次数恰为1次的概率.
（2）若执行规则B,抛掷次数X的所有可能取值为1,2,3,…
,,,…,
,
记①,
②,
①－②
,
..
17．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：取PD中点E,连接AE,NE,N为PC中点,
,又, ,
四边形AMNE为平行四边形, ,
平面PAD,平面PAD, 平面PAD.
（2）取AD中点F,如图建系,设,
,,,,
,,,
,,,
设平面PCD的一个法向量,∴,
设MN与平面PCD所成角为, .
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）∵,与抛物线E相切于C,D两点, ,,
此时方程：,即.
方程：,联立得.
（2）设过P的两条切线分别与抛物线切于,,
PQ方程：,同理PR方程：,
且,,
设外接圆方程为：,
它过P, ,
, ,
,
整理得,
,
令, 的外接圆过定点.
（3）, ,,
,
P到CD的距离为, ,
设,,,由,
,当且仅当时等号成立.
,
令,,
在上;上,
.
19．答案：（1）
（2）11
解析：（1）①, 或2,
而.若, 或2.
若, 或4,经检验均符合. 或2或3或4.
②由条件知,
, ,
或,或或或
或,,,…,,
…
或,…,,或,…或
.
（2）或,,…,,,
令,,, ,
当时,,,
存在这样的k,.