甘肃省张掖市某校2023-2024学年高三下学期模拟考试数学试题

这是一份甘肃省张掖市某校2023-2024学年高三下学期模拟考试数学试题，共11页。试卷主要包含了已知，则，欧拉公式，已知复数，则，若复数满足，则的最大值为，不等式的解集是，已知复数，则下列结论错误的是等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题共60分）
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（ ）
A.-4 B.4 C. D.
2.已知，则（ ）
A. B. C. D.
3.欧拉公式（其中是虚数单位，是自然对数的底数）是数学中的一个神奇公式.根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.已知复数在复平面内对应的点在虚轴上，则实数（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
5.已知复数，则（ ）
A.9 B.6 C.3 D.
6.在复平面内，一个正方形的3个顶点对应的复数分别是，则第4个顶点对应的复数为（ ）
A. B. C. D.
7.若复数满足，则的最大值为（ ）
A.1 B. C.2 D.3
8.不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
9.已知参数方程为参数，，则下列选项的图中，符合该方程的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知复数，则下列结论错误的是（ ）
A.若，则
B.若是虚数，则
C.不可能是纯虚数
D.可表示复平面内的点
11.已知，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
12.已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：
甲；
乙
丙
丁.
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
第II卷（非选择题共90分）
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若复数同时满足①；②，则__________.
14.曲线经过变换得到曲线，则曲线的方程为__________.
15.已知复数，则的虚部为__________.
16.若对于任意，都存在，使，则实数的取值范围是__________.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知函数.
（1）在图中画出的图象；
（2）求不等式的解集.
18.（12分）
在直角坐标系中，圆的圆心为，半径为，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求的极坐标方程；
（2）若与在第一象限的交点为，且射线的极坐标方程为，求实数的值.
19.（12分）
已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求实数的取值范围.
20.（12分）
如图，在极坐标系中，方程表示的曲线是一条优美的心脏线.在以极轴所在直线为轴，极点为坐标原点的直角坐标系中，已知曲线的参数方程为为参数，且.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）当时，与交于点，将射线绕极点按顺时针方向旋转，交于点，求的值.
21.（12分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；
（2）点分别为曲线与直线上的动点，求的最小值.
22.（12分）
已知为正数，且.证明：
（1）；
（2）.
参考答案
一､选择题
1.A 【解析】.
2.C 【解析】设，则，因为，所以，所以解得所以.
3.A 【解析】由欧拉公式，得在复平面内对应的点在第一象限.
4.C 【解析】因为，所以当复数在复平面内对应的点在虚轴上时，且，解得.
5.D 【解析】由，得.
6.B 【解析】复数所对应的点分别是，2），，由题意可知，正方形以为邻边，设另一点为，所以，则即解得所以.
7.C 【解析】设在复平面内对应的点的坐标为，则，它表示以为圆心，1为半径的圆，所以的最大值为2.
8.C 【解析】当，即或时，不等式等价于不等式，即，解得，所以；当，即时，不等式等价于不等式，即，解得或，所以.
综上，不等式的解集是.
9.B 【解析】由题意，参数方程为参数，，当时，可得，所以图象过原点，排除；当时，可得，所以图象过点，可排除和；当时，可得，解得，从而得到，所以选项B适合.
10.D 【解析】若，则，所以，解得或.当时，，当时，，故选项正确；若是虚数，则，即且，所以，故选项B正确；若表示纯虚数，则无解，故选项C正确；若在复平面内对应的点为，则，无解，故选项D错误.
11.B 【解析】，因为，所以，故后者能推出前者；反之，比如，推不出后者，故为必要不充分条件.
12.B 【解析】设，由于对应的点在第二象限，所以.甲：-1，乙，丙：，丁，得，由于“只有一个假命题”，所以乙是假命题，的值应为.
二､填空题
13. 【解析】设，由条件①可以得到，两边平方化简可得.由得，则，故.
14. 【解析】由题设，将代入：，可得，整理得，所以曲线的方程为.
15.-1012 【解析】
，则的虚部为-1012.
16. 【解析】设，，易得，所以所以当时，.因为对于任意，都存在，使，所以，故的取值范围为.
三､解答题
17.解：（1）因为
作出函数的图象如图所示：
（2）由不等式得或，
当时，即或，可得-2或；
当时，即或，可得或.
由图象可得：的解集为或}的解集为，
所以的解集为或或}.
18.解：（1）圆的直角坐标方程为，
即，
由，
可得的极坐标方程为.
将的参数方程（为参数）消去参数，
得的普通方程为，
由，
得的极坐标方程为.
（2）由的方程可知，原点为曲线的一个交点，
设点的极坐标为，
代入中，可得，
解得.
把代入中，可得，
解得.
19.解：（1）当时，.
当时，等价于，
解得，所以；
当时，等价于6，
解得；
当时，等价于，
解得，所以.
综上，不等式的解集为，.
（2）当时，趋近于趋近于，不符合题意，舍去；
当时，即，不成立，舍去；
当时，，
因为，当且仅当且时等号成立，
所以.
因为，所以，
即.
解，得；解，得-3或
又，所以.
综上，实数的取值范围为.
20.解：（1）因为曲线的参数方程为（为参数，且，
所以.
又所以，
即，
所以曲线的极坐标方程为.
（2）当时，则，
再由可得，
所以.
21.解：（1）因为，
所以将（为参数）消去参数，
可得.
由，得-2，
因为，所以.
所以曲线的普通方程为，
直线的直角坐标方程为.
（2）由点在曲线上，设，
则点到的距离为
，
所以当时，，
所以的最小值为.
22.证明：（1）因为为正数，，
所以，
因为，
所以，当且仅当时等号成立，
所以.
（2）由柯西不等式，得
，
即.
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以.