新教材同步系列2024春高中数学第六章平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.4向量的数量积课后提能训练新人教A版必修第二册

这是一份新教材同步系列2024春高中数学第六章平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.4向量的数量积课后提能训练新人教A版必修第二册，共6页。
第六章　6.2　6.2.4A级——基础过关练1．(2023年怀仁期末)已知向量a，b满足|a|＝ eq \r(3)，|b|＝2，它们的夹角为 eq \f(π,6)，则|a＋b|＝(　　)A．10 B． eq \r(10)C． eq \r(13) D．132．(2023年宁波期中)已知平面向量a，b，c均为单位向量，且2a＋4b＝3c，则a·c＝(　　)A．－ eq \f(1,4) B． eq \f(1,4)C． eq \f(1,2) D．－ eq \f(1,2)3．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，点E满足 eq \o(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(3,4) eq \o(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4) eq \o(AB,\s\up6(→))，则 eq \o(AE,\s\up6(→))· eq \o(AC,\s\up6(→))＝(　　)A． eq \f(8,3) B． eq \f(4,3)C．6 D．4＋2 eq \r(3)4．(多选)对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中错误的有(　　)A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c5．(2023年宁波月考)已知△ABC中，D是BC的中点，且| eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(AC,\s\up6(→))|＝| eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \o(AC,\s\up6(→))|，| eq \o(AD,\s\up6(→))|＝| eq \o(AB,\s\up6(→))|，则向量 eq \o(BA,\s\up6(→))在 eq \o(BC,\s\up6(→))上的投影向量为(　　)A． eq \f(1,4) eq \o(BC,\s\up6(→)) B． eq \f(\r(3),4) eq \o(BC,\s\up6(→))C．－ eq \f(1,4) eq \o(BC,\s\up6(→)) D．－ eq \f(\r(3),4) eq \o(BC,\s\up6(→))6．已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝6且(2a－b)·(a＋2b)＝－4，则向量a，b的夹角θ为(　　)A． eq \f(2π,3) B． eq \f(π,2)C． eq \f(π,3) D． eq \f(π,6)7．P是△ABC所在平面上一点，若 eq \o(PA,\s\up6(→))· eq \o(PB,\s\up6(→))＝ eq \o(PB,\s\up6(→))· eq \o(PC,\s\up6(→))＝ eq \o(PC,\s\up6(→))· eq \o(PA,\s\up6(→))，则P是△ABC的(　　)A．外心 B．内心C．重心 D．垂心8．已知e1，e2是夹角为 eq \f(2π,3)的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为__________．9．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝ eq \r(10)，则|b|＝__________．10．(2023年杭州模拟)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝ eq \f(1,2)．(1)求(2a＋b)·(a－b)的值；(2)求2a＋b与a－b的夹角的余弦值．B级——能力提升练11．(2023年贵州模拟)在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3．若点P满足 eq \o(BP,\s\up6(→))＝2 eq \o(PA,\s\up6(→))，则 eq \o(CP,\s\up6(→))· eq \o(AB,\s\up6(→))＝(　　)A．0 B． eq \f(1,3)C． eq \f(2,3) eq \r(13) D． eq \f(14,3)12．(多选)(2023年武汉期中)蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成，巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，则下列说法正确的有(　　)A． eq \o(FB,\s\up6(→))－ eq \o(FD,\s\up6(→))＝ eq \o(AE,\s\up6(→)) B． eq \o(AD,\s\up6(→))· eq \o(AF,\s\up6(→))＝| eq \o(AF,\s\up6(→))|2C． eq \o(AD,\s\up6(→))在 eq \o(AB,\s\up6(→))上的投影向量为 eq \o(AB,\s\up6(→)) D． eq \o(AC,\s\up6(→))＋ eq \o(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(3,2) eq \o(AD,\s\up6(→))13．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为__________．14．已知向量a，b满足：|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为__________；|2a－b|＝__________．15．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6， eq \o(CP,\s\up6(→))＝2 eq \o(PD,\s\up6(→))．(1)若四边形ABCD是矩形，求 eq \o(AP,\s\up6(→))· eq \o(BP,\s\up6(→))的值；(2)若四边形ABCD是平行四边形，且 eq \o(AP,\s\up6(→))· eq \o(BP,\s\up6(→))＝6，求 eq \o(AB,\s\up6(→))与 eq \o(AD,\s\up6(→))夹角的余弦值．答案1【答案】C【解析】因为|a|＝ eq \r(3)，|b|＝2，它们的夹角为 eq \f(π,6)，所以a·b＝|a||b|cos  eq \f(π,6)＝3，所以|a＋b|＝ eq \r((a＋b)2)＝ eq \r(a2＋2a·b＋b2)＝ eq \r(3＋2×3＋4)＝ eq \r(13)．故选C．2【答案】A【解析】∵2a＋4b＝3c，∴4b＝3c－2a，∴16b2＝9c2＋4a2－12a·c．∵a，b，c均为单位向量，∴16＝9＋4－12a·b，∴a·b＝－ eq \f(1,4)．故选A．3【答案】C【解析】如图，∵AB＝AD＝2，∠BAD＝60°， eq \o(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(3,4) eq \o(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4) eq \o(AB,\s\up6(→))，∴ eq \o(AE,\s\up6(→))· eq \o(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,4)\o(AB,\s\up6(→))))·( eq \o(AD,\s\up6(→))＋ eq \o(AB,\s\up6(→)))＝ eq \f(3,4) eq \o(AD,\s\up6(→))2＋ eq \f(1,4) eq \o(AB,\s\up6(→))2＋ eq \o(AD,\s\up6(→))· eq \o(AB,\s\up6(→))＝ eq \f(3,4)×4＋ eq \f(1,4)×4＋2×2× eq \f(1,2)＝6．故选C．4【答案】ACD【解析】A中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，故A错；C中，若a2＝b2，则|a|＝|b|，故C错；D中，若a·b＝a·c，则可能有a⊥b，a⊥c，但b≠c，故D错．故只有选项B正确．故选ACD．5【答案】A【解析】| eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(AC,\s\up6(→))|＝| eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \o(AC,\s\up6(→))|，则两边同时平方可得， eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(AC,\s\up6(→))＝0，即∠A＝90°，D是BC的中点，令| eq \o(AD,\s\up6(→))|＝| eq \o(AB,\s\up6(→))|＝m，则∠ACB＝30°，| eq \o(BC,\s\up6(→))|＝2m，即∠ABC＝60°，向量 eq \o(BA,\s\up6(→))在 eq \o(BC,\s\up6(→))上的投影向量为 eq \f(\o(BA,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(BC,\s\up6(→))|)× eq \f(\o(BC,\s\up6(→)),|\o(BC,\s\up6(→))|)＝ eq \f(2m2×\f(1,2),4m2)× eq \o(BC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,4) eq \o(BC,\s\up6(→))．故选A．6【答案】C【解析】∵|a|＝4，|b|＝6，∴(2a－b)·(a＋2b)＝2a2－2b2＋3a·b＝32－72＋3a·b＝－4．∴a·b＝12．∴cos 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(1,2)．又∵0≤〈a，b〉≤π，∴〈a，b〉＝ eq \f(π,3)．故选C．7【答案】D【解析】由 eq \o(PA,\s\up6(→))· eq \o(PB,\s\up6(→))＝ eq \o(PB,\s\up6(→))· eq \o(PC,\s\up6(→))，得 eq \o(PB,\s\up6(→))·( eq \o(PA,\s\up6(→))－ eq \o(PC,\s\up6(→)))＝0，即 eq \o(PB,\s\up6(→))· eq \o(CA,\s\up6(→))＝0，∴PB⊥CA．同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心．8【答案】 eq \f(5,4)【解析】由a·b＝0，得(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0．整理，得k－2＋(1－2k)cos  eq \f(2π,3)＝0，解得k＝ eq \f(5,4)．9【答案】3 eq \r(2)【解析】|2a－b|＝ eq \r(10)⇔(2a－b)2＝10⇔4＋|b|2－4|b|cos 45°＝10⇔|b|＝3 eq \r(2)．10解：(1)根据题意，向量|a|＝2，|b|＝1，a·b＝ eq \f(1,2)，则(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2＝8－ eq \f(1,2)－1＝ eq \f(13,2)．(2)设2a＋b与a－b的夹角为θ，(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝19，则|2a＋b|＝ eq \r(19)，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4，则|a－b|＝2，故cos θ＝ eq \f((2a＋b)·(a－b),|2a＋b||a－b|)＝ eq \f(13\r(19),76)．11【答案】B【解析】由题意，得 eq \o(CP,\s\up6(→))＝ eq \o(CB,\s\up6(→))＋ eq \o(BP,\s\up6(→))＝ eq \o(CB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \o(BA,\s\up6(→))＝ eq \o(CB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3)( eq \o(CA,\s\up6(→))－ eq \o(CB,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,3) eq \o(CB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \o(CA,\s\up6(→))， eq \o(AB,\s\up6(→))＝ eq \o(CB,\s\up6(→))－ eq \o(CA,\s\up6(→))．∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，∴ eq \o(CA,\s\up6(→))· eq \o(CB,\s\up6(→))＝0，∴ eq \o(CP,\s\up6(→))· eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(CB,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(CA,\s\up6(→))))·( eq \o(CB,\s\up6(→))－ eq \o(CA,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,3) eq \o(CB,\s\up6(→))· eq \o(CB,\s\up6(→))－ eq \f(2,3) eq \o(CA,\s\up6(→))· eq \o(CA,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3)．故选B．12【答案】BCD【解析】对于A， eq \o(FB,\s\up6(→))－ eq \o(FD,\s\up6(→))＝ eq \o(DB,\s\up6(→))＝ eq \o(EA,\s\up6(→))，A错误；对于B，∠FAD＝60°，则 eq \o(AD,\s\up6(→))· eq \o(AF,\s\up6(→))＝| eq \o(AD,\s\up6(→))|×| eq \o(AF,\s\up6(→))|×cos 60°＝| eq \o(AF,\s\up6(→))|2，B正确；对于C， eq \o(AD,\s\up6(→))在 eq \o(AB,\s\up6(→))上的投影向量为| eq \o(AD,\s\up6(→))|·cos 60° eq \f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＝ eq \o(AB,\s\up6(→))，C正确；对于D， eq \o(AC,\s\up6(→))＋ eq \o(AE,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(AF,\s\up6(→))＋ eq \o(FE,\s\up6(→))＝ eq \f(3,2) eq \o(AD,\s\up6(→))，D正确．故选BCD．13【答案】－ eq \f(1,3)【解析】∵|a|＝3|b|＝|a＋2b|，∴|a|2＝9|b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b．∴a·b＝－|b|2．∴cos 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(－|b|2,3|b|·|b|)＝－ eq \f(1,3)．14【答案】 eq \f(π,3)　2 eq \r(7)【解析】由于a·(b－a)＝a·b－a2＝a·b－1＝2，则a·b＝3．设a与b的夹角为θ，则cos θ＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(1,2)．又因为θ∈[0，π]，所以θ＝ eq \f(π,3)．因为|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝28，所以|2a－b|＝2 eq \r(7)．15解：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以 eq \o(AD,\s\up6(→))· eq \o(DC,\s\up6(→))＝0，由 eq \o(CP,\s\up6(→))＝2 eq \o(PD,\s\up6(→))，得 eq \o(DP,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(DC,\s\up6(→))， eq \o(CP,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \o(CD,\s\up6(→))＝－ eq \f(2,3) eq \o(DC,\s\up6(→))．所以 eq \o(AP,\s\up6(→))· eq \o(BP,\s\up6(→))＝( eq \o(AD,\s\up6(→))＋ eq \o(DP,\s\up6(→)))·( eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(CP,\s\up6(→)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(DC,\s\up6(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))－\f(2,3)\o(DC,\s\up6(→))))＝ eq \o(AD,\s\up6(→))2－ eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up6(→))· eq \o(DC,\s\up6(→))－ eq \f(2,9) eq \o(DC,\s\up6(→))2＝36－ eq \f(2,9)×81＝18．(2)由题意， eq \o(AP,\s\up6(→))＝ eq \o(AD,\s\up6(→))＋ eq \o(DP,\s\up6(→))＝ eq \o(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(DC,\s\up6(→))＝ eq \o(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up6(→))， eq \o(BP,\s\up6(→))＝ eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(CP,\s\up6(→))＝ eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \o(CD,\s\up6(→))＝ eq \o(AD,\s\up6(→))－ eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up6(→))，所以 eq \o(AP,\s\up6(→))· eq \o(BP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))－\f(2,3)\o(AB,\s\up6(→))))＝ eq \o(AD,\s\up6(→))2－ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(AD,\s\up6(→))－ eq \f(2,9) eq \o(AB,\s\up6(→))2＝36－ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(AD,\s\up6(→))－18＝18－ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(AD,\s\up6(→))．又因为 eq \o(AP,\s\up6(→))· eq \o(BP,\s\up6(→))＝6，所以18－ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(AD,\s\up6(→))＝6．所以 eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(AD,\s\up6(→))＝36．设 eq \o(AB,\s\up6(→))与 eq \o(AD,\s\up6(→))的夹角为θ，又因为 eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(AD,\s\up6(→))＝| eq \o(AB,\s\up6(→))|·| eq \o(AD,\s\up6(→))|cos θ＝9×6×cos θ＝54cos θ，所以54cos θ＝36，即cos θ＝ eq \f(2,3)．所以 eq \o(AB,\s\up6(→))与 eq \o(AD,\s\up6(→))夹角的余弦值为 eq \f(2,3)．