新教材同步系列2024春高中数学第六章平面向量及其应用6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.5平面向量数量积的坐标表示课后提能训练新人教A版必修第二册

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第六章　6.3　6.3.5A级——基础过关练1．(2023年武汉期中)已知向量a＝(1，1)，b＝(8，－6)，则|2a－b|的值为(　　)A．12 B．10C．8 D．62．已知平面向量a＝(2，1)，b＝(2，4)，则向量a，b夹角的余弦值为(　　)A． eq \f(3,5) B． eq \f(4,5)C．－ eq \f(3,5) D．－ eq \f(4,5)3．在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝ eq \r(3)，E是AB中点，点P在BC边上，若 eq \o(DA,\s\up6(→))· eq \o(DP,\s\up6(→))＝ eq \r(3)，则 eq \o(DE,\s\up6(→))· eq \o(DP,\s\up6(→))＝(　　)A．2＋ eq \r(3) B．3＋ eq \r(3)C．1＋ eq \r(3) D．3－ eq \r(3)4．已知a＝(1，2)，b＝(－2，m)，若a∥b，则|2a＋3b|等于(　　)A． eq \r(70) B．2 eq \r(5)C．3 eq \r(5) D．4 eq \r(5)5．已知O为坐标原点，向量 eq \o(OA,\s\up6(→))＝(2，2)， eq \o(OB,\s\up6(→))＝(4，1)，在x轴上有一点P使得 eq \o(AP,\s\up6(→))· eq \o(BP,\s\up6(→))有最小值，则点P的坐标是(　　)A．(－3，0) B．(2，0)C．(3，0) D．(4，0)6．(2023年商丘月考)已知向量a＝(－4，3)，b＝(2，－7)，则a·b＋|a|＝(　　)A．29 B．－29C．24 D．－247．(多选)(2023年韶关期中)已知向量a＝(1，x)，b＝(x，4)，则(　　)A．当x＝2时，a∥b B．当x＝2时，a⊥bC．当x＝0时，〈a，b〉＝ eq \f(π,2) D．当|a|＝2时，|b|＝3 eq \r(2)8．已知向量a＝(－1，x)，b＝(x＋2，x)，若|a＋b|＝|a－b|，则x＝__________．9．已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，若ka＋b与a－3b垂直，则k的值为__________．10．在△ABC中， eq \o(AB,\s\up6(→))＝(2，3)， eq \o(AC,\s\up6(→))＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值．B级——能力提升练11．(2023年山西模拟)已知向量a＝(1， eq \r(2))，b＝(cos θ，sin θ)，其中θ∈(0，2π)．若a·b＝|a|，则tan θ＝(　　)A． eq \r(3) B． eq \r(2)C． eq \f(\r(3),3) D． eq \r(6)12．在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则 eq \o(EM,\s\up6(→))· eq \o(EC,\s\up6(→))的取值范围是(　　)A． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))C． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2))) D． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，1))13．如图，已知点A(1，1)，单位圆上半部分上的点B满足 eq \o(OA,\s\up6(→))· eq \o(OB,\s\up6(→))＝0，则向量 eq \o(OB,\s\up6(→))的坐标为__________．14．已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1， eq \r(3))．若|b|＝2，且b∥a，则向量b的坐标为____________；若|c|＝ eq \r(2)，且(a＋c)⊥(2a－3c)，则a·c＝__________．15．(2023年沈阳期中)已知向量a＝(3，2)，b＝(x，－1)．(1)当(a＋2b)⊥(2a－b)，且x＞0时，求|a＋b|；(2)当c＝(－8，－1)，a∥(b＋c)时，求向量a与b的夹角α．答案1【答案】B【解析】∵a＝(1，1)，b＝(8，－6)，∴2a－b＝(－6，8)，∴|2a－b|＝ eq \r((－6)2＋82)＝10．故选B．2【答案】B【解析】∵a＝(2，1)，b＝(2，4)，∴cos 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(8,\r(5)×\r(20))＝ eq \f(4,5)．故选B．3【答案】A【解析】如图，建立平面直角坐标系．由已知可得，A(0，0)，B(2，0)，C(2， eq \r(3))，D(0， eq \r(3))，E(1，0)，设P(2，a)(0≤a≤ eq \r(3))，则 eq \o(DA,\s\up6(→))＝(0，－ eq \r(3))， eq \o(DP,\s\up6(→))＝(2，a－ eq \r(3))， eq \o(DE,\s\up6(→))＝(1，－ eq \r(3))．所以 eq \o(DA,\s\up6(→))· eq \o(DP,\s\up6(→))＝－ eq \r(3)(a－ eq \r(3))＝ eq \r(3)，解得a＝ eq \r(3)－1，所以 eq \o(DP,\s\up6(→))＝(2，－1)．所以 eq \o(DE,\s\up6(→))· eq \o(DP,\s\up6(→))＝1×2＋(－ eq \r(3))×(－1)＝2＋ eq \r(3)．故选A．4【答案】D【解析】已知a＝(1，2)，b＝(－2，m)，若a∥b，则 eq \f(－2,1)＝ eq \f(m,2)，解得m＝－4．∴2a＋3b＝(－4，4＋3m)＝(－4，－8)，|2a＋3b|＝ eq \r(16＋64)＝4 eq \r(5)．故选D．5【答案】C【解析】设点P的坐标为(x，0)，则 eq \o(AP,\s\up6(→))＝(x－2，－2)， eq \o(BP,\s\up6(→))＝(x－4，－1)． eq \o(AP,\s\up6(→))· eq \o(BP,\s\up6(→))＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，所以当x＝3时， eq \o(AP,\s\up6(→))· eq \o(BP,\s\up6(→))有最小值1，此时点P的坐标为(3，0)．6【答案】D【解析】向量a＝(－4，3)，b＝(2，－7)，∴a·b＋|a|＝(－4，3)·(2，－7)＋5＝－24．故选D．7【答案】AC【解析】x＝2时，b＝2a，∴a∥b，A正确，B错误；x＝0时，a·b＝0，∴a⊥b，〈a，b〉＝ eq \f(π,2)，C正确；|a|＝2时，x2＋1＝4，x2＝3，∴|b|＝ eq \r(x2＋16)＝ eq \r(19)，D错误．故选AC．8【答案】－1或2【解析】已知向量a＝(－1，x)，b＝(x＋2，x)，因为|a＋b|＝|a－b|，两边平方得到a·b＝0．根据向量数量积的坐标运算公式得到x2－x－2＝0⇒x＝－1或2．9【答案】19【解析】ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)．因为ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0，即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0，解得k＝19．10解：∵ eq \o(AB,\s\up6(→))＝(2，3)， eq \o(AC,\s\up6(→))＝(1，k)，∴ eq \o(BC,\s\up6(→))＝ eq \o(AC,\s\up6(→))－ eq \o(AB,\s\up6(→))＝(－1，k－3)．若∠A＝90°，则 eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(AC,\s\up6(→))＝2×1＋3×k＝0，解得k＝－ eq \f(2,3)；若∠B＝90°，则 eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(BC,\s\up6(→))＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，解得k＝ eq \f(11,3)；若∠C＝90°，则 eq \o(AC,\s\up6(→))· eq \o(BC,\s\up6(→))＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，解得k＝ eq \f(3±\r(13),2)．综上所述，k的值为－ eq \f(2,3)或 eq \f(11,3)或 eq \f(3±\r(13),2)．11【答案】B【解析】由a·b＝|a|，得cos θ＋ eq \r(2)sin θ＝ eq \r(12＋(\r(2))2)＝ eq \r(3)，则cos2θ＋2sin2θ＋2 eq \r(2)sinθcos θ＝3cos2θ＋3sin2θ，即2cos2θ＋sin2θ＝2 eq \r(2)sinθcos θ，两边同时除以cos2θ得，tan2θ－2 eq \r(2)tanθ＋2＝0，∴(tan θ－ eq \r(2))2＝0，∴tan θ＝ eq \r(2)．故选B．12【答案】C【解析】以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设E(x，0)，0≤x≤1．因为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，C(1，1)，所以 eq \o(EM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－x，\f(1,2)))， eq \o(EC,\s\up6(→))＝(1－x，1)．所以 eq \o(EM,\s\up6(→))· eq \o(EC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－x，\f(1,2)))·(1－x，1)＝(1－x)2＋ eq \f(1,2)．因为0≤x≤1，所以 eq \f(1,2)≤(1－x)2＋ eq \f(1,2)≤ eq \f(3,2)，即 eq \o(EM,\s\up6(→))· eq \o(EC,\s\up6(→))的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))．13【答案】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))【解析】根据题意可设B(cos θ，sin θ)(0＜θ＜π)， eq \o(OA,\s\up6(→))＝(1，1)， eq \o(OB,\s\up6(→))＝(cos θ，sin θ)．由 eq \o(OA,\s\up6(→))· eq \o(OB,\s\up6(→))＝0得sin θ＋cos θ＝0，则tan θ＝－1，所以θ＝ eq \f(3π,4)，cos  eq \f(3π,4)＝－ eq \f(\r(2),2)，sin  eq \f(3π,4)＝ eq \f(\r(2),2)．所以 eq \o(OB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))．14【答案】(1， eq \r(3))或(－1，－ eq \r(3))　2【解析】令b＝λa＝(λ， eq \r(3)λ)．因为|b|＝2，所以 eq \r(λ2＋3λ2)＝2，解得λ＝±1．所以b＝(1， eq \r(3))或(－1，－ eq \r(3))．因为(a＋c)⊥(2a－3c)，所以(a＋c)·(2a－3c)＝0，即2|a|2－a·c－3|c|2＝0．所以a·c＝2|a|2－3|c|2＝2×4－3×2＝2．15解：(1)∵(a＋2b)⊥(2a－b)⇔(a＋2b)·(2a－b)＝0，a＋2b＝(3＋2x，0)，2a－b＝(6－x，5)，∴(3＋2x)(6－x)＋0×5＝0，解得x＝6或x＝－ eq \f(3,2)(舍去)．∴|a＋b|＝ eq \r(92＋12)＝ eq \r(82)．(2)∵b＋c＝(x－8，－2)，a∥(b＋c)，∴3×(－2)－2(x－8)＝0，解得x＝5，∴b＝(5，－1)．∴cos α＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(3×5＋2×(－1),\r(32＋22)×\r(52＋(－1)2))＝ eq \f(13,13\r(2))＝ eq \f(\r(2),2)，∴α＝ eq \f(π,4)．