新高考数学圆锥曲线62种题型第七节 抛物线方程与性质（原卷版）

这是一份新高考数学圆锥曲线62种题型第七节 抛物线方程与性质（原卷版），共11页。试卷主要包含了抛物线的定义，抛物线的标准方程与几何性质等内容，欢迎下载使用。

知识点归纳
1.抛物线的定义
(1)平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
[常用结论]
1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.
2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq \f(p,2)，也称为抛物线的焦半径.
题型归类
题型一 抛物线的定义和标准方程
例1 (1)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点.若|MF|＋|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为________.
(2)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝________.
(3)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________.
感悟提升 求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
题型二 抛物线的几何性质及应用
角度1 焦半径和焦点弦
例2 (1)已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，且eq \(AF,\s\up6(→))＝teq \(FB,\s\up6(→))(t＞1)，|AB|＝eq \f(16,3)，则t＝________.
(2)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
角度2 与抛物线有关的最值问题
例3 (1)若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为________.
(2)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为________.
感悟提升 与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.
转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
题型三 抛物线的综合问题
例4 已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为eq \f(3,2)的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求直线l的方程；
(2)若eq \(AP,\s\up6(→))＝3eq \(PB,\s\up6(→))，求|AB|.
感悟提升 1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.
提醒 涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.
题型四 抛物线中的二级结论
抛物线焦点弦的有关性质是高中数学的重要部分，了解和掌握相关结论，在解题时可迅速打开思路，抛物线焦点弦的常见结论如下：
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1·x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2；
(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝eq \f(p,1－cs α)，|BF|＝eq \f(p,1＋cs α)，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)；
(3)eq \f(1,|FA|)＋eq \f(1,|FB|)＝eq \f(2,p)；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；
(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
例1 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )
A.4 B.eq \f(9,2)
C.5 D.6
例2 (2023·福州联考)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F且倾斜角为eq \f(π,3)的直线交C于A，B两点，线段AB中点的纵坐标为eq \r(3)，则|AB|＝( )
A.eq \f(8,3) B.4
C.8 D.24
训练 (1)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A.eq \f(3\r(3),4) B.eq \f(9\r(3),8)
C.eq \f(63,32) D.eq \f(9,4)
(2)(2023·广州模拟)已知抛物线C1：y2＝4x，圆C2：(x－2)2＋y2＝2，直线l：y＝k(x－1)与C1交于A，B两点，与C2交于M，N两点，若|AB|＝8，则|MN|＝________________.
课时训练
一、单选题
1．已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，则（ ）
A．4B．C．8D．
2．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，是抛物线上的点，且轴，若以为直径的圆截直线所得的弦长为2，则
A．2B．C．4D．
3．设斜率为1的直线过抛物线的焦点，且和轴交于点，若（为坐标原点）的面积为2，则（ ）．
A．4B．8C．D．
4．直线：与抛物线：交于不同两点、，是的焦点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知抛物线：的焦点为，点为上一点，若，则的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
6．已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线分别交于、两点(点在第一象限)，且则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．已知抛物线的焦点为、准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则（ ）
A．若，则
B．以为直径的圆与准线相切
C．为定值
D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有条
8．（多选）已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于点，，点，在上的射影为，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．以为直径的圆与准线相切
C．若，则D．
三、填空题
9．抛物线的焦点到准线的距离为______.
10．已知抛物线：的焦点为，过且垂直于轴的直线与交于､两点，则以线段为直径的圆被轴所截得的弦长为___________.
11．已知抛物线的焦点为F，圆为抛物线上一点，且，过M作圆F的两条切线，切点分别为A，B，则的取值范围为____________．
12．已知抛物线与点，过的焦点，且斜率为的直线与交于A，B两点，若，则___________．
四、解答题
13．已知抛物线上的一点M的纵坐标为1，求点M到焦点的距离.
14．如图，已知定点轴于点， 是线段上任意一点，轴于点， 于点， 相交于点P，求P点的轨迹方程.
15．已知抛物线的方程为x2＝8y，F是焦点，点A(－2,4)．在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|PA|的值最小．
16．如图，曲线G的方程为，.以原点为圆心，以t（t >0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线AB与x轴相交于点C.
（Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；
（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证：直线CD的斜率为定值.
图形
标准方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2px(p>0)

p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性质
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0

焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))

Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线方程
x＝eq \f(p,2)

范围
x≤0，y∈R
开口方向
向左