新高考数学圆锥曲线62种题型第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系（教师版）

这是一份新高考数学圆锥曲线62种题型第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系（教师版），共18页。试卷主要包含了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系等内容，欢迎下载使用。
1.直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x－a）2＋（y－b）2＝r2，,Ax＋By＋C＝0，))消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
2.圆与圆的位置关系
已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝req \\al(2,1)，
C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝req \\al(2,2)，
则圆心距d＝|C1C2|＝eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).
则两圆C1，C2有以下位置关系：
[常用结论]
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2.直线被圆截得的弦长的求法
(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2eq \r(r2－d2).
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(（xM＋xN）2－4xM·xN).
题型归类
题型一 直线与圆的位置关系
例1 (1)已知直线l：xcs α＋ysin α＝1(α∈R)与圆C：x2＋y2＝r2(r＞0)相交，则r的取值范围是( )
A.0＜r≤1 B.0＜r＜1
C.r≥1 D.r＞1
答案 D
解析 圆心到直线的距离为d＝eq \f(1,\r(cs2α＋sin2α))＝1，故r＞1.
(2)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A.相切 B.相交
C.相离 D.不确定
答案 B
解析 因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，
所以a2＋b2＞1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离
d＝eq \f(|a·0＋b·0－1|,\r(a2＋b2))＝eq \f(1,\r(a2＋b2))＜1.
所以直线与圆相交.
感悟提升 判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系.
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.
题型二 圆的弦长、切线问题
角度1 弦长问题
例2 (1)已知直线x－eq \r(3)y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B两点.若|AB|＝6，则r的值为__________.
答案 5
解析 由题意知圆心为O(0，0)，圆心到直线的距离d＝eq \f(|0－\r(3)×0＋8|,\r(1＋3))＝4.
取AB的中点M，连接OM(图略)，则OM⊥AB.
在Rt△OMA中，r＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|AB|,2)))\s\up12(2)＋d2)＝5.
(2)已知圆C的圆心为直线x＋y＝0与x－y＋2＝0的交点，半径为eq \r(2－m)，且圆C截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数m＝________.
答案 －4
解析 联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,x－y＋2＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝1，))
∴圆C的圆心坐标为(－1，1).
圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离d＝eq \f(|－1＋1＋2|,\r(2))＝eq \r(2)，
且圆C的半径r＝eq \r(2－m)，圆C截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4.
由4＝2eq \r(（\r(2－m)）2－（\r(2)）2)，解得m＝－4.
感悟提升 弦长的两种求法
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立得到方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，得到根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2eq \r(r2－d2).
角度2 切线问题
例3 (1)过点P(2，4)引圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为______________________________.
答案 x＝2或4x－3y＋4＝0
解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－2)，
即kx－y＋4－2k＝0，
∵直线与圆相切，
∴圆心到直线的距离等于半径，
即d＝eq \f(|k－1＋4－2k|,\r(k2＋（－1）2))＝eq \f(|3－k|,\r(k2＋1))＝1，
解得k＝eq \f(4,3)，
∴所求切线方程为4x－3y＋4＝0.
综上，切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.
(2)(2023·衡水模拟)已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－1，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于________.
答案 4
解析 已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：
x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，
又圆心C(3，1)，半径r＝3，
所以直线l过圆心C(3，1)，
故3＋a－1＝0，即a＝－2，
所以点A(－1，－2)，
|AC|＝eq \r(（3＋1）2＋（1＋2）2)＝5，
|AB|＝eq \r(52－32)＝4.
感悟提升 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.
角度3 最值(范围)问题
例4 已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，点A是直线x－y＋2＝0上的一个动点，直线AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ的长的取值范围为________.
答案 [2eq \r(2)，4)
解析 由圆的方程知圆心C(2，0)，半径r＝2.连接AC，PC，QC(图略).
设|AC|＝x，则x≥eq \f(|2－0＋2|,\r(2))＝2eq \r(2).
∵AP，AQ为圆C的切线，
∴CP⊥AP，CQ⊥AQ，
∴|AP|＝|AQ|＝eq \r(|AC|2－r2)＝eq \r(x2－4).
∵AC是PQ的垂直平分线，
∴|PQ|＝2×eq \f(|AP|·|PC|,|AC|)＝eq \f(4\r(x2－4),x)＝4eq \r(1－\f(4,x2)).
∵x≥2eq \r(2)，∴eq \f(1,2)≤1－eq \f(4,x2)＜1，
∴2eq \r(2)≤|PQ|＜4，
即线段PQ的长的取值范围为[2eq \r(2)，4).
感悟提升 涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果.
题型三 圆与圆的位置关系
例5 已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.
(1)求证：圆C1和圆C2相交；
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
(1)证明 ∵C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11，
圆心C1(1，3)，半径r1＝eq \r(11)；
C2：(x－5)2＋(y－6)2＝16，
圆心C2(5，6)，半径r2＝4.
∴|C1C2|＝eq \r(（5－1）2＋（6－3）2)＝5，
∵4－eq \r(11)＜|C1C2|＝5＜4＋eq \r(11)，
∴圆C1和圆C2相交.
(2)解 将两圆方程相减，
得公共弦所在直线方程是4x＋3y－23＝0.
圆心C2(5，6)到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝eq \f(|20＋18－23|,5)＝3，
由此可得公共弦的长l＝2eq \r(req \\al(2,2)－d2)＝2eq \r(16－9)＝2eq \r(7).
感悟提升 1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.
2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.
题型四 阿波罗尼斯圆问题
若点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|，则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ＞0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，此圆称之为阿波罗尼斯圆.
例6 (1)已知点M与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离之比为eq \f(1,2)，求点M的轨迹方程.
解 如图所示，
设动点M(x，y)，连接MO，MA，
有|MA|＝2|MO|，
即eq \r(（x－3）2＋y2)＝2eq \r(x2＋y2)，
化简得x2＋y2＋2x－3＝0，即(x＋1)2＋y2＝4①，
则方程①即为所求点M的轨迹方程，它表示以C(－1，0)为圆心，2为半径的圆.
(2)在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上.若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围.
解 点C在直线l：y＝2x－4上，
故设C的坐标为(a，2a－4).
因为半径r1＝1，
所以圆C的方程是(x－a)2＋[y－(2a－4)]2＝1.
设点M(x，y)，则由|MA|＝2|MO|可得点M的轨迹正是阿波罗尼斯圆D，
即eq \r(x2＋（y－3）2)＝2eq \r(x2＋y2)，
化简整理得x2＋(y＋1)2＝4.
所以点M(x，y)在以D(0，－1)为圆心，r2＝2为半径的圆上.
又点M(x，y)在圆C上，所以两圆有公共点的条件是|r1－r2|≤|DC|≤|r1＋r2|，
即1≤5a2－12a＋9≤9，解得0≤a≤eq \f(12,5).
即a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(12,5))).
训练 (1)已知平面直角坐标系中，A(－2，0)，B(2，0)，则满足|PA|＝2|PB|的点P的轨迹的圆心坐标为________.
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)，0))
解析 设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，
得eq \r(（x＋2）2＋y2)＝2eq \r(（x－2）2＋y2)，
整理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(10,3)))eq \s\up12(2)＋y2＝eq \f(64,9)，
所以点P的轨迹的圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)，0)).
(2)(2023·盐城质检)已知圆O：x2＋y2＝1和点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))，若定点B(b，0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b≠－\f(1,2)))和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则λ＝________，△MAB面积的最大值为________.
答案 2 eq \f(3,4)
解析 设点M(x，y)，由|MB|＝λ|MA|，
得(x－b)2＋y2＝λ2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))\s\up12(2)＋y2))，
整理得x2＋y2－eq \f(2b＋λ2,1－λ2)x＋eq \f(b2－\f(1,4)λ2,1－λ2)＝0，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2b＋λ2,1－λ2)＝0，,\f(b2－\f(1,4)λ2,1－λ2)＝－1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝2，,b＝－2.))
如图所示，S△MAB＝eq \f(1,2)|AB|·|yM|，
由图可知，当|yM|＝1，
即M的坐标为(0，1)或(0，－1)时，S△MAB取得最大值，
故△MAB的面积的最大值为eq \f(1,2)×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－（－2）))×1＝eq \f(3,4).
课时训练
一、单选题
1．已知圆：与圆：，则两圆的位置关系是
A．相交B．相离C．内切D．外切
【答案】C
【详解】分析：求出圆心的距离，与半径的和差的绝对值比较得出结论．
详解：圆，圆,，所以内切．故选C
点睛：两圆的位置关系判断如下：设圆心距为，半径分别为，则：
，内含；，内切；，相交；，外切；，外离．
2．直线截圆所得的线段长为（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】C
【分析】先算出圆心到直线的距离，进而根据勾股定理求得答案.
【详解】圆，即圆心.圆心C到直线的距离，则直线截圆所得线段长为：.
故选：C.
3．已知直线过点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可知点在单位圆上，所以直线与该圆有交点，由点到直线的距离可得答案.
【详解】由可得点在单位圆上，
所以直线和圆有公共点.
所以圆心到直线的距离，即得到.
故选：D
4．以圆C1：与圆C2：的公共弦为直径的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】首先确定两圆位置关系，再应用作差法求公共弦方程，结合C1C2的方程求公共弦中点，最后利用弦心距、半径与弦长关系求所求圆的半径，即可得方程.
【详解】圆C1：的圆心坐标为(−2,0)，半径为，
圆C2：的圆心坐标为(−1,−1)，半径为1，
所以，
∴两圆相减可得公共弦方程为l：，
∴C1C2的方程为，
∴联立得：公共弦为直径的圆心坐标为(−1,−1)，
∵(−2,0)到公共弦的距离为，
∴公共弦为直径的圆的半径为1，
∴公共弦为直径的圆的方程为.
故选：C
5．设直线与圆交于，两点，若圆的圆心在线段上，且圆与圆相切，切点在圆的劣弧上，则圆的半径的最大值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据给定条件可得圆与圆内切，再借助两圆内切圆心距等于两圆半径差的绝对值列式，然后分析计算作答.
【详解】圆的圆心为原点，半径，依题意，圆的圆心在圆内，设半径为，如图，
因圆与圆内切，则，即，而点在线段AB上，
过O作于P，则，显然，当且仅当点与点P重合时取“=”，
于是得，
所以圆的半径的最大值是2.
故选：B
6．已知圆的弦的中点，点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用点差法求出所在直线斜率，得出直线的方程，与圆联立并写出韦达定理和，即可求出面积.
【详解】由题知：设，
又因为：
即：
有：①，②，
则①—②得:
因为弦的中点，则，，
整理得：，得
所以方程：，即.
联立：得
所以，
所以:
故选:B.
【点睛】本题主要考查利用圆的中点弦求三角形面积，其中运用到圆的方程，圆心和半径点差法，求弦所在直线的斜率，同时结合韦达定理化简求值。
二、多选题
7．已知，圆，，则（ ）
A．两圆可能外离B．两圆可能相交
C．两圆可能内切D．两圆可能内含
【答案】ABC
【分析】根据圆心距与半径之和，半径之差之间的关系，结合已知条件，即可分析判断.
【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径；
则，，
当时，，两圆外离；
当时，，两圆相交；
当时，，两圆内切；
当时，，两圆外切；
综上所述，两圆可以外离，可以内切，可以相交，不能内含.
故选：ABC.
8．已知圆，点是圆上的动点，则下列说法正确的有（ ）
A．圆关于直线对称B．直线与的相交弦长为
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】ABD
【分析】求出圆心坐标，得圆心过已知直线判断A，由勾股定理求得弦长判断B，把看作直线，由圆心到直线的距离不大于半径得的范围判断C，求出圆心到原点的距离后可得到原点距离的最大值，从而得的最大值，判断D．
【详解】圆标准方程是，圆心为，半径为，
由于，即直线过圆心，A正确；
圆心到直线的距离为，弦长为，B正确；
，即，由，解得，C错；
由，，所以，D正确．
故选：ABD．
三、填空题
9．已知直线被圆截得的弦长为2，则____
【答案】
【分析】由题意，利用点到直线的距离公式求得弦心距，根据弦长公式，可得答案.
【详解】由圆的方程，则其圆心为，
圆心到直线的距离，弦长的一半为1，，
故答案为：
10．已知圆：与圆：有四条公共切线，则实数的取值可能是___________.（填序号）
①；②；③；④.
【答案】①④/④①
【分析】两圆有四条公共切线可知两圆相离，然后两圆心的距离与半径之和作比较计算即可.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
因为两圆有四条公切线，所以两圆外离，
又两圆圆心距，即，解得或，
故答案为：①④.
11．已知点和圆：，从点发出的一束光线经过轴反射到圆周的最短路程________．
【答案】8
【详解】由题意，圆的圆心坐标为，圆的半径为2，点关于轴对称的点的坐标为，由反射定律得点关于轴对称的点在反射光线的延长线上，当反射光线过圆心时，路程最短
∵
∴从点发出的一束光线经过轴反射到圆周的最短路程是
故答案为8
12．设圆C：(x－3)2＋(y－5)2＝5，过圆心C作直线l交圆于A，B两点，交y轴于点P，若A恰好为线段BP的中点，则直线l的方程为________．
【答案】或
【详解】如图，
A为PB的中点，而C为AB的中点，因此，C为PB的四等分点．而C(3,5)，P点的横坐标为0，因此，A，B的横坐标分别为2、4，将A的横坐标代入圆的方程中，可得A(2,3)或A(2,7)，根据直线的两点式得到直线l的方程为2x－y－1＝0或2x＋y－11＝0.
四、解答题
13．当k为何值时，直线与圆：
(1)相交？
(2)相切？
(3)相离？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】由点线距离公式可得圆心到直线l的距离，讨论、、分别求相交、相切、相离情况下的k的范围即可.
【详解】（1）由题意，圆心到直线l的距离．
当，即时，移项平方可得，解得，
此时直线与圆相交．
（2）当，即时，移项平方可得，解得，
此时直线与圆相切．
（3）当，即时，移项平方可得，解得，
此时直线与圆相离．
14．已知圆：，点A是圆上一动点，点，点是线段的中点.
(1)求点的轨迹方程；
(2)直线过点且与点的轨迹交于A，两点，若，求直线的方程.
【答案】(1)；
(2)x＝1或y＝1.
【分析】(1)设线段中点为，点，用x，y表示，代入方程即可；
(2)分l斜率存在和不存在进行讨论，根据弦长求出l方程.
(1)
设线段中点为，点，
，，
，，
，
即点C的轨迹方程为.
(2)
直线l的斜率不存在时，l为x＝1，
代入得，则弦长满足题意；
直线l斜率存在时，设直线l斜率为k，其方程为，即，
圆的圆心到l的距离，
则；
综上，l为x＝1或y＝1.
15．已知椭圆为其左右焦点，为其上下顶点，四边形的面积为.点为椭圆上任意一点，以为圆心的圆（记为圆）总经过坐标原点.
（1）求椭圆的长轴的最小值，并确定此时椭圆的方程；
（2）对于（1）中确定的椭圆，若给定圆，则圆和圆的公共弦的长是否为定值？如果是，求的值；如果不是，请说明理由.
【答案】（1）长轴的最小值为，此时椭圆的方程为；（2）2.
【分析】（1）利用四边形的面积求得，利用基本不等式求得的最小值，同时求得椭圆的方程.（2）设出点坐标，代入椭圆方程，得到点两个坐标的关系式.求得圆的方程和圆的方程，两者作差求得公共弦所在直线方程，求得圆心到公共弦的距离，由此求得弦长为定值.
【详解】解：（1）依题意四边形的面积为
因为长轴当且仅当时取“”
此时
故长轴的最小值为，此时椭圆的方程为
（2）设点为椭圆上任意一点，则.
圆的方程为： ，
圆的方程为： ，
两式作差得公共弦方程为：，
所以弦心距
则弦长，所以圆和动圆的公共弦长为定值.
【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查基本不等式，考查圆与圆相交所得弦长的求法，考查化归与转化的数学思想方法，运算量较大，属于中档题.
16．（1）已知圆的方程为，求过点且与圆相切的直线的方程；
（2）过点作一直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线的方程.
【答案】（1）或；（2）或
【分析】（1）设出直线点斜式，结合点到直线距离公式求解；
（2）设出直线的截距式，分别令求，令求，结合三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）当直线斜率不存在时，，显然和圆相切，当直线斜率存在时，设直线方程为，由直线与圆相切可得，，解得，故直线方程为：，化简得，故直线方程为：或；
（2）由题知直线斜率显然存在，设过点的直线为：，当时，，当时，，故，化简得，即或，去分母化简得或，解得或，所以直线方程为：或.
位置关系
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ0
几何观点
d>r
d＝r
dr1＋r2
d