2020-2023年高考数学专题分类专题四 导数及其应用（教师版）

这是一份2020-2023年高考数学专题分类专题四 导数及其应用（教师版），共21页。

【2023年真题】
1. （2023·新高考 = 2 \* ROMAN II卷 第6题） 已知函数在区间单调递增，则a的最小值为（ ）
A. B. eC. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.
由题意，对恒成立，构造函数，利用其单调性，即可求解.
【解答】
解：由题意，对恒成立，
，由于在单调递减，
，
故答案选：
2.（2023·新课标I卷 第11题）（多选） 已知函数的定义域为R，，则（ ）
A. B.
C. 是偶函数D. 为的极小值点
【答案】ABC
【解析】
【分析】
本题主要考查抽象函数的奇偶性、函数的极值点，属中档题.
通过赋值法，可判断ABC选项.对于D选项可设常函数 ，进行排除.
【解答】
解：选项A，令，则，则，故A正确;
选项B，令，则，则，故B正确;
选项C，令，则，则，
再令，则，即，故C正确;
选项D，不妨设为常函数，且满足原题，
而常函数没有极值点，故D错误.
故选：
3.（2023·新课标 = 2 \* ROMAN II卷 第11题）（多选）若函数既有极大值也有极小值，则( )
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】
本题考查函数的极值问题，属中档题.通过求导，问题可转化成有两个不相等的正根，通过根的分布可判断选项.
【解答】
解：因为，所以定义域为，
得，由题意知有两个不相等的正解
则，易得
故选
4. （2023·新课标I卷 第19题） 已知函数
讨论的单调性；
证明：当时，
【答案】解：，
当时，在单调递减，
当时，，在单调递减，
当时，令，，时，，单调递减.
时，单调递增，
故当时在单调递减，
当时，在区间单调递减，在区间单调递增.
由知当时，在区间单调递减，
在区间单调递增.故，
令，
，令，
因为，故，
在区间单调递减，在区间单调递增，
，即恒成立，
即，即当时，
【解析】本题考查了函数的求导，利用导数分析函数的单调性，根据函数的极值、最值证明不等式，属于中等难度.
先对函数求导后，得到，根据得出分、、进行讨论，得出时在单调递减时求出函数零点，再依据导函数正负判断函数单调性.
要证时，结合讨论结果知的单调性，得到在处取得最小值，只需证明即可.
构造，只需证明，进一步利用导数得出在区间单调递减，在区间单调递增，求出最小值，发现，即证恒大于0，
即证当时，
5.（2023·新高考 = 2 \* ROMAN II卷 第22题）证明：当时，；
已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围.
【答案】证明：构造函数，
则，
令，
则，
所以在上单调递增，则，
所以在上单调递增，所以，即；
构造函数，则，
所以在上单调递增，则，即，
综上，当时，；
解：由，得函数的定义域为
又，所以是偶函数，所以只需考虑区间
，
令，则，
其中，
①若，记时，易知存在，使得时，，在上递增，，
在上递增，这与是的极大值点矛盾，舍去.
②若，记或时，存在，使得时，，在上递减，
注意到，当时，当时，，
满足是的极大值点，符合题意.
③若，即时，由为偶函数，只需考虑的情形.
此时，时，
，在上递增，
这与是的极大值点矛盾，舍去.
综上：a的取值范围为
【解析】本题考查利用导数证明不等式，利用导数研究函数的极值，属于压轴题.
构造函数，，利用导数研究函数的单调性，即可证明；
由题意知是上的偶函数，求导，利用极大值点的特征分类讨论，求得参数的取值范围.
【2022年真题】
6.（2022·新高考I卷 第7题）设，，，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了利用导数比较大小，关键是构造合适的函数，考查了运算能力，属于较难题.
先构造函数利用导数研究单调性比较a，b，再构造函数利用导数研究单调性比较a，c即可.
【解答】
解：，，，
①，
令
则，
故在上单调递减，
可得，即，所以；
②，
令
则，
令，所以，
所以在上单调递增，可得，即，
所以在上单调递增，可得，即，所以
故
7.（2022·新高考I卷 第10题）（多选）已知函数，则( )
A. 有两个极值点B. 有三个零点
C. 点是曲线的对称中心D. 直线是曲线的切线
【答案】AC
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究函数的极值与零点以及曲线上一点的切线问题，函数的对称性，考查了运算能力以及数形结合思想，属于中档题.
【解答】
解：，令得：，
或；，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以有两个极值点为极大值点，为极小值点，故A正确;
又，，
所以仅有1个零点如图所示，故B错;
又，所以关于对称，故C正确;
对于D选项，设切点，在P处的切线为，
即，
若是其切线，则，方程组无解，所以D错.
8.（2022·新高考I卷 第15题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查过曲线外一点的切线问题，属于中档题.先求导得到，设出切点，将问题转化为方程在上有两个不相等的实数根问题，化简即可求解.
【解答】
解：，设切点为，
故，
即
由题意可得，方程在上有两个不相等的实数根.
化简得，，，解得或，显然此时0不是根，故满足题意.
9.（2022·新高考II卷 第15题）曲线经过坐标原点的两条切线方程分别为__________，__________.
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数切线问题，设切点坐标，表示出切线方程，带入坐标原点，求出切点的横坐标，即可求出切线方程，为一般题.
【解答】
解：当时，点上的切线为
若该切线经过原点，则，解得，
此的切线方程为
当时，点上的切线为
若该切线经过原点，则，解得，
此时切线方程为
10.（2022·新高考I卷 第22题）已知函数和有相同的最小值.
求；
证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
【答案】
解：由题知，，
①当时，，，，则两函数均无最小值，不符题意;
②当时，在单调递减，在单调递增；
在单调递减，在单调递增；
故，，
所以，即，
令，则，
则在单调递增，又，所以
由知，，，
且在上单调递减，在上单调递增；
在上单调递减，在上单调递增，且
①时，此时，显然与两条曲线和
共有0个交点，不符合题意；
②时，此时，
故与两条曲线和共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1；
③时，首先，证明与曲线有2个交点，
即证明有2个零点，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，，，
令，则，
所以在上存在且只存在1个零点，设为，在上存在且只存在1个零点，设为
其次，证明与曲线和有2个交点，
即证明有2个零点，，
所以上单调递减，在上单调递增，
又因为，，，
令，则，
所以在上存在且只存在1个零点，设为，在上存在且只存在1个零点，设为
再次，证明存在b，使得
因为，所以，
若，则，即，
所以只需证明在上有解即可，
即在上有零点，
因为，，
所以在上存在零点，取一零点为，令即可，
此时取
则此时存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，
最后证明，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，
因为
所以，
又因为在上单调递减，，即，所以，
同理，因为，
又因为在上单调递增，即，，所以，
又因为，所以，
即直线与两条曲线和从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

【解析】本题主要考查了利用导数研究函数单调性、最值，函数零点问题，考查了分类讨论思想，属于难题.
11.（2022·新高考II卷 第22题）已知函数
当时，讨论的单调性;
当时，，求实数a的取值范围;
设，证明：
【答案】
解：
当时，，单调递减;
当时，，单调递增.
令对恒成立
又
令，则
①若，即，
所以使得当时，有单调递增，矛盾
②若，即时，
在上单调递减，
，符合题意.
综上所述，实数a的取值范围是
求导易得
令
即，证毕.
【解析】本题考查了利用导数判断或证明已知函数的单调性和利用导数解证明不等式，属于难题.
【2021年真题】
12.（2021·新高考I卷 第7题）若过点可以作曲线的两条切线，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查曲线的切线问题，利用导数的几何意义列式，构造新的函数保证其有两解，即可得出结论.
【解答】
解：设切点为根据两点之间斜率和导数的几何意义，
易知，整理得：有两解，
令，
，易知最大值为
即，
解得，
又因为当x趋近正无穷时，
当x趋近负无穷时，趋近，则
综上，
故选
13.（2021·新高考I卷 第15题）函数的最小值为__________.
【答案】1
【解析】
【分析】
本题考查分段函数最值问题，对原函数进行分段讨论，利用导数判断函数单调性，比较两段定义域内最小值的大小，即可求解.
【解答】
解：已知函数，易知函数定义域为，
① ：当时，，
所以，在单调递减，
② 当时，，所以，
所以在单调递减，在单调递增，
又因为，所以最小值为
故答案为
14.（2021·新高考II卷 第16题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查学生利用导数研究函数的能力，考查了直线的方程和斜率以及两点距离问题，属于拔高题.
结合导数的几何意义可得，结合直线斜率及两点间距离公式可得，，化简即可得解.
【解答】
解：由题意，，则，
所以点和点，，
所以，
所以，
所以，
同理，
所以
故答案为：
15.（2021·新高考I卷 第22题）已知函数
讨论的单调性.
设a，b为两个不相等的正数，且，证明：
【答案】
解：的定义域为 ，
，
由解得，
由解得，
在上单调递增，在上单调递减；
证明：由可得，
整理得：，即，
不妨设，且，
即，即证明，
由在上单调递增，在上单调递减，且，
可得，
先证明，
令，，
，
在上单调递增，
又，
，
，即，
由可知在上单调递减，
，即；
下面再证明，
不妨设 则，由可得
，化简 ，
要证，即证，即证，
即证，即证，
设，，
，
令，，
，
，
在上单调递减，
，
，
在上单调递减，
，即，
，
故
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，及利用导数证明不等式，属于拔高题.
求导，解不等式，即可判断的单调性；
先对左右两边同除以ab，化简可得，不妨设，且，，要证，即证，先证明，即证，即证，构造函数，即证明，利用导数即可证明；
再证明，不妨设 则，由可得，即证，即证，构造，可得单调递减，即可证得
16.（2021·新高考II卷 第22题）已知函数
讨论的单调性；
从下面两个条件中选一个，证明：有一个零点.
①；
②
【答案】
解：由函数的解析式可得：，
当时，若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，在R上单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
若选择条件①：
由于，故，则，
又，
由可知函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.
，
由于，故，
结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.
综上可得，有一个零点.
若选择条件②：
由于，故，则，
当时，，，
而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.
当时，构造函数，则，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
注意到，故恒成立，从而有：，此时：
，
当时，，
取，则，
即：，
而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.
，
由于，，故，
结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.
综上可得，有一个零点.
【解析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及零点问题，属于拔高题.
首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；
由题意结合中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.
【2020年真题】
17.（2020·新高考I卷 第21题、II卷 第22题）已知函数
当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
若，求a的取值范围.
【答案】
解：当，，
，
所以切线方程为：，
即，
所以切线在y轴上的截距为，在x轴上的截距为，
所以三角形的面积
，
要使，只需，
即，
即，
令，，单调递增，
故只需，
因为为增函数，
只需证，
即，
设，
，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，
所以，，
即a的取值范围为
【解析】本题考查导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性问题，属于较难题.
根据导数的几何意义进行计算即可.
把条件进行等价转化，利用导数研究函数的单调性、最值，再根据函数的单调性得不等式，求解即可.
真题卷
题号
考点
考向
2023新课标1卷
11
函数的极值
极值点的定义
19
导数的应用
利用导数研究函数单调性、利用导数研究不等式证明问题
2023新课标2卷
6
导数的应用
利用导数研究函数单调性
11
导数的应用
利用导数研究极值问题
22
导数的应用
利用导数研究不等式证明问题、已知极值点求参
2022新高考1卷
7
比较大小
利用导数比较大小
10
三次函数
极值点、零点问题、函数的对称性、导数的几何意义
15
导数的几何意义
已知切线条数求参数的取值范围
22
导数的应用
利用导数求函数的最值、利用导数研究零点问题
2022新高考2卷
14
导数的几何意义
求切线方程
22
导数的应用
利用导数研究函数单调性、利用导数研究恒成立问题与不等式证明问题
2021新高考1卷
7
导数的几何意义
已知切线条数求参数的取值范围
15
函数的最值
利用导数求函数的最值
22
导数的应用
利用导数研究函数单调性、利用导数研究不等式
2021新高考2卷
16
导数的几何意义
已知切线位置关系求参数的取值范围
22
导数的应用
利用导数研究函数单调性、利用导数研究不等式
2020新高考1卷
21
导数的几何意义、导数的应用
求函数的切线方程、利用导数研究恒成立问题
2020新高考2卷
22
导数的几何意义、导数的应用
求函数的切线方程、利用导数研究恒成立问题