新高考数学满分训练必做题 专题3.1 导数的计算与几何意义（基础+提升2000题476~572）

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2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
专题3.1 导数的计算与几何意义
考点3.1.1 导数的计算
【476】．（2022·全国·高考真题·★★）
当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．
【详解】
因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
【477】．（2011·江西·高考真题·★★★）
若,则的解集为
A．(0,)B．(-1,0)(2,)
C．(2,)D．(-1,0)
【答案】C
【解析】
【详解】
【478】．（2020·全国·高考真题·★★★）
设函数．若，则a=_________．
【答案】1
【解析】
【分析】
由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值
【详解】
由函数的解析式可得：，
则：，据此可得：，
整理可得：，解得：.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.
【479】．（2018·天津·高考真题·★★★）
已知函数f(x)=exlnx，为f(x)的导函数，则的值为__________．
【答案】e
【解析】
【分析】
首先求导函数，然后结合导函数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】
由函数的解析式可得：，
则，
即的值为e，故答案为.
点睛：本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
【480】．（2016·天津·高考真题·★★）
已知函数为的导函数，则的值为__________.
【答案】3
【解析】
【详解】
试题分析：
【考点】导数
【名师点睛】求函数的导数的方法：
（1）连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导；
（2）根式形式：先化为分数指数幂，再求导；
（3）复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导；
（4）复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导；
（5）不能直接求导：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导．
【481】．（2013·江西·高考真题·★★★）
设函数f (x)在(0,＋∞)内可导，且f (ex)＝x＋ex，则＝__________．
【答案】
【解析】
【详解】
试题分析：令，，所以，，，所以答案应填：．
考点：导数的运算．
【482】．（2015·天津·高考真题·★★★）
已知函数，其中为实数，为的导函数，若，则的值为_________．
【答案】3
【解析】
【详解】
试题分析：，所以．
考点：导数的运算．
【名师点睛】(1)在解答过程中常见的错误有：
①商的求导中，符号判定错误．
②不能正确运用求导公式和求导法则．
(2)求函数的导数应注意：
①求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量．
②根式形式，先化为分数指数幂，再求导．
③复合函数求导先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理．
【483】．（2022·全国·河源市河源中学模拟预测·★★★★）
已知实数x满足，，，那么的值为( )
A．0B．1C．2D．
【答案】C
【解析】
【分析】
已知等式两边同时乘以x，观察发现由条件可得，，从而可得，结合可求出，从而得出的解析式，得出答案．
【详解】
由两边同时乘x可得：
，
又，
因此．
由，即，可得，
∴，
∴．
故选：C﹒
【484】．（2022·全国·河源市河源中学模拟预测·★★★）
函数在点处的切线的斜率为，那么a=（ ）
A．0B．1C．eD．
【答案】C
【解析】
【分析】
对函数求导，利用即可求解.
【详解】
由函数的求导法则，该函数的导数为，，而切线的斜率为，因此2e+1=2a+1，则a=e.
故选：C
【485】．（2022·浙江·湖州市菱湖中学模拟预测·★★）
已知函数，若，则a=__________.
【答案】－1或##或-1
【解析】
【分析】
首先求函数的导数，在讨论的取值，分段求自变量.
【详解】
，
当时，，解得：或（舍）；
当时，，得,
所以或.
故答案为：或
【486】．（2022·安徽安庆·二模·★★★）
若函数在内单调递增，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出函数的导数，由给定条件可得恒成立，再分类讨论作答.
【详解】
因函数在内单调递增，则，，
即，整理得，
当时，则成立，，
当时，，而，
当且仅当，即时取“=”，则有，
当时，，而，
当且仅当，即时取“=”，则有，
综上得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题.
【487】．（2022·陕西·西安中学模拟预测·★★★）
已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A．1B．C．-1D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求得，令，即可求得结果.
【详解】
因为，所以，
所以，解得．
故选：.
【488】．（2022·福建省福州格致中学模拟预测·★★★）
已知函数，则函数___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由导数的运算法则与赋值法求解
【详解】
由题意得，且，
令，得，故
故答案为：
【489】．（2022·湖北武汉·模拟预测·★★）
已知函数，则__________.
【答案】-2
【解析】
【分析】
利用复合函数求导法则求导，求出函数，再求函数值作答.
【详解】
由函数求导得：，当时，，解得，
因此，，所以.
故答案为：-2
【490】．（2022·四川·宜宾市教科所三模·★★★★）
若曲线在点处的切线的斜率为2，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案.
【详解】
由题意可得，
故 ，
故答案为：
【491】．（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测·★★★★）
已知，且，，那么___________.
【答案】
【解析】
【分析】
在题中等式两边同乘可得，可得出，由可求得的值，进而可求得的值.
【详解】
因为，
所以，，
即，所以，，
因为，则，
所以，，解得，所以，，
因此，.
故答案为：.
【492】．（2022·贵州遵义·三模·★）
已知函数，为的导函数，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求，再代入x=e即可计算．
【详解】
∵，∴，∴．
故答案为：．
考点3.1.2 导数的几何意义
【493】．（2010·全国·高考真题·★★★）
若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则（ ）
A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1
【答案】A
【解析】
【分析】
先用导数的定义解出函数在x=0处的导数，进而结合导数的几何意义求得答案.
【详解】
由题意可知k＝，
又(0，b)在切线上，解得：b＝1.
故选：A.
【494】．（2021·全国·高考真题·★★★★）
若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】
在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.
故选：D.
【点睛】
解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
【495】．（2011·山东·高考真题·★★）
曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（ ）
A．﹣9B．﹣3C．9D．15
【答案】C
【解析】
【详解】
y′＝3x2，则y′|x＝1＝3，所以曲线在P点处的切线方程为y－12＝3(x－1)．
即y＝3x＋9，它在y轴上的截距为9.
【496】．（2020·全国·高考真题·★★
函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】
，，，，
因此，所求切线的方程为，即.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
【497】．（2019·全国·高考真题·★★★）
已知曲线在点处的切线方程为，则
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．
【详解】
详解：
，
将代入得，故选D．
【点睛】
本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．
【498】．（2016·四川·高考真题·★★★★）
设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P­2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是
A．(0,1)B．(0,2)C．(0,+∞)D．(1,+∞)
【答案】A
【解析】
【详解】
试题分析：设（不妨设），则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程分别为，切线的方程为，即．分别令得又与的交点为，故选A．
考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.
【499】．（2008·辽宁·高考真题·★★★★）
设为曲线上的点，且曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【详解】
因为,又因为曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则切线的斜率，所以,解得，故选A.
【500】．（2018·全国·高考真题·★★★）
设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【详解】
分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.
详解：因为函数是奇函数，所以，解得，
所以，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
化简可得，故选D.
点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.
【501】．（2007·海南·高考真题·★★★）
曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【详解】
因为曲线，所以切线过点（4，e2）
∴f′（x）|x=4= e2，
∴切线方程为：y-e2= e2（x-4），
令y=0，得x=2，与x轴的交点为：（2，0），
令x=0，y=-e2，与y轴的交点为：（0，-e2），
∴曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=×2×|-e2|=e2.
故选D．
【502】．（2014·陕西·高考真题·★★★）
如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【详解】
试题分析：由题目图像可知：该三次函数过原点，故可设该三次函数为，则，由题得：，，
即，解得，所以，故选A.
考点：函数的解析式.
【503】．（2013·全国·高考真题·★★）
已知曲线在点处切线的斜率为8，
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【详解】
y′=4x3+2ax
由题意知y′|x=-1=-4-2a=8,
∴a=-6.故选D.
【504】．（2008·全国·高考真题·★★）
设曲线在点处的切线与直线垂直，则
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】
【详解】
,直线的斜率为-a.所以a=-2, 故选D
【505】．（2022·全国·高考真题·★★★★）
若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
【答案】
【解析】
【分析】
设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.
【详解】
∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
【506】．（2022·全国·高考真题·★★★★）
已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
由分别是函数的极小值点和极大值点，可得时，，时，，再分和两种情况讨论，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.
【详解】
解：，
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以当时，，当时，，
若时，当时，，则此时，与前面矛盾，
故不符合题意，
若时，则方程的两个根为，
即方程的两个根为，
即函数与函数的图象有两个不同的交点，
∵,∴函数的图象是单调递减的指数函数，
又∵,∴的图象由指数函数向下关于轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的倍得到，如图所示：
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，
则切线的斜率为，
故切线方程为，
则有，解得，
则切线的斜率为，
因为函数与函数的图象有两个不同的交点，
所以，解得，
又，所以，
综上所述，的范围为.
【点睛】
本题考查了函数的极值点问题，考查了导数的几何意义，考查了转化思想及分类讨论思想，有一定的难度.
【507】．（2021·全国·高考真题·★★）
曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】
由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
【508】．（2019·江苏·高考真题·★★★★）
在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.
【答案】4.
【解析】
【分析】
将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离
【详解】
当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.
由，得，，
即切点，
则切点Q到直线的距离为，
故答案为．
【点睛】
本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.
【509】．（2019·全国·高考真题·★★）
曲线在点处的切线方程为___________．
【答案】.
【解析】
【分析】
本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程
【详解】
详解：
所以，
所以，曲线在点处的切线方程为，即．
【点睛】
准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．
【510】．（2019·天津·高考真题·★★）
曲线在点处的切线方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程．
【详解】
，
当时其值为，
故所求的切线方程为，即．
【点睛】
曲线切线方程的求法：
(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．
(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．
【511】．（2015·全国·高考真题·★★★★）
已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a=________．
【答案】8
【解析】
【详解】
试题分析：函数在处的导数为，所以切线方程为；曲线的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.
考点：导函数的运用.
【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．
【512】．（2018·全国·高考真题·★★）
曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
求导，可得斜率，进而得出切线的点斜式方程.
【详解】
由，得，
则曲线在点处的切线的斜率为，
则所求切线方程为，即.
【点睛】
求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.
【513】．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测·★★★★）
已知抛物线在处的切线过点，则该抛物线的焦点坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】
本题根据直线与抛物线的位置关系，利用导数解决直线与抛物线相切问题．
【详解】
解：由题意得：
由可得，求导可得，故切线斜率为
故切线方程为
又因为该切线过点，所以，解得
抛物线方程为，焦点坐标为．
故答案为：
【514】．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测·★★★★）
已知函数，则曲线在点处的切线恒过定点_____________.
【答案】##
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义写出切线的方程，化简直线的方程，可得出定点坐标.
【详解】
函数的定义域为，
由，得，则．
又，则曲线在点处的切线的方程为，
即，由可得，
所以直线恒过定点．
故答案为：．
【515】．（2022·广东·模拟预测·★★）
已知，则曲线在处的切线方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式求切线方程.
【详解】
因为
所以，
所以，
∴切线方程为，即．
故答案为：.
【516】．（2022·江西萍乡·三模·★★★）
若存在实数，使得函数与的图象有相同的切线，且相同切线的斜率为，则实数的最大值为_________．
【答案】.
【解析】
【分析】
分别设出两个函数与的切点为与，再分别求出导函数，由公切线的斜率求出的切点坐标进而求出切线方程，再由公切线斜率求出的切点横坐标与的关系，函数的切点即为，代入公切线中化简得，求的最大值，即可求出答案.
【详解】
设函数的切点为，函数的切点为
分别对函数进行求导，，
由相同切线的斜率为，得
故切线方程为
故函数的切点为.
把切点代入中得
令，
当时，，函数单调递增
当时，，函数单调递减
故
故实数的最大值为
故答案为：.
【517】．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理）·★★）
曲线在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求出导函数，求出切线斜率，利用点斜式可得切线方程．
【详解】
，，曲线在点（2，2）处的切线方程为，即．
故选：C.
【518】．（2022·安徽省舒城中学三模·★★★）
以下曲线与直线相切的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直线的斜率为，且经过点，利用导数的几何意义分别判断是否为选项中曲线的切线即可.
【详解】
直线的斜率为，且经过点，
选项A. 点在曲线上，但曲线在点处的切线的斜率不存在,故不正确.
选项B. 由，则，设切点为，则，则
所以切点为，显然点不再在直线上，故不正确.
选项C，曲线过点，又
当时，，所以曲线在点处的切线方程为：
所以曲线与直线相切，故正确.
选项D. 由，则，设切点为，则，则
所以切点为，显然点不在直线上，故不正确.
故选：C
【519】．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测·★★★）
函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则sin2=（ ）
A．B．±C．D．±
【答案】C
【解析】
【分析】
先求导，通过导数的几何意义得到函数在处的切线斜率，再利用同角三角函数的关系得到sin2的值．
【详解】
因为
所以
当时，，此时，
∴．
故选：C.
【520】．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测·★★★★）
已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．13
【答案】B
【解析】
【分析】
设切点为,求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切点的坐标，可得,再由乘1法结合基本不等式，即可得到所求最小值．
【详解】
设切点为 ，
的导数为，
由切线的方程可得切线的斜率为1，令，
则 ，故切点为，
代入，得，
、为正实数，
则，
当且仅当，时，取得最小值9，
故选：B
【521】．（2022·河南·模拟预测·★★★）
已知函数的图象经过坐标原点，则曲线在点处的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由曲线过原点求，根据导数的几何意义求切线方程.
【详解】
因为函数的图象经过坐标原点，
所以，所以，
所以
所以．
因为，所以．
所以所求切线方程为，
即．
故选：A.
【522】．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文）·★★★）
曲线在点处的切线方程为，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
依据题意列出关于的方程组，即可求得的值
【详解】
由切点在曲线上，得①；
由切点在切线上，得②；
对曲线求导得，∴，即③，
联立①②③，解之得
故选：A.
【523】．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测·★★★★）
函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图象观察斜率的大小以及导数的几何意义可得答案.
【详解】
从的图象可以看出，点处切线的斜率大于直线的斜率，直线的斜率大于点处切线的斜率，点处切线的斜率大于0，
根据导数的几何意义可得，即.
故选：C
【524】．（2022·河南·模拟预测·★★★★）
已知，则曲线在点处的切线方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求f(x)的导数和在x=3时的导数值，结合导数的几何意义和直线的点斜式方程即可求切线方程．
【详解】
∵，
∴，
，
∴，
∴y=f(x)在处的切线方程为：，
即．
故选：A．
【525】．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测·★★★）
函数的图象在处的切线方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
先求得，再依据导数的几何意义去求函数在处的切线方程．
【详解】
，则，又，
则切点坐标，切线斜率
则所求切线方程为，即
故答案为：
【526】．（2022·河北邯郸·二模·★★）
已知点P为曲线上的动点，O为坐标原点．当最小时，直线OP恰好与曲线相切，则实数a＝___．
【答案】
【解析】
【分析】
根据两点间距离公式，结合导数的性质和导数的几何意义进行求解即可.
【详解】
设，所以，
设，，
当时，，，所以单调递增，
当时，，，
所以单调递减，
当时，函数有最小值，即有最小值，所以，
此时直线OP的方程为，设直线与曲线相切于点，
由，显然在直线上，
则，因此有，
故答案为：
【点睛】
关键点睛：构造函数，利用导数判断所构造函数的单调性是解题的关键.
【527】．（2022·辽宁·★★★）
已知函数的图象经过坐标原点，则曲线在点处的切线方程是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据题意求出，再根据导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程.
【详解】
由题可得，所以，.因为，所以.所以所求切线方程为，即.
故答案为：.