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新高考数学满分训练必做题 专题11.2 正态分布、二项分布与超几何分布(基础+提升2000题1503~1541)
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这是一份新高考数学满分训练必做题 专题11.2 正态分布、二项分布与超几何分布(基础+提升2000题1503~1541),文件包含专题112正态分布二项分布与超几何分布原卷版docx、专题112正态分布二项分布与超几何分布解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共100页, 欢迎下载使用。
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性,更是训练书写规范,表述准确的过程。
2、查漏补缺,以“错”纠错。每过一段时间,就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程,逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练,将平时考试当作高考,严格按时完成,并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失,对学有余力的学生,可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕,可怕的是不知道问题的存在,在复习中出现的问题越多,说明你距离成功越近,及时处理问题,争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
专题11.2 正态分布、二项分布与超几何分布
【1503】.(2022·全国·高考真题·★★★★)
甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.
(1)求甲学校获得冠军的概率;
(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.
【答案】(1);
(2)分布列见解析,.
【分析】(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为,再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目,利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出;
(2)依题可知,的可能取值为,再分别计算出对应的概率,列出分布列,即可求出期望.
(1)
设甲在三个项目中获胜的事件依次记为,所以甲学校获得冠军的概率为
.
(2)
依题可知,的可能取值为,所以,
,
,
,
.
即的分布列为
期望.
【1504】.(2022·全国·高考真题·★★★★)
在某地区进行流行病学调查,随机调查了100位某种疾病患者的年龄,得到如下的样本数据的频率分布直方图:
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率;
(3)已知该地区这种疾病的患病率为,该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间,求此人患这种疾病的概率.(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率,精确到0.0001).
【答案】(1)岁;
(2);
(3).
【分析】(1)根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出;
(2)设{一人患这种疾病的年龄在区间},根据对立事件的概率公式即可解出;
(3)根据条件概率公式即可求出.
(1)
平均年龄
(岁).
(2)
设{一人患这种疾病的年龄在区间},所以
.
(3)
设“任选一人年龄位于区间[40,50)”,“从该地区中任选一人患这种疾病”,
则由已知得:
,
则由条件概率公式可得
从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间,此人患这种疾病的概率为.
【1505】.(2022·北京·高考真题·★★★)
在校运动会上,只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛,比赛成绩达到以上(含)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主,收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩,并整理得到如下数据(单位:m):
甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;
乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;
丙:9.85,9.65,9.20,9.16.
假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数,估计X的数学期望E(X);
(3)在校运动会铅球比赛中,甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大?(结论不要求证明)
【答案】(1)0.4
(2)
(3)丙
【分析】(1) 由频率估计概率即可
(2) 求解得X的分布列,即可计算出X的数学期望.
(3) 计算出各自获得最高成绩的概率,再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.
(1)
由频率估计概率可得
甲获得优秀的概率为0.4,乙获得优秀的概率为0.5,丙获得优秀的概率为0.5,
故答案为0.4
(2)
设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2,丙获得优秀为事件A3
,
,
,
.
∴X的分布列为
∴
(3)
丙夺冠概率估计值最大.
因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次,丙获得9.85的概率为,甲获得9.80的概率为,乙获得9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的,比赛次数越多,对丙越有利.
【1506】.(2021·北京·高考真题·★★★★)
在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指:先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒,则检测结果为阴性,得到每人的检测结果都为阴性,检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒,则检测结果为阳性,此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果,检测结束.
现对100人进行核酸检测,假设其中只有2人感染新冠病毒,并假设每次检测结果准确.
(I)将这100人随机分成10组,每组10人,且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组,求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数,求X的
分布列与数学期望E(X).
(II)将这100人随机分成20组,每组5人,且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数,试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
【答案】(1)①次;②分布列见解析;期望为;(2).
【分析】(1)①由题设条件还原情境,即可得解;
②求出X的取值情况,求出各情况下的概率,进而可得分布列,再由期望的公式即可得解;
(2)求出两名感染者在一组的概率,进而求出,即可得解.
【详解】(1)①对每组进行检测,需要10次;再对结果为阳性的组每个人进行检测,需要10次;
所以总检测次数为20次;
②由题意,可以取20,30,
,,
则的分布列:
所以;
(2)由题意,可以取25,30,
两名感染者在同一组的概率为,不在同一组的概率为,
则.
【1507】.(2013·山东·高考真题·★★★★)
甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.
(Ⅰ)分别求甲队以胜利的概率;
(Ⅱ)若比赛结果为求或,则胜利方得分,对方得分;若比赛结果为,则胜利方得分、对方得分.求乙队得分的分布列及数学期望.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
【详解】解法一 (Ⅰ)设甲胜局次分别为负局次分别为
(Ⅱ)根据题意乙队得分分别为
所以乙队得分的分布列为
解法二(Ⅰ)记“甲队以3:0胜利”为事件,“甲队以3:1胜利”为事件,“甲队以3:2胜利”为事件,由题意,各局比赛结果相互独立,
故,
,
所以,甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率分别是,,;
(Ⅱ)设“乙队以3:2胜利”为事件,由题意,各局比赛结果相互独立,所以
由题意,随机变量的所有可能的取值为0,1,2,3,,根据事件的互斥性得
,
,
,
故的分布列为
所以.
【考点定位】本题考查了独立事件互斥事件的识别与概率运算、离散型随机变量的分布列和期望,要注意对不同事件的合理表述,便于书写过程.服从于二项分布,可用概率公式进行运算,也可以采用罗列方式进行 ,是对运算能力的常规考查.
【1508】.(2020·北京·高考真题·★★★)
某校为举办甲、乙两项不同活动,分别设计了相应的活动方案:方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持,对学生进行简单随机抽样,获得数据如下表:
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.
(Ⅰ)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率;
(Ⅱ)从该校全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人,估计这3人中恰有2人支持方案一的概率;
(Ⅲ)将该校学生支持方案二的概率估计值记为,假设该校一年级有500名男生和300名女生,除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为,试比较与 的大小.(结论不要求证明)
【答案】(Ⅰ)该校男生支持方案一的概率为,该校女生支持方案一的概率为;
(Ⅱ),(Ⅲ)
【分析】(Ⅰ)根据频率估计概率,即得结果;
(Ⅱ)先分类,再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果;
(Ⅲ)先求,再根据频率估计概率,即得大小.
【详解】(Ⅰ)该校男生支持方案一的概率为,
该校女生支持方案一的概率为;
(Ⅱ)3人中恰有2人支持方案一分两种情况,(1)仅有两个男生支持方案一,(2)仅有一个男生支持方案一,一个女生支持方案一,
所以3人中恰有2人支持方案一概率为:;
(Ⅲ)
【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式,考查基本分析求解能力,属基础题.
【1509】.(2019·江苏·高考真题·★★★★)
在平面直角坐标系xOy中,设点集,令.从集合Mn中任取两个不同的点,用随机变量X表示它们之间的距离.
(1)当n=1时,求X的概率分布;
(2)对给定的正整数n(n≥3),求概率P(X≤n)(用n表示).
【答案】(1)见解析;
(2)
【分析】(1)由题意首先确定X可能的取值,然后利用古典概型计算公式求得相应的概率值即可确定分布列;
(2)将原问题转化为对立事件的问题求解的值,据此分类讨论①.,②.,③.,④.四种情况确定满足的所有可能的取值,然后求解相应的概率值即可确定的值.
【详解】(1)当时,的所有可能取值是.
的概率分布为,
.
(2)设和是从中取出的两个点.
因为,所以仅需考虑的情况.
①若,则,不存在的取法;
②若,则,所以当且仅当,此时或,有2种取法;
③若,则,因为当时,,所以当且仅当,此时或,有2种取法;
④若,则,所以当且仅当,此时或,有2种取法.
综上,当时,的所有可能取值是和,且
.
因此,.
【点睛】本题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识,考查逻辑思维能力和推理论证能力.
【1510】.(2019·北京·高考真题·★★★★))
改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:
(Ⅰ)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率;
(Ⅱ)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数,求X的分布列和数学期望;
(Ⅲ)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由.
【答案】(Ⅰ) ;
(Ⅱ)见解析;
(Ⅲ)见解析.
【分析】(Ⅰ)由题意利用古典概型计算公式可得满足题意的概率值;
(Ⅱ)首先确定X可能的取值,然后求得相应的概率值可得分布列,最后求解数学期望即可.
(Ⅲ)由题意结合概率的定义给出结论即可.
【详解】(Ⅰ)由题意可知,两种支付方式都是用的人数为:人,则:
该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率.
(Ⅱ)由题意可知,
仅使用A支付方法的学生中,金额不大于1000的人数占,金额大于1000的人数占,
仅使用B支付方法的学生中,金额不大于1000的人数占,金额大于1000的人数占,
且X可能的取值为0,1,2.
,,,
X的分布列为:
其数学期望:.
(Ⅲ)我们不认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.理由如下:
随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的,是不能预知的,随着试验次数的增多,频率越来越稳定于概率.
学校是一个相对消费稳定的地方,每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定,出现题中这种现象可能是发生了“小概率事件”.
【点睛】本题以支付方式相关调查来设置问题,考查概率统计在生活中的应用,考查概率的定义和分布列的应用,使学生体会到数学与现实生活息息相关.
【1511】.(2013·全国·高考真题·★★★★)
经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以x(单位:t,100≤x≤150)表示下一个销售季度内经销该农产品的数量,T表示利润.
(Ⅰ)将T表示为x的函数
(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率;
(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若x,则取x=105,且x=105的概率等于需求量落入[100,110的频率,求T的数学期望.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)0.7(Ⅲ)59400
【详解】(1)当X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000.
当X∈[130,150]时,T=500×130=65 000.
所以T=
(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.
(3)依题意可得T的分布列为
所以E(T)=45 000×0.1+53 000×0.2+61 000×0.3+65 000×0.4=
59400.
【1512】.(2014·湖北·高考真题·★★★★)
计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.
(1)求未来4年中,至多1年的年入流量超过120的概率;
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制,并有如下关系:
若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?
【答案】(1)0.9477;(2)8620, 2.
【详解】试题分析:(1)先求,,,再利用二项分布求解;(2)记水电站年总利润为(单位:万元)①安装1台发电机的情形.②安装2台发电机.③安装3台发电机,分别求出,比较大小,再确定应安装发电机台数.
(1)依题意,,
,,
由二项分布,在未来4年中至多有1年入流量找过120的概率为:
.
(2)记水电站年总利润为(单位:万元)
①安装1台发电机的情形.
由于水库年入流量总大于40,所以一台发电机运行的概率为1,
对应的年利润,.
②安装2台发电机.
当时,一台发电机运行,此时,
因此,
当时,两台发电机运行,此时,
因此.由此得的分布列如下:
所以.
③安装3台发电机.
依题意,当时,一台发电机运行,此时,
因此;
当时,两台发电机运行,此时,
此时,
当时,三台发电机运行,此时,
因此,
由此得的分布列如下:
所以.
综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.
考点:二项分布,随机变量的均值.
【1513】.(2015·四川·高考真题·★★★★)
某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐3名男生,2名女生,B中学推荐了3名男生,4名女生,两校推荐的学生一起参加集训,由于集训后队员的水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人,女生中随机抽取3人组成代表队
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.
(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X表示参赛的男生人数,求X得分布列和数学期望.
【答案】(1)A中学至少1名学生入选的概率为.
(2)X的分布列为:
X的期望为.
【分析】(1) A中至少有1名学生入选代表队的对立事件是A中没有学生入选代表队,那3名男生和3名女生都是B中的学生,计算概率后,再用1减,即是所求概率;
(2)6名队员中有3男,3女,所以选4人中,X表示参赛的男生人数,X的可能取值为1,2,3,根据超几何分布计算其概率,列分布列和求期望.
【详解】(1)由题意知,参加集训的男、女生各有6名.
参赛学生全部从B中学中抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为.
因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-
(2)根据题意得,X的可能取值为1,2,3.
P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.
所以X的分布列为
因此,X的数学期望E(X)=1×+2×+3×=2.
考点:1.古典概型;2.离散型随机变量的分布列和数学期望.
【1514】.(2013·辽宁·高考真题·★★★★)
现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.
(I)求张同学至少取到1道乙类题的概率;
(II)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.用表示张同学答对题的个数,求的分布列和数学期望.
【答案】(I) (II)见解析
【分析】(I)从10道试题中取出3个的所有可能结果数有,张同学至少取到1道乙类题的对立事件是:张同学取到的全为甲类题,代入古典概率的求解公式即可求解
(II)先判断随机变量的所有可能取值为0,1,2,3,根据题意求出随机变量的各个取值的概率,即可求解分布列及期望值
【详解】解:设事件 “张同学至少取到1道乙类题”
则张同学至少取到的全为甲类题
(A)
的所有可能取值为0,1,2,3
的分布列为
【点睛】本题主要考查了古典概型及计算公式,互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解,考查了运用概率知识解决实际问题的能力.
【1515】.(2018·天津·高考真题·★★★★)
已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.
(I)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?
(II)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;
(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.
【答案】(Ⅰ)从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.(Ⅱ)(i)答案见解析;(ii).
【详解】分析:(Ⅰ)由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.
(Ⅱ)(i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.且分布列为超几何分布,即P(X=k)=(k=0,1,2,3).据此求解分布列即可,计算相应的数学期望为.
(ii)由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A发生的概率为.
详解:(Ⅰ)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,
由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,
因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.
(Ⅱ)(i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X=k)=(k=0,1,2,3).
所以,随机变量X的分布列为
随机变量X的数学期望.
(ii)设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;
事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,
则A=B∪C,且B与C互斥,
由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),
故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=.
所以,事件A发生的概率为.
点睛:本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是:①考查对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体,考查某类个体个数X的概率分布,超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.进行分层抽样的相关计算时,常利用以下关系式巧解:(1) ;(2)总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比.
【1516】.(2016·全国·高考真题·★★★★)
某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰,机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(1)求X的分布列;
(2)若要求,确定n的最小值;
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在与之中选其一,应选用哪个?
【答案】(1)见解析.
(2)见解析.
(3)见解析.
【分析】(1)由已知得X的可能取值为16,17,18,19,20,21,22,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列;(2)由X的分布列求出P(X≤18)=,P(X≤19)=.由此能确定满足P(X≤n)≥0.5中n的最小值;(3)购买零件所用费用含两部分,一部分为购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购买的费用,分别求出n=19时,费用的期望和当n=20时,费用的期望,从而得到买19个更合适.
【详解】(1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而
;
;
;
;
;
;
.
所以的分布列为
(2)由(1)知,,故的最小值为19.
(3)购买零件所用费用含两部分,一部分为购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购买的费用.
当n=19时,费用的期望为:19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040;
当n=20时,费用的期望为:20×200+500×0.08+1000×0.04=4080.
可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值,故应选.
考点:离散型随机变量及其分布列
【1517】.(2014·全国·高考真题·★★★★)
从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下图频率分布直方图:
(I)求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差(同一组的数据用该组区间的中点值作代表);
(II)由直方图可以认为,这种产品的质量指标服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本方差.
(i)利用该正态分布,求;
(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用(i)的结果,求.
附:
若则,.
【答案】(I);(II)(i);(ii).
【详解】试题分析:(I)由频率分布直方图可估计样本特征数众数、中位数、均值、方差.若同一组的数据用该组区间的中点值作代表,则众数为最高矩形中点横坐标.中位数为面积等分为的点.均值为每个矩形中点横坐标与该矩形面积积的累加值.方差是矩形横坐标与均值差的平方的加权平均值.(II)(i)由已知得,
,故;(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,相当于100次独立重复试验,则这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数,故期望.
试题分析:(I)抽取产品的质量指标值的样本平均值和样本方差分别为
,
.
(II)(i)由(I)知,服从正态分布,从而
.
(ii)由(i)可知,一件产品的质量指标值位于区间的概率为,依题意知,所以.
【考点定位】1、频率分布直方图;2、正态分布的原则;3、二项分布的期望.
【1518】.(2008·江西·高考真题·★★★★)
某柑桔基地因冰雪灾害,使得果林严重受损,为此有关专家提出两种拯救果林的方案,每种方案都需分两年实施;若实施方案一,预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4;第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5. 若实施方案二,预计当年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5;第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6. 实施每种方案,第二年与第一年相互独立.令表示方案实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数.
(1)写出的分布列;
(2)实施哪种方案,两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大?
(3)不管哪种方案,如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量,预计可带来效益10万元;两年后柑桔产量恰好达到灾前产量,预计可带来效益15万元;柑桔产量超过灾前产量,预计可带来效益20万元;问实施哪种方案所带来的平均效益更大?
【答案】(1)具体见解析;
(2)方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大;
(3)方案一所带来的平均效益更大.
【分析】(1)根据题意得出的所有可能取值,进而列出分布列即可;
(2)根据题意分别算出两种方案两年后柑橘产量超过灾前产量的概率,进而比较大小;
(3)根据题意算出两种方案收益的期望,进而比较大小即可得到答案.
(1)的所有取值为,的所有取值为.、的分布列分别为:
(2)令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件,,,可见,方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大.
(3)令表示方案所带来的效益,则
所以,可见,方案一所带来的平均效益更大.
【1519】.(2017·全国·高考真题·★★★★)
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数,求及X的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
经计算得,,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,.
用样本平均数作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).
附:若随机变量Z服从正态分布,则,,.
【答案】(1),(2)(ⅰ)见详解;(ⅱ)需要. ,
【分析】(1)依题知一个零件的尺寸在之内的概率,可知尺寸在之外的概率为0.0026,而,进而可以求出的数学期望.
(2)(i)判断监控生产过程的方法的合理性,重点是考虑一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在之外的零件的概率是大还是小,若小即合理;
(ii)计算,剔除之外的数据,算出剩下数据的平均数,即为的估计值,剔除之外的数据,剩下数据的样本方差,即为的估计值.
【详解】(1)抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974,
从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026,
故.
因此.
的数学期望为.
(2)(i)如果生产状态正常,
一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026,
一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在之外的零件
概率只有0.0408,发生的概率很小.
因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程
可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,
可见上述监控生产过程的方法是合理的.
(ii)由,
得的估计值为,的估计值为,
由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外,
因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除之外的数据,
剩下数据的平均数为,
因此的估计值为.
,
剔除之外的数据,
剩下数据的样本方差为,
因此的估计值为.
【点睛】本题考查正态分布的实际应用以及离散型随机变量的数学期望,正态分布是一种重要的分布,尤其是正态分布的原则,审清题意,细心计算,属中档题.
【1520】.(2022·湖北·模拟预测·★★★★)
第24届冬季奥林匹克运动会,即2022年北京冬季奥运会,于2022年2月4日星期五开幕,2月20日星期日闭幕,该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情,某冰雪运动品商店对消费达一定金额的顾客开展了“冬奥”知识有奖竞答活动,试题由若干选择题和填空题两种题型构成,共需要回答三个问题,对于每一个问题,答错得0分;答对填空题得30分答对选择题得20分现设置了两种活动方案供选择,方案一:只回答填空题;方案二:第一题是填空题,后续选题按如下规则:若上一题回答正确,则下一次是填空题,若上题回答错误,则下一次是选择题.某顾客获得了答题资格,已知其答对填空题的概率均为,答对选择题的概率均为P,且能正确回答问题的概率与回答次序无关
(1)若该顾客采用方案一答题,求其得分不低于60分的概率;
(2)以得分的数学期望作为判断依据,该顾客选择何种方案更加有利?并说明理由.
【答案】(1)
(2),选方案一;,方案一、方案二均可;,选方案二.
【分析】(1)根据题意得分不低于60分的情况为至少答对两道填空题,结合二项分布概率公式求解;(2)根据题意分别求,,作差比较大小.
(1)
采用方案一答题,得分不低于60分的情况为至少答对两道填空题
∴其概率为
(2)
若采用方案一,设其答对题数为,得分为X
则,,
∴
若采用方案二,设其得分为Y,则,20,30,50,60,90
,
,,
令,则,解得或(舍去)
即,选方案一数学期望大
,则,方案一、方案二数学期望一样
,则,选方案二数学期望大
综上所述:选方案一;方案一、方案二均可;选方案二.
【1521】.(2022·辽宁·东北育才学校模拟预测·★★★★)
下围棋既锻炼思维又愉悦身心,有益培养人的耐心和细心,舒缓大脑并让其得到充分休息现某学校象棋社团为丰富学生的课余生活,举行象棋大赛,要求每班选派一名象棋爱好者参赛.现某班有12位象棋爱好者,经商议决定采取单循环方式进行比赛,(规则采用“中国数目法”,没有和棋)即每人进行11轮比赛,最后靠积分选出第一名去参加校级比赛积分规则如下(每轮比赛采取5局3胜制,比赛结束时,取胜者可能会出现,,三种赛式).
9轮过后,积分榜上的前两名分别为甲和乙,甲累计积分26分,乙累计积分22分.第10轮甲和丙比赛,设每局比赛甲取胜的概率均为,各局比赛结果相互独立.
(1)①在第10轮比赛中,甲所得积分为X,求X的分布列;
②求第10轮结束后,甲的累计积分Y的期望;
(2)已知第10轮乙得3分,判断甲能否提前一轮获得累计积分第一,结束比赛.(“提前一轮”即比赛进行10轮就结束,最后一轮即第11轮无论乙得分结果如何,甲累计积分最多)?若能,求出相应的概率;若不能,请说明理由.
【答案】(1)①分布列见解析;②
(2)
【分析】(1)①X可能取值为:0、1、2、3, 分别求出甲得0分(丙3:0、3:1)、甲得1分(丙3:2)、甲得2分(甲3:2)、甲得3分(甲3:0、3:1)的概率即可得出分布列;②Y可能取值为:26、27、28、29,与①的概率对应,用定义求期望即可;
(2)甲要提前一轮获得累计积分第一,第10轮结束后,甲的累计积分需比乙的累计积分至少多4分,即29分,由(1)可得对应的概率
(1)
①第10轮比赛的可能情况如下:
丙3:0胜,甲得0分, ;丙3:1胜,甲得0分, ;丙3:2胜,甲得1分, ;
甲3:0胜,甲得3分, ;甲3:1胜,甲得3分, ;甲3:2胜,甲得2分, ;
X可能取值为:0、1、2、3,故,,,,
X的分布列为
②第10轮结束后,Y可能取值为:26、27、28、29,由①得,甲的累计积分Y的期望:
(2)
如题,甲要提前一轮获得累计积分第一,第10轮结束后,甲的累计积分需比乙的累计积分至少多4分,即甲至少29分,由(1)得,概率为
【1522】.(2022·北京市第五中学三模·★★★★)
2022 年春节后,新冠肺炎的新变种奥密克戎在我国部分地区爆发. 该病毒是一种人传人,不易被人们直接发现,潜伏期长且传染性极强的病毒. 我们把与该病毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触者. 一旦发现感染者,社区会立即对其进行流行性病医学调查,找到其密切接触者进行隔离观察. 调查发现某位感染者共有 10 位密切接触者,将这 10 位密切接触者隔离之后立即进行核酸检测. 核酸检测方式既可以采用单样本检测,又可以采用 “ 合 1 检测法”. “ 合 1 检测法” 是将 个样本混合在一起检测,若混合样本呈阳性,则该组中各个样本再全部进行单样本检测; 若混合样本呈阴性,则可认为该混合样本中每个样本都是阴性. 通过病毒指标检测,每位密切按触者为阴性的概率为 ,且每位密切接触者病毒指标是否为阴性相互独立.
(1)现对 10 个样本进行单样本检测,求检测结果最多有1个样本为阳性的概率 的表达式;
(2)若对 10 个样本采用 “5合1检测法” 进行核酸检测. 用 表示以下结论:
①求某个混合样本呈阳性的概率;
②设总检测次数为,求的分布列和数学期望 .
【答案】(1);
(2)①;②分布列见解析,.
【分析】(1)对10个样本进行逐个检测属于独立重复试验,利用独立重复试验概率即可求解;
(2)采用“5合1检测法”,“某个混合样本呈阴性”仍然属于独立重复试验,可求出该事件的概率,利用互为对立事件的概率和为1即可求出;此时总检测次数可能为2,7,12,列出分布列,计算数学期望.
(1)
由题意可知,对10个样本进行逐个检测属于独立重复试验,所以最多有1个阳性样本的概率为:
,
所以
(2)
①设“某个混合样本呈阳性”为事件,则表示事件“某个混合样本呈阴性”,而混合样本呈阴性即为该混合样本全部为阴性,.
故
②X的可能取值为2,7,12.
当两个混合样本都呈阴性时,.
当两个混合样本一个呈阳性,一个呈阴性时,.
当两个混合样本都呈阳性时,.
故X的分布列为:
的数学期望,
所以的数学期望为
【1523】.(2022·江西·上高二中模拟预测·★★★★)
冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一.冰壶比赛的场地如图所示,其中左端(投掷线的左侧)有一个发球区,运动员在发球区边沿的投掷线将冰壶掷出,使冰壶沿冰道滑行,冰道的右端有一圆形的营垒,以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心的远近决定胜负,甲、乙两人进行投掷冰壶比赛,规定冰壶的重心落在圆中,得3分,冰壶的重心落在圆环中,得2分,冰壶的重心落在圆环中,得1分,其余情况均得0分.已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响,甲、乙得3分的概率分别为,;甲、乙得2分的概率分别为,;甲、乙得1分的概率分别为,.
(1)求甲所得分数大于乙所得分数的概率;
(2)设甲、乙两人所得的分数之差的绝对值为,求的分布列和期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析,期望为:
【分析】(1)根据题意先求出甲乙分别得0分的概率,甲所得分数大于乙所得分数分为:甲得3分乙得2或1或0分,甲得2分乙得1或0分,甲得1分乙得0分,再分析求解概率即可;(2)根据题意得可能取值为0,1,2,3,再分别求概率,再画出分布列,求解期望即可.
(1)
由题意知甲得0分的概率为,
乙得0分的概率为,
甲所得分数大于乙所得分数分为:甲得3分乙得2或1或0分,甲得2分乙得1或0分,甲得1分乙得0分
所以所求概率为.
(2)
可能取值为0,1,2,3,
所以,随机变量的分布列为:
所以
【1524】.(2022·黑龙江·佳木斯一中三模·★★★★)
某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果,该校从全校学生中随机抽取了100名学生作为样本进行测试,记录他们的成绩,测试卷满分100分,并将得分分成以下6组:、、、…、,统计结果如图所示:
(1)试估计这100名学生得分的平均数;
(2)从样本中得分不低于70分的学生中,用分层抽样的方法选取11人进行座谈,若从座谈名单中随机抽取3人,记其得分在的人数为,试求的分布列和数学期望;
(3)以样本估计总体,根据频率分布直方图,可以认为参加知识竞赛的学生的得分X近似地服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本方差,经计算.所有参加知识竞赛的2000名学生中,试问得分高于77分的人数最有可能是多少?
参考数据:,,.
【答案】(1)
(2)分布列见解析,
(3)
【详解】(1)解:由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数
.
(2)
解:参加座谈的11人中,得分在的有人,
所以的可能取值为,,,
所以,,.
所以的分布列为
∴.
(3)解:由(1)知,,
所以.
得分高于77分的人数最有可能是.
【1525】.(2022·江西南昌·模拟预测·★★★★)
如图是飞行棋部分棋盘图示,飞机的初始位置为0号格,抛掷一个质地均匀的骰子,若拋出的点数为1,2,飞机在原地不动;若抛出的点数为3,4,飞机向前移一格;若抛出的点数为5,6,飞机向前移两格.记抛掷骰子一次后,飞机到达1号格为事件.记抛掷骰子两次后,飞机到达2号格为事件.
(1)求;
(2)判断事件是否独立,并说明理由;
(3)抛掷骰子2次后,记飞机所在格子的号为,求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)事件,相互独立,理由见解析
(3)分布列见解析,2
【分析】(1)根据概率的乘法公式求解即可;
(2)分别计算判断即可;
(3)随机变量的可能取值为0,1,2,3,4,再根据题意分别列式求解即可.
(1)
由题意,因为飞机每前移一格的概率为,故;
(2)
由题意,事件抛掷骰子一次后,飞机到达1号格,只能是前移了1格;事件抛掷骰子两次后,飞机到达2号格可能前移了两次一格,或一次前移两格一次原地不动.
故,,
因此,所以事件,相互独立.
(3)
随机变量的可能取值为0,1,2,3,4,
,,
,,,
所以随机变量的分布列为
所以.
【1526】.(2022·辽宁鞍山·一模·★★★★)
北京时间2022年7月25日3时13分,问天实验舱成功对接于天和核心舱前向端口,2022年7月25日10时03分,神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门,顺利进入问天实验舱.8月,中国空间站第2个实验舱段——梦天实验舱已运抵文昌航天发射场,计划10月发射.中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务,成为长期有人照料的国家级太空实验室,支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识,某部门门组织了空间站模拟编程闯关活动,它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是:编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程,全部结束后提交评委测试,若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中,甲只能正确完成其中6个,乙正确完成每个程序的概率为0.6,每位选手每次编程都互不影响.
(1)求乙闯关成功的概率;
(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和期望,并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.
【答案】(1)
(2)分布列见解析,,甲
【分析】(1)根据独立重复事件的概率公式即可求解,
(2)根据超几何分布的概率公式计算概率,即可得分布列,通过比较甲乙两人闯关成功的概率大小,即可判断谁的成功的可能性更大.
(1)
乙正确完成2个程序或者3个程序则闯关成功,记乙闯关成功为事件A,则.
(2)
由题意知随机变量X所有可能取值为0,1,2,3,
,,,,
故X的分布列为
所以.
所以甲闯关成功的概率为,因为,所以甲比乙闯关成功的可能性大.
【1527】.(2022·吉林省实验中学模拟预测·★★★★)
基础学科招生改革试点,也称强基计划,是教育部开展的招生改革工作,主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.强基计划的校考由试点高校自主命题,校考过程中笔试通过后才能进入面试环节,年有名学生报考某试点高校,若报考该试点高校的学生的笔试成绩.笔试成绩高于分的学生进入面试环节.
(1)从报考该试点高校的学生中随机抽取人,求这人中至少有一人进入面试的概率;
(2)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试,且他们通过面试的概率分别为、、、.设这名学生中通过面试的人数为,求随机变量的分布列和数学期望.
附:若,则,,,.
【答案】(1)
(2)分布列答案见解析,
【分析】(1)计算出试点高校每名学生进入面试的概率,再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率;
(2)分析可知随机变量的可能取值有、、、、,计算出随机变量在不同取值下的概率,可得出随机变量的分布列,进一步可求得的值.
(1)
解:由题意可知,,则,
所以,从报考该试点高校的学生中随机抽取人,这人中至少有一人进入面试的概率为.
(2)
解:由题意可知,随机变量的可能取值有、、、、,
则,,
,
,,
所以,随机变量的分布列如下表所示:
故.
【1528】.(2022·全国·南京外国语学校模拟预测·★★★)
真人密室逃脱将玩家关在一间密闭的房间中,主持人讲述相关的故事背景和注意事项,不同的主题有不同的故事背景,市面上较多的为电影主题,宝藏主题,牢笼主题等.由甲、乙、丙三个人组成的团队参加真人密室逃脱,第一关解密码锁,3个人依次进行,每人必须在5分钟内完成,否则派下一个人.3个人中只要有一人能解开密码锁,则该团队进入下一关,否则淘汰出局.甲在5分钟内解开密码锁的概率为0.8,乙在5分钟内解开密码锁的概率为0.6,丙在5分钟内解开密码锁的概率为0.5,各人是否解开密码锁相互独立.
(1)求该团队能进入下一关的概率;
(2)该团队以怎样的先后顺序派出人员,可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小?并说明理由.
【答案】(1)
(2)先派出甲,再派乙,最后派丙,这样能使所需派出的人员数目的均值(数学期望)达到最小,理由见解析.
【分析】(1)根据独立事件的乘法公式得出不能进入下一关的概率,利用对立事件的概率公式即可得出能进入下一关的概率.
(2)设按先后顺序各自能完成任务的概率分别,,,根据题意得出的可能的取值,分别计算概率,得出数学期望的表达式,判断,,的大小对的影响即可得出结论.
(1)
解:记“团队能进入下一关”的事件为,则“不能进入下一关”的事件为,
,
所以该团队能进入下一关的概率为.
(2)
解:设按先后顺序各自能完成任务的概率分别,,,且,,互不相等,
根据题意知的所有可能的取值为1,2,3;
则,,,
,
所以.
若交换前两个人的派出顺序,则变为,
由此可见,当时,
交换前两人的派出顺序可增大均值,应选概率大的甲先开锁;
若保持第一人派出的人选不变,交换后两人的派出顺序,
由交换前,
所以交换后的派出顺序则变为,
当时,交换后的派出顺序可增大均值.
所以先派出甲,再派乙,最后派丙,这样能使所需派出的人员数目的均值(数学期望)达到最小.
【1529】.(2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测·★★★)对于中国航天而言,2021年可以说是历史上的超级航天年,用“世界航天看中国”来形容也不为过.2021年10月16日,神舟十三号载人飞船将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空,2022年4月16日安全返回地球,返回之后他们与2名航天科学家从左往右排成一排合影留念.求:
(1)总共有多少种排法;
(2)3名宇航员互不相邻的概率;
(3)若2名航天科学家之间航天员的数量为X,求X的分布列与数学期望.
【答案】(1)120种
(2)
(3)分布列见解析;期望为1
【分析】(1)由全排列定义计数可得;
(2)用插入法,先排2名航天科学家,然后在3个空档插入3名航天员即可得,再用概率公式求解即可;
(3)由题意得的可能值为0,1,2,3,分别求得概率得分布列,再由期望公式计算期望.
(1)
由全排列定义知共有种排法;
(2)
用分步计数原理,先排2名航天科学家,然后插入3名航天员,方法数;概率;
(3)
由题意X的可能值为0,1,2,3,
,,,,
所以X的分布列为
.
【1530】.(2022·河南省杞县高中模拟预测·★★★★)
在全民抗击新冠肺炎疫情期间,某市教育部门开展了“停课不停学”活动,为学生提供了多种网络课程资源.活动开展一个月后,某学校随机抽取了高二年级的学生若干进行网络问卷调查,统计学生每天的学习时间(单位:小时),将样本数据分成,,,,五组(全部数据都在内),并整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)已知该校高二年级共有800名学生,根据统计数据,估计该校高二年级每天学习时间不低于5小时的学生人数;
(2)利用统计数据,估计该校高二年级学生每天平均学习时间;
(3)若样本容量为40,从学习时间在的学生中随机抽取3人,X为所抽取的3人中来自学习时间在内的人数,求X的分布列和数学期望.
【答案】(1)640人
(2)5.6小时
(3)分布列见解析;期望为
【分析】(1)求出不低于5小时的频率,再乘以高二年级学生人数可得答案;
(2)根据频率分布直方图平均数的计算方法求解即可;
(3)求出X的取值及概率可得答案.
(1)
根据统计数据估计该校高二年级每天学习时间不低于5小时的学生人数为.
所以估计该校高二年级每天学习不低于5小时的人数为640人.
(2)
样本中学生每天学习时间的各组频率分别为0.05,0.15,0.50,0.25,0.05.
样本中学生每天平均学习时间为
(小时).
所以估计该校高二年级学生每天平均学习时间为5.6小时.
(3)
由题意知样本中每天学习时间不足4小时的人数为,样本中每天学习时间在上的学生人数为.
所以X的取值为0,1,2,
所以,,,
故X的分布列为
所以.
【1531】.(2022·全国·模拟预测·★★★)
北京时间2021年7月25日,2020东京奥运会射箭女子团体决赛在梦之岛公园射箭场结束.决赛规则为每局比赛双方各派一名队员射击6次,6次总分高的一方获得2分,若总分持平,双方各得1分,先得6分的一方获得比赛的胜利.韩国队提前一局结束比赛,以6-0完胜俄罗斯奥委会队,自该项目1988年进入奥运会大家庭以来,韩国队包揽了全部9枚金牌.在本届赛事中,韩国代表团迄今收获的两金均来于射箭项目,其中20岁的安山有望在东京奥运会上成为三冠王,俄罗斯奥委会队连续两届摘得该项目银牌,德国队获得季军,决赛的成绩(单位:环)统计数据如图所示.
(1)分别求韩国队、俄罗斯奥委会队第3局比赛成绩的中位数;
(2)比较韩国队、俄罗斯奥委会队第2局比赛的平均水平和发挥的稳定性;
(3)从韩国队三局比赛成绩(每一局的总得分)中随机抽取一个,记为x,从俄罗斯奥委会队三局比赛成绩(每一局的总得分)中随机抽取一个,记为y,设Z=x-y,求Z的数学期望.
【答案】(1)韩国队第3局比赛成绩的中位数,俄罗斯奥委会队第3局比赛成绩的中位数
(2)韩国队的平均水平高,发挥更稳定
(3)
【分析】(1)根据图形可得到韩国和俄罗斯的比赛成绩,然后分别计算中位数即可
(2)通过计算第2局比赛韩国队和俄罗斯队的平均分和方差,根据方差的意义确定比赛成绩的稳定性
(3)根据题意可得的取值是0,1,2,3,4,5,然后分别计算其对应的概率,最后计算即可
(1)
韩国队第3局比赛成绩的中位数,
俄罗斯奥委会队第3局比赛成绩的中位数
(2)
第2局比赛,韩国队的分数依次为10,9,9,10,9,9,
平均分为,
俄罗斯奥委会队的分数依次为9,8,8,10,8,10,
平均分为,
因为,,
所以韩国队的平均水平高,发挥更稳定
(3)
Z的所有可能结果有0,1,2,3,4,5,
,,,
,,.
∴
【1532】.(2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测·★★★★)
已知某射击运动员射中固定靶的概率为,射中移动靶的概率为,每次射中固定靶、移动靶分别得1分、2分,脱靶均得0分,每次射击的结果相互独立,该射击运动员进行3次打靶射击;向固定靶射击2次,向移动靶射击1次.
(1)求“该射击运动员没有射中移动靶且恰好射中固定靶1次”的概率;
(2)若该射击运动员的总得分为X,求X的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析;期望为
【分析】(1)根据独立事件概率乘法公式计算;(2)根据题意X的所有可能取值为0,1,2,3,4,分别求其概率,进而求期望.
(1)
(1)记“该射击运动员没有射中移动靶且恰好射中固定1次”为事件A,
则.
(2)
X的所有可能取值为0,1,2,3,4,
则,
,
,
,
,
所以X的分布列为:
所以X的数学期望.
【1533】.(2022·北京八十中模拟预测·★★★)
为调查某公司五类机器的销售情况,该公司随机收集了一个月销售的有关数据,公司规定同一类机器销售价格相同,经分类整理得到下表:
利润率是指:一台机器销售价格减去出厂价格得到的利润与该机器销售价格的比值.
(1)从该公司本月卖出的机器中随机选一台,设该台机器的利润为X万元,求X的分布列和数学期望;
(2)从该公司本月卖出的机器中随机选取2台,设这2台机器的利润和恰好为13万元的概率;
(3)假设每类机器利润率不变,销售一台第一类机器获利万元,销售一台第二类机器获利万元,…,销售一台第五类机器获利万元,依据上表统计数据,随机销售一台机器获利的期望为,设,试判断与的大小.(结论不要求证明)
【答案】(1)分布列见解析,;
(2)
(3)
【分析】(1)依题意得到销售单价、销售量、单台机器利润的表格,即可得到的可能取值为、、、,求出所对应的概率,即可得到分布列与数学期望;
(2)根据古典概型的概率公式计算可得;
(3)求出,再与(1)中的比较即可判断;
(1)
解:依题意可得
则的可能取值为、、、,
所以,,,,
所以的分布列为
所以
(2)
解:依题意从该公司本月卖出的机器中随机选取2台有种选法,
其中满足2台机器的利润和恰好为13万元的有种取法,
故满足2台机器的利润和恰好为13万元的概率
(3)
解:由(1)可得,,
所以;
【1534】.(2022·广东·潮州市瓷都中学三模·★★★★)
2020年,我国已经实现全面脱贫的历史性战略任务.但巩固脱贫成果还有很多工作要继续,利用互联网电商进行产品的销售就是一种有效的方式.某村盛产脐橙,为了更好销售,现从脐橙树上随机摘下100个脐橙进行测重,其质量分布在区间(单位:克),统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示.
(1)按分层抽样的方法从质量落在,的脐橙中随机抽取5个,再从这5个脐橙中随机抽2个,求这2个脐橙质量至少有一个小于300克的概率;
(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平,以频率代表概率,已知该村的脐橙种植地上大约还有100000个脐橙待出售,某电商提出两种收购方案:A.所有脐橙均以7元/千克收购;B.低于350克的脐橙以2元/个收购,其余的以3元/个收购.请你通过计算为该村选择收益较好的方案.
(参考数据:)
【答案】(1);
(2)选择方案B,理由见解析.
【分析】(1)求出质量落在,的脐橙频率比,确定分层抽样落在有2个,质量落在有3个,利用超几何分布的概率公式求出2个脐橙质量至少有一个小于300克的概率;(2)计算出这100个脐橙的平均质量,从而计算出A方案的收益,再根据频率求出低于350克的脐橙个数和不低于350克的脐橙个数,求出方案B的收益,比较得到结论.
(1)
质量落在,的脐橙的频率分别为,,其中,
所以用分层抽样的方法抽取的5个脐橙中,质量落在有2个,质量落在有3个,
则从这5个脐橙中随机抽2个,求这2个脐橙质量至少有一个小于300克的概率为
(2)
设这100个脐橙的平均质量为,
则A方案:设收益为,则(元);
B方案:设收益为,以频率代表概率,
则低于350克的脐橙个数为,
不低于350克的脐橙个数为,
所以
因为,所以该村选择收益较好的方案B.
【1535】.(2022·福建省德化第一中学模拟预测·★★★)
现代战争中,经常使用战斗机携带空对空导弹攻击对方战机,在实际演习中空对空导弹的命中率约为,由于飞行员的综合素质和经验的不同,不同的飞行员使用空对空导弹命中对方战机的概率也不尽相同.在一次演习中,红方的甲、乙两名优秀飞行员发射一枚空对空导弹命中蓝方战机的概率分别为和,两名飞行员各携带4枚空对空导弹.
(1)甲飞行员单独攻击蓝方一架战机,连续不断地发射导弹攻击,一旦命中或导弹用完即停止攻击,各次攻击相互独立,求甲飞行员能够命中蓝方战机的概率?
(2)蓝方机群共有8架战机,若甲、乙共同攻击(战机均在攻击范围之内,每枚导弹只攻击其中一架战机,甲,乙不同时攻击同一架战机).
①若一轮攻击中,每人只有两次进攻机会,记一轮攻击中,击中蓝方战机数为,求的分布列;
②若实施两轮攻击(用完携带的导弹),记命中蓝方战机数为,求的数学期望.
【答案】(1)
(2)①分布列见解析;②数学期望为.
【分析】(1)根据相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得;
(2)①依题意的可能取值为,1,2,3,4,求出所对应的概率,即可得到分布列;
②记甲命中战机数为,则,记乙命中战机数为,则,则根据二项分布的期望公式计算可得;
(1)
设甲、乙两名飞行员发射的第枚导弹命中对方战机分别为事件,,则,.
设甲飞行员能够击中蓝方战机为事件,则,所以
所以
(2)
解:①依题意的可能取值为,1,2,3,4,
则,
,
,
,
,
所以的分布列为
②记两轮攻击中:甲命中战机数为,则,
乙命中战机数为,则,
所以.
【1536】.(2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测·★★★★)
年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京,北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市!为迎接冬奥会的到来,某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动,为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况,在该地随机选取了所学校进行研究,得到如下数据:
(1)“单板滑雪”与“自由式滑雪”每项参与人数都超过人的学校可以作为“参与冬奥运动积极学校”,现在从这所学校中随机选出所,记为选出“参与冬奥运动积极学校”的学校个数,求的分布列和数学期望;
(2)现在有一个“单板滑雪”集训营,对“滑行、转弯、跳跃、停止”这个动作技巧进行集训,且在集训中进行了多轮测试.规定:在一轮测试中,这个动作中至少有个动作达到“优秀”,则该轮测试记为“优秀”.在集训测试中,小明同学“滑行”这个动作达到“优秀”的概率均为,其余每个动作达到“优秀”的概率都为,每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到次,那么理论上至少要进行多少轮测试?
【答案】(1)分布列见解析,期望为
(2)轮
【分析】(1)分析可知“单板滑雪”与“自由式滑雪”每项参与人数超过人的学校共所,的所有可能取值为、、、,计算出随机变量在不同取值下的概率,可得出随机变量的分布列,进一步可求得的值;
(2)记“小明同学在一轮测试中要想获得优秀”为事件,计算出的值,利用二项分布的期望公式可得出关于的不等式,求解即可.
(1)
解:“单板滑雪”与“自由式滑雪”每项参与人数超过人的学校共所,的所有可能取值为、、、,
所以,,,,
所以的分布列如下表:
所以.
(2)
解:记“小明同学在一轮测试中要想获得优秀”为事件,
,
由题意,小明同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布,
由题意可得,得到,因为,所以的最小值为,故至少要进行27轮测试.
【1537】.(2022·湖北省仙桃中学模拟预测·★★★★)
治疗慢性乙肝在医学上一直都是一个难题,因为基本不能治愈,只是可以让肝功能正常,不可以清除病毒,而且发展严重后还具有传染性,所以在各种体检中肝功能的检查是必不可少的.在对某学校初中一个班上64名学生进行体检后,不小心将2份携带乙肝的血液样本和62份正常样本(都用试管独立装好的)混在了一起,现在要将它们找出来,试管上都有标签,采用将共64份样品采用混检的方式,先将其平均分成两组,每组32份,将每组的32份进行混检,若携带病毒的在同一组,则将这一组继续取两份平均分组的混合样本进行检验,若携带病毒的样本不在同一组,则将两组都继续平均分组混检下去,直到最后将两份携带病毒的样本找出为止(样品检验时可以很快出结果,每次含病毒的那一组进行平均分组时,每个含病毒的样本被分到任意一组的概率都是,且互不影响),设共需检验的次数为.
(1)求随机变量的分布列和期望;
(2)若5岁以上的乙肝患者急性和慢性的比例约为 ,急性乙肝炎症治愈率可达 ,没有治愈的会转为慢性乙肝,慢性乙肝炎症治愈率只有 ,在找出两个乙肝样本后通知其进行治疗,求两人最后至少有一人痊愈的概率 .(结果保留两位有效数字)
【答案】(1)分布列见解析,期望为20;
(2)0.97
【分析】(1)先求出病毒被分在同一组和不在同一组的概率,再求出随机变量的可能取值计算出对应概率,列出分布列计算期望即可;
(2)先求出乙肝患者被治愈的概率,再由对立事件计算求出至少有一人痊愈的概率即可.
(1)
病毒被分在同一组的概率为,不被分在同一组的概率为;
若病毒被分在同一组,则下次需要进行2次检验,若病毒不被分在同一组,则下次需要进行4次检验;
若每次病毒均在同一组,则需要进行5次分组,最后一次每组有2份样品,即进行10次检验,;
若前4次病毒均在同一组,第5次病毒不在同一组,此时每组有2份样品,还需要再进行1次分组,再进行4次检验,即进行14次检验,;
若前3次病毒均在同一组,第4次病毒不在同一组,此时每组有4份样品,还需要再进行2次分组,再进行8次检验,即进行16次检验,;
若前2次病毒均在同一组,第3次病毒不在同一组,此时每组有8份样品,还需要再进行3次分组,再进行12次检验,即进行18次检验,;
若第1次病毒在同一组,第2次病毒不在同一组,此时每组有16份样品,还需要再进行4次分组,再进行16次检验,即进行20次检验,;
若第1次病毒不在同一组,此时每组有32份样品,还需要再进行5次分组,再进行20次检验,即进行22次检验,;故随机变量的分布列为:
则;
(2)
由题意知是急性乙肝的概率为,慢性乙肝的概率为,则乙肝患者治愈的概率为,
没有治愈的概率为,则两人最后至少有一人痊愈的概率.
【1538】.(2022·北京·景山学校模拟预测·★★★★)
4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况,从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查,得到了这500名学生的日平均阅读时间(单位:小时),并将样本数据分成,,,,,,,,九组,绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)从这500名学生中随机抽取一人,日平均阅读时间在内的概率;
(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况,从日平均阅读时间在,,三组内的学生中,采用分层抽样的方法抽取了10人,现从这10人中随机抽取3人,记日平均阅读时间在内的学生人数为X,求X的分布列和数学期望;
(3)以样本的频率估计概率,从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生,用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率,其中,1,2,…,10.当最大时,写出k的值.(只需写出结论)
【答案】(1)0.20
(2)的分布列见解析,数学期望为
(3)5
【分析】(1)由频率分布直方图列出方程,能求出的值,进而估计出概率;
(2)先按比例抽取人数,由题意可知此分布列为超几何分布,即可求出分布列;
(3)求出的式子进行判断.
(1)
由频率分布直方图得:
,
解得,,所以日平均阅读时间在内的概率为0.20;
(2)
由频率分布直方图得:
这500名学生中日平均阅读时间在,,,,,三组内的学生人数分别为:人,人,人,
若采用分层抽样的方法抽取了10人,
则从日平均阅读时间在,内的学生中抽取:人,
现从这10人中随机抽取3人,则的可能取值为0,1,2,3,
,
,
,
,
的分布列为:
数学期望.
(3)
,理由如下:
由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在内的概率为0.50,从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生,恰有k名学生日平均阅读时间在内的分布列服从二项分布,,由组合数的性质可得时最大.
【1538】.(2022·辽宁·鞍山一中模拟预测·★★★★)
教育部门最近出台了“双减”政策,即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担,持续规范校外培训(包括线上培训和线下培训).“双减”政策的出台对校外的培训机构经济效益产生了严重影响.某大型校外培训机构为了规避风险,寻求发展制定科学方案,工作人员对2021年前200名报名学员的消费金额进行了统计整理,其中数据如表.
以频率估计概率,假设该大型校外培训机构2021年所有学员的消费金额可视为服从正态分布,,分别为报名前200名学员消费的平均数以及方差(同一区间的花费用区间的中点值替代).
(1)求和的值;
(2)试估计该机构学员2021年消费金额为的概率(保留一位小数);
(3)若从该机构2021年所有学员中随机抽取4人,记消费金额为的人数为,求的期望和方差.
参考数据:;若随机变量,则,,.
【答案】(1)8;8
(2)0.8
(3)
【分析】(1)根据表中数据,利用平均数和方差公式求解;
(2)根据(1)的结论,利用原则求解;
(3)根据得,利用二项分布公式求解.
(1)
解:由题意得,
;
(2)
由(1)得,
所以.
(3)
由题意及(2)得,,,
所以,
.
【1539】.(2022·湖南·长沙一中模拟预测·★★★)
某靶场有,两种型号的步枪可供选用,其中甲使用两种型号的步枪的命中率分别为,;,
(1)若出现连续两次子弹脱靶或者子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击,若击中标靶至少3次,则可以获得一份精美礼品,若甲使用型号的步枪,并装填5发子弹,求甲获得精美礼品的概率;
(2)现在两把步枪中各装填3发子弹,甲打算轮流使用两种步枪进行射击,若击中标靶,则继续使用该步枪,若未击中标靶,则改用另一把步枪,甲首先使用种型号的步枪,若出现连续两次子弹脱靶或者其中某一把步枪的子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击,记为射击的次数,求的分布列与数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析;的数学期望为.
【分析】(1)分别求出甲击中5次、4次、3次的概率,再相加即可得解;
(2)的所有可能取值为2,3,4,5,求出取每个值的概率后,可得分布列.根据数学期望公式可得数学期望.
(1)
甲击中5次的概率为,甲击中4次的概率为,
甲击中3次的概率为,
所以甲获得精美礼品的概率为.
(2)
的所有可能取值为2,3,4,5,
,
,
,
,
所以的分布列为:
所以.
【1540】.(2022·江苏苏州·模拟预测·★★★★)
某工厂采购了一批新的生产设备.经统计,设备正常状态下,生产的产品正品率为0.98.监控设备生产过程,检验员每天从该设备生产的产品中随机抽取10件产品,并检测质量.规定:抽检的10件产品中,若出现的次品数大于等于2,则认为设备生产过程出现了异常情况,需对设备进行检测及修理.
(1)假设设备正常状态,记X表示一天内抽取的10件产品中的次品件数,求;
(2)该设备由甲、乙、丙三个部件构成,若出现两个或三个部件同时出现故障,则设备停止运转;若只有一个部件出现故障,则设备出现异常.已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为,由乙部件故障造成的概率为,由丙部件故障造成的概率为.若设备出现异常,需先检测其中一个部件,如果确认该部件出现故障,则进行修理,否则,继续对另一部件进行检测及修理,如果已经检测两个部件未出现故障,则第三个部件无需检测,直接修理.已知甲部件的检测费用1000元,修理费用5000元,乙部件的检测费用2000元,修理费用4000元,丙部件的检测费用2400元,修理费用3600元.当设备出现异常时,仅考虑检测和修理总费用,工程师根据经验给出了三个方案:①按甲、乙、丙的顺序检测修理;②按乙、甲、丙的顺序检测修理;③按丙、乙、甲的顺序检测修理.你运用所学知识,从总费用花费最少的角度,你认为应选用哪个方案,并说明理由.
参考数据:,,.
【答案】(1)
(2)应选用①,理由见解析.
【分析】(1)利用二项分布可求概率.
(2)设为第个方案对应的总费用,求出它们的分布列和期望后可求合适的方案.
(1)
.
(2)
设为第个方案对应的总费用,则可取,
由题设可得,,,
故,
可取,
由题设可得,,,
故,
可取,
由题设可得,,,
故,
故,
故选方案①.
【1541】.(2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测·★★★★)
2021年12月,新冠疫情的严重反弹,扰乱了西安市民乃至陕西全省人民正常的生活秩序,各行各业的正常生产、运营受到严重影响,相关部门,为了尽快杜绝疫情的扩散,果断实施了小区封控、西安市区封城、市民足不出户等有效措施.2022年1月下旬小区相继解封.某销售商场为尽快弥补疫情带来的损失,推行高档电器“大屏幕电视机、冰箱和洗衣机”三种商品的抢购优惠促销活动.活动规则是:人人都可以参加三种商品的抢购,但每种商品只能抢购一次一件;优惠标准是:抢购成功者,大屏幕电视机优惠800元;冰箱优惠500元;洗衣机优惠300元,张某参加了这次抢购且三种商品都抢购,假设抢购成功与否相互独立,抢购三种商品成功的概率顺次为、、,已知这三种商品都能抢购成功的概率为,至少一种商品能抢购成功的概率为.
(1)①求、的值;
②求张某恰好抢购成功两种商品的概率.
(2)求张某抢购成功获得的优惠总金额的分布列和数学期望.
【答案】(1)①;②
(2)分布列见解析,数学期望为元
【分析】(1)①根据题目条件列出方程组,求出,②设出事件,利用独立事件概率乘法公式和互斥事件加法公式计算出概率;(2)求出的可能取值及对应的概率,得到分布列,计算出数学期望.
(1)
①由题意得
即
解得:
②设“张某恰好抢购到两种商品”为事件.则抢购到大屏幕电视机和冰箱且没有抢购到洗衣机,或抢购到冰箱和洗衣机且没有抢购到大屏幕电视机,或抢购到大屏幕电视机和洗衣机且没有抢购到冰箱.
∴.
即张某抢购成功两种商品的概率为
(2)
的可能取值为0,300,500,800,1100,1300,1600
,
,
,
,
,
,
∴张某抢购成功获得的优惠总金额的分布列为
张某抢购成功获得的优惠总金额的数学期望为
(元)
0
10
20
30
0.16
0.44
0.34
0.06
X
0
1
2
3
P
0
1
2
3
男生
女生
支持
不支持
支持
不支持
方案一
200人
400人
300人
100人
方案二
350人
250人
150人
250人
交付金额(元)
支付方式
(0,1000]
(1000,2000]
大于2000
仅使用A
18人
9人
3人
仅使用B
10人
14人
1人
X
0
1
2
T
45 000
53 000
61 000
65 000
P
0.1
0.2
0.3
0.4
年入流量
发电量最多可运行台数
1
2
3
4200
10000
0.2
0.8
3400
9200
15000
0.2
0.7
0.1
0
1
2
3
X
0
1
2
3
P
16
17
18
19
20
21
22
0.8
0.9
1.0
1.125
1.25
P
0.2
0.15
0.35
0.15
0.15
0.8
0.96
1.0
1.2
1.44
P
0.3
0.2
0.18
0.24
0.08
10
15
20
P
0.35
0.35
0.3
10
15
20
P
0.5
0.18
0.32
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
或
胜者积分
3分
2分
负者积分
0分
1分
X
0
1
2
3
P
2
7
12
X
0
1
2
3
P
0
1
2
0
1
2
3
4
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
P
X
0
1
2
3
4
P
机器类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
销售总额(万元)
100
50
200
200
120
销售量(台)
5
2
10
5
8
利润率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
机器类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
销售单价(万元)
20
25
20
40
15
销售量(台)
5
2
10
5
8
单台机器利润(万元)
8
5
3
10
3
0
1
2
3
4
10
14
16
18
20
22
0
1
2
3
消费金额(千元)
人数
30
50
60
20
30
10
2
3
4
5
0
300
500
800
1100
1300
1600