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2024省大庆铁人中学高二下学期开学考试数学含答案
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单选题:
1.圆C:x2+y2−4x+2y−4=0的圆心与半径分别为( )
A. C(−2,1),r=3B. C(−2,1),r=9
C. C(2,−1),r=3D. C(2,−1),r=9
【答案】C
解:圆C的方程可化为(x−2)2+(y+1)2=32,可知圆心为C(2,−1),半径为r=3.
故选C.
2.已知直线x+ay−1=0与直线(a−1)x+ay+1=0平行,则实数a的值是
( )
A. 2或0B. 2C. 0D. −2
【答案】B
解:当a=0时,两直线都为x=1,重合,故舍去;
当a≠0时,由两直线平行,得到−1a=−a−1a,解得a=2,
经检验,两直线不重合,成立,
综上,实数a的值是2.
故选B.
3.已知正四面体ABCD的棱长为a,点E,F分别是BC,AD的中点,则AE⋅AF的值为( )
A. a2B. 12a2C. 14a2D. 34a2
【答案】C
解:如图所示,在正四面体ABCD中,点E,F分别是BC,AD的中点,
AF=12AD,AE=12(AB+AC),∴AE⋅AF=14(AD⋅AB+AD⋅AC)=14(a2cs60°+a2cs60°)=14a2.
4.已知{an}是等比数列,{bn}是等差数列,a2=2,a5=14,公比q等于公差d,b1=2,则b3为( )
A. −12B. −2C. 3D.
【答案】C
解:∵{an}是等比数列,a2=2,a5=14,
设等比数列的公比是q,
∴a5=a1⋅q4,a2=a1q
∴q=12,∴d=12,b3=b1+2d=3.
故选:C.
5.设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为F1、F2,P是C上一点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=300,则C的离心率为
( )
A. 66B. 13C. 12D. 33
【答案】D
解:|PF2|=x,
∵PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,
∴|PF1|=2x,|F1F2|= 3x,
又|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c
∴2a=3x,2c= 3x,
∴C的离心率为:e=2c2a= 33.
故选D.
6.数列{an},{bn}满足an⋅bn=1,an=n2+3n+2,则{bn}的前10项之和等于
( )
A. 13B. 512C. 12D. 712
【答案】B
【解答】
解:∵an⋅bn=1,
∴bn=1n2+3n+2=1n+1n+2
∴S10=12×3+13×4+...+110×11+111×12
=(12−13)+(13−14)+...+(110−111)+(111−112)
=12−112=512,
故选B.
7.若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与直线3x+y=0没有交点,则双曲线离心率的取值范围为
( )
A. (0, 10)B. (1, 10)C. (1, 10]D. ( 10,+∞)
【答案】C
解:∵双曲线的一条渐近线为y=−bax,
直线3x+y=0可化为y=−3x,
由题意可得−ba⩾−3,即ba⩽3,
又∵ba= b2a2= c2−a2a2= e2−1⩽3,
∴− 10⩽e⩽ 10,
又∵双曲线离心率e>1,
∴双曲线离心率e∈(1, 10].
故选C.
8.如图,过拋物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与拋物线交于A,B两点,与其准线l交于点C(点B位于A,C之间)且CB=3BF,AD⊥l于点D且AD=4,则OF等于
( )
A. 23B. 43C. 83D. 163
【答案】B
解:设BE⊥l于点E,准线l交x轴于点G,
则BE=BF,又CB=3BF,
∴BC=3BE,CF=3GF,
又AD⊥l于点D且AD=4,
∴BE // AD,
∴AC=AD+CF=AD+3GF=3AD,
即3p=2AD=2×4,
∴p=83,
∴OF=43.
故选:B.
二、多选题:本题共4小题,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.若1,a,b,c,16成等比数列,则
( )
A. a=2B. b=4C. c=8D. ac=16
【答案】BD
解:因为b2=1×16,且b与首项1同号,所以b=4,
因为a,c同号,且ac=16a2=4c2=4×6,所以a=2c=8或a=−2c=−8.
故选BD.
10.过点P(2,4)引圆(x−1)2+(y−1)2=1的切线,则切线的方程为( )
A. x=−2B. x=2C. 4x−3y+4=0D. 4x+3y−4=0
【答案】BC
解:据题意,知圆(x−1)2+(y−1)2=1的圆心为(1,1),半径r=1.
当切线斜率不存在时,切线方程为x=2,符合题意;
当切线斜率存在时,设切线方程为y−4=k(x−2),即kx−y+4−2k=0,
再根据圆心(1,1)到切线的距离等于半径,可得k−1+4−2k 1+k2=1,求得k=43,
故此时切线方程为4x−3y+4=0 .
综上可得,圆的切线方程为4x−3y+4=0 ,或x=2,
故选BC.
11.已知曲线M:x2csθ+y2sinθ=1(02 无解,错误.
12.如图,P1是一块半径为1的圆形纸板,在P1的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形P2,然后依次剪去一个更小半圆(其直径为前一个剪掉半圆的半径)得图形P3,P4,⋯,Pn,⋯,记纸板Pn的周长为Ln,面积为Sn,则下列说法正确的是( )
A. L3=74π+12B. S3=1132π
C. Ln=π[2−(12)n−1]+(12)n−1D. Sn+1=Sn−π22n+1
【答案】ABD
解:根据图形生成的规律可知,
,,,故A正确;
,,,故B正确;
根据题意可知,图形Pn中被剪去的最小的半圆的半径为(12)n−1,
所以当,
故C错误;
根据题意可知,图形Pn+1中被剪去的最小的半圆的半径为(12)n,
,故D正确.
故选ABD.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知直线l过点P(2,−1),在x轴和y轴上的截距分别为a,b,且满足a=3b,则直线l的方程为_________________________________。
【答案】x+3y+1=0或x+2y=0
【解析】解:设直线l 的斜率为k,所以直线方程为:y=k(x−2)−1.
由题意可知a=2+1k,b=−2k−1,因为a=3b,所以-2−1k=6k+3,
解得k=−12或k=−13,
故所求的直线l的方程为:x+3y+1=0或x+2y=0.
故答案为:x+3y+1=0或x+2y=0.
14.已知数列为递减数列,其前项和,则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】①当时,,
②当时,,
∴当时,,数列递减,
综上所述,若使为递减数列,只需满足,即,
解得,
故答案为:.
15.已知抛物线C:y 2=4x的焦点为F,过点F且斜率为2的直线与抛物线C交于A,B两点(点A在x轴的上方),则|AF||BF|=________.
【答案】 5+32
解:设A(x1,y1),B(x2,y2),由F(1,0)可得直线AB的方程为y=2x−2,
联立方程y2=4x,y=2x−2后整理为x2−3x+1=0,
解得x1= 5+32,x2=3− 52,且有x1x2=1.
由抛物线的定义,有|AF||BF|=x1+1x2+1=x1+x1x2x2+1=x1= 5+32.
16.如图,在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中,点E是侧面BB1C1C内的一个动点(不包含端点),若点E满足D1E⊥CE;则BE的最小值为________.
【答案】 5−1
解:在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中可建立如图空间直角坐标系.
设Ex,2,z,D10,0,2,C0,2,0,
所以D1E=(x,2,z−2),CE=x,0,z,
因为D1E⊥CE,
所以D1E⋅CE=0⇒x2+z(z−2)=0⇒x2+(z−1)2=1,
故BE= (2−x)2+(2−2)2+(0−z)2= x2−4x+4+z2,
因为x2+z−12=1,
所以令x=csθ,z=1+sinθ,
代入上式得:|BE|= cs2 θ−4cs θ+4+(1+sin θ)2
= 2sin θ−4cs θ+6
= 2 5sin (θ−φ)+6,
其中tan φ=2,(φ∈(0,π2)),
所以 6−2 5⩽|BE|⩽ 6+2 5即 5−1⩽|BE|⩽ 5+1
因此BE的最小值为 5−1,
另也可以用x2+(z−1)2=1的几何意义,用圆的概念来判断
四、解答题:本题共6小题,共72分。
17.(本小题12分)
已知▵ABC的顶点坐标分别是A2,2,B3,−1,C5,3.
(1)求▵ABC的外接圆方程;
(2)求▵ABC的面积.
解:(1)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则将A2,2,B3,−1,C5,3三点代入可得{4+4+2D+2E+F=0+1+3D−E+F=025+9+5D+3E+F=0,
D=−8,E=−2,F=12,
所以所求圆的方程为x2+y2−8x−2y+12=0.
(1)由题意得AB= (2−3)2+2−−12= 10,
kAB=2−−12−3=−3,
所以AB:y−2=−3(x−2),
即3x+y−8=0,
点C到直线AB的距离为
d=3×5+3×1−8 32+12= 10,
所以SΔABC=12× 10× 10=5.
18.(本小题12分)
已知数列{an}满足an=2an−1+1(n∈N∗,n≥2),且a1=1,bn=an+1.
(1)求a2,a3,并证明:数列{bn}是等比数列;
(2)求数列{an+bn}的前10项和T10.
【答案】证明:(1)a2=2a1+1=3;a3=2a2+1=7,
∵当n≥2时,an=2an−1+1,∴an+1=2an−1+2=2(an−1+1),
∴bnbn−1=2,b1=a1+1=2,∴数列{bn}是以2为首项,公比为2的等比数列.
(2)bn=b1⋅2n−1=2n,an=bn−1=2n−1,an+bn=2n+1−1,
T10=(22+23+⋯+211)−10
=22(1−210)1−2−10
=212−14
=4082.
19.【答案】解:(1)由抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=−p2,则−p2=−12,则p=1,
∴抛物线方程为:y2=2x;
(2)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),由y=k(x−2)y2=2x,消去y整理得k2x2−2(2k2+1)x+4k2=0,
∴x1x2=4,由y12=2x1,y22=2x2,两式相乘,得(y1y2)2=4x1x2,
注意到y1,y2异号,所以y1y2=−4,
则OM⋅ON=x1x2+y1y2=0,
∴OM⊥ON.
20.【答案】解:(1)
当n=1时,4S1=a12+2a1+1,∴a1=1.
当n≥2时,4Sn=an2+2an+1n∈N∗,…①,4Sn−1=an−12+2an−1+1n∈N∗,…②
①−②得:4an=an2−an−12+2an−2an−1,即:an+an−1an−an−1−2=0.
∵an>0,∴an−an−1=2
∴an是以1为首项,以2为公差的等差数列,∴an=2n−1;
(2)由(1)可知bn=2n−1⋅2n,则
Tn=1×21+3×22+...+2n−12n,…①
两边同乘2得:2Tn=1×22+3×23+⋯+(2n−1)2n+1,…②
①−②得:−Tn=21+2×22+⋯+2×2n−(2n−1)2n+1
=2+81−2n−11−2−(2n−1)2n+1=−6−(2n−3)⋅2n+1,
∴Tn=(2n−3)2n+1+6.
21.(本小题12分)
如图,C,D分别是直径AB=2的半圆O上的点,且满足BC=CD=DA,△PAB为等边三角形,且与半圆O所成二面角的大小为90°,E为PA的中点.
(1)求证:DE//平面PBC;
(2)在弧AB上是否存在一点F,使得直线PF与平面DEB所成角的正弦值为3147?若存在,求出点F到平面DEB的距离;若不存在,说明理由.
【答案】解:(1)证明:设G为AB的中点,连接OG,则OG⊥AB,
因为△PAB为等边三角形,O为AB中点,所以PO⊥AB,
又平面PAB与半圆O所成二面角的大小为90°,平面PAB与半圆O所在的平面的交线为AB,
则PO⊥平面ABC,
以O为原点,OG,OB,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则D 32,−12,0,E0,−12, 32,P0,0, 3,B0,1,0,C 32,12,0,
DE=− 32,0, 32,PB=0,1,− 3,PC= 32,12,− 3,
设平面PBC的法向量为n=x,y,z,
所以n·PB=y− 3z=0n·PC= 32x+12y− 3z=0,
取n=1, 3,1,
因为DE·n=− 32×1+0× 3+ 32×1=0,所以DE⊥n,
又DE⊄平面PBC,所以DE//平面PBC;
(2)设平面DEB的法向量为m=x′,y′,z′,
DE=− 32,0, 32,DB=− 32,32,0,
所以m·DE=− 32x′+ 32z′=0m·DB=− 32x′+32y′=0,取m= 3,1, 3,
因为圆O的方程为x2+y2=1,设,
PF=csθ,sinθ,− 3,
设直线PF与平面DEB所成角为α,则,
则,则θ=−π3,
所以F12,− 32,0,BF=12,− 32−1,0,
故在弧AB⌢上存在一点F,使得直线PF与平面DEB所成角的正弦值为314 7,
点F到平面DEB的距离为
BF·mm= 32− 32−1 7= 77.
22.(本小题12分)
在平面直角坐标系中,椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为 33,焦距为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)动直线l:y=mx− 52交椭圆于A、B两点,D是椭圆C上一点,直线OD的斜率为n,且mn=12.T是线段OD延长线上一点,且DT=2 2115AB,⊙T的半径为DT,OP,OQ是⊙T的两条切线,切点分别为P,Q,求∠QOP的最大值.
【答案】解:(1)由题意得 2c=2 , c=1 ,
又 ∵e=ca= 33 , ∴a= 3 , ∴b= 2 ,
∴ 椭圆方程为: x23+y22=1 .
(2)
设 Ax1,y1 , Bx2,y2 ,
联立 x23+y22=1y=mx− 52 ,得 8+12m2x2−12 5mx−9=0 ,
Δ=720m2+368+12m2=1152m2+288>0 ,
x1+x2=3 5m3m2+2 , x1x=−912m2+8 ,
|AB|= 1+m2x1−x2= 1+m2⋅ Δ8+12m2= 1+m2⋅ 1152m2+2888+12m2= 1+m2⋅3 8m2+22+3m2
r=2 2115|AB|=2 2115⋅ 1+m2⋅3 8m2+22+3m2 ,
n=12m , ∴ 直线 OD 的方程为: y=12mx ,
联立 x23+y22=1y=12mx 得 x2=24m28m2+3 , y2=68m2+3 ,
|OD|= x2+y2= 24m2+68m2+3 ,
sin∠QOP2=rr+|OD|=11+|OD|r ,
ODr= 24m2+68m2+32 215⋅ 1+m2⋅ 8m2+22+3m2=5 714⋅2+3m2 8m2+3⋅ m2+1 ,
令 2+3m2=t , m2=13t−2 ,且 t>2 , 1t∈0,12
则 ODr=15 714⋅t 8t−7t+1=15 714⋅t 8t2+t−7=15 714⋅1 −7t2+1t+8
=15 714⋅1 −71t−1142+1575196≥15 714⋅1415 7=1
当且仅当 1t=114 , t=14 ,即 2+3m2=14 , m=±2 时等号成立,
sin∠QOP2≤12 ,因此 ∠QOP2≤π6 ,
∴∠QOP 的最大值为 π3 ,
综上所述, ∴∠QOP 的最大值为 π3 ,此时 m=±2 .
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