数学七年级下册12.3 互逆命题精练

这是一份数学七年级下册12.3 互逆命题精练，共10页。
本试卷满分100分，试题共20题，填空14道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）请把答案直接填写在横线上
1．对于命题“如果a＝b，那么ac＝bc．”，它的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
2．命题“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
3．命题“若a＝b，则﹣a＝﹣b”的逆命题是 ．
4．“若a＝b，则a2＝b2”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
5．命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为 ．
6．命题“若a＝b，则a2＝b2”的逆命题是 ．
7．命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题是 ．
8．“相等的角是对顶角”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
9．写出命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题： ．
10．命题“如果a、b互为相反数，那么a+b＝0”的逆命题是 （填“真命题”或“假命题”）．
11．命题“不是对顶角的两个角不相等”“的逆命题是 ．
12．结合如图，“∵∠B＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形．”在这个推理过程中所使用的几何定理是 ．
13．命题“如果ab＝0，则a＝0”的逆命题是 ．
14．对于下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；②在锐角三角形中，任意两个内角和一定大于第三个内角；③无论x取什么值，代数式x2﹣2x+2的值都不小于1；④在同一平面内，有两两相交的3条直线，这些相交直线构成的所有角中，至少有一个角小于61°．其中，真命题的是 ．（填所有真命题的序号）
二．解答题（本大题共6小题，共58分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．（1）已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，∠B+∠1＝180°，∠2＝∠3．求证：∠B+∠F＝180°．
（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题．
16．如图，有以下四个条件：①AC∥DE，②DC∥EF，③CD平分∠BCA，④EF平分∠BED．
（1）若CD平分∠BCA，AC∥DE，DC∥EF，求证：EF平分∠BED．
（2）除（1）外，请再选择四个条件中的三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，再给予证明．
17．探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？
（1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；
请选择其中一种情况说明理由．
②由①得出一个真命题（用文字叙述）： ．
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．
18．如图，现有以下三个条件：①AB∥CD，②∠B＝∠C，③∠E＝∠F．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．
（1）你构造的是哪几个命题？
（2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出反例（证明其中的一个命题即可）．
19．（1）如图，设DE∥BC，∠1＝∠3，CD⊥AB，求证：FG⊥AB；
（2）若把（1）的题设中的DE∥BC”与结论中的“FG⊥AB”对调后，命题还成立吗？说明理由；
（3）若把（1）的题设中的“∠1＝∠3”与结论中的“FG⊥AB”对调后，命题还成立吗？说明理由．
20．已知∠ABC的两边与∠DEF的两边平行，即BA∥ED，BC∥EF．
（1）如图①，若∠B＝40°，则∠E＝ °；
（2）如图②，猜想∠B与∠E有怎样的关系？试说明理由；
（3）如图③，猜想∠B与∠E有怎样的关系？试说明理由；
（4）根据以上情况，请归纳概括出一个真命题．
参考答案
一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）请把答案直接填写在横线上
1．
【分析】写出原命题的逆命题，根据等式的性质判断即可．
【解析】命题“如果a＝b，那么ac＝bc．”，它的逆命题是“如果ac＝bc，那么a＝b．”，
是假命题，
故答案为：假．
2．
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，可得答案．
【解析】“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是“如果a＝b，那么a2＝b2．”
“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是真命题，
故答案为：真．
3．
【分析】根据命题的逆命题进行解答即可．
【解析】命题“若a＝b，则﹣a＝﹣b”的逆命题是若﹣a＝﹣b，则a＝b，
故答案为：若﹣a＝﹣b，则a＝b
4．
【分析】先交换原命题的题设与结论得到逆命题，然后根据平方根的定义判断逆命题的真假．
【解析】若a＝b，则a2＝b2”的逆命题是若a2＝b2，则a＝b．此逆命题为假命题．
故答案为假．
5．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【解析】命题“两直线平行，同旁内角互补”的题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，
故其逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”．
故应填：同旁内角互补，两直线平行．
6．
【分析】如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么把另一个叫做它的逆命题．故只需将命题“若a＝b，则a2＝b2”的题设和结论互换，变成新的命题即可．
【解析】命题“若a＝b，则a2＝b2”的逆命题是若a2＝b2，则a＝b．
7．
【分析】交换原命题的题设与结论部分即可得到逆命题
【解析】命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题是：“若|a|＝|b|，则a＝b”．
故答案为若|a|＝|b|，则a＝b
8．
【分析】先写出原命题的逆命题，再判断真假．
【解析】“相等的角是对顶角”的逆命题是对顶角相等，是真命题，
故答案为：真．
9．
【分析】把原命题的题设与结论部分交换即可得到其逆命题．
【解析】命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”．
故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形．
10．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，进而利用举反例判断命题正确性即可．
【解析】命题“如果a、b互为相反数，那么a+b＝0”的逆命题是：如果a+b＝0，那么a、b互为相反数，
这个逆命题是真命题．
故答案为：真命题．
11．
【分析】交换原命题的题设与结论得到原命题的逆命题即可．
【解析】命题“不是对顶角的两个角不相等”“的逆命题是：不相等的两个角不是对顶角；
故答案为：不相等的两个角不是对顶角．
12．
【分析】根据等边三角形的判定方法得到答案即可．
【解析】“∵∠B＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形．”在这个推理过程中所使用的几何定理是：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，
故答案为：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
13．
【分析】根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题解答．
【解析】命题“如果ab＝0，则a＝0”的逆命题是“如果a＝0，则ab＝0”，
故答案为：如果a＝0，则ab＝0．
14．
【分析】根据不等式的性质、三角形的性质以及代数式的最值解答即可．
【解析】①若a＞b，当a＝﹣1，b＝﹣2时，则a2＜b2；原命题是假命题；
②在锐角三角形中，任意两个内角和一定大于第三个内角，是真命题；
③无论x取什么值，代数式x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1≥1，所以其值都不小于1，是真命题；
④在同一平面内，有两两相交的3条直线，这些相交直线构成的所有角中，至少有一个角小于61°，是真命题．
故答案为：②③④．
二．解答题（本大题共6小题，共58分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．
【分析】（1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断AB∥CD，CD∥EF，则利用平行线的传递性得到AB∥EF，然后根据平行线的性质得到结论；
（2）利用了平行线的判定与性质定理求解．
【解析】（1）证明：∵∠B+∠1＝180°，
∴AB∥CD，
∵∠2＝∠3，
∴CD∥EF，
∴AB∥EF，
∴∠B+∠F＝180°；
（2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
16．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠BCD＝∠ACD，根据平行线的性质定理证明结论；
（2）根据题意写出一个真命题，仿照（1）的证明过程证明结论．
【解析】（1）证明：∵CD平分∠BCA，
∴∠BCD＝∠ACD，
∵DC∥EF，
∴∠BCD＝∠BEF，∠DEF＝∠CDE，
∵AC∥DE，
∴∠ACD＝∠CDE，
∴∠BEF＝∠DEF，即EF平分∠BED．
（2）解：如果EF平分∠BED，AC∥DE，DC∥EF，那么CD平分∠BCA．
证明：∵EF平分∠BED，
∴∠BEF＝∠DEF，
∵DC∥EF，
∴∠BCD＝∠BEF，∠DEF＝∠CDE，
∵AC∥DE，
∴∠ACD＝∠CDE，
∴∠BCD＝∠ACD，即CD平分∠BCA．
17．
【分析】（1）①利用平行线的性质即可判断；②根据平行线的性质解决问题即可．
（2）设两个角分别为x和2x﹣30°，由题意x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，解方程即可解决问题．
【解析】（1）①如图1中，∠ABC+∠DEF＝180°．如图2中，∠ABC＝∠DEF，
故答案为：∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC＝∠DEF．
理由：如图1中，
∵BC∥EF，
∴∠DPB＝∠DEF，
∵AB∥DE，
∴∠ABC+∠DPB＝180°，
∴∠ABC+∠DEF＝180°．
如图2中，∵BC∥EF，
∴∠DPC＝∠DEF，
∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DPC，
∴∠ABC＝∠DEF．
②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
（2）设两个角分别为x和2x﹣30°，
由题意x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，
解得x＝30°或x＝70°，
∴这两个角的度数为30°，30°或70°和110°．
18．
【分析】（1）根据命题的概念分别写出3个命题；
（2）根据平行线的判定定理和性质定理证明结论．
【解析】（1）可以构造3个命题，
命题1，如果AB∥CD，∠B＝∠C，那么∠E＝∠F；
命题2，如果AB∥CD，∠E＝∠F，那么∠B＝∠C；
命题3，如果∠E＝∠F，∠B＝∠C，那么AB∥CD；
（2）构造的3个命题都是真命题，
证明命题1，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠CDF，
∵∠B＝∠C，
∴∠CDF＝∠C，
∴AC∥BD，
∴∠E＝∠F．
19．
【分析】（1）根据平行线的性质推出∠1＝∠2，求出∠2＝∠3，根据平行线的判定得出CD∥FG，根据平行线的性质得出即可；
（2）求出CD∥FG，根据平行线的性质得出∠2＝∠3，求出∠1＝∠2，根据平行线的判定得出即可；
（3）求出CD∥FG，根据平行线的性质得出∠2＝∠3，∠1＝∠2，即可得出答案．
【解析】（1）∵DE∥BC，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴CD∥FG，
∵CD⊥AB，
∴FG⊥AB；
（2）成立，
理由是：∵FG⊥AB，CD⊥AB，
∴CD∥FG，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴DE∥BC；
（3）成立，
理由是：∵FG⊥AB，CD⊥AB，
∴CD∥FG，
∴∠2＝∠3，
∵DE∥BC，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3．
20．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠B＝∠DOC，∠DOC＝∠E，即可得出答案；
（2）根据平行线的性质得出∠B＝∠EOC，∠EOC＝∠E，即可得出答案；
（3）根据平行线的性质得出∠B＝∠DOC，∠BOE+∠E＝180°，即可得出答案；
（4）根据结果得出即可．
【解析】解（1）：∵BA∥ED，BC∥EF，
∴∠B＝∠DOC，∠DOC＝∠E，
∴∠B＝∠E＝40°，
故答案为：40；
（2）∠B＝∠E，
理由是：∵BA∥ED，BC∥EF，
∴∠B＝∠EOC，∠EOC＝∠E，
∴∠B＝∠E，
故答案为：∠B＝∠E；
（3）∠B+∠E＝180°，
理由是：∵BA∥ED，BC∥EF，
∴∠B＝∠DOC，∠BOE+∠E＝180°，
∵∠DOC＝∠BOE，
∴∠B+∠E＝180°；
（4）通过上面（1）、（2）、（3），你可得到的结论是：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角的关系是相等或互补，