北京市第四中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试题

这是一份北京市第四中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试题，共22页。试卷主要包含了已知集合，那么等于，设，则“”是“”的，直三棱柱中，，已知函数的最小正周期为，则，已知函数，数列表示第天午时某种细菌的数量等内容，欢迎下载使用。
（试卷满分150分，考试时间为120分钟）
一､选择题（每小题4分，共40分）
1.已知集合，那么等于（ ）
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，复数，则对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.设，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.直三棱柱中，.则下列两条直线中，不互相垂直的是（ ）
A.和 B.和 C.和 D.和
5.设分别是正方形的边上的点，且，如果（为实数），那么的值为（ ）
A. B.0 C. D.1
6.6.若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数的最小正周期为，则（ ）
A.函数的图像关于原点对称
B.函数的图像关于直线对称
C.函数图像上所有点向右平移个单位后，所得图像关于原点对称
D.函数在区间上单调递增
8.设抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，为垂足.若直线的斜率为，则（ ）
A. B.6 C.8 D.16
9.已知函数.若当时，函数取得最小值，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10.数列表示第天午时某种细菌的数量.细菌在理想条件下第天的日增长率.当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率会发生变化.下图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量随时间的变化规律.那么，对这种细菌在实际条件下日增长率的规律描述正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二､填空题（每小题5分，共25分）
11.在的展开式中，常数项为___________.（用数字作答）.
12.在数列中，，则___________.
13.双曲线的渐近线为等边三角形的边所在直线，直线过双曲线的焦点，且，则___________.
14.已知函数的部分图像如图所示.
（1）函数的最小正周期为___________.
（2）将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像.若函数为奇函数，则的最小值为___________.
15.已知曲线的方程是，给出下列三个结论：
①曲线与两坐标轴有公共点；
②曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形；
③若点在曲线上，则的最大值是；
④曲线C围成图形的面积大小属于区间.
所有正确结论的序号是___________.
三､解答题（共85分）
16.（本小题满分13分）
在中，.再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并解决下面的问题：
（1）求角的大小；
（2）求的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，不给分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
17.（本小题满分14分）
如图所示的多面体中，面是边长为2的正方形，平面平面，分别为棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）已知二面角的余弦值为，求四棱锥的体积.
18.（本小题满分13分）
2020年5月1日起，北京市实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾､可回收物､有害垃圾和其它垃圾四类.生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收1吨废纸可再造出0.8吨好纸，降低造纸的污染排放，节省造纸能源消耗.
某环保小组调查了北京市某垃圾处理场2020年6月至12月生活垃圾回收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量（单位：吨）的折线图如下图：
（1）从2020年6月至12月中随机选取1个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨的概率；
（2）从2020年7月至12月中随机选取4个月，记为这几个月中回收废纸再造好纸超过3.0吨的月份个数.求的分布列及数学期望；
（3）假设2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量为吨.当为何值时，自2020年6月至2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量的方差最小.（只需写出结论，不需证明）
19.（本小题满分15分）
已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）若和有相同的最小值，求的值.
20.（本小题满分15分）
已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.与平行的直线交椭圆于两点，直线分别与轴正半轴交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：为定值.
21.（本小题满分15分）
若无穷数列的各项均为整数.且对于，都存在，使得，则称数列满足性质.
（1）判断下列数列是否满足性质，并说明理由.
①；
②.
（2）若数列满足性质，且，求证：集合为无限集；
（3）若周期数列满足性质，求出数列的通项公式.
参考答案
一､选择题（每小题4分，共40分）
1.【分析】先求出集合，由此利用并集的定义能求出的值.
【解答】解：，
集合，
.
故选：.
【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用.
2.【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解.
【解答】解：，
则复数对应的点位于第二象限.
故选：.
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题.
3.【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数的性质判断即可.
【解答】解：若，则，，
故，故，是充分条件，
若，则，
不是必要条件，
故选：.
【点评】本题考查了充分必要条件，考查二角函数的性质，是一道基础题.
4.【分析】根据直线与平面垂直的判定定理和性质，判断即可.
【解答】解：对于，因为平面平面，所以；
对于与不一定垂直；
对于，因为，且，所以平面；
对于，因为平面，所以平面，所以，
又，且，所以平面，
又c平面，所以.
故选：.
【点评】本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题.
5.【分析】如图所示，.即可求得即可.
【解答】解：如图所示，
.
，
故选：.
【点评】本题考查了向量的线性运算，合理利用向量的平行四边形法则，三角形法则，是解题关键，属于基础题.
6.【分析】由已知设圆方程为代入，能求出圆的方程，再代入点到直线的距离公式即可.
【解答】解：由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为，则半径为.
故圆的方程为，再把点代入，求得或1，
故要求的圆的方程为或.
故所求圆的圆心为或；
故圆心到直线的距离或；
故选：.
【点评】本题主要考查用待定系数法求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于基础题.
7.【分析】函数的最小正周期为，求出，可得解析式，对各选项进行判断即可
【解答】解：函数的最小正周期为，
，
可得.
那么.
由对称中心横坐标方程：，
可得：
不对；
由对称轴方程：，
可得：，
不对；
函数图象上的所有点向右平移个单位，可得：，图象关于原点对称.
对.
今，
可得：
函数在区间上不是单调递增.
不对；
故选：.
【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，属于中档题.
8.【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，根据直线的斜率得到方程，与准线方程联立，解出点坐标，因为垂直准线，所以点与点纵坐标相同，再代入抛物线方程求点横坐标，利用抛物线的定义就可求出长.
【解答】解：抛物线方程为，
焦点，准线方程为，
直线的斜率为，直线的方程为，
由，可得点坐标为，
为垂足，
点纵坐标为，代入抛物线方程，得点坐标为，
，
故选：.
【点评】本题主要考查抛物线的几何性质，定义的应用，以及曲线交点的求法，属于综合题.
9.【分析】由题意，时，显然成立；时，关于轴的对称函数为，则，即可得到结论.
【解答】解：当时，关于轴的对称函数为
与只有唯一的交点，故时，显然成立；
当时，关于轴的对称函数为，则，综上所述，的取值范围是，故选：.
【点评】本题主要考查分段函数的应用，考查函数的解析式，属于中挡题.
10.【分析】由图象可知，第一天到第六天，实际情况与理想情况重合，为定值，而实际情况在第10天后增长率是降低的，并且降低的速度是变小的，即可得出结论.
【解答】解：由图象可知，第一天到第六天，实际情况与理想情况重合，为定值，而实际情况在第10天后增长率是降低的，并且降低的速度是变小的，故选：.
【点评】本题考查散点图，考查数形结合的数学思想，比较基础，
二､填空题（每小题5分，共25分）
11.【分析】在展开式的通项公式中，令的帛指数等于零，求出的值，即可求出展开式的常数项.
【解答】解：由于展开式的通项公式为，
令，解得，故展开式的常数项是40，故答案为40.
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中挡题.
12.【分析】根据，得；从而可发现中所有的奇数项均为1，所有的偶数项均为-2，进一步利用进行求解即可.
【解答】解：根据题意，由，得，
又，得，得，
所以中所有的奇数项均为1，所有的偶数项均为-2，所以.
故答案为：-50.
【点评】本题考查数列的递推公式，分组求和法，考查学生逻辑推理和数学运算的能力，属于基础题.
13.【分析】由等边三角形和双曲线的对称性，可得，，再由渐近线方程，可得，再由的关系和的值，即可计算得到.
【解答】解：由于（为坐标原点）是等边三角形，
则由对称可得，，
双曲线的渐近线方程为，
即有，即，
又，
则.
故答案为：.
【点评】本题考查双曲线方程和性质，考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，属于基础题.
14.【分析】直接利用正弦定理的应用求出结果.
【解答】解：如图所示，点在线段上，，
所以，
则为定值，
所以，
，
所以在中，
利用正弦定理：，
则，
故为定值；
都为定值，唯一确定，
故答案为：.
【点评】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.
15.【分析】根据题意，对绝对值里面的正负分类讨论求出方程，作出图象，由此分析4个结论，即可得答案.
【解答】解：根据题意，曲线的方程是，必有且，
当时，方程为，
当时，方程为，
当时，方程为，
当时，方程为，
作出图象：
依次分析4个结论：
对于①，由于，曲线与坐标轴没有交点，故①错误；
对于②，由图可知，曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形，故②正确；
对于③，若点在曲线上，则当且仅当与圆珮所在的圆心共结时取得最大值，
故的最大值是圆心距加两个半径，为，故③正确；
对于④，当时，方程为与坐标轴的交点，），
则第一象限面积为，
故总的面积，故④错误.
故答案为：②③.
【点评】本题考查考查曲线方程的图象及性质､涉及绝对值的含义､圆的性质等，是中档题.
三､解答题（共85分）
16.【分析】）由已知结合正弦定理可求，然后结合所选条件，结合余弦定理及正弦定理可求，进而可求；
（2）由已知结合正弦定理可求，然后结合三角形面积公式可求.
【解答】解：（1），
，
若选①：，此时，三角形无解，
若选②：，
，
由余弦定理得，，
又，
若选③：，
则，
又，
即，
又.
（2）由（1）可知，
由正弦定理得，，
，
，
的面积为.
【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题.
17.【分析】（1）取中点，连接，通过证明.然后证明平面.
（2）以为原点，射线分别为轴正方向，建立空间直角坐标系.设，求出相关点的坐标，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，求出，推出，然后求解几何体的体积.
【解答】（本小题共14分）
证明：（1）取中点，连接，
因为是正方形，所以.
因为分别是中点，所以.
又因为且，
所以，
所以四边形是平行四边形，
所以.
又因为平面平面
所以平面..
解：（2）因为平面平面，
平面平面平面，
所以平面.
如图，以为原点，射线分别为轴正方向，建立空间直角坐标系.
设，则.
因为底面，所以平面的一个法向量为.
设平面的一个法向量为，
则
即
令，得，所以
由已知，二面角的余弦值为，
所以得
解得，所以.
因为是四棱锥的高，
所以其体积为..
【点评】本题考查空间向量求解二面角的平面角，几何体的体积的求法，直线与平面平行的判断，考查空间想象能力以及计算能力.
18.【分析】（1）记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”为事件，推出只有8月份的可回收物中蓙纸和塑料品的回收量均超过4.0吨，然后求解概率.
（2）的所有可能取值为，求出摡率得到分布列，然后求解期望即可.
（3）求出，判断当添加的新数等于原几个数的平均值时，方差最小.
【解答】解：（1）记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”为事件A
由题意，只有8月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨
所以.
（2）因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸
所以6月至12月回收的废纸可再造好纸超过3.0吨的月份有：7月､8月､10月，共3个月.的所有可能取值为.
，
，
.
所以的分布列为：
（3）
当添加的新数等于原几个数的平均值时，方差最小.
【点评】本题考查离散型随机变黑分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题.
19.【分析】（1）求出，令，解得：或.按两根的大小关系分三种情况讨论即可；
（2）由（1）分情况求出函数的极大值，令其为，然后解即可，注意的取值范围；
【解答】解：（1）的定义域为，
，即2）.
今，解得：或.
①当时，，
故的单调递增区间是；
②当时，随的变化情况如下：
所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.
③当时，随的变化情况如下：
所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.
综上，当时，的单调递增区间是；当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是；
当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是.
（2）①当时，无极大值.
②当时，的极大值为，
今，即，解得或（舍）.
③当时，的极大值为.
因为，所以.
因为，所以的极大值不可能等于，
综上所述，当时，的极大值等于.
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及求函数极值问题，考查分类讨论思想，考查学生逻辑推理能力，属中档题.
20.【分析】（1）根据题意，由椭圆的几何性质分析可得解可得的值，将的值代入椭圆方程，即可得答案；
（2）根据题意，假设直线或的斜率不存在，联立直线与椭圆的方程分析可得直线与椭圆相切，不合题意，则直线和的斜率存在，进而设，由此表示直线或
的方程，联立直线与椭圆的方程，由根与系数的关系表示的值，即可得答案.
【解答】解：（1）由题意，
解得：
故椭圆的标准方程为；
（2）根据题意，假设直线或的斜率不存在，则点或点的坐标为，直线的方程为，即.
联立方程，得，
此时，直线与椭圆相切，不合题意.
故直线和的鈄率存在.
设，
则直线TP：，
直线TQ：
故
由直线OT：，设直线
联立方程，
当时，，
.
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的几何性质，属于综合题，注意提升计算的能力，
21.【分析】（1）由不为整数，数列为等差数列，结合新定义即可得到结论；
（2）讨论为偶数或奇数，结合新定义即可得证；
（3）在数列中任意两项，作差可得数列中任意两项之差都是的倍数，，，讨论数列的项数超过8，推得数列的项数至多7项.讨论数列的项数为7，数列的项数小于或等于6，奇数可得所求最大值.
【解答】解：（1）由不为整数，
可得数列不是4阶平衡数列；
数列为首项为1，公差为4的等差数列，
则数列是4阶平衡数列；
（2）证明：若为偶数，设，考虑这项，其和为.
所以这项的算术平均值为：，此数不是整数；
若为奇数，设；考虑；
这项，其和为，所以这项的算术平均数为：，
此数不是整数；故数列不是“阶平衡数列”，其中；
（3）在数列中任意两项，
对于任意，在中任意职两项，相异的项，
并设这项和为.由题意可得都是的倍数，
即为整数），可得，
即数列中任意两项之差都是的倍数，，
因此所求数列的任意两项之差都是的倍数，
如果数列的项数超过8，那么均为的倍数，
即均为420的倍数，（420为的最小公倍数），，
即，这与矛盾，
故数列的项数至多7项.
数列的项数为7，那么均为的倍数，
即均为60的倍数，（60为的最小公倍数），
又，且，
所以，
所以，
当且仅当取得最大值12873；
验证可得此数列为“阶平衡数列”，，
如果数列的项数小于或等于6，由，
可得数列中所有项的之和小于或等于，
综上可得数列中所有元素之和的最大值为12873.
【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论思想和化简运算能力､推理能力，属于难题.0
1
2
-1
+
0
-
0
+
极大值
极小值
-1
+
0
-
0
+
极大值
极小值