湖北省新高考联考协作体2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题
展开命题:新高考试题研究中心
考试时间:2024年1月27日下午15:00-17:00
试卷满分:150分
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答;用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1..抛物线的焦点坐标为( )
A.B.C.D.
2.若等比数列的第2项和第6项分别为3和12,则的第4项为( )
A.4B.-6C.6D.
3.两条平行直线与间的距离为( )
A.B.1C.D.
4.假设,且A与B相互独立,则( )
A.0.3B.0.4C.0.7
5.已知空间向量,则B点到直线的距离为( )
A.B.C.D.
6.过:内一点的2023条弦恰好可以构成一个公差为d()的等差数列,则公差d的最大值为( )
A.B.C.D.
7.已知椭圆C:,过右焦点F作直线与椭圆C交于A、B两点,以为直径画圆,则该圆与直线的位置关系为( )
A.相交B.相切C.相离D.不确定
8.如图,在空间直角坐标系中,正四棱柱的底面边长为4,高为2,O为上底面中心,E,F,G分别为棱、、的中点.若平面与平面的交线为l,则l的方向向量可以是( )
A.B.C.D.
二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对得2分,有错选或不选得0分)
9.若数列的前n项和为,则下列命题正确的是( )
A.数列为等差数列B.数列为单调递增数列
C.数列为单调递增数列D.数列为等差数列
10.已知点和:,过P点的两条直线分别与相切于A,B两点.则以下命题正确的是( )
A.
B.
C.P、A、Q、B均在圆上
D.A,B所在直线方程为
11.在棱长为2的正方体中,点P满足,、,则( )
A.当时,点P到平面的距离为
B.当时,点P到平面的距离为
C.当时,存在点P,使得
D.当时,存在点P,使得平面
12.已知双曲线C:,(),的左、右焦点分别为,,双曲线C上两点A,B关于坐标原点对称,点P为双曲线C右支上一动点,记直线,的斜率分别为,,若,则下列说法正确的是( )
A.
B.若,则的面积为
C.若,则的内切圆半径为
D.以为直径的圆与圈相切
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.甲、乙两人下棋,已知甲获胜的概率为0.39,乙获胜的概率为0.51,则甲不输的概率为__________.
14.已知(a,)是直线l的方向向量,是平面的法向量,如果,则__________.
15.已知:,直线l:.若上恰有两个点到直线l的距离等于1,则b的取值范围为__________.
16.在平面直角坐标系中,P为椭圆C:上的动点,Q为直线l:上的动点,且.则的最小值为__________.
四、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题10分)
递增等比数列中,,
(1)求
(2)若,求数列的前n项的和.
18.(本小题12分)
已知过、两点,且圆心M在直线上.
(1)求的标准方程
(2)若直线l:与圆交于E,F两点,且(O为坐标原点),求直线l的方程.
19.(本小题12分)
甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为p(),乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.
(1)当时,求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.
(2)若“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率为,求p的值.
20.(本小题12分)
在四棱锥中,底面是正方形,若,,.
(1)求证:平面平面
(2)求平面与平面夹角的余弦值
21.(本小题12分)
在如图三角形数阵中,第n行有n个数,表示第i行第j个数,例如,表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m为公差的等差数列,从第三行起每一行的数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中),已知,,.
(1)求m及;
(2)记,求.
22.(本小题12分)
动点G到点的距离比到直线的距离小2,
(1)求G的轨迹的方程;
(2)设动点G的轨迹为曲线C,过点F作斜率为,的两条直线分别交C于M,N两点和P,Q两点,其中.设线段和的中点分别为A,B,过点F作,垂足为D,试问:是否存在定点T,使得线段的长度为定值.若存在,求出点T的坐标及定值;若不存在,说明理由.
2023-2024学年度上学期高二年级期末考试
高二数学答案
一、单选题
二、多选题
三、填空题
14.3915.16.
三、填空题
17.解:(1)在递增等比数列中,
解得,设公比为q则,又因为,所以,
所以5分
(2)由题,则且7分
所以数列是等比数列8分
故10分
18.解(1)设的方程为.1分
因为.过、两点,且圆心M在直线上.
所以 解得:,,
所以的标准方程为:5分
(2)设,6分
联立立得7分
由题意得:,即,
由根与系数关系得:,8分
所以
解得10分
又因为满足,11分
故所求直线l的方程为12分
19.解:(1)设,分别表示甲两轮猜对1个,2个成语的事件,,分别表示乙两轮猜对1个,2个成语的事件.根据独立性假定,得
,.2分
,.
设“两轮活动‘星队’猜对3个成语”,
则,且与互斥,与,与B分别相互独立,3分
所以
5分
因此,“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是6分
(2)由(1)知甲两轮猜对0个,1个,2个成语的概率分别为
,,7分
乙两轮猜对0个,1个,2个成语的概率分别为
,,8分
因为甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响
所以“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率为
10分
整理得又因为所以12分
20.解:(Ⅰ)证明:中,,,,
所以,所以;2分
又,,
平面,平面,所以平面;4分
又平面,所以平面平面.5分
(Ⅱ)解:取的中点O,在平面内作,
以为y轴,为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示:
则,,,,,,6分
设平面的一个法向量为,
由,,
得,即,
令,得,,所以8分
设平面的一个法向量为,
由,,
得,即
令,得,,所以;10分
所以,11分
所以平面与平面夹角的余弦值为.12分
21.解:(1)由题意,可知,
,
,2分
∵,∴,
化简整理,得,解得(舍去),或,3分
∴,
∴,5分
(2)由(1),可得,
当时,,(*)6分
又∵,,
∴,均满足(*)式,∴,,7分
∴,
,
,9分
两式相减,可得11分
∴12分
22.解:(1)因为动点G到点的距离比到直线的距离小2,
所以点G到点的距离和它到直线的距离相等,
所以点G的轨迹是以为焦点,以直线为准线的抛物线.2分
设抛物线方程为(),由,得.所以G的轨迹的方程为.3分
(2)由题意,设直线的方程为,直线的方程为
,其中,且,
由消去y并整理得
该方程的判别式.设,,
则,,5分
所以,同理,
的斜率,6分
直线的方程为
直线的方程为8分
所以直线过定点.9分
又,所以点D在以为直径的圆上.11分
故存在定点,使得线段的长度为定值2.12分
1
2
3
4
5
6
7
8
B
C
D
D
A
B
C
A
9
10
11
12
BC
ACD
BD
ACD
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