陕西省西安市西安南开高级中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题(无答案)

这是一份陕西省西安市西安南开高级中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题(无答案)，共6页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，设随机变量，且，则，如图，在正方体中，E为棱的中点，已知随机变量，且，则等内容，欢迎下载使用。
高二数学试题
本试卷共150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．答卷前考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．
2．请将答案正确填写在答题卡上．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合的．）
1．已知空间向量，，且，则x的值为（ ）．
A．3B．2C．D．
2．双曲线的一个顶点为，虚半轴长为，则双曲线的标准方程是（ ）．
A．B．C．D．
3．4个人排成一排，则甲不站两边的站法有（ ）．
A．24B．12C．10D．8
4．某商品的地区经销商对2023年1月到5月该商品的销售情况进行了调查，得到如下统计表．发现销售量y（万件）与时间x（月）成线性相关，根据表中数据，利用最小二乘法求得y与x的回归直线方程为：．则下列说法错误的是（ ）．
A．由回归方程可知2024年1月份该地区的销售量为6.8万件
B．表中数据的样本中心点为
C．
D．由表中数据可知，x和y成正相关
5．设随机变量，且，则（ ）．
A．0.75B．0.5C．0.3D．0.25
6．直线与圆交于A，B两点，则的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
7．小张、小王两家计划国庆节期间去辽宁游玩，他们分别从“丹东凤凰山，鞍山千山，本溪水洞，锦州笔架山，盘锦红海滩”这五个景点中随机选择一个游玩，记事件A；“两家至少有一家选择丹东凤凰山”，事件B；“两家选择景点不同”．则概率（ ）．
A．B．C．D．
8．如图，在正方体中，E为棱的中点．动点P沿着棱DC从点D向点C移动，对于下列三个结论：①存在点P，使得；②的面积越来越小；③四面体的体积不变．
其中，所有正确结论的个数是（ ）．
A．0B．1C．2D．3
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．已知随机变量，且，则（ ）．
A．B．
C．D．
10．已知的展开式的各二项式系数的和为128，则（ ）．
A． B．展开式中x的系数为280
C．展开式中所有项的系数和为 D．展开式中的第二项为
11．设A，B是一次随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）．
A．A，B相互独立B．
C．D．
12．下列说法正确的是（ ）．
A．展开式中项的系数为1120
B．样本相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
C．根据分类变量X与Y的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，没有充分证据推断零假设不成立，即可认为X与Y独立
D．在回归分析中，最小二乘法求得的经验回归直线使所有数据的残差和为零
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知焦点为，的椭圆的方程为，且，过椭圆左焦点的直线交椭圆于A，B两点，则的周长为__________．
14．已知变量x和y的统计数据如表：若由表中数据得到经验回归直线方程为，则时的残差为__________（注：观测值减去预测值称为残差）
15．若多项式，则__________．
16．某数学兴趣小组用纸板制作正方体教具，现给图中的正方体展开图的六个区域涂色，有红、橙、黄、绿四种颜色可选，要求制作出的正方体相邻面所涂颜色均不同，共有__________种不同的涂色方法．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分10分）
等差数列的公差为d，数列的前n项和为．
（1）已知，，，求m及；
（2）已知，，，求d．
18．（本小题满分12分）
已知直线与圆相切．
（1）求实数a的值；
（2）已知直线与圆C相交于A，B两点，若的面积为2，求直线m方程．
19．（本小题满分12分）
在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，，取AD的中点O，连接OP．请建立适当的空间直角坐标系，并解答下列问题：
（1）求异面直线PB与AD所成角的余弦值；
（2）求PD与平面PBC所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分）
在“双减”政策背景之下，某校就推进学校、家庭、社会体育教育的“一体化”，实现“教会、勤练、常赛”的核心任务，学校组织人员对在校学生“是否喜爱运动”做了一次随机调查，共随机调查了18名男生和12名女生，调查发现，男、女生中分别有12人和6人喜爱运动，其余不喜爱．
（1）根据以上数据完成以下2×2列联表：
根据小概率值的独立性检验，能否据此推断性别与真爱运动有关？
（2）从被调查的女生中抽取3人，若其中喜爱运动的人数为，求的分布列及数学期望．
附参考公式及参考数据：，其中．
21．（本小题满分12分）
某工厂引进新的生产设备M，为对其进行评估，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值．
（1）为评估设备M对原材料的利用情况，需要研究零件中某材料含量y和原料中的该材料含量x之间的相关关系，现取了8对观测值，求y与x的线性回归方程．
（2）为评判设备M生产零件的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（P表示相应事件的概率）：
①；
②；
③．
评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．
（3）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品，从样本中随意抽取2件零件，再从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品总数Y的数学期望．
附：①对于一组数据，，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，；
②参考数据：，，，．
22．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为，其中一条渐近线的倾斜角为．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过点的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段AB上取一点E满足，证明：点E在一条定直线上．
时间x（月）
1
2
3
4
5
销售量y（万件）
1
1.6
2.0
A
3
x
6
7
8
9
10
y
3.5
4
5
6
6.5
喜欢运动
不喜欢运动
总计
男
女
总计
0.40
0.25
0.10
0.010
0.708
1.323
2.706
6.635
直径/mm
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合计
件数
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
100