山东省菏泽市东明县第一中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题

这是一份山东省菏泽市东明县第一中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题，共9页。试卷主要包含了已知函数的导数为，若，则，若向量，，则，下列运算不正确的有等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A.B.
C.D.
2.已知函数的导数为，若，则（ ）
A.26B.12C.8D.2
3.若向量，，则（ ）
A.B.C.3D.
4.已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）
A.B.
C.D.
5.班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q，则（ ）
A.B.C.D.
6.在等比数列中，、是方程的两根，则（ ）
A.1B.-1C.±1D.±3
7.已知正项等差数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A.3B.14C.28D.42
8.已知椭圆的焦点为，，P是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则椭圆的离心率为（ ）
A.B.C.D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若直线是函数图象的一条切线，则函数可以是（ ）
A.B.
C.D.
10.下列运算不正确的有（ ）
A.B.
C.D.
11.若数列满足，，，则称为斐波那契数列.记数列的前项和为，则（ ）
A.B.
C.D.
12.已知曲线：，其中，则下列结论正确的是（ ）
A.方程表示的曲线是椭圆或双曲线
B.若，则曲线的焦点坐标为和
C.若，则曲线的离心率
D.若方程表示的曲线是双曲线，则其焦距的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的导函数___________.
14.若，则数列的前21项和____________.
15.在长方体中，，，点为的中点，则点到平面的距离为____________.
16.已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于A、B两点，、分别交y轴于P、Q两点，的周长为6.过作外角平分线的垂线与直线交于点，若，则椭圆的方程为_____________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题10分）
（1）求导：
（2）求函数在处的导数.
18.（本小题12分）
已知等比数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
19.（本小题12分）
如图，在五面体中，平面，，，，且四面体的体积为.
（1）求的长度；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
20.（本小题12分）
已知点，圆.
（1）求过点的圆的切线方程；
（2）若直线与圆相交与A，B两点，且弦的长为，求的值.
21.（本小题12分
已知椭圆：的左右焦点是，，且的离心率为.抛物线：的焦点为，过的中点垂直于轴的直线截所得的弦长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆上一动点满足：，其中A，B是椭圆上的点，且直线，的斜率之积为.若为一动点，点满足.试探究是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由.
22.（本小题12分）
已知为数列的前项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
（3）设，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.
东明一中高二开学数学试题答案和解析
【答案】
1.B 2.D 3.D 4.C 5.D 6.B 7.D 8.C
9.BCD 10.ABD 11.BC 12.BCD
13. 14.-21 15. 16.
17.解：（1）
（2）
18.解：（1）由题意，设等比数列的公比为，
则解得，
∴，.
（2）由（1），可得，
∴
.
19.解：（1）由平面，知，
因为，则，
又，，，则.
（2）因为平面，平面，
所以，，又；
以为原点，以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
有，，，，，
则，，
设平面的法向量为，
则，
可取，
由题可知为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
所以，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
20.解：（1）由圆的方程得到圆心，半径，
当直线斜率不存在时，方程为，圆心到直线的距离为2，此时直线与圆相切；
当直线斜率存在时，设方程为，即，
由题意得：，解得，
∴方程为，
则过点的切线方程为或.
（2）∵圆心到直线的距离为，
又弦的长为.
∴，
解得：.
故的值为.
21.解：（1）抛物线：的焦点为，
∴
过Q垂直于x轴的直线截所得的弦长为，
所以，解得，
所以，
又∵椭圆的离心率为，
∴，，
∴椭圆的方程为；
（2）设，，，
则由，
得，，
∵点，A，B在椭圆上，
∴所以，，
故
，
设，分别为直线，的斜率，
由题意知，，
因此，
所以，
所以点是椭圆上的点，
∵由（1）知，又，
∴，
∴P，Q恰为椭圆的左、右焦点，
由椭圆的定义，为定值.
22.解：（1）当时，，可得，
当时，，可得，
∴是首项、公比都为的等比数列，故.
（2）由（1），，
∴
.
（3）由题设，，
∴，
则，
∴，
由对一切恒成立，
令，则，
∴数列单调递减，
∴当为奇数，恒成立，又在上递减，
则，
当为偶数，恒成立，且在上递增，
则，
综上，.