北京市第二中学2023-2024学年高二上学期12月第二学段考试数学试卷

这是一份北京市第二中学2023-2024学年高二上学期12月第二学段考试数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，选出符合题目要求的一项）
1. 已知i为虚数单位，则复数的虚部为( )
A. i B. －1 C. 2 D. －i
2. 已知点A(2,0)与B(0,4)关于直线ax+y+b=0对称，则a,b的值分别为( )
A. 1，3B. −12，−32C. −2，0D. 12，−52
3. 已知两条不重合的直线m、n和平面α，则m/​/n的一个充分不必要条件是( )
A. m⊄α，n⊂αB. m/​/α，n/​/αC. m⊥α，n⊥αD. m/​/α，n⊂α
4. 与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为2eq \r(5)的椭圆方程是( )
A.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,20)＝1 B.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,25)＝1
C.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,45)＝1 D.eq \f(x2,80)＋eq \f(y2,85)＝1
5. 在△ABC中，若b=1，A=60°，△ABC的面积为 3，则a=( )
A. 2B. 2C. 13D. 13
6. 直线l：y=− 3x+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则△OAB的面积为( )
A. 14B. 34C. 12D. 32
7. 若直线l:ax+by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的周长，则 (a−2)2+(b−2)2的最小值为( )
A. ​5 B. 5 C. 2 5 D. 10
8. 已知椭圆x216+y212=1的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF2|：|PF1|=( )
A.B.C.D.
9 . 一名同学掷骰子5次，记录每次骰子出现的点数，可以判断一定没有出现点数6的是( )
A. 平均数为3，中位数为2B. 中位数为3，众数为2
C. 平均数为2，方差为2.4D. 中位数为3，方差为2.8
10. 椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0,a≠b)任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：
x2+y2=a2+b2，这个圆称为椭圆的蒙日圆.在圆(x−4)2+(y−3)2=r2(r>0)上总存在点P，使得过点P能作椭圆x2+y23=1的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是( )
A. (1,9)B. [1,9]C. (3,7)D. [3,7]
11. 已知函数f(x)=sin (ωx+φ)(ω>0,|φ|b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，A(0,b)，且△AF1F2是面积为 3的正三角形．过F1垂直于AF2的直线交椭圆M于B，C两点，则△ABC的周长为 ．
17. 已知A为直线l:x+y+2a=0上的一个动点，P,Q为圆(x−a)2+(y−a)2=2a2上的两个动点，则∠PAQ的最大值是______________．
18. 某中学开展“劳动创造美好生活”的劳动主题教育活动，展示劳动实践成果并进行评比，某学生设计的一款如图所示的“心形”工艺品获得了“十佳创意奖”，该“心形”由上、下两部分组成，并用矩形框(虚线)进行镶嵌，上部分是两个半径都为r的半圆，AC、BD分别为其直径，且AB=BC=CD，下部分是一个“半椭圆”，并把椭圆的离心率叫做“心形”的离心率．
(1)若矩形框的周长为12，则当该矩形框面积最大时，r= ；
(2)若，图中阴影区域的面积为π3+ 32，则该“心形” 的离心率为 ．
三、解答题（共5题，共72分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
19.（本题满分13分）
给出以下三个条件：
①直线x=x1，x=x2是y=f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1−x2|的最小值为π4，
②f(−π12)=0，
③对任意的x∈R，f(x)≤|f(π24)|；
请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．
已知函数f(x)=sinωx⋅csωx+ 3cs2ωx− 32，0