期末仿真测试卷（尖子生专用C) -2023-2024学年八年级数学下学期期末复习培优拔高（苏科版）

这是一份期末仿真测试卷（尖子生专用C) -2023-2024学年八年级数学下学期期末复习培优拔高（苏科版），文件包含期末仿真测试卷尖子生专用C原卷版docx、期末仿真测试卷尖子生专用C解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。
（满分：150分 时间：120分钟）
试卷说明：本度卷难度系数约0.35，精选各考点易错题，只适合尖子生使用。
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在一个不透明的袋子里装有若干个白球和15个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有（ ）
A．5个B．15个C．20个D．35个
试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
答案详解：解：设袋中白球有x个，根据题意得：
1515+x=0.75，
解得：x＝5，
经检验：x＝5是分式方程的解，
故袋中白球有5个．
所以选：A．
2．（3分）为节约用电，某市根据每户居民每月用电量分为三档频数户收费．第一档电价：每月用电量低于240度，每度0.48元；第二档电价：每月用电量为240～400度，每度0.53元；第三档电价：每月用电量超过400度，每度0.78元小明同学对该市有1000居民的某小区月用电量（单位：度）进行了抽样调查，绘制了如图所示的统计图．下列说法不合理的是（ ）
A．本次抽样调查的样本容量为50
B．估计该小区按第一档电价交费的居民户数最多
C．该小区按第二档电价交费的居民有240户
D．该小区按第三档电价交费的居民比例约为6%
试题分析：利用直方图中的信息一一判断即可．
答案详解：解：本次抽样调查的样本容量＝4+12+14+11+6+3＝50（户），故A不符合题意．
估计该小区按第一档电价交费的居民户数占3050=60%，第二档占1750=34%，第三档占350=6%，故B，D不符合题意．
该小区按第二档电价交费的居民约为1000×34%＝340（户），故C符合题意，
所以选：C．
3．（3分）如图，已知正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4cm、1cm，若将正方形AEFG绕点A旋转，则在旋转过程中，点C、F之间的最小距离为（ ）cm．
A．3B．22C．42−1D．32
试题分析：如图，连接AF，CF，AC．利用勾股定理求出AF，AC即可解决问题．
答案详解：解：如图，连接AF，CF，AC．
∵正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4cm、1cm，
∴∠B＝∠G＝90°，AB＝BC＝4cm，AG＝GF＝1cm，
∴AF=AG2+FG2=12+12=2（cm），AC=AB2+BC2=42+42=42（cm），
∵CF≥AC﹣AF，
∴CF≥32cm，
∴CF的最小值为32cm，
所以选：D．
4．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，BC＝8，DB＝12，AC＝20，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．48B．40C．24D．96
试题分析：根据勾股定理的逆定理得出OB⊥BC，可得△OBC的面积，根据平行四边形的面积公式，可得答案．
答案详解：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=12BD＝6，OC=12AC＝10，BC＝8，
∴OC2＝OB2+BC2，
∴△OBC是直角三角形，
∴△OBC的面积=12OB⋅BC=12×6×8=24，
∴平行四边形ABCD的面积＝4△OBC的面积＝24×4＝96，
所以选：D．
5．（3分）工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．这样做的道理是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是矩形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
试题分析：先平行四边形的判定、矩形的判定进行解答即可．
答案详解：解：∵两组对边相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，
∴不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，
所以选：D．
6．（3分）如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，给出如下结论：
①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；
③AD＝4AG；④4FH＝BD；其中正确结论的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
试题分析：由SAS证得△ABC≌△EFA，则∠AEF＝∠BAC，得出EF⊥AC，易证FH是△ABC的中位线，得出FH=12BC，再由BC=12AB，AB＝BD，推出BD＝4FH，由等边三角形的性质得出∠BDF＝30°，然后由AAS证得△DBF≌△EFA，则AE＝DF，证出四边形ADFE为平行四边形，最后由平行四边形的性质得出AD＝4AG，从而得到答案．
答案详解：解：∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC＝60°，AE＝AC，
∵∠BAC＝30°，
∴∠EAF＝∠ACB＝90°，AB＝2BC，
∵F为AB的中点，
∴AB＝2AF，
∴BC＝AF，
在△ABC和△EFA中，
AC=AE∠ACB=∠EAFBC=FA，
∴△ABC≌△EFA（SAS），
∴FE＝AB，∠AEF＝∠BAC＝30°，
∴∠AHE＝180°﹣∠EAC﹣∠AEF＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴EF⊥AC，故①正确，
∵EF⊥AC，∠ACB＝90°，
∴FH∥BC，
∵F是AB的中点，
∴FH是△ABC的中位线，
∴FH=12BC，
∵BC=12AB，AB＝BD，
∴BD＝4FH，故④正确；
∵AD＝BD，BF＝AF，
∴∠DFB＝90°，∠BDF＝30°，
∵∠FAE＝90°，
∴∠DFB＝∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF＝30°，
∴∠BDF＝∠FEA，
在△DBF和△EFA中，
∠BDF=∠FEA∠DFB=EAFBF=FA，
∴△DBF≌△EFA（AAS），
∴AE＝DF，
∵FE＝AB＝AD，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∵AB＞AC，
∴AD＞AE，
∴四边形ADFE不是菱形，故②错误；
∵AG=12AF，
∴AG=14AB，
∵AD＝AB，
则AD＝4AG，故③正确，
所以选：C．
7．（3分）反比例函数y=kx与y＝﹣kx+1（k≠0）在同一坐标系的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
试题分析：分别根据反比例函数与一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
答案详解：解：A、由反比例函数的图象可知，k＞0，一次函数图象呈上升趋势且交与y轴的正半轴，﹣k＞0，即k＜0，故本选项错误；
B、由反比例函数的图象可知，k＞0，一次函数图象呈下降趋势且交与y轴的正半轴，﹣k＜0，即k＞0，故本选项正确；
C、由反比例函数的图象可知，k＜0，一次函数图象呈上升趋势且交与y轴的负半轴（不合题意），故本选项错误；
D、由反比例函数的图象可知，k＜0，一次函数图象呈下降趋势且交与y轴的正半轴，﹣k＜0，即k＞0，故本选项错误．
所以选：B．
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF＝6，BC＝13，CD＝5，则△BCD的面积为（ ）
A．60B．48C．30D．15
试题分析：连接BD，根据三角形中位线定理求出BD，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，然后求得面积即可．
答案详解：解：连接BD，
∵E、F分别是AB、AD中点，
∴BD＝2EF＝12，
∵CD2+BD2＝25+144＝169，BC2＝169，
∴CD2+BD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴S△DBC=12BD•CD=12×12×5＝30，
所以选：C．
9．（3分）郑州市某中学获评“2019年河南省中小学书香校园”，学校在创建过程中购买了一批图书．已知购买科普类图书花费12000元，购买文学类图书花费10500元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本，求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（ ）
A．12000x−5−10500x=100B．10500x−12000x−5=100
C．12000x−10500x−5=100D．10500x−5−12000x=100
试题分析：直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本得出等式进而得出答案．
答案详解：解：设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为：10500x−5−12000x=100．
所以选：D．
10．（3分）如图是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是（用含n的代数式表示）（ ）
A．n2−1B．n2−2C．n2−3D．n2−4
试题分析：观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n﹣1行的数字个数，再加上从左向右的第n﹣3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可．
答案详解：解：由图中规律知，前（n﹣1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n﹣1）＝n（n﹣1），
所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数的被开方数是
n（n﹣1）+n﹣3＝n2﹣3，
所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是n2−3．
所以选：C．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）已知一组数据有40个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别是10，5，7，6，第五组的频率是0.2，则第六组的频率是 0.1 ．
试题分析：根据频率＝频数÷总数，以及第五组的频率是0.2，可以求得第五组的频数；
再根据各组的频数和等于1，求得第六组的频数，从而求得其频率．
答案详解：解：根据第五组的频率是0.2，其频数是40×0.2＝8；
则第六组的频数是40﹣（10+5+7+6+8）＝4．
故第六组的频率是440，即0.1．
12．（4分）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；
（2）OM﹣ON的值不变；
（3）△OMN的周长不变；
（4）四边形PMON的面积不变，
其中正确的序号为 （1）（4） ．
试题分析：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．
答案详解：解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴∠EPF+∠AOB＝180°，
∵∠MPN+∠AOB＝180°，
∴∠EPF＝∠MPN，
∴∠EPM＝∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE＝PF，
在△POE和△POF中，
OP=OPPE=PF，
∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），
∴OE＝OF，
在△PEM和△PFN中，
∠MPE=∠NPFPE=PF∠PEM=∠PFN，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM＝NF，PM＝PN，故（1）正确，
∴S△PEM＝S△PNF，
∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故（4）正确，
∵OM﹣ON＝OE+EM﹣（OF﹣FN）＝2EM，不是定值，故（2）错误，
∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值，
在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，所以△OMN的周长是变化的，故（3）错误，
所以答案是（1）（4）．
13．（4分）如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝ 2或6 s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
试题分析：分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE＝CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．
答案详解：解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t＝6﹣2t，
解得：t＝2；
②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t＝2t﹣6，
解得：t＝6；
综上可得：当t＝2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
所以答案是：2或6．
14．（4分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，则∠COE＝ 75 度．
试题分析：根据等腰直角三角形的性质得到∠CAE＝∠AEC＝45°，求得∠CAB＝60°，得到∠B＝30°，根据直角三角形的性质得到CO＝BO＝AO=12AB，得到△AOC是等边三角形，∠OCB＝∠B＝30°，于是得到结论．
答案详解：解：∵∠ACB＝90°，CE＝AC，
∴∠CAE＝∠AEC＝45°，
∵∠BAE＝15°，
∴∠CAB＝60°，
∴∠B＝30°，
∵∠ACB＝90°，O为AB的中点，
∴CO＝BO＝AO=12AB，
∴△AOC是等边三角形，∠OCB＝∠B＝30°，
∴AC＝OC＝CE，
∴∠COE＝∠CEO=12×（180°﹣30°）＝75°，
所以答案是：75．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上（不与点A，B重合），DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF．若AC＝3，BC＝2，则EF的最小值为 61313 ．
试题分析：连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF＝CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出求解即可．
答案详解：解：连接CD，如图所示：
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝2，
∴AB=AC2+BC2=32+22=13，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC=12BC•AC=12AB•CD，
即 12×2×3=12×13×CD，
解得：CD=61313，
∴EF=61313，
所以答案是：61313．
16．（4分）正方形ABCD的边长为4，点M，N在对角线AC上（可与点A，C重合），MN＝2，点P，Q在正方形的边上．下面四个结论中，
①存在无数个四边形PMQN是平行四边形；
②存在无数个四边形PMQN是菱形；
③存在无数个四边形PMQN是矩形；
④至少存在一个四边形PMQN是正方形．
所有正确结论的序号是 ①②④ ．
试题分析：根据正方形的判定和性质，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理即可得到结论．
答案详解：解：如图，作线段MN的垂直平分线交AD于P，交AB于Q．
∵PQ垂直平分线段MN，
∴PM＝PN，QM＝QN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PAN＝∠QAN＝45°，
∴∠APQ＝∠AQP＝45°，
∴AP＝AQ，
∴AC垂直平分线段PQ，
∴MP＝MQ，
∴四边形PMQN是菱形，
在MN运动过程中，这样的菱形有无数个，当点M与A或C重合时，四边形PMQN是正方形，
∴至少存在一个四边形PMQN是正方形，∵当点M与A或C重合时，四边形PMQN是正方形（即是矩形），且MN＝2，∴不可能存在无数个矩形，∴①②④正确，
所以答案是①②④．
17．（4分）如图，点A是函数y=−3x(x＜0)图象上一点，点B是y=kx(k＞0，x＞0)图象上一点，点C在x轴上，连结AB，CA，CB．若AB∥x轴，S△ACB＝4，则k＝ 5 ．
试题分析：根据反比例函数系数k的几何意义，以及平行线的性质进行计算即可．
答案详解：解：连接OA、OB、CM，
∵点A是函数y=−3x(x＜0)图象上一点，点B是y=kx(k＞0，x＞0)图象上一点，
∴S△OAM=12×|−3|=32，S△OBM=12|k|，
又∵AB∥x轴，
∴S△OAM=S△CAM=32，S△OBM=S△CBM=12|k|，
∵S△ACB＝4，
∴32+12|k|=4，
又∵k＞0，
∴k＝5，
所以答案是：5．
18．（4分）式子x−1x−2在实数范围内有意义，则x的范围是 x≥1且x≠2 ．
试题分析：先根据二次根式及分式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可．
答案详解：解：∵式子x−1x−2在实数范围内有意义，
∴x−1≥0x−2≠0，解得x≥1且x≠2．
所以答案是：x≥1且x≠2．
三．解答题（共9小题，满分88分）
19．（8分）先化简(3x+4x2−1−2x−1)÷x2+4x+4x+1，然后在﹣2≤x≤2的范围内选择一个合适的整数作为x的值代入求值．
试题分析：根据分式的运算法则化简，x取一个满足条件的值，代入计算即可．
答案详解：解：(3x+4x2−1−2x−1)÷x2+4x+4x+1
=[3x+4(x+1)(x−1)−2x+2(x+1)(x−1)]÷(x+2)2x+1
=x+2(x+1)(x−1)⋅x+1(x+2)2
=1x2+x−2，
∵x＝±1，﹣2时，原分式无意义，﹣2≤x≤2，
∴x 可以为0或2，
当x＝0时，原式=−12．
20．（8分）请阅读下面解方程（x2+1）2﹣2（x2+1）﹣3＝0的过程．
解：设x2+1＝y，则原方程可变形为y2﹣2y﹣3＝0．
解得y1＝3，y2＝﹣1．
当y＝3时，x2+1＝3，
∴x＝±2．
当y＝﹣1时，x2+1＝﹣1，x2＝﹣2，此方程无实数解．
∴原方程的解为：x1=2，x2=−2．
我们将上述解方程的方法叫做换元法，
请用换元法解方程：（x−1x）2﹣2（x−1x）﹣8＝0．
试题分析：根据材料的提示，可以利用换元法解答分式方程，设x−1x=a，把分式方程化为整式方程，解出并验根即可．
答案详解：解：（x−1x）2﹣2（x−1x）﹣8＝0，
设x−1x=a，
则a2﹣2a﹣8＝0，
解得a＝﹣2或a＝4，
当a＝﹣2时，x−1x=−2，解得x=13，经检验x=13是分式方程的解，
当a＝4时，x−1x=4，解得x=−13，经检验x=−13是分式方程的解，
∴原分式方程的解是x1=13，x2=−13．
21．（8分）如图，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝12，延长BC到点E，使CE＝6，连接DE．
（1）动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD→DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ABP和△DCE全等？
（2）若动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度仅沿着BE向终点E运动，连接DP，设点P运动的时间为t秒，是否存在t，使△PDE为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由．
试题分析：（1）分两种情形：当△ABP≌△DCE，当△ABP≌△DCE，分别求解即可；
（2）分三种情形：PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE，分别求解即可．
答案详解：解：（1）当△ABP≌△DCE，即BP＝CE＝6时，则t＝6÷2＝3，
当△ABP≌△DCE，即AP＝CE＝6时，则t=BC+CD+DP2=12+8+62=13．
∴当t＝3或13时，△ABP与△DCE全等．
（2）若△PDE为等腰三角形，
则PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE，
当PD＝DE时，
∵PD＝DE，DC⊥BE，
∴PC＝CE＝6，
∴t=BC−PC2=12−62=3．
当PE＝DE＝10时，
∵BP＝BC+CE﹣PE＝12+6﹣10＝8，
∴t=82=4．
当PD＝PE时，
∴PE＝PC+CE＝6+PC，
∴PD＝6+PC，
在Rt△PDC中，PD2＝CD2+PC2，
∴（6+PC）2＝64+PC2，
∴PC=73，
∵BP＝BC﹣PC，
∴BP=12−73=293，
∴t=293÷2=296．
综上所述，当t＝3或4或296时，△PDE为等腰三角形．
22．（8分）办公区域的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升20℃，水温到100℃时停止加热．此后水温开始下降．水温y（℃）与开机通电时间x（min）成反比例关系．若水温在20℃时接通电源．一段时间内，水温y与通电时间x之间的函数关系如图所示．
（1）水温从20℃加热到100℃，需要 4 min；
（2）求水温下降过程中，y与x的函数关系式，并写出定义域；
（3）如果上午8点接通电源，那么8：20之前，不低于80℃的时间有多少？
试题分析：（1）根据开机加热时水温每分钟上升20℃即可求出水温从20℃加热到100℃所需时间；
（2）根据反比例函数过点（4，100）可求出解析式；
（3）分别计算出水温达到100℃前80℃和达到100℃后再降到80℃所需时间即可．
答案详解：解：（1）∵开机加热时水温每分钟上升20℃，
∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为100−2020=4（min），
所以答案是：4；
（2）由题可得，（4，100）在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为y=kx，
代入点（4，100）可得，k＝400，
∴y=400x，
当y＝20时，x=40020=20，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y=400x（4≤x≤20）；
（3）由计算可知，水温从20℃开始加热到100℃再冷却到20℃需4+20＝24分钟，
水温从20℃加热到30℃所需要时间为：80−2020=3，
令y＝8，则x=40080=5，
∴水温不低于30℃的时间为5﹣3＝2（分钟），
答：不低于80℃的时间有2分钟．
23．（10分）材料：如何将双重二次根式a±2b（a＞0，b＞0，a±2b＞0）化简呢？如能找到两个数m，n（m＞0，n＞0），使得（m）2+（n）2＝a，即m+n＝a，且使m⋅n=b，即m•n＝b，那么a±2b=（m）2+（n）2±2m⋅n=（m±n）2∴a±2b=|m±n|，双重二次根式得以化简．
例如化简：3±22因为3＝1+2且2＝1×2∴3±22=（1）2+（2）2±21×2∴3±22=|1±2|．
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成a±2b的形式，且能找到m，n（m＞0，n＞0）使得m+n＝a，且m•n＝b，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）填空：5±26= 3±2 ，12±235= 7±5 ；
（2）化简：9±62；
（3）计算：3−5+2±3．
试题分析：（1）仿照阅读材料，把被开方数变形成完全平方式，即可得答案；
（2）把62变形成218，仿照阅读材料的方法可得答案；
（3）将5变形成254，3变形成234，再把被开方数变形成完全平方式，即可算得答案．
答案详解：解：（1）5±26=(3±2)2=3±2，12+235=(7±5)2=7±5，
所以答案是：3±2，7±5；
（2）9±62=9±218=(6±3)2=6±3；
（3）3−5+2+3
=3−254+2+234
=(52−12)2+(32+12)2
=52−12+32+12
=10+62，
同理可得3−5+2−3=10+6−222．
24．（10分）如图所示，直线y＝k1x+b与双曲线y=k2x交于A、B两点，已知点B的纵坐标为﹣6，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D（0，﹣4），OA＝25，tan∠AOC=12．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，△OCP的面积是△ODB的面积的2倍，求点P的坐标；
（3）直接写出不等式k1x+b≤k2x的解集．
试题分析：（1）过点A作AE⊥x轴于点E，根据三角函数的性质，得点A（﹣4.2），将点A（﹣4.2）代入y=k2x，得y=−8X；通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案；
（2）连接OB、PC、PO，结合（1）的结论，得点B（43，﹣6）；结合题意得S△OCP；把y＝0代入y=−32x﹣4，得点C(−43，0)；设点P的坐标为（x，y），通过计算即可得到答案；
（3）根据（1）和（2）的结论，结合反比例和一次函数的图象，即可得到答案．
答案详解：解：（1）如图，过点A作AE⊥x轴于点E，
∵tan∠AOC=12，OA＝25，
∴AE＝2，OE＝4，
∴点A（﹣4，2），
∴双曲线的解析式为y=−8X，
把A（﹣4，2），D（0，﹣4）分别代入y＝k1x+b，
得：−4k1+b=2b=−4，
解得：k1=−32b=−4，
∴直线AB的解析式为y=−32x﹣4；
（2）如图，连接OB、PC、PO，
把y＝﹣6代入y=−32x﹣4，得x=43，
∴点B（43，﹣6），
∴S△ODB=12OD•xB=12×4×43=83，
∴S△OCP＝2S△ODB=163，
把y＝0代入y=−32x﹣4，得x=−83，
∴点C（−83，0），
设点P的坐标为（x，y），
∵S△OCP=12×83×yp=163，
∴y＝4，
∵y=−8x，
∴点P的坐标为（﹣2，4）；
（3）根据（1）和（2）的结论，结合点A（﹣4，2）、点B（43，﹣6），
∴﹣4≤x＜0或x≥43．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）．
（1）请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于原点成中心对称，并写出点A1，B1，C1的坐标．
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并写出点A2，B2，C2的坐标．
试题分析：（1）作出△ABC各点关于原点的对称点，再顺次连接即可；
（2）作出△ABC各点绕原点O按逆时针旋转90°所得的对称点，再顺次连接即可；
答案详解：解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
A1（﹣1，﹣4），B1（﹣4，﹣2），C1（﹣3，﹣5）；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．
A2（﹣4，1），B2（﹣2，4），C2（﹣5，3）．
26．（12分）数学课堂上，老师提出问题：可以通过通分将两个分式的和表示成一个分式的形式，是否也可以将一个分式3x+1(x+1)(x−1)表示成两个分式和的形式？其中这两个分式的分母分别为x+1和x﹣1．小明通过观察、思考，发现可以用待定系数法解决上面问题．具体过程如下：
设3x+1(x+1)(x−1)=Ax+1+Bx−1
则有3x+1(x+1)(x−1)=A(x−1)(x+1)(x−1)+B(x+1)(x+1)(x−1)=(A+B)x+B−A(x+1)(x−1)
故此A+B=3B−A=1解得A=1B=2
所以3x+1(x+1)(x−1)=1x+1+2x−1
问题解决：
（1）设1−xx(x+1)=Ax+Bx+1，求A、B．
（2）直接写出方程1−xx(x+1)+1−x(x+1)(x+2)=1x+2的解．
试题分析：（1）仿照题例，列方程组求A、B．
（2）由（1）和题例规律，把1−xx(x+1)、1−x(x+1)(x+2)分别写成两个分式的和的形式，化简后得结论．
答案详解：解：（1）∵Ax+Bx+1=A(x+1)x(x+1)+Bxx(x+1)
=(A+B)x+Ax(x+1)=1−xx(x+1)
∴A+B＝﹣1，A＝1
∴B＝﹣2
（2）由（1）可得1−xx(x+1)=1x+−2x+1，
同理可得1−x(x+1)(x+2)=2x+1+−3x+2
所以原方程可变形为：1x+−2x+1+2x+1+−3x+2=1x+2，
∴1x=4x+2
解得x=23
经检验，x=23是原方程的解．
所以原方程的解为：x=23
27．（14分）如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．
（1）∠EAF＝ 45 °（直接写出结果不写解答过程）；
（2）①求证：四边形ABCD是正方形．
②若BE＝EC＝3，求DF的长．
（3）如图（2），在△PQR中，∠QPR＝45°，高PH＝5，QH＝2，则HR的长度是 157 （直接写出结果不写解答过程）．
试题分析：（1）根据平角的定义得到∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°，根据角平分线的定义得到∠AFE=12∠DFE，∠AEF=12∠BEF，求得∠AEF+∠AFE=12（∠DFE+∠BEF），根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）①作AG⊥EF于G，如图1所示：则∠AGE＝∠AGF＝90°，先证明四边形ABCD是矩形，再由角平分线的性质得出AB＝AD，即可得出四边形ABCD是正方形；
②设DF＝x，根据已知条件得到BC＝6，由①得四边形ABCD是正方形，求得BC＝CD＝6，根据全等三角形的性质得到BE＝EG＝3，同理，GF＝DF＝x，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（3）把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ、MR交于点G，由（1）（2）得：四边形PMGD是正方形，MR+DQ＝QR，MR＝HR，DQ＝HQ＝2，得出MG＝DG＝MP＝PH＝6，GQ＝4，设MR＝HR＝a，则GR＝6﹣a，QR＝a+2，在Rt△GQR中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
答案详解：解：（1）∵∠C＝90°，
∴∠CFE+∠CEF＝90°，
∴∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°，
∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF，
∴∠AFE=12∠DFE，∠AEF=12∠BEF，
∴∠AEF+∠AFE=12（∠DFE+∠BEF）=12×270°＝135°，
∴∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝45°，
所以答案是：45；
（2）①作AG⊥EF于G，如图1所示：
则∠AGE＝∠AGF＝90°，
∵AB⊥CE，AD⊥CF，
∴∠B＝∠D＝90°＝∠C，
∴四边形ABCD是矩形，
∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，
∴AB＝AG，AD＝AG，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形；
②设DF＝x，
∵BE＝EC＝3，
∴BC＝6，
由①得四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝6，
在Rt△ABE与Rt△AGE中，
AB=AGAE=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴BE＝EG＝3，
同理，GF＝DF＝x，
在Rt△CEF中，EC2+FC2＝EF2，
即32+（6﹣x）2＝（x+3）2，
解得：x＝2，
∴DF的长为2；
（3）解：如图2所示：
把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ、MR交于点G，
由（1）（2）得：四边形PMGD是正方形，MR+DQ＝QR，MR＝HR，DQ＝HQ＝2，
∴MG＝DG＝MP＝PH＝5，
∴GQ＝3，
设MR＝HR＝a，则GR＝5﹣a，QR＝a+2，
在Rt△GQR中，由勾股定理得：（5﹣a）2+32＝（2+a）2，
解得：a=157，即HR=157；
所以答案是：157．