期末仿真测试卷（无锡专用）-2023-2024学年八年级数学下学期期末复习培优拔高（苏科版）

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（满分：120分 时间120分钟）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列四个图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
答案详解：解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意．
所以选：D．
2．（3分）下列调查中，最适合抽样调查的是（ ）
A．调查某校七年级一班学生的课余体育运动情况
B．调查某班学生早餐是否有喝牛奶的习惯
C．调查某种面包的合格率
D．调查某校足球队员的身高
试题分析：选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
答案详解：解：A．调查某校七年级一班学生的课余体育运动情况，适合全面调查，故本选项不合题意；
B．调查某班学生早餐是否有喝牛奶的习惯，适合全面调查，故本选项不合题意；
C．调查某种面包合格率，适合合抽样调查，故本选项符合题意；
D．调查某校足球队员的身高，适合全面调查，故本选项不合题意．
所以选：C．
3．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．12B．15C．3D．1.5
试题分析：根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
答案详解：解：A、12=23，故该选项不符合题意；
B、15=55，故该选项不符合题意；
C、3是最简二次根式，故该选项符合题意；
D、1.5=62，故该选项不符合题意．
所以选：C．
4．（3分）下列事件中，随机事件是（ ）
A．在标准大气压下，温度低于0℃时水结冰
B．小明到达公共汽车站时，1路公交车正在驶来
C．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13
D．在同一年出生的14名学生中，至少有2人出生在同一个月
试题分析：根据随机事件的概念直接判断即可．
答案详解：解：A．在标准大气压下，温度低于0℃时水结冰，是必然事件，不符合题意；
B．小明到达公共汽车站时，1路公交车正在驶来，是随机事件，符合题意；
C．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13，是不可能事件，不符合题意；
D．在同一年出生的14名学生中，至少有2人出生在同一个月，是必然事件，不符合题意；
所以选：B．
5．（3分）顺次连接平行四边形各边中点所得四边形一定是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
试题分析：可连接平行四边形的对角线，然后利用三角形中位线定理进行求解．
答案详解：解：如图；四边形ABCD是平行四边形，E、F、G、H分别是▱ABCD四边的中点．
连接AC、BD；
∵E、F是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线；
∴EF∥AC；
同理可证：GH∥AC∥EF，EH∥BD∥FG；
∴四边形EFGH是平行四边形．
故顺次连接平行四边形各边中点的图形为平行四边形．
所以选：A．
6．（3分）把分式2x22x+y中的x和y都扩大2倍，分式的值（ ）
A．不变B．扩大2倍
C．缩小为原来的12D．扩大4倍
试题分析：把原分式中的x和y都扩大2倍得到2⋅(2x)22⋅2x+2y，根据分式的基本性质化简得到2•2x22x+y，从而可对各选项进行判断．
答案详解：解：分式2x22x+y中的x和y都扩大2倍，则原分式变形为：2⋅(2x)22⋅2x+2y=4⋅2x22(2x+y)=2•2x22x+y，
所以把分式2x22x+y中的x和y都扩大2倍，分式的值扩大2倍．
所以选：B．
7．（3分）小红同学周末在家做家务，不慎把家里的一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从玻璃店配到一块与原来相同的玻璃，他应该带其中（ ）两块去玻璃店．
A．①②B．②④C．②③D．①③
试题分析：确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．
答案详解：解：只有②④两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带②④两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
所以选：B．
8．（3分）如图，点A是双曲线y=3x上的动点，连结AO并延长交双曲线于点B，将线段AB绕B顺时针旋转60°得到线段BC，点C在双曲线y=kx上运动，则k＝（ ）
A．﹣6B．9C．33D．﹣9
试题分析：连接OC，易证AO⊥OC，OC=3OA．由∠AOC＝90°想到构造K型相似，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，可证△AEO∽△OFC．从而得到OF=3AE，FC=3EO．设点A坐标为（a，b），则ab＝3，设点C坐标为（x，y），从而有FC•OF＝﹣xy＝﹣9，即k＝xy＝﹣9．
答案详解：解：∵双曲线y=3x关于原点对称，
∴点A与点B关于原点对称．
∴OA＝OB．
连接OC，AC，如图所示．
∵将线段AB绕B顺时针旋转60°得到线段BC，
∴△ABC是等边三角形，OA＝OB，
∴OC⊥AB，∠BAC＝60°，
∴tan∠OAC=OCOA=3，
∴OC=3OA．
过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，
∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，
∴∠AEO＝∠OFC，∠AOE＝90°﹣∠FOC＝∠OCF，
∴△AEO∽△OFC．
∴AEOF=EOFC=AOOC．
∵OC=3OA，
∴OF=3AE，FC=3EO．
设点A坐标为（a，b），
∵点A在第一象限，
∴AE＝a，OE＝b．
∴OF=3a，FC=3b．
∵点A在双曲线y=3x上，
∴ab＝3．
∴FC•OF=3b•3a＝3ab＝9，
设点C坐标为（x，y），
∵点C在第四象限，
∴FC＝x，OF＝﹣y．
∴FC•OF＝x•（﹣y）＝﹣xy＝9．
∴xy＝﹣9．
∵点C在双曲线y=kx上，
∴k＝xy＝﹣9．
所以选：D．
9．（3分）某气球内充满一定质量的气体，温度不变时，气球内气体的压强p（kPa）与气体的体积V（m3）的关系是如图所示的反比例函数．当气球内气体的压强大于200kPa，气球就会爆炸．为了不让气球爆炸，则气球内气体的体积V需满足的取值范围是（ ）
A．V＜0.5B．V＞0.5C．V≤0.5D．V≥0.5
试题分析：由于当温度不变时，气球内的气体的气压P是气体体积V的反比例函数，可设p=kV，再根据气体的体积V＝0.8m3时，气球内气体的压强p＝125kPa，运用待定系数法求出其解析式；故当p≤200kPa时，V≥0.5m3．
答案详解：解：设球内气体的气压P（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为p=kV，
∵当气体的体积V＝0.8m3时，气球内气体的压强p＝125kPa，
∴125=k0.8，
∴k＝125×0.8＝100，
∴p=100V，
∴当p≤200kPa，即100V≤200kPa时，
V≥0.5m3．
所以选：D．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点O为矩形ABCD的对称中心，点E为边AB上的动点，连接EO并延长交CD于点F．将四边形AEFD沿着EF翻折，得到四边形A′EFD′，边A′E交边BC于点G，连接OG、OC，则△OGC的面积的最小值为（ ）
A．18﹣37B．92+37C．12−372D．6+372
试题分析：在EA上截取EM＝EG，连接OM，证明△MOE≌△GOE，所以OM＝OG，即可得OM最短时，OG也就最短，而当OM⊥AB时，OM最短，且OM＝4＝OG，再过点O作OH⊥BC，得OH＝3，又因为OC＝5，就可以根据勾股定理计算GH、HC的长，从而计算出最小面积．
答案详解：解：在EA上截取EM＝EG，连接OM，
由折叠得：∠MEO＝∠GEO，
又∵EO＝EO，
∴△MOE≌△GOE，
∴OM＝OG，
∴OM最短时，OG也就最短，
而当OM⊥AB时，OM最短，
此时，∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴OM=12BC＝4＝OG，
即OG的最小值是4，
在△OGC中，∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴OC长度是矩形对角线长度的一半，即是5，定值，∠BCO度数也不变，是定值，
∴当OG＝4最小值时，△OGC面积最小．
过点O作OH⊥BC，
∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴OH=12AB＝3，
∴Rt△OGH中，GH=OG2−OH2=42−32=7，
Rt△OHC中，HC=OC2−OH2=52−32=4，
∴GC＝GH+HC=7+4，
∴△OGC面积的最小值是12×GC×OH=12×（7+4）×3=327+6．
所以选：D．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）若分式a2−4a−2的值为0，则a的值为 a＝﹣2 ．
试题分析：根据分式的值为零的条件解答即可．
答案详解：解：∵分式a2−4a−2的值为0，
∴a2﹣4＝0且a﹣2≠0，
∴a＝﹣2．
所以答案是：a＝﹣2．
12．（3分）一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分成4组，第1～3组的频数分别为12，10，6，则第4组的频率是 0.3 ．
试题分析：先根据频数之和等于总数求出第4组的频数，再根据频率＝频数÷总数求解即可．
答案详解：解：一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分成4组，第1～3组的频数分别为12，10，6，则第4组的频率是：1−12+10+640=0.3．
所以答案是：0.3．
13．（3分）已知1＜x＜5，化简(x−1)2+|x﹣5|＝ 4 ．
试题分析：直接利用x的取值范围进而化简得出答案．
答案详解：解：∵1＜x＜5，
∴(x−1)2+|x﹣5|＝x﹣1+5﹣x＝4．
所以答案是：4．
14．（3分）已知矩形ABCD的面积为4，AC＝27，点E、F、G分别为AC、BC、AB的中点，则四边形EFBG的周长为 6 ．
试题分析：由矩形的性质得AB•BC＝4，∠ABC＝90°，再由勾股定理得AB2+BC2＝28，求出AB+BC＝6，然后由三角形中位线定理得EF∥AB，EG∥BC，EF=12AB，EG=12BC，则四边形EFBG是矩形，即可求解．
答案详解：解：∵矩形ABCD的面积为4，
∴AB•BC＝4，∠ABC＝90°，
由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2＝（27）2＝28，
∴（AB+BC）2＝AB2+BC2+2AB•BC＝28+2×4＝36，
∴AB+BC＝6，
∵E、F、G分别为AC、BC、AB的中点，
∴EF、EG是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，EG∥BC，EF=12AB，EG=12BC，
∴四边形EFBG是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形EFBG是矩形，
∴四边形EFBG的周长＝2×（EF+EG）＝2×（12AB+12BC）＝AB+BC＝6，
所以答案是：6．
15．（3分）如图，将▱ABCD沿EF对折，使点A落在点C处．点D的对应点为点D′．若∠A＝60°，AD＝10，AB＝20，则AE的长为 14 ．
试题分析：过点C作CG⊥AB的延长线于点G，易证△D′CF≌△ECB（ASA），从而可知D′F＝EB，CF＝CE，设AE＝x，在△CEG中，利用勾股定理列出方程即可求出x的值．
答案详解：解：过点C作CG⊥AB的延长线于点G，
在▱ABCD中，
∠D＝∠EBC，AD＝BC，∠A＝∠DCB，
由于▱ABCD沿EF对折，
∴∠D′＝∠D＝∠EBC，∠D′CE＝∠A＝∠DCB，
D′C＝AD＝BC，
∴∠D′CF+∠FCE＝∠FCE+∠ECB，
∴∠D′CF＝∠ECB，
∴△D′CF≌△ECB（ASA），
∴D′F＝EB，CF＝CE，
∵DF＝D′F，
∴DF＝EB，AE＝CF，
设AE＝x，
则EB＝20﹣x，CF＝x，
∵BC＝10，∠CBG＝60°，
∴BG=12BC＝5，
由勾股定理可知：CG＝53，
∴EG＝EB+BG＝20﹣x+5＝25﹣x，
在△CEG中，
由勾股定理可知：（25﹣x）2+（53）2＝x2，
解得：x＝AE＝14．
所以答案是：14．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，将△ABC将绕点A逆时针旋转70°得到△AB′C′，连接BB′、BC′，若AC′＝BC′，则∠B′BC′的度数为 35° ．
试题分析：由旋转的性质得出∠CAC'＝∠BAB'＝70°，AB＝AB'，由等腰三角形的性质求出∠BAC'＝∠ABC'＝20°，∠ABB'＝55°，则可求出答案．
答案详解：解：∵将△ABC将绕点A顺时针旋转70°得到△AB'C'，
∴∠CAC'＝∠BAB'＝70°，AB＝AB'，
∵∠BAC＝50°，
∴∠BAC'＝∠CAC'﹣∠BAC＝70°﹣50°＝20°，
∵AC'＝BC'，
∴∠BAC'＝∠ABC'＝20°，
∵AB＝AB'，
∴∠ABB'=12×（180°﹣∠BAB'）=12×（180°﹣70°）＝55°，
∴∠B'BC'＝∠ABB'﹣∠ABC'＝55°﹣20°＝35°．
所以答案是：35°．
17．（3分）如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y=k2x的图象交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则关于x的不等式k1x+b−k2x＜0的解集是 x＜0或1＜x＜5 ．
试题分析：根据k1x+b−k2x＜0，则反比例函数大于一次函数，进而结合图象得出答案．
答案详解：解：如图所示：关于x的不等式k1x+b−k2x＜0的解集是：x＜0或1＜x＜5．
所以答案是：x＜0或1＜x＜5．
18．（3分）将矩形ABCD进行如图所示的折叠，使得点A恰好落在CD的延长线上的点E处，点B落在点F处，折痕分别与边AD、对角线AC交于点G、H，连接EH交边AD于点I．若EH⊥AC，AC=42，HC＝2，则EI的长度为 42−4 ．
试题分析：由翻折变换的性质可知，EH＝AH＝42−2，再根据等角的余角相等得出∠IED＝∠IAH，进而证出△AHI≌△ECH，再由全等三角形的对应边相等得出HI＝HC＝2，进而得出答案．
答案详解：解：由翻折变换的性质可知，EH＝AH＝42−2，
∵EH⊥AC，
∴∠AHI＝∠EHC＝90°，
又∵ABCD是矩形，
∴∠ADE＝∠ADC＝90°，
∵∠AIH＝∠EID，
∴∠IED＝∠IAH，
在△AHI和△ECH中，
∵∠AHI=∠EHC=90°AH=EH∠HAI=∠HEC，
∴△AHI≌△ECH（ASA），
∴HI＝HC＝2，
∴IE＝EH﹣HI＝42−2﹣2＝42−4，
所以答案是：42−4．
三．解答题（共9小题，满分66分）
19．（6分）计算：
（1）12×23−612．
（2）（2−3）2+24+66+|2−6|．
试题分析：（1）直接利用二次根式的性质结合二次根式的乘法运算法则化简，进而合并二次根式得出答案；
（2）利用乘法公式以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案．
答案详解：解：（1）12×23−612
=12×23−6×22
＝22−32
=−2；
（2）（2−3）2+24+66+|2−6|
＝2+3﹣26+26+66+6−2
＝2+3﹣26+2+6+6−2
＝5．
20．（6分）解方程
①x−8x−7−8=17−x
②1x+2+4xx2−4=2x−2
试题分析：①分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
②分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
答案详解：解：①去分母得：x﹣8﹣8x+56＝﹣1，
解得：x＝7，
经检验x＝7是增根，分式方程无解；
②去分母得：x﹣2+4x＝2x+4，
解得：x＝2，
经检验x＝2是增根，分式方程无解．
21．（6分）已知1a+1b=5（a≠b），求ab(a−b)−ba(a−b)的值．
试题分析：原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
答案详解：解：∵1a+1b=5，
∴a+bab=5，
则原式=a2−b2ab(a−b)=a+bab=5．
22．（6分）图1表示的是某书店今年1～5月的各月营业总额的情况，图2表示的是该书店“党史”类书籍的各月营业额占书店当月营业总额的百分比情况．若该书店1～5月的营业总额一共是182万元，观察图1、图2，解答下列问题：
（1）求该书店4月份的营业总额，并补全条形统计图；
（2）求5月份“党史”类书籍的营业额；
（3）这5个月中 3 月份“党史”类书籍的营业额最低．
试题分析：（1）根据各组频率之和等于样本容量可求出“4月份”的营业总额，即可补全统计图；
（2）根据“5月份”的营业总额以及“党史”所占的百分比进行计算即可；
（3）求出各个月份“党史”类书籍的营业额即可．
答案详解：解：（1）“4月份”的营业总额为：182﹣30﹣40﹣25﹣42＝45（万元），补全统计图如下：
（2）42×25%＝10.5（万元），
答：5月份“党史”类书籍的营业额为10.5万元；
（3）1月份“党史”类书籍的营业额为：30×15%＝4.5（万元），
2月份“党史”类书籍的营业额为：40×10%＝4（万元），
3月份“党史”类书籍的营业额为：25×12%＝3（万元），
4月份“党史”类书籍的营业额为：45×20%＝9（万元），
5月份“党史”类书籍的营业额为：42×25%＝10.5（万元），
所以3月份“党史”类书籍的营业额最少，
所以答案是：3．
23．（8分）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为1，求m的值和另一个根．
试题分析：（1）根据方程表示出根的判别式，判断根的判别式大于等于0即可得证；
（2）把x＝1代入方程求出m的值，进而确定出方程，求出另一根即可．
答案详解：（1）证明：∵Δ＝（﹣m）2﹣4（2m﹣4）
＝m2﹣8m+16
＝（m﹣4）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：把x＝1代入方程得：1﹣m+2m﹣4＝0，
解得：m＝3，
把m＝3代入得：x2﹣3x+2＝0，
解得：x1＝1，x2＝2，
所以另一根为x＝2．
24．（8分）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．
例如：4+23=1+3+23=12+23+（3）2＝（1+3）2．这样小明就找到了一种把类似4+23的式子化为完全平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）14﹣65=14﹣2×3×5=（ 3 ）2+（ 5 ）2﹣2×3×5=（ 3−5 ）2；
（2）化简：3−22+5−26+7−212+⋯⋯+2n+1−2n(n+1)．（n为正整数）
试题分析：（1）仿照阅读材料解答即可；
（2）先化简每个根式，再合并即可．
答案详解：解：（1）14﹣65=14﹣2×3×5=32+（5）2﹣2×3×5=（3−5）2；
所以答案是：3，5，3−5；
（2）原式＝（2−1）+（3−2）+（4−3）++（n+1−n）
=2−1+3−2+4−3++n+1−n
=n+1−1．
25．（8分）（1）如图1，点A、B都在边长为1的网格纸的格点上，仅用无刻度的直尺按要求画图．画出以AB为一边的平行四边形ABCD，使其四个顶点都在格点上，且∠ABC＝45°；并直接写出平行四边形ABCD的周长＝ 210+45 ，面积＝ 10 ．
（2）如图2，已知△ABC，用无刻度的直尺和圆规在AB上作一点P，使得∠CPB＝2∠ABC．（不写作法，保留作图痕迹）
试题分析：（1）构造等腰直角三角形解决问题即可；
（2）作线段BC的垂直平分线交AB于点T，连接CT，以C为圆心，CP为半径作弧交AB于点P，连接CP，点P即为所求．
答案详解：解：（1）如图1中，平行四边形ABCD即为所求．
∵BC＝AD=12+32=10，AB＝CD=22+42=25，
∴平行四边形的周长为210+45，
∵AC⊥BC，AC＝BC=10
∴平行四边形的面积=10×10=10．
所以答案是：45+210，10．
（2）如图2中，点P即为所求．
26．（8分）如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝6，OB＝3，反比例函数y=kx（k≠0）在第一象限的图象经过正方形的顶点C．
（1）求点C的坐标和反比例函数的表达式；
（2）如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形A'B'C'D'，点A'恰好落在反比例函数的图象上，求此时点D'的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、A'、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
试题分析：（1）作CH⊥x轴于H，利用AAS证明△AOB≌△BHC，得BH＝OA＝6，CH＝OB＝3，可得点C的坐标，再将点C代入反比例函数解析式可得答案；
（2）由（1）同理可得，点D（6，9），根据A'的坐标求出m的值，再利用平移的性质可得D'的坐标；
（3）分OA'＝OP，A'O＝A'P，PA'＝PO三种情形，分别画出菱形，根据菱形的性质可得答案．
答案详解：解：（1）作CH⊥x轴于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBH＝90°，
∵∠ABO+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠CBH，
∴△AOB≌△BHC（AAS），
∴BH＝OA＝6，CH＝OB＝3，
∴C（9，3），
∵反比例函数y=kx（k≠0）在第一象限的图象经过正方形的顶点C．
∴k＝9×3＝27，
∴y=27x；
（2）由（1）同理可得，点D（6，9），
∵点A'恰好落在反比例函数的图象上，
∴当y＝6时，x=92，
∴m=92，
∴D'（6+92，9），即D'（212，9）；
（3）当OA'＝OP时，如图，
∵A'（92，6），
∴OA'=152，
∵四边形OPQA'是菱形，
∴A'Q∥OP，A'Q＝OP，
∴Q（12，6），
当点Q'在第二象限时，Q'（﹣3，6），
当A'O＝A'P时，如图，
则点A'与Q关于x轴对称，
∴Q（92，﹣6），
当PO＝PA'时，如图，设P（m，0），
则PO＝PA'，
∴m2＝（m−92）2+62，
解得m=254，
∴OP＝A'Q=254，
∴Q（−74，6），
综上：Q（12，6）或（﹣3，6）或（92，﹣6）或（−74，6）．
27．（10分）在正方形ABCD中，将边AD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AE，AE与CD延长线相交于点F，过B作BG∥AF交CF于点G，连接BE．
（1）如图1，求证：∠BGC＝2∠AEB；
（2）当（45°＜α＜90°）时，依题意补全图2，用等式表示线段AH，EF，DG之间的数量关系，并证明．
试题分析：（1）根据BG∥AF，得到∠GBE＝∠AEB，由AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，得到AE＝AB，∠ABE＝∠AEB＝∠GBE，由正方形性质得到CD∥AB，得到∠BGC＝2∠AEB；
（2）按照题意补全图形即可，在DC上取DN＝AH，连接AN交BG于M，交BE于P，连接HM，EM，利用△ADN≌△BAH、△ABP≌△MBP、△ABH≌△MBH证明A、H、M、B共圆，从而可得∠DNA＝∠GMN，GN＝GM，再证明EF＝GM，即可得到EF＝AH+DG．
答案详解：解：（1）证明：∵边AD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AE，
∴AD＝AE，
∵正方形ABCD，
∴AB＝AD＝AE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∵BG∥AF，
∴∠AEB＝∠GBE，
∴∠ABE＝∠AEB＝∠GBE，
∴∠ABG＝2∠AEB，
∵正方形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠BGC＝∠ABG，
∴∠BGC＝2∠AEB；
（2）补全图2如下：
线段AH，EF，DG之间的数量关系为：EF＝AH+DG，理由如下：
在DC上取DN＝AH，连接AN交BG于M，交BE于P，连接HM，EM，如图：
∵正方形ABCD，
∴AB＝AD，∠ADN＝∠BAH＝90°，
又DN＝AH，
∴△ADN≌△BAH（SAS），
∴∠DNA＝∠AHB，∠DAN＝∠ABH，
∵∠DNA+∠DAN＝90°，
∴∠DAN+∠AHB＝90°，
∴∠APH＝90°，
∴∠BPM＝∠BPA＝90°，
由（1）知∠ABE＝∠GBE，
且BP＝BP，
∴△ABP≌△MBP（ASA），
∴AB＝MB，
而BH＝BH，∠ABE＝∠GBE，
∴△ABH≌△MBH（SAS），
∴∠HAB＝∠HMB＝90°，
∴A、H、M、B共圆，
∴∠AHB＝∠AMB＝∠GMN，
∴∠DNA＝∠GMN，
∴GN＝GM，
∵CF∥AB，BG∥AF，
∴四边形ABGF是平行四边形，
∴BG＝AF，
∵AE＝AD＝AB＝MB，
∴EF＝GM，
∴EF＝GN，
∵GN＝DG+DN，
∴EF＝DG+AH．