专题02 易错题精选02之平行四边形与矩形专题-2023-2024学年八年级数学下学期期末复习培优拔高（苏科版）

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一．平行四边形与三角形三边关系的融合
1．平行四边形的一条对角线长为10，则它的一组邻边可能是（ ）
A．4和6B．2和12C．4和8D．4和3
试题分析：平行四边形的一条对角线正好把平行四边形分成两个三角形，平行四边形的一组邻边长正好是三角形的两边，平行四边形的对角线正好为三角形的第三边，所以要讨论第三边与两边之和的关系．
答案详解：解：由题意得：平行四边形的一组邻边长正好是三角形的两边，平行四边形的对角线正好为三角形的第三边，
∵平行四边形的一条对角线长为10，
∴它的一组邻边必须：满足之和大于10，差小于10，
∴它的一组邻边可能是：4和8，
所以选：C．
2．一条边长为5的平行四边形，它的对角线长可能是（ ）
A．4和6B．4和3C．2和6D．4和8
试题分析：根据平行四边形的性质中，两条对角线的一半和一边构成三角形，利用三角形三边关系判断可知．
答案详解：解：A、对角线一半分别是2和3，2+3＝5，故不能构成三角形，故本选项不符合题意；
B、对角线一半分别是2和1.5，2+1.5＝3.5＜5，故不能构成三角形，故本选项不符合题意；
C、对角线一半分别是1和3，1+3＜5，故不能构成三角形，故本选项不符合题意；
D、对角线一半分别是2和4，符合三角形的三边关系，能构成三角形，故本选项符合题意．
所以选：D．
二．平行四边形的判定
3．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC＝EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
试题分析：（1）首先由Rt△ABC中，由∠BAC＝30°可以得到AB＝2BC，又由△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE＝2AF，并且AB＝2AF，然后证得△AFE≌△BCA，继而证得结论；
（2）根据（1）知道EF＝AC，而△ACD是等边三角形，所以EF＝AC＝AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形．
答案详解：证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB＝2AF
∴AF＝BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
AF=BCAE=BA，
∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），
∴AC＝EF；
（2）∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，AC＝AD，
∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90°
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC＝EF，AC＝AD，
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
4．如图所示，OA＝OC，BD＝16cm，则当OB＝ 8 cm时，四边形ABCD是平行四边形．
试题分析：求出OB＝OD，再由平行四边形的判定即可得出结论．
答案详解：解：当OB＝8cm时，四边形ABCD是平行四边形．理由如下：
∵BD＝16cm，OB＝8cm，
∴OD＝BD﹣OB＝8（cm），
∴OB＝OD，
∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
所以答案是：8．
5．如图，以△ABC的三边分别作等边△DAC，△ABE，△BCF．求证：四边形ADFE是平行四边形．
试题分析：由△ABE与△BCF都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，∠ABE＝∠CBF＝60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到△EBF≌△ABC；利用全等三角形对应边相等得到EF＝AC，再由三角形ADC为等边三角形得到三边相等，等量代换得到EF＝AD，同理可得AE＝DF，利用对边相等的四边形为平行四边形得到AEFD为平行四边形．
答案详解：证明：∵△ABE、△BCF为等边三角形，
∴AB＝BE＝AE，BC＝CF＝FB，∠ABE＝∠CBF＝60°，
∴∠ABE﹣∠ABF＝∠FBC﹣∠ABF，
即∠CBA＝∠FBE，
在△EBF和△ABC中，
EB=AB∠FBE=∠CBABF=BC，
∴△EBF≌△ABC（SAS）；
∴EF＝AC，
又∵△ADC为等边三角形，
∴CD＝AD＝AC，
∴EF＝AD＝DC，
同理可得△ABC≌△DFC，
∴AB＝AE＝DF，
∴四边形AEFD是平行四边形．
三．平行四边形的性质。
6．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB=12BC，连接OE．下列结论：①∠ADO＝30°；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB＝AB；④S四边形OECD=32S△AOD，其中成立的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
试题分析：结合平行四边形的性质可证明△ABE为等边三角形，由AB=12BC，可得EC＝AE＝BE，由三角形中位线定理可判定③，证明∠BAC＝90°，可判定①；由平行四边形的面积公式可判定②；利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判定④．
答案详解：解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，OB＝OD，AO＝CO，
∴∠DAE＝∠AEB，∠BAD＝∠BCD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AB＝BE＝AE，
∵AB=12BC，
∴EC＝AE＝BE，
又∵AO＝CO，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，OE=12AB，
∴∠CAD＝30°，OB≠OC，
∴∠OBC≠∠OCB≠30°，
∴∠ADO≠30°，故①错误；
∵∠BAD＝120°，∠CAD＝30°，
∴∠BAC＝90°，
∴BO＞AB，∴故③错误；
∴S▱ABCD＝AB•AC＝AC•CD，故②正确；
∵∠BAC＝90°，BC＝2AB，
∴E是BC的中点，
∴S△BEO：S△BCD＝1：4，
∴S四边形OECD：S△BCD＝3：4，
∴S四边形OECD：S▱ABCD＝3：8，
∵S△AOD：S▱ABCD＝1：4，
∴S四边形OECD=32S△AOD，故④正确．
所以选：B．
7．如图，在平行四边形ABCD中，EF过对角线的交点O，且与边AB、CD分别相交于点E、F，若AE＝2EB，则△ODF的面积是四边形ABCD面积的（ ）
A．112B．16C．14D．18
试题分析：根据AE＝2EB可得S△OBE=13S△AOB，由平行四边形的性质可得S△AOB=14S△D平行四边形ABC，即可得S△OBE=112S平行四边形ABC，通过证明△ODF≌△OBE可得S△ODF＝S△OBE，进而可求解．
答案详解：解：∵AE＝2EB，
∴EB=13AB，
∴S△OBE=13S△AOB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴S△AOB=14S△D平行四边形ABC，AB∥CD，OD＝OF，
∴S△OBE=112S平行四边形ABC，∠ODF＝∠OBE，∠OFD＝∠OEB，
在△ODF和△OBE中，
∠OFD=∠OEB∠ODF=∠OBEOD=OF，
∴△ODF≌△OBE（AAS），
∴S△ODF＝S△OBE，
∴S△ODF=112S平行四边形ABCD，
所以选：A．
四．平行四边形与角平分的巧妙融合
8．如图，已知平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与边CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且AF＝DF．
①求证：AB＝DE；
②若AB＝3，BF＝5，求△BCE的周长．
试题分析：①利用平行四边形的性质，判定△ABF≌△DEF，即可得出AB＝DE；
②利用角平分线以及平行线的性质，即可得到AF＝AB＝3，进而得出BC＝AD＝6，CD＝AB＝3，依据△ABF≌△DEF，可得DE＝AB＝3，EF＝BF＝5，进而得到△BCE的周长．
答案详解：解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠A＝∠FDE，∠ABF＝∠E，
∵AF＝DF，
∴△ABF≌△DEF，
∴AB＝DE；
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵AD∥BC，
∴∠CBF＝∠AFB，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝3，
∴AD＝2AF＝6
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝6，CD＝AB＝3，
∵△ABF≌△DEF，
∴DE＝AB＝3，EF＝BF＝5，
∴CE＝6，BE＝EF+BF＝10，
∴△BCE的周长＝BC+CE+BE＝10+6+6＝22．
9．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线交AD于点E，∠BCD的角平分线交AD于点F，若AB＝7，BC＝10，则DE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
试题分析：由平行四边形的性质得AD＝BC＝10，AD∥BC，再证∠AEB＝∠ABE，得AE＝AB＝7，即可得出结论．
答案详解：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝10，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AE＝AB＝7，
∴DE＝AD﹣AE＝10﹣7＝3，
所以选：A．
10．如图，已知平行四边形ABCD中，3AB＝2BC，点O是∠BAD和∠CBA的角平分线的交点，过点O作EF∥AB，分别交AD、BC于E、F两点，连接OD、OC．则下列结论：①AO⊥BO；②点O是EF的中点；③DE＝2AE；④S△OCD＝4S△OAE，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
试题分析：利用平行四边形的性质得到AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，利用平行线的性质和角平分线的定义计算出∠OAB+∠OBA＝90°，则∠AOB＝90°，于是可对①进行判断；利用平行线的性质证明∠EAO＝∠AOE，∠OBF＝∠BOF得到AE＝OE，BF＝OF，再证明四边形ABFE为平行四边形得到AE＝BF，所以OE＝OF，则可对②进行判断；设AB＝2x，BC＝3x，则EF＝2x，AD＝3x，EA＝OE＝x，DE＝2x，则可对③进行判断；利用三角形面积公式和平行四边形的面积公式得到S平行四边形ABFE=12S平行四边形FEDC，S△OAB=12S平行四边形ABFE，S△OCD=12S平行四边形FEDC，S△OAB=12S△OCD，S△AOE=12S△OAB，所以S△AOE=14S△OCD，从而可对④进行判断．
答案详解：解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵点O是∠BAD和∠CBA的角平分线的交点，
∴∠OAB=12∠BAD，∠OBA=12∠ABC，
∴∠OAB+∠OBA=12（∠BAD+∠ABC）=12×180°＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴AO⊥BO，所以①正确；
∵EF∥AB，
∴∠OAE＝∠AOE，∠OBA＝∠BOF，
∴∠EAO＝∠AOE，∠OBF＝∠BOF，
∴AE＝OE，BF＝OF，
∵AE∥BF，AB∥EF，
∴四边形ABFE为平行四边形，
∴AE＝BF，
∴OE＝OF，即O点为EF的中点，所以②正确；
∵3AB＝2BC，
∴设AB＝2x，BC＝3x，
∴EF＝2x，AD＝3x，
∴EA＝OE=12EF＝x，
∴DE＝AD﹣AE＝3x﹣x＝2x，
∴DE＝2AE，所以③正确；
而AB＝CD，
∴S平行四边形ABFE=12S平行四边形FEDC，
∵S△OAB=12S平行四边形ABFE，S△OCD=12S平行四边形FEDC，
∴S△OAB=12S△OCD，
∵OE＝OF，
∴S△AOE＝S△BOF，
∴S△AOE=12S△OAB，
∴S△AOE=14S△OCD，所以④正确．
所以选：D．
五．平面直角坐标系中平行四边形的存在性。
11．在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为（0，0），（3，0），（5，3），则第四个顶点的坐标为 （8，3），（2，3），（﹣2，﹣3） ．
试题分析：分三种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解．
答案详解：解：设O（0，0），A（3，0），B（5，3），
以AB为平行四边形的对角线，则第四个顶点的坐标为（8，3）；
以OB为平行四边形的对角线，则第四个顶点的坐标为（2，3）；
以AO为平行四边形的对角线，则第四个顶点的坐标为（﹣2，﹣3）．
所以答案是：（8，3），（2，3），（﹣2，﹣3）．
12．在平面直角坐标系中，已知点A（0，0）、点B（0，﹣5）、点C（﹣2，﹣2），则以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形的第四个顶点D不可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
试题分析：可用点平移的问题来解决，从A到B横坐标不变，纵坐标变化5，那么从C到点D，横坐标不变，纵坐标也变化5，为（﹣2，﹣7）或（﹣2，3）分别在第三象限或第二象限；从C到A横坐标加2，纵坐标加2，那么从B到D也应如此，应为（2，﹣3），在第四象限，即可得出结果．
答案详解：解：根据平移的性质分两种情况：
①从A到B横坐标不变，纵坐标变化5，那么从C到点D，横坐标不变，纵坐标也变化5，则D点为（﹣2，﹣7）或（﹣2，3），即分别在第三象限或第二象限．
②从C到A横坐标加2，纵坐标加2，那么从B到D也应如此，应为（2，﹣3），即在第四象限．
所以选：A．
13．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），C（3，2）三点，现以A，B，C，D为顶点作平行四边形，则第四个顶点D的坐标是 （﹣1.2）或（﹣3，﹣2）或（7，2） ．
试题分析：首先画出坐标系，再分别以AC、AB、BC为对角线通过线段平移作出平行四边形，进而可得D点坐标．
答案详解：解：如图，
当以AC为对角线，此时D（﹣1，2）；
当以AB为对角线时，此时D′（﹣3，﹣2）；
当以BC为对角线时，此时点D″（7，2）．
则第四个顶点D的坐标是（﹣1.2）或（﹣3，﹣2）或（7，2）．
所以答案是：（﹣1.2）或（﹣3，﹣2）或（7，2）．
14．如图，点A（1，2），点B（2，0）．求：
（1）求OA和AB的解析式；
（2）在坐标平面内存在一点C，使得以O、A、C、B为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点C的坐标．
试题分析：（1）由两点之间距离公式可求AB的长，由待定系数法可求直线AB的解析式；
（2）分三种情况讨论，由平行四边形的性质可求解．
答案详解：解：（1）∵点A（1，2），点B（2，0），
∴AB=(1−2)2+(2−0)2=5，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
2=k+b0=2k+b，
解得：k=−2b=4，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+4；
（2）设点C（x，y），
当OA，OB为边时，∵四边形OACB是平行四边形，
∴AB与OC互相平分，
∴1+22=0+x2，2+02=0+y2，
∴x＝3，y＝2，
∴点C（3，2）；
当OB、AB为边时，∵四边形ABOC是平行四边形，
∴OA与BC互相平分，
∴0+12=2+x2，0+22=0+y2
∴x＝﹣1，y＝2，
∴点C（﹣1，2）；
当AO、AB为边时，∵四边形OABC是平行四边形，
∴AC与OB互相平分，
∴1+x2=0+22，2+y2=0+02，
∴x＝1，y＝﹣2，
∴点C（1，﹣2），
综上所述：点C坐标为：（3，2）或（﹣1，2）或（1，﹣2）．
六．平行四边形的存在性--动点精选
15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示：
AP＝ t ；DP＝ 12﹣t ；BQ＝ 15﹣2t ；CQ＝ 2t ．
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
试题分析：（1）根据速度、路程以及时间的关系和线段之间的数量关系，即可求出AP，DP，BQ，CQ的长
（2）当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形，建立关于t的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的t值即可；
（3）当PD＝CQ时，四边形PDCQ是平行四边形；建立关于t的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的t值即可．
答案详解：解：（1）t，12﹣t，15﹣2t，2t
（2）根据题意有AP＝tcm，CQ＝2tcm，PD＝（12﹣t）cm，BQ＝（15﹣2t）cm．
∵AD∥BC，∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t＝15﹣2t，解得t＝5．
∴t＝5s时四边形APQB是平行四边形；
（3）由AP＝tcm，CQ＝2tcm，
∵AD＝12cm，BC＝15cm，
∴PD＝AD﹣AP＝（12﹣t）cm，
如图1，∵AD∥BC，即PD∥CQ，
∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形．
即：12﹣t＝2t，
解得t＝4s，
∴当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
16．如图，等边△ABC的边长为8，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以每秒3个单位长度的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B﹣C的方向以每秒2个单位长度的速度运动．
（1）若动点M、N同时出发，经过几秒第一次相遇？
（2）若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．在△ABC的边上是否存在一点D，使得以点A、M、N、D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时运动的时间t及点D的具体位置；若不存在，请说明理由．
试题分析：（1）设经过t秒钟两点第一次相遇，然后根据点M运动的路程+点N运动的路程＝AB+CA列方程求解即可；
（2）首先根据题意画出图形：如图②，当0≤t≤83时，MC+BN＝AN+BN＝8；当83＜t≤4时，此时A、M、N三点在同一直线上，不能构成平行四边形；4＜t≤163时，MB+NC＝AN+CN＝8；当163＜t≤8时，△BNM为等边三角形，由BN＝BM可求得t的值．
答案详解：解：（1）
第一次相遇时间=8+83+2=165（秒）；
答：若动点M、N同时出发，经过165秒钟两点第一次相遇；
（2）如图2，当点M在线段AB上，点N在AC上时：
∵四边形ANDM为平行四边形，
DM＝AN DM∥AN
∵△ABC为等边三角形，
△BMD和△NCD是等边三角形，
∴BM+CN＝CN+AN＝8，
∴2t+3t＝8，
∴t=85，
此时BD=245；
如图3，当点M在线段AC上，点N在AB上时：
同理△BND和△MCD是等边三角形，
AM＝3t﹣8，
AN＝2t﹣8，
∴AM+AN＝AC＝8，
3t﹣8+2t﹣8＝8，
t=245，
此时BD=325．
如图4，当点M在线段BC上，点N在AB上时，
同理△BMN和△MCD是等边三角形
CM＝3t﹣16
AN＝2t﹣8
∴CM＝AN．
3t﹣16＝2t﹣8．
t＝8＞7.5（不合题意，舍去）．
综上所述：运动了85或245时，A、M、N、D四点能够成平行四边形，此时点D在BC上，且BD=245或325．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，BD⊥AC于点D，且BD＝16cm．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：
（1）线段AD＝ 12 cm；
（2）求证：PB＝PQ；
（3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？
试题分析：（1）由勾股定理求出AD即可；
（2）由等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠PBQ＝∠PQB，再由等腰三角形的判定定理即可得出结论；
（3）分两种情况：①当点M在点D的上方时，PQ＝BP＝tcm，AM＝4tcm，AD＝12cm，得出MD＝AD﹣AM＝（12﹣4t）cm，由PQ∥MD，当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可；
②当点M在点D的下方时，PQ＝BP＝tcm，AM＝4tcm，AD＝12cm，得出MD＝AM﹣AD＝（4t﹣12）cm，由PQ∥MD，当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可．
答案详解：（1）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=AB2−BD2=202−162=12（cm），
所以答案是：12；
（2）证明：如图1所示：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，即∠PBQ＝∠C，
∵PQ∥AC，
∴∠PQB＝∠C，
∴∠PBQ＝∠PQB，
∴PB＝PQ；
（3）解：分两种情况：
①当点M在点D的上方时，如图2所示：
由题意得：PQ＝BP＝tcm，AM＝4tcm，AD＝12cm，
∴MD＝AD﹣AM＝（12﹣4t）cm，
∵PQ∥AC，
∴PQ∥MD，
∴当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，
即当t＝（12﹣4t）cm时，四边形PQDM是平行四边形，
解得：t=125（s）；
②当点M在点D的下方时，如图3所示：
根据题意得：PQ＝BP＝tcm，AM＝4tcm，AD＝12cm，
∴MD＝AM﹣AD＝（4t﹣12）cm，
∵PQ∥AC，
∴PQ∥MD，
∴当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，
即当t＝（4t﹣12）cm时，四边形PQDM是平行四边形，
解得：t＝4（s）；
综上所述，当t=125s或t＝4s时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形．
18．如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝9cm，点E、F分别在AD、BC上，且BF＝DE＝3cm，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中：已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
试题分析：（1）首先根据矩形的性质可得AD＝BC，AD∥CB，再由BF＝DE可得AE＝FC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证得结论；
（2）首先分析出只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，然后利用勾股定理计算出AF长，再表示出t秒后PC、AQ的长，然后可得方程5t﹣5+6＝13﹣4t，再解即可．
答案详解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥CB，
∵BF＝DE，
∴AD﹣DE＝CB﹣BF，
∴AE＝FC，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形．
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形（如图），
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC＝QA，
∵AB＝4cm，BF＝3cm，
∴AF=32+42=5（cm），FC＝9﹣3＝6（cm），
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC＝5t﹣5+6，QA＝13﹣4t，
∴5t﹣5+6＝13﹣4t，解得t=43，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=43秒．
七．反证法
19．已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°．下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾；
②因此假设不成立，所以∠B＜90°；
③假设在△ABC中，∠B≥90°；
④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
这四个步骤正确的顺序应是 ③④①② ．（填序号）
试题分析：根据反证法的一般步骤判断即可．
答案详解：解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：1、假设在△ABC中，∠B≥90°，
2、由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，
3、∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，
4、因此假设不成立．∴∠B＜90°，
所以答案是：③④①②．
20．对于命题“在同一平面内，若a∥b，a∥c，则b∥c”，用反证法证明，应假设（ ）
A．a⊥cB．b⊥cC．a与c相交D．b与c相交
试题分析：反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
答案详解：解：c与b的位置关系有c∥b和c与b相交两种，因此用反证法证明“c∥b”时，应先假设c与b相交．
所以选：D．
21．用反证法证明“若|a|＜2，则a2＜4”是真命题，第一步应先假设 a2≥4 ．
试题分析：直接利用反证法的步骤，即可得出答案．
答案详解：解：用反证法证明“若|a|＜2，则a2＜4．”是真命题时，第一步应先假设：a2≥4．
所以答案是：a2≥4．
22．若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（ ）
A．至少有一个角是钝角或直角
B．没有一个角是锐角
C．没有一个角是钝角或直角
D．每一个角都是钝角或直角
试题分析：反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
答案详解：解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中没有一个角是钝角或直角．
所以选：C．
八．矩形经典---对角线相等
23．如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为（ ）
A．45B．35C．52D．125
试题分析：连接CD，判断出四边形CEDF是矩形，再根据矩形的对角线相等可得EF＝CD，然后根据垂线段最短可得CD⊥AB时线段EF的长最小，进而解答即可．
答案详解：解：如图，连接CD，
∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时线段EF的长最小，
∵AC＝3，BC＝4，
∴AB=AC2+BC2=5，
∵四边形CEDF是矩形，
∴CD＝EF=AC⋅BCAB=125，
所以选：D．
24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，M为BC上的一动点，ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，N为EF的中点，则MN的最小值为 2.4 ．
试题分析：过点A作AM⊥BC于点M′，根据勾股定理求出BC的长，再由三角形的面积公式求出AM′的长．根据题意得出四边形AEMF是矩形，故可得出AM＝EF，MN=12AM，当MN最小时，AM最短，此时M与M′重合，据此可得出结论．
答案详解：解：过点A作AM⊥BC于点M′，
∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，
∴BC=82+62=10，
∴AM′=8×610=245．
∵ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，
∴四边形AEMF是矩形，
∴AM＝EF，MN=12AM，
∴当MN最小时，AM最短，此时点M与M′重合，
∴MN=12AM′=125=2.4．
所以答案是：2.4．
九．角平分与矩形的融合
25．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为（ ）
A．3cm2B．4cm2
C．12cm2D．4cm2或12cm2
试题分析：根据矩形性质得出AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，推出∠AEB＝∠CBE，求出∠AEB＝∠ABE，得出AB＝AE，分为两种情况：①当AE＝1cm时，求出AB和AD；②当AE＝3cm时，求出AB和AD，根据矩形的面积公式求出即可．
答案详解：解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AB＝AE，
①当AE＝1cm时，AB＝1cm＝CD，AD＝1cm+3cm＝4cm＝BC，
此时矩形的面积是1cm×4cm＝4cm2；
②当AE＝3cm时，AB＝3cm＝CD，AD＝4cm＝BC，
此时矩形的面积是：3cm×4cm＝12cm2；
所以选：D．
26．如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
（3）当点O在AC运动到什么位置，四边形AECF是矩形，请说明理由．
试题分析：（1）由题意可证OE＝OC，OF＝OC，即可得OE＝OF；
（2）根据三角形内角和定理可求∠ECF＝90°，根据勾股定理可求EF的长，根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，可得OC的长；
（3）当点O在AC的中点时，且OE＝OF可证四边形AECF是平行四边形，再根据∠ECF＝90°，可证四边形AECF是矩形．
答案详解：证明：（1）∵CF平分∠ACD，且MN∥BD
∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO
∴OF＝OC
同理可证：OC＝OE
∴OE＝OF
（2）由（1）知：OF＝OC＝OE
∴∠OCF＝∠OFC，∠OCE＝∠OEC
∴∠OCF+∠OCE＝∠OFC+∠OEC
而∠OCF+∠OCE+∠OFC+∠OEC＝180°
∴∠ECF＝∠OCF+∠OCE＝90°
∴EF=CE2+CF2=122+52=13
∴OC=12EF=132
（3）当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形
理由如下：
∵当点O移动到AC中点时
∴OA＝OC且OE＝OF
∴四边形AECF为平行四边形
又∵∠ECF＝90°
∴四边形AECF为矩形
十．矩形与度数的融合
27．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BDE＝15°，求∠EOC的度数；
（3）在（2）的条件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面积．
试题分析：（1）由平行线的性质易证∠BAD＝90°，得出∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，即可得出结论；
（2）由矩形和角平分线的性质得出∠CDE＝∠CED＝45°，则EC＝DC，推出∠CDO＝60°，证明△OCD是等边三角形，求出∠OCB＝30°，得出∠COE＝75°，即可得出结果；
（3）根据直角三角形的性质求出AC，根据勾股定理求出BC，根据矩形的面积公式计算即可．
答案详解：（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴EC＝DC，
又∵∠BDE＝15°，
∴∠CDO＝60°，
又∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴OD＝OC，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠DOC＝∠OCD＝60°，
∴∠OCB＝90°﹣∠DCO＝30°，
∵CO＝CE，
∴∠COE＝（180°﹣30°）÷2＝75°；
（3）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，
∴AC＝2AB＝4，
由勾股定理得：BC=AC2−AB2=23，
∴S矩形ABCD＝23×2＝43．
28．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
求证：（1）AC＝EF；
（2）四边形ADFE是平行四边形；
（3）AC⊥DF．
试题分析：（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC＝30°可以得到AB＝2BC，又因为△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE＝2AF，并且AB＝2AF，然后即可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC＝EF；
（2）根据（1）知道EF＝AC，而△ACD是等边三角形，所以EF＝AC＝AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形；
（3）先求∠EAC＝90°，由▱ADFE得AE∥DF，可以得∠AGD＝90°，则AC⊥DF．
答案详解：证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB＝2AF，AB＝AE，
∴AF＝BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
∵AF=BCAB=AE，
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC＝EF；
（2）∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，AC＝AD，
∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90°
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC＝EF，AC＝AD，
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形；
（3）∵∠EAC＝∠EAF+∠BAC＝60°+30°＝90°，
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴AE∥FD，
∴∠EAC＝∠AGD＝90°，
∴AC⊥DF．
十一．矩形中的折叠--等腰、小勾股。
29．如图，在长方形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，E在AD上．AD＝m，AE＝n（m＞n＞0）．将长方形沿着BE折叠，A落在A′处，A'E交BC于点G，再将∠A′ED对折，点D落在直线A′E上的D′处，C落在C′处，折痕EF，F在BC上，若D、F、D′三点共线，则BF＝（ ）
A．m+12nB．m−n2C．m+n2D．m﹣n
试题分析：连接DD′，证明∠EFD是直角，然后证明△BEF和△EFE全等即可得出结论．
答案详解：解：如图，
连接DD′，
∵D、F、D′三点共线，四边形EFC′D′是由四边形EFCD翻折得到，
∴△EFD≌△EFD′，∠DEF＝∠D′EF，
∴∠EFD＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE，
∵∠AEB＝∠A′EB，
∴∠BEF＝90°，
在△BEF和△DFE中，
∠DEF=∠BFE，EF=EF∠BEF=∠EFD，
∴△BEF≌△DFE（ASA），
∴BF＝ED，
∵AD＝m，AE＝n，
∴BF＝ED＝m﹣n．
所以选：D．
30．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在边BC的点F处，已知AB＝6cm，BC＝10cm，则EC的长为 83 cm．
试题分析：设CE＝xcm，根据矩形的性质得出DC＝AB＝6cm，AD＝BC＝10cm，∠B＝∠C＝90°，根据折叠得出AF＝AD，DE＝EF，根据勾股定理求出BF，求出CF，再根据勾股定理求出x即可．
答案详解：解：设CE＝xcm，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝6cm，BC＝10cm，
∴DC＝AB＝6cm，AD＝BC＝10cm，∠B＝∠C＝90°，
∵将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在边BC的点F处，
∴AF＝AD＝10cm，DE＝EF＝（6﹣x）cm，
∴BF=AF2−AB2=102−62=8（cm），
∴FC＝BC﹣BF＝2cm，
在Rt△ECF中，由勾股定理得：EF2＝CE2+CF2，
即（6﹣x）2＝x2+22，
解得：x=83，
即CE=83cm，
所以答案是：83．
31．已知四边形ABCD，其中AD∥BC，AB⊥BC，将DC沿DE折叠，C落于C'，DC'交CB于G，且ABGD为长方形（如图1）；再将纸片展开，将AD沿DF折叠，使A点落在DC上一点A'（如图2），在两次折叠过程中，两条折痕DE、DF所成的角为 45 度．
试题分析：设∠EDC＝x，∠GDF＝y，根据折叠性质可知，∠EDG＝x，∠ADF＝∠CDF＝2x+y，然后利用∠ADG＝90°列出2x+y+y＝90°求得x+y的值即可求得答案．
答案详解：解：设∠EDC＝x，∠GDF＝y，
由折叠性质可知，∠EDG＝x，∠ADF＝∠CDF＝2x+y，
由∠ADG＝90°，得2x+y+y＝90°，
∴x+y＝45°，
故∠EDF＝x+y＝45°，
所以答案是：45．
十二．矩形与等面积法的妙用
32．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AD＝6，CD＝8，P是AB上的动点，PM⊥AC于M，PN⊥BD于N，则PM+PN的值为（ ）
A．4.8B．6.4C．9.6D．2.4
试题分析：根据勾股定理求出BD，求出OD、OB，求出三角形DAB面积，求出三角形AOB面积，根据三角形面积公式得出12×AO×PM+12×BO×PN＝12，求出即可．
答案详解：解：连接PO，
∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，
∴AD＝BC＝6，∠DAB＝90°，BO＝OD，
由勾股定理得：BD=AD2+BA2=64+36=10，
∴BO＝DO＝5，
∴S△DAB=12×AD×AB=12×8×6＝24，
∴S△AOB=12S△DAB＝12，
∴12×AO×PM+12×BO×PN＝12，
∴PM+PN＝4.8．
所以选：A．
33．如图，在矩形ABCD中，点E是对角线AC上一点，有AE＝AB=3BC且BC＝a，点P是BE上一动点，则点P到边AB，AC的距离之和PM+PN的值（ ）
A．有最大值aB．有最小值32a
C．是定值12aD．是定值32a
试题分析：连接BP，作EF⊥AB于点F，根据tan∠CAB=BCAB=BC3BC=33，得∠CAB＝30°，可得EF=12AE=32a，利用面积法得S△APE+S△APB＝S△ABE，将面积公式代入即可．
答案详解：解：如图，连接BP，作EF⊥AB于点F，则∠EFA＝90°，
∵AE＝AB=3BC=3a，
在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，
∴tan∠CAB=BCAB=BC3BC=33，
∴∠CAB＝30°，
∴EF=12AE=32a，
∵PM⊥AC，PN⊥AB，
∴S△APE+S△APB＝S△ABE，
∴12AE•PM+12AB•PN=12AB•EF，
∵AE＝AB，
∴PM+PN＝EF=32a，
则点P到边AB，AC的距离之和PM+PN的值是定值32a，
所以选：D．