专题10 压轴大题精选（综合）-2023-2024学年八年级数学下学期期末复习培优拔高（苏科版）

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（1）当m＝﹣1时，求“G图象”与x轴交点横坐标；
（2）过y轴上另一点N（0，n）作y轴垂线，与“G图象”交于点A、B．
①若n＝2，且AN＝2BN，求m的值；
②若AN＝2BN，求m与n的数量关系．
试题分析：（1）根据轴对称的性质可知，“G 图象”与轴的交点的关于 y＝﹣1的对称点的纵坐标为﹣2上，且与对称点的横坐标相同，再根据对称点在反比例函数的图象上，求得横坐标，即为所求．
（2）①分两种情况讨论，当点A在y轴右侧时，根据点A在反比例函数图象上，求出点A的坐标，根据AN＝2BN，求得点B坐标，然后求得B'的坐标，再根据B'在反比例函数图象上求得m的值；同理分析点A在y轴左侧的情况．
②分情况讨论，当n＞0时，和当 m＜n＜0时，方法同①．
答案详解：解：（1）当m＝﹣1时，M（0，﹣1），
∵“G图象”与x轴交点坐标为0，则它关于过M的直线的对称点的纵坐标为﹣2，
∴把y＝﹣2代入y=1x得出，x=−12，
∴“G图象”与x轴交点横坐标为−12．
（2）①由题知，N（0，2），点A和点B的纵坐标都是2，
当点A在y轴的右侧，点B在y轴的左侧时，如图，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴点A的横坐标为12，则A（12，2），
∴AN=12，
∵AN＝2BN，
∴点B的横坐标为−14，则B（−14，2）
根据题知，点B关于y＝m的对称点B'的坐标为（−14，m﹣（2﹣m）），且点B'在反比例函数图象上，
∴−14×（2m﹣2）＝1，
解得，m＝﹣1．
当点A在y轴的左侧，点B在y轴的右侧时，如图，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴点B的横坐标为12，则B（12，2），
∴BN=12，
∵AN＝2BN，
设点A的横坐标为﹣1，则A（﹣1，2），
根据题知，点A关于y＝m的对称点A'（﹣1，m﹣（2﹣m））），且点A'在反比例函数图象上，
∴﹣1（2m﹣2）＝1，
解得，m=12＞0，与题中的m＜0的条件矛盾，
∴不符合题意，舍去．
综上所得，m的值为﹣1．
②由题知，N（0，n），点A和点B的纵坐标都是n，
当n＞0时，
点A在y轴的右侧，点B在y轴的左侧时，如图，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴点A的横坐标为1n，则A（1n，n），
∴AN=1n，
∵AN＝2BN，
∴点B的横坐标为−12n，则B（−12n，n），
根据题知，点B关于y＝m的对称点B'（−12n，m﹣（n﹣m）），且点B'在反比例函数图象上，
∴−12n（2m﹣n）＝1，
解得，m=−12n．
当点A在y轴的左侧，点B在y轴的右侧时，如图，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴点B的横坐标为1n，则B（1n，n），
∴BN=1n，
∵AN＝2BN，
∴点A的横坐标为−2n，则A（−2n，n），
根据题知，点A关于y＝m的对称点A'（−2n，m﹣（n﹣m）），且点A'在反比例函数图象上，
∴−2n（2m﹣n）＝1，
解得，m=14n，
∵n＞0，
∴m＞0，这与题中的m＜0的条件矛盾，
∴不符合题意，舍去．
当m＜n＜0时，
点A和点B在第三象限，如图，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴点A的横坐标为1n，则A（1n，n），
∵n＜0，
∴AN=−1n，
∵AN＝2BN，
∴点B的横坐标为12n，则B（12n，n），
根据题知，点B关于y＝m的对称点B'（12n，m﹣（n﹣m）），且点B'在反比例函数图象上，
∴12n（2m﹣n）＝1，
解得，m=32n．
综上所得，m与n的数量关系为m=−12n或m=32n．
2．如图，A、B分别是x轴正半轴上和y轴正半轴上的点，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点C．
（1）若点C坐标为（2，3），则k的值为 6 ；
（2）若A、B两点坐标分别A（2，0），B（0，2）；
①则k的值为 8 ；
②此时点D 在 （填“在”、“不在”或者“不一定在”）该反比例函数的图象上；
（3）若C、D两点都在函数y=2x的图象上，直接写出点C的坐标为 （1，2） ．
试题分析：根据反比例函数图象上的点的坐标特征、正方形的性质解决此题．
答案详解：解：（1）由题意得，当x＝2，y=k2=3，则k＝6．
所以答案是：6．
（2）∵A（2，0），B（0，2），四边形ABCD是正方形，
∴C（2，4），D（4，2）．
∴当x＝2，y=k2=4．
∴k＝8．
∴y=8x．
∴当x＝4，则y=84=2．
∴D在反比例函数的图象上．
所以答案是：8，在．
（3）设A（a，0），则C（a，2a），D（2a，a）．
∴2a=2a，a=22a．
∴a＝1或a＝﹣1（不合题意，舍去）．
∴C（1，2）．
所以答案是：（1，2）．
3．已知一次函数y1＝kx+2（k≠0）和反比例函数为y2=mx(m≠0)．
（1）如图1，若函数y1、y2的图象都经过点A（1，3），B（﹣3，a）．
①求m，k，a的值；
②连接AO，BO，判断△ABO的形状，并说明理由；
③当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y3＝cx（c≠0）的值小于一次函数y1＝kx+2的值，直接写出c的取值范围；
试题分析：（1）①利用待定系数法即可求得；
②利用勾股定理求得OA、OB，即可证得△ABO是等腰三角形；
③当x＝﹣3时，求出y1＝x+2的值，然后根据题意，得不等式，即可求出c的取值范围．
答案详解：解：（1）①一次函数y1＝kx+2（k≠0）和反比例函数为y2=mx(m≠0)，函数y1、y2的图象都经过点A（1，3），B（﹣3，a），
∴3＝k+2，m＝1×3＝﹣3a，
解得k＝1，m＝3，a＝﹣1；
②∵A（1，3），B（﹣3，﹣1），
∴OA=32+12=10，OB=32+12=10，
∴OA＝OB，
∴△ABO是等腰三角形；
③当x＝﹣3时，y1＝x+2＝﹣1，
根据题意，可知当x＝﹣3时，﹣3c≤﹣1，
解得c≥13，
∴c的取值范围是13≤c≤1．
4．（1）用“＞”、“＝”、“＜”填空：
12+18 ＞ 212×18；3+3 ＝ 23×3；6+3 ＞ 26×3．
（2）由（1）中各式猜想：对于任意正实数a、b，a+b ≥ 2ab（填“＜”、“＞”、“≤”或“≥”），并说明理由；
（3）结论应用：
若a＞0，则当a＝ 2 时，a+4a有最小值；若b＞0，b+9b+1有最小值，最小值为 5 ；
（4）问题解决：如图，已知点A在反比例函数y=9x（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y=−7x（x＜0）的图象上，且AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C．四边形ABCD的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值，并写出此时点A的坐标；若不存在，说明理由．
试题分析：（1）分别计算出左右两边，即可比较大小；
（2）利用完全平方公式可得a+b﹣2ab=（a−b）2≥0，即可得出答案；
（3）直接代入（2）中结论可得答案；
（4）设A（m，9m），B（−7m9，9m），根据矩形的性质表示出矩形ABCD的周长为2（AB+AD）=32m9+18m，再利用（2）中的结论可得答案．
答案详解：解：（1）∵12+18=58，212×18=12，
∴12+18＞212×18，
∵3+3＝6，23×3=6，
∴3+3＝23×3，
∵6+3＝9，26×3=62，
∴6+3＞26×3，
所以答案是：＞，＝，＞；
（2）∵a+b﹣2ab=（a−b）2≥0，
∴a+b≥2ab，
所以答案是：≥；
（3）当a=4a时，即a＝2时，a+4a有最小值；
∵b+9b+1=b+1+9b+1−1，
∴当b+1=9b+1时，即b＝2时，b+9b+1有最小值为2(b+1)⋅9b+1−1＝5，
所以答案是：2，5；
（4）四边形ABCD的周长存在最小值，理由如下：
设A（m，9m），B（−7m9，9m），
∵AB∥x轴，AD⊥x轴，
∴AB＝m+7m9=16m9，AD=9m，
∴四边形ABCD的周长为2（AB+AD）=32m9+18m，
∵m＞0，
∴32m9+18m≥232m9×18m=16，
∴当32m9=18m时，即m=94时，
∴四边形ABCD的周长最小值为16，此时A（94，4）．
5．如图1，将一块含30°的直角三角板ABC放在平面直角坐标系中，其中顶点A在第一象限，BC边在x轴的正半轴上（点C在点B的右侧），已知∠ABC＝90°，BC＝2，AB＝23，将△ABC沿AC所在的直线翻折得到△ADC．
（1）当OB＝1时，则点D的坐标为 （4，3） ；
（2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OB的长；
（3）如图2，当OB＝2时，将四边形ABCD整体向右平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过线段A1C1的中点Q的反比例函数y=kx（k＞0）的图象与BA的延长线交于点P，连接PA1．当PA1∥AD时，请直接写出k的值．
试题分析：（1）过点D作DE⊥x轴于点E，根据折叠的性质可得∠DCE＝60°，CD＝2，根据含30°角的直角三角形的性质可得CE和DE的长，进一步即可求出点D坐标；
（2）设OB＝t，则点A（t，23），D（t+3，3），根据点A和点D在同一个反比例函数的图象上，列方程，即可求出BO的长；
（3）根据平移的性质，可得四边形ABB1A1为矩形，进一步可得∠PA1A＝30°，设PA＝m，根据含30度角的直角三角形的性质表示出点P的坐标和点Q的坐标，根据点P和点Q均在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，列方程，求出m的值，进一步即可求出k的值．
答案详解：解：（1）过点D作DE⊥x轴于点E，如图所示：
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝60°，
根据折叠，可得∠ACD＝∠ACB＝60°，CD＝CB＝2，
∴∠DCE＝60°，
∴∠CDE＝30°，
∴CE=12CD＝1，
根据勾股定理，可得DE=3，
∵OB＝1，
∴点D坐标为（4，3），
所以答案是：（4，3）；
（2）设OB＝t，
则点A（t，23），D（t+3，3），
∵点A和点D在同一个反比例函数的图象上，
∴23t=3（t+3），
解得t＝3，
∴OB＝3；
（3）连接AA1，过点Q作QH⊥x轴于点H，如图所示：
根据平移的性质，可得AB∥A1B1，AB＝A1B1，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABB1A1为矩形，
∴∠PAA1＝90°，AA1＝BB1，
∵∠BAD＝60°，PA1∥AD，
∴∠APA1＝60°，
∴∠PA1A＝30°，
设PA＝m，
∴AA1=3m，
∴BB1=3m，
∵A1C1＝AC＝2BC＝4，
又∵点Q是线段A1C1的中点，
∴QC1＝2，
∴HC1=12QC1＝1，
∴B1H＝1，QH=3，
∴OH＝3+3m，
∴点P坐标为（2，23+m），
点Q坐标为（3+3m，3），
∵点P，Q均在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，
∴2（23+m）=3（3+3m），
解得m=3，
∴点P（2，33），
∴k＝2×33=63．
6．如图所示，直线y＝ax+b（a＜0，b＞0）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y=kx（x＜0）交于点C，且B为线段AC的中点．向上平移直线AB与反比例函数的图象相交于点D，点E为x轴负半轴上一点，四边形BDCE为平行四边形．
（1）若a=−12，b＝1，则点C的坐标为 （﹣2，2） ；反比例函数的表达式为 y=−4x ；
（2）在（1）的条件下，求平移后的直线DF的函数表达式；
（3）当▱BDCE的面积等于18时，求b2a的值．
试题分析：（1）首先根据直线AB的解析式求出A和B的坐标，再利用中点坐标公式可得点C的坐标，从而求出反比例函数解析式；
（2）过点D作DM⊥y轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，利用△DMB≌△ENC可得点D的坐标，再利用平移知，k相同，从而解决问题；
（3）根据▱BDCE的面积等于18，得△ACE的面积为18，由题意可得A（−ba，0），B（0，b），C（ba，2b），再由（2）同理可得点D的坐标，从而表示出AE，进而解决问题．
答案详解：解：（1）当a=−12，b＝1时，y=−12x+1，
当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝2，
∴B（0，1），A（2，0），
∵B为线段AC的中点，
∴C（﹣2，2），
∵反比例函数y=kx（x＜0）过点C，
∴k＝﹣2×2＝﹣4，
∴y=−4x，
所以答案是：（﹣2，2），y=−4x；
（2）过点D作DM⊥y轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，
则△DMB≌△ENC（AAS），
∴DM＝EN，BM＝CN，
由（1）知，C（﹣2，2），y=−4x，
∴BM＝CN＝2，
∵b＝1，
∴OB＝1，
∴OM＝1+2＝3，把y＝3代入y=−4x中，得x=−43，
∴D（−43，3），
设直线DF为y＝mx+n，
∵直线DF由直线AC平移得到，
∴m=−12，
将D（−43，3）代入y=−12x+n中，得3=−12×(−43)+n，
∴n=73，
∴直线DF的解析式为为y=−12x+73；
（3）∵▱BDCE的面积等于18，
∴△BCE的面积为9，
∵点B是AC的中点，
∴△ACE的面积为18，
由题意可得A（−ba，0），B（0，b），C（ba，2b），
将C（ba，2b）代入y=kx中，得：k=2b2a，
同（2）的作法可得BM＝CN＝2b，
∴OM＝b+2b＝3b，
把y＝3b代入y=2b2ax中，得：x=2b3a，
∴D（2b3a，3b），
∴DM＝EN=−2b3a，
∴AE＝AN﹣EN=−ba−ba−(−2b3a)=−4b3a，
∵△ACE的面积为18，
∴12AE⋅CN=18，
即12×(−4b3a)×2b=18，
∴b2a=−272．
7．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，顶点A、D在反比例函数y=k1x（x＞0）的图象上，点G在反比例函数y=k2x（x＞0）的图象上，AC⊥x轴．
（1）若k1＝5，k2＝2，菱形ABCD的面积为 9 ．
（2）①当点B、C在坐标轴上时，求k2k1的值；
②如图2，当点B、O、C三点在同一直线上时，试判断k2k1是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
试题分析：（1）设点G的横坐标为m，则G（m，2m），由题意可知，BD∥x轴，则A（m，5m），D（52m，2m）．所以AG=3m，DG=32m，由菱形的性质可知，AC＝2AG=6m，BD＝2DG＝3m，所以S菱形ABCD=12AC•BD=12•6m•3m＝9．
（2）①由题意可知，点B在y轴上，点C在x轴上，设点G的横坐标为m，则G（m，k2m），同上可知BD∥x轴，所以A（m，k1m），D（k1k2m，k2m）．因为点G是BC的中点，C（m，2k2−k1m），B（2k2−k1k2m，k2m）．由点B，C在坐标轴上，建立方程即可得出结论；
②设点G的横坐标为m，则G（m，k2m），同上可知，A（m，k1m），D（k1k2m，k2m）．C（m，2k2−k1m），B（2k2−k1k2m，k2m）．设直线OC所在的直线为y＝kx，利用待定系数法可求出k=2k2−k1m2．所以直线OC的解析式为：y=2k2−k1m2x．因为点B，O，C三点共线，所以将点B的坐标代入可得2k2−k1m2•2k2−k1k2m=k2m，整理该等式可得出结论．
答案详解：解：（1）设点G的横坐标为m，则G（m，2m），
∵AC⊥x轴，AC⊥BD，
∴BD∥x轴，
∴A（m，5m），D（52m，2m）．
∴AG=3m，DG=32m，
∴AC＝2AG=6m，BD＝2DG＝3m，
∴S菱形ABCD=12AC•BD=12•6m•3m＝9．
所以答案是：9．
（2）①由题意可知，点B在y轴上，点C在x轴上，
设点G的横坐标为m，则G（m，k2m），
∵AC⊥x轴，AC⊥BD，
∴BD∥x轴，
∴A（m，k1m），D（k1k2m，k2m）．
∵点G是BC的中点，
∴C（m，2k2m−k1m），B（2m−k1k2m，k2m），即C（m，2k2−k1m），B（2k2−k1k2m，k2m）．
∵点B在y轴上，点C在x轴上，
∴2k2−k1m=0且2k2−k1k2m＝0，
∴k2k1=12；
②是，理由如下：
设点G的横坐标为m，则G（m，k2m），
∵AC⊥x轴，AC⊥BD，
∴BD∥x轴，
∴A（m，k1m），D（k1k2m，k2m）．
∴C（m，2k2m−k1m），B（2m−k1k2m，k2m），即C（m，2k2−k1m），B（2k2−k1k2m，k2m）．
设直线OC所在的直线为y＝kx，
∴mk=2k2m−k1m，即k=2k2−k1m2．
∴直线OC的解析式为：y=2k2−k1m2x．
∵点B，O，C三点共线，
∴2k2−k1m2•2k2−k1k2m=k2m，整理得k2k1=13或1（舍）．
综上，k2k1的值为13．
8．在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，AC＝12．
（1）如图（1），若BE＝BF，则AE与CF相等吗？请说明理由；
（2）如图（2），若∠EBF＝45°，CF＝4，求EF的长；
（3）如图（3），若点E，F是AC的三等分点，点P在正方形ABCD的边上从点A开始按逆时针方向运动一周，直至返回点A，试求此过程中满足PE+PF为整数的点P个数．
试题分析：（1）连接BD，利用正方形的性质和等腰三角形的性质和等式的性质解答即可；
（2）将△BCF绕着点B逆时针旋转90°得到△BAG，连接EG，利用旋转的性质和全等三角形的判定与性质和勾股定理解答即可；
（3）先求得点P在边AB上运动时，PE+PF为整数时的P的个数，再利用对称性即可得出结论．
答案详解：解：（1）AE＝CF，理由：
连接BD，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OC．
∵BE＝BF，
∴OE＝OF，
∴OA﹣OE＝OC﹣OF．
即：AE＝BF．
（2）将△BCF绕着点B逆时针旋转90°得到△BAG，连接EG，如图，
则△BCF≌△BGA，
∴∠ABG＝∠FBC，∠GAB＝∠FCB＝45°，BG＝BF，
∴∠GAE＝∠GAB+∠BAC＝45°+45°＝90°，
∵∠ABC＝90°，∠EBF＝45°，
∴∠ABE+∠CBF＝45°，
∴∠GBA+∠ABE＝45°，
即：∠GBE＝45°，
∴∠GBE＝∠FBE＝45°．
在△GBE和△FBE中，
BG=BF∠GBE=∠FBEBE=BE，
∴△GBE和△FBE（SAS），
∴GE＝EF，AG＝CF＝4．
设EF＝BG＝x，则AE＝AC﹣CF﹣EF＝8﹣x，
在Rt△AGE中，
∵AG2+AE2＝GE2，
∴42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴EF＝5；
（3）当P，A两点重合时，PE+PF＝4+8＝12，符合题意；
当点P在A，B两点之间时，
作点E关于AB的对称点E′，连接E′F交AB于点P，如图，
则此时PE+PF的值最小，
∵点E关于AB的对称点E′，
∴AE′＝AE＝4，PE′＝PE，AB⊥E′E，
∴∠E′AB＝∠EAB＝45°，
∴∠E′AE＝90°，
∴PE+PF＝PE′+PF＝E′F=AE'2+AF2=45＜9；
当P，B两点重合时，连接BD交AC于点O，如图，
则OE＝OA﹣AE＝2，OB＝OA＝6，
∴PE＝BE=OB2+OE2=210，
同理，PF＝210，
∴PE+PF＝410＜13，不符合题意，
∴点P在AB边上运动时，45≤PE+PF≤410，则符合题意的点有8个（包括点A），
由对称性可知，在正方形的四边上符合题意的点有：7×4+2＝30．
9．如图，在正方形ABCD中，AB=5，E为正方形ABCD内一点，DE＝AB，∠EDC＝α（0°＜α＜90°），连结CE，AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，交CE的延长线于点G，连结AG．
（1）当α＝20°时，求∠DAE的度数；
（2）判断△AEG的形状，并说明理由；
（3）当GF＝1时，求CE的长．
试题分析：（1）由正方形的性质，求出∠ADE＝70°，再根据三角形内角和定理求解即可即可求解．
（2）由等腰三角形的性质可得DG是AE的垂直平分线，可得AG＝GE，由四边形内角和定理，可求∠GEA＝45°，即可求解．
（3）由正方形的性质和等腰直角三角形的性质可求AC，AG的长，在Rt△ACG中，利用勾股定理可求解．
答案详解：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AB＝AD，
∵∠CDE＝20°，
∴∠ADE＝70°，
∵DE＝AB，
∴DA＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA=12×（180°﹣70°）＝55°．
（2）结论：△AEG是等腰直角三角形．
理由：∵AD＝DE，DF⊥AE，
∴DG是AE的垂直平分线，
∴AG＝GE，
∴∠GAE＝∠GEA，
∵DE＝DC＝AD，
∴∠DAE＝∠DEA，∠DEC＝∠DCE，
∵∠DAE+∠DEA+∠DEC+∠DCE+∠ADC＝360°，
∴∠DEA+∠DEC＝135°，
∴∠GEA＝45°，
∴∠GAE＝∠GEA＝45°，
∴∠AGE＝90°，
∴△AEG为等腰直角三角形．
（3）如图，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=2AB=10，
∵△AEG为等腰直角三角形，GF⊥AE，
∴GF＝AF＝EF＝1，
∴AG＝GE=2，
∵AC2＝AG2+GC2，
∴10＝2+（EC+2）2，
∴EC=2（负根已经舍弃）．
10．已知点E、F分别在矩形纸片ABCD的边BC、AD上，连接EF，将矩形纸片ABCD沿EF折叠．
（1）如图1，若点C恰好落在点A处，EF与AC相交于点O，连接AE、CF．
①判断四边形AECF的形状，并证明你的结论；
②若AB＝6，BC＝8，求折痕EF的长；
（2）如图2，若点B恰好落在边CD上的点B'处，且A'G＝DG，点A落在A'处，A'B交AD于点G．
①求证：CD＝DF；
②若B′C＝8，DB'＝4，求CE的长．
试题分析：（1）①连接AC、CF，根据翻折变换的性质和菱形的判定定理可得结论；
②设AE＝EC＝x，在Rt△ABC中，由勾股定理求AC，在Rt△ABE中，由勾股定理求x，利用菱形计算面积的两种方法，建立等式求EF即可；
（2）①由折叠性质利用ASA证明△A'GF≌△DB'G（ASA）．从而可得GF＝GB'，则A'B'＝A′G+GB′＝DG+GF＝DF＝AB，由AB＝CD，即可得CD＝DF；
②由B′C＝8，DB'＝4，可推出AF＝A'F＝DB'＝4，DF＝DC＝12，BC＝AD＝16．设CE＝x，在直角三角形B'EC中建立勾股定理方程CE2+CB'2＝B'E2，解此方程即可得结果．
答案详解：（1）①解：四边形AECF为菱形
证明：由折叠得：EF⊥AC，AF＝CF，OA＝OC，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AF∥CE，
∴∠FAO＝∠ECO，
在△AOF与△COE中，
∠FAO=∠ECOOA=OC∠AOF=∠COE=90°，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AF＝CF，
∴平行四边形AECF为菱形；
②解：设AE＝EC＝x，则BE＝8﹣x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=AB2+BC2=10，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+BE2＝AE2，
即62+（8﹣x）2＝x2，
解得x=254，
根据菱形计算面积的公式得，
EC×BA=12×EF×AC，
即254×6=12×EF×10，
解得EF=152．
即折痕EF的长152；
（2）①证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，
由折叠可知，∠A＝∠A'＝90°，A'B'＝AB，
∴∠A'＝∠D＝90°，
在△A'FG和△DB'G中，
∠A'=∠DA'G=DG∠A'GF=∠DGB'，
∴△A'GF≌△DB'G（ASA）．
∴GF＝GB'，
∴A'B'＝A′G+GB′＝DG+GF＝DF＝AB，
∵AB＝CD，
∴CD＝DF；
②解：∵△A'GF≌△DB'G．
∴A′F＝DB′，
由折叠可知AF＝A′F，
∴AF＝A'F＝DB'，
∵B′C＝8，DB'＝4，
∴AF＝A'F＝DB'＝4，DF＝DC＝B′C+DB'＝12，
∴BC＝AD＝DF+AF＝16．
设CE＝x，
∴B'E＝BE＝16﹣x，
∵CE2+CB'2＝B'E2，
∴x2+64＝（16﹣x）2，
解得：x＝6．
∴CE＝6．
11．解题方法回顾：
在求某边上的高之类问题时，常常利用同一个图形面积不变或等底等高面积不变或多个图形面积之和不变的原理来解决，称为“等积法”．
解题方法应用：
（1）已知：如图1，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，求PE+PF的值．
小陈同学想到了利用“等积法”解决本题，过程如下：（如图2）
解：连接PO，∵矩形ABCD的两边AB＝5，BC＝12，
∴S矩形ABCD＝AB⋅BC＝60，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴AC=AB2+BC2=122+52=13，
∴S△AOD=14S矩形ABCD=15，OA=OD=12AC=132，
∴S△AOD=S△AOP+S△DOP=12OA⋅PE+12OD⋅PF=12OA(PE+PF)=12×132×(PE+PF)=15，
∴PE+PF＝ 6013 ．（请你填上小陈计算的正确答案）
（2）如图3，正方形ABCD的边长为2，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B'，C'，D'．
①设AP＝x，BB'+CC'+DD'＝y，求y与x的函数关系式，并求出x取值范围；
②直接写出y的最大值为 4 ，最小值为 22
试题分析：（1）根据S△AOD＝S△AOP+S△DOP即可求出答案；
（2）①连接AC、DP，根据三角形的面积公式得出S△DPC＝S△APC=12×AP×CC′，根据S正方形ABCD＝S△ABP+S△DPC+S△ADP＝S正方形，推出BB′+CC′+DD′=8AP，即可得解；
②根据已知得出2≤AP≤22，代入①即可得解．
答案详解：解：（1）由（1）的解题过程可知：S△AOD＝S△AOP+S△DOP=12OA⋅PE+12OD⋅PF=12OA(PE+PF)
=12×132×(PE+PF)=15，
∴12×132×(PE+PF)=15，
∴PE+PF=6013，
所以答案是：6013；
（2）如图，连接AC、DP，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴S正方形ABCD＝2×2＝4，
由勾股定理得：AC=AB2+BC2=22+22=22，
∵AB＝2，
∴2≤AP≤22，
∵△DPC和△APC的边CP上的高DC＝AB，
∴S△DPC＝S△APC=12×AP×CC′，
∵4＝S正方形ABCD＝S△ABP+S△DPC+S△ADP=12×AP×（BB′+CC′+DD′），
∴BB′+CC′+DD′=8AP，
∴y=8x，其中2≤x≤22；
②由①知，y=8x，
∴当2≤x≤22时，y随着x的增大而减小，
∵当x＝2时，y＝4，
当x＝22时，y＝22，
∴22≤y≤4，
即y的最大值为4，最小值为22，
所以答案是：4，22．
12．如图1，在正方形ABCD中，AB=2，P是AD边上一点，连接BP，将△ABP绕着点B顺时针旋转，得到△A'BP'．
（1）已知旋转角60°，点P与D点重合（如图2）．
①证明：△BPA'≌△BP'C；
②证明：△A'P'C是等腰三角形；
试题分析：（1）①根据SAS证明三角形全等即可；
②证明∠CA′P′＝∠CP′A′＝15°即可；
答案详解：（1）证明：①如图2中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABP＝∠PBC＝60°，
由旋转变换的性质可知BP＝BP′，BA′＝BA＝BC，∠ABA′＝∠PBP′＝60°，∠ABP＝∠A′BP′＝45°，
∴∠PBA′＝∠CBP′，
在△PBA′和△P′BC中，
BP=BP'∠PBA'=∠P'BCA'B=CB，
∴△BPA′≌△BP′C（SAS）；
②连接PP′．由旋转变换的性质可知△PBP′是等边三角形，
∴PB＝PP′，
在△PA′B和△PA′P′中，
PA'=PA'PB=PP'A'B=A'P'，
∴△PA′B≌△PA′P′（SSS），
∴∠BPA′＝∠P′PA′＝30°，
∵△BPA′≌△BP′C，
∴∠BPA′＝∠BP′C＝30°，
∵∠A′P′B＝45°，
∴∠A′P′C＝15°，
∵∠ABC＝30°，BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝75°，
∵∠BAP′＝90°，
∴∠CAP′＝90°﹣75°＝15°，
∴∠CA′P′＝∠CP′A′，
∴CA′＝CP′，
∴△CA′P′是等腰三角形；
13．我们知道，四边形有两组对边，两组对角，两条对角线．已经研究了，如果四边形满足下列条件之一：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．由此，进一步探究……
（1）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D．求证：四边形ABCD是平行四边形．
（2）命题：如果四边形满足一组对边平行且另一组对边相等，那么这个四边形是平行四边形．如果这个命题是真命题，请证明；否则，请画出一个反例示意图，并标明所满足的条件．
（3）命题：如果四边形满足一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线，那么这个四边形是平行四边形．
（Ⅰ）小明认为这是假命题，尝试画出反例．如图②，他先画出四边形ABCD的一条边AB，一条对角线BD．请你利用无刻度直尺和圆规在图②中画出反例．（保留作图痕迹，不写作法）
（Ⅱ）小明进一步探索发现，在四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC、BD相交于点O，且OB＝OD，BD＝8，∠AOB＝60°，对于满足条件的平行四边形ABCD的个数随着AB长度的变化而变化，直接写出平行四边形ABCD的个数及对应的AB的长的取值范围．
试题分析：（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可；
（2）这个命题是假命题，利用等腰梯形ABCD说明即可；
（3）（Ⅰ）根据要求作出图形即可．
（Ⅱ）判断出两种特殊情形AB的值，可得结论．
答案详解：（1）证明：∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
又∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴2∠A+2∠B＝360°，
∴∠A+∠B＝180°，
∴AD∥BC，
同法可证AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：命题：如果四边形满足一组对边平行且另一组对边相等，那么这个四边形是平行四边形．
这个命题是假命题，如图等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，满足条件，但不是平行四边形．
（3）（Ⅰ）如图，四边形ABCD即为所求．
（Ⅱ）如图③中，当BA⊥AC时，
∵OB＝OD＝4，∠AOB＝60°，
∴AB＝23，
观察图象可知当AB＝23或AB≥4时，存在一个平行四边形ABCD，
当23＜AB＜4时，存在两个平行四边形ABCD，
当AB＜23时，不存在满足条件的平行四边形．
14. 【基础回顾】（1）如图1，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，将△ADE顺时针旋转90°后得到△ABE'，若连接EE'，则△AEE'的形状为 等腰直角三角形 ；
【类比探究】（2）如图2，在（1）的条件下，设EE'与AB相交于点P，在AD上取点Q，使DQ＝BP，连接QE，猜想QE与E'P的数量关系，并给予证明；
【联想拓展】（3）如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点P在BC上，求AP，BP，CP之间存在的数量关系．
试题分析：【基础回顾】（1）由正方形的性质得出AD＝AB，∠DAB＝90°，∠D＝90°，由旋转的性质得出∠EAE′＝∠DAB＝90°，E′A＝EA，则可得出结论；
【类比探究】（2）证明△DQE≌△BE'P（SAS），由全等三角形的性质可得出结论；
【联想拓展】（3）将△ABP逆时针旋转90°后得到△ACD，连接PD，则△APD是等腰直角三角形，由旋转的性质得出∠ABP＝∠ACD＝45°，BP＝CD，证出∠BCD＝90°，由勾股定理可得出答案．
答案详解：解：【基础回顾】（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∠D＝90°，
∵△ADE顺时针旋转90°，得△ABE′，
∴∠EAE′＝∠DAB＝90°，E′A＝EA，
∴△AEE′为等腰直角三角形；
所以答案是：等腰直角三角形；
【类比探究】（2）QE＝E'P．
证明：∵将△ADE顺时针旋转90°后得到△ABE′，
∴∠D＝∠ABE'，DE＝BE'，
∵DQ＝BP，
∴△DQE≌△BE'P（SAS），
∴QE＝EP'．
【联想拓展】（3）PC2+BP2＝2AP2．
将△ABP逆时针旋转90°后得到△ACD，连接PD，则△APD是等腰直角三角形，
由旋转的性质可知∠ABP＝∠ACD＝45°，BP＝CD，
∵∠ACB＝45°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，
∴PC2+CD2＝PD2，
∴PC2+CD2＝PD2，
∵AP2+AD2＝PD2＝2AP2，
∴PC2+BP2＝2AP2．
15．综合与实践
【问题背景】
矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点P在AB边上，点Q在BC边上，将纸片沿PQ折叠，使顶点B落在点E处．
【初步认识】
（1）如图1，折痕的端点P与点A重合．
①当∠CQE＝50°时，∠AQB＝ 65 °；
②若点E恰好在线段QD上，则BQ的长为 2 ；
【深入思考】
（2）若点E恰好落在边AD上．
①请在图2中用无刻度的直尺和圆规作出折痕PQ（不写作法，保留作图痕迹）；
②如图3，过点E作EF∥AB交PQ于点F，连接BF．请根据题意，补全图3并证明四边形PBFE是菱形；
③在②的条件下，当AE＝3时，菱形PBFE的边长为 154 ，BQ的长为 152 ；
【拓展提升】
（3）如图4，若DQ⊥PQ，连接DE，若△DEQ是以DQ为腰的等腰三角形，则BQ的长为 345或203 ．
试题分析：（1）①由折叠的性质直接求角即可；
②在Rt△CDQ中，利用勾股定理可得（8+QE）2＝62+（10﹣QE）2，求出QE即可求BQ；
（2）①连接BE，作BE的垂直平分线交AB于P，交BC于Q，则PQ为所求；
②利用折叠的性质，证明PE＝EF＝BP即可证明；
③在Rt△APE中，利用勾股定理可得PE2＝（6﹣PE）2+32，求出PE=154，即为菱形边长；在Rt△EGQ中，利用勾股定理可得BQ2＝62+（BQ﹣3）2，求出BQ=152即可；
（3）设BQ＝m，则EQ＝m，CQ＝10﹣m，分两种情况讨论：①当DQ＝EQ时，在Rt△CDQ中，利用勾股定理可得62+（10﹣m）2＝m2，求出BQ=345；②当DE＝DQ时，过点D作DF⊥EQ交于F，证明△CDQ≌△FDQ（AAS），可得CQ＝FQ，再由10﹣m=12m，求出BQ=203．
答案详解：（1）解：①∵∠CQE＝50°，
∴∠BQE＝130°，
由折叠可知，∠AQB=12∠BQE＝65°，
所以答案是：65；
②解：由折叠可知，AB＝AE，∠ABE＝∠AEQ＝90°，BQ＝QE，
∵AB＝6，BC＝10，
∴AE＝6，
∴DE＝8，
在Rt△CDQ中，（8+QE）2＝62+（10﹣QE）2，
∴QE＝2，
∴BQ＝2，
所以答案是：2；
（2）解：①连接BE，作BE的垂直平分线交AB于P，交BC于Q，则PQ为所求；
②证明：∵EF∥AB，
∴∠BPF＝∠EFP，
由折叠可知，PB＝PE，∠BPF＝∠EPF，
∴∠EFP＝∠EPF，
∴PE＝EF，
∴PB＝EF，
∴四边形PBFE是平行四边形，
∵PE＝EF，
∴四边形PBFE是菱形；
③解：由折叠可知PB＝PE，
∵AB＝6，
∴AP＝6﹣PE，
在Rt△APE中，PE2＝（6﹣PE）2+32，
∴PE=154，
∴菱形PBFE的边长为154，
由折叠可知，EQ＝BQ，
∵AE＝3，
∴BG＝3，
在Rt△EGQ中，BQ2＝62+（BQ﹣3）2，
∴BQ=152，
所以答案是：154，152；
（3）解：由折叠可知BQ＝EQ，
设BQ＝m，则EQ＝m，CQ＝10﹣m，
①当DQ＝EQ时，
在Rt△CDQ中，62+（10﹣m）2＝m2，
∴m=345，
∴BQ=345；
②当DE＝DQ时，过点D作DF⊥EQ交于F，
∴FQ=12EQ=12m，
由折叠可知∠PQB＝∠PQE，
∵DQ⊥PQ，
∴∠PQB+∠CQD＝90°＝∠PQE+∠FQD，
∴∠CQD＝∠FQD，
∴△CDQ≌△FDQ（AAS），
∴CQ＝FQ，
∴10﹣m=12m，
∴m=203，
∴BQ=203；
综上所述：BQ的长为345或203，
所以答案是：345或203．
16．两个矩形如图1摆放在直线MN上，AD＝EH＝2，CD＝DE＝EF＝4，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转角α，同时将矩形EFGH绕点E逆时针旋转角α，其中0°＜α＜90°．
（1）如图2，当点C和F重合时，α＝ 30° ；
（2）如图3，当两个矩形的重叠部分为正方形时，α＝ 45° ，重叠部分的面积S＝ 24﹣162 ；
（3）如图4，当旋转到点B与点G重合时，设DC与EF交于P，BP的延长线交DE于Q，线段BQ与DE的关系是 垂直平分相等 ，利用你的结论（不用证明），计算两个矩形重叠部分的面积．
试题分析：（1）由CD＝FE＝DE＝4，得到△CDE为等边三角形，则∠CDE＝60°，得到∠MDA＝180°﹣∠ADC﹣∠CDE＝180°﹣90°﹣60°＝30°，得到α＝30°；
（2）由四边形OFPC为正方形，而矩形ABCD绕点D顺时针旋转和矩形EFGH绕点E逆时针旋转相同的角度．得到PF＝PC，∠FPC＝90°，则∠DPE＝90°，PD＝PE，得到∠PDE＝∠PED＝45°，所以∠ADM＝180°﹣90°﹣45°＝45°，即α＝45°，由于△DPE是等腰直角三角形，DE＝4，可求出DP＝22，CP＝4﹣22，即可求出重合正方形面积；
（3）垂直平分相等，证明△BPF≌△BPC（SSS），则∠BPF＝∠BPC，可得∠DPQ＝∠EPQ，由旋转可得PD＝PE，根据等腰三角形的性质可得PQ⊥DE，DQ＝EQ，利用勾股定理求出BQ，即可得出线段BQ与DE的关系；可证明△BFP≌△EQP，得到PF＝QE，在△BFP中用勾股定理列方程求出PF，即可求出重合部分面积．
答案详解：解：（1）如图2，
∵CD＝FE＝DE＝4，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠CDE＝60°，
∴∠MDA＝180°﹣∠ADC﹣∠CDE＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
而∠MDA等于旋转角，
∴α＝30°，
所以答案是：30°；
（2）如图3，
∵四边形OFPC为正方形，矩形ABCD绕点D顺时针旋转和矩形EFGH绕点E逆时针旋转相同的角度．
∴PF＝PC，∠FPC＝90°，
∴∠DPE＝90°，PD＝PE，
∴∠PDE＝∠PED＝45°，
∴∠ADM＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴α＝45°．
∵△DEP是等腰直角三角形，DE＝4，
∴DP＝22，CP＝4﹣22，
∴重叠部分的面积S＝S正方形OFPC＝（4﹣22）2＝24﹣162；
所以答案是：45°，24﹣162；
（3）线段BQ与DE的关系是：垂直平分相等．
证明：如图4，连接BD，
∵矩形ABCD绕点D顺时针旋转和矩形EFGH绕点E逆时针旋转相同的角度．AD＝EH＝2，
∴∠PDE＝∠PED，BF＝BC＝2，
∴PD＝PE，
∵CD＝DE＝EF＝4，
∴FP＝CP，
∵BP＝BP，
∴△BPF≌△BPC（SSS），
∴∠BPF＝∠BPC，
∴∠DPQ＝∠EPQ，
∴PQ⊥DE，DQ＝EQ，
∵CD＝DE＝EF＝4，BC＝2，
∴DQ＝EQ＝2，BD=BC2+CD2=25，
∴BQ=BD2−DQ2=20−4=4，
∴BQ＝DE，
∴线段BQ与DE的关系是：垂直平分相等；
在△BFP和△EQP中，
∠F=∠EQP∠BPF=∠EPQBF=QE，
∴△BFP≌△EQP（AAS），
∴PQ＝PF，
设PF＝x，则BP＝4﹣x，
∵BP2＝PF2+BF2，
∴（4﹣x）2＝22+x2
∴x=32，
∴S四边形BFPC＝2S△BFP＝2×12×2×32=3．
∴两个矩形重叠部分的面积是3．
所以答案是：垂直平分相等．
17．实践操作：
第一步：如图1，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，然后把纸片展平．
第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C′处，点B落在点B'处，得到折痕EF，B'C′交AB于点M，C′F交DE于点N，再把纸片展平．
问题解决：
（1）如图1，填空：四边形AEA'D的形状是 正方形 ；
（2）如图2，线段MC′与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；
试题分析：（1）由折叠性质得AD＝AD′，AE＝A′E，∠ADE＝∠A′DE，再根据平行线的性质和等腰三角形的判定得到四边形AEA′D是菱形，进而结合内角为直角条件得四边形AEA′D为正方形；
（2）连接C′E，证明Rt△EC′A≌Rt△C′EB′，得∠C′EA＝∠EC′B′，便可得结论；
答案详解：解：（1）∵ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，
∵将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，
∴AD＝A′D，AE＝A′E，∠ADE＝∠A′DE＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠AED＝∠A′DE＝∠ADE，
∴AD＝AE，
∴AD＝AE＝A′E＝A′D，
∴四边形AEA′D是菱形，
∵∠A＝90°，
∴四边形AEA′D是正方形．
所以答案是：正方形；
（2）MC′＝ME．
证明：如图1，连接C′E，由（1）知，AD＝AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠EAC′＝∠B＝90°，
由折叠知，B′C′＝BC，∠B＝∠B′，
∴AE＝B′C′，∠EAC′＝∠B′，
又EC′＝C′E，
∴Rt△EC′A≌Rt△C′EB′（HL），
∴∠C′EA＝∠EC′B′，
∴MC′＝ME；
18．在正方形ABCD中，将边AD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AE，AE与CD延长线相交于点F，过B作BG∥AF交CF于点G，连接BE．
（1）如图1，求证：∠BGC＝2∠AEB；
（2）当（45°＜α＜90°）时，依题意补全图2，用等式表示线段AH，EF，DG之间的数量关系，并证明．
试题分析：（1）根据BG∥AF，得到∠GBE＝∠AEB，由AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，得到AE＝AB，∠ABE＝∠AEB＝∠GBE，由正方形性质得到CD∥AB，得到∠BGC＝2∠AEB；
（2）按照题意补全图形即可，在DC上取DN＝AH，连接AN交BG于M，交BE于P，连接HM，EM，利用△ADN≌△BAH、△ABP≌△MBP、△ABH≌△MBH证明A、H、M、B共圆，从而可得∠DNA＝∠GMN，GN＝GM，再证明EF＝GM，即可得到EF＝AH+DG．
答案详解：解：（1）证明：∵边AD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AE，
∴AD＝AE，
∵正方形ABCD，
∴AB＝AD＝AE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∵BG∥AF，
∴∠AEB＝∠GBE，
∴∠ABE＝∠AEB＝∠GBE，
∴∠ABG＝2∠AEB，
∵正方形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠BGC＝∠ABG，
∴∠BGC＝2∠AEB；
（2）补全图2如下：
线段AH，EF，DG之间的数量关系为：EF＝AH+DG，理由如下：
在DC上取DN＝AH，连接AN交BG于M，交BE于P，连接HM，EM，如图：
∵正方形ABCD，
∴AB＝AD，∠ADN＝∠BAH＝90°，
又DN＝AH，
∴△ADN≌△BAH（SAS），
∴∠DNA＝∠AHB，∠DAN＝∠ABH，
∵∠DNA+∠DAN＝90°，
∴∠DAN+∠AHB＝90°，
∴∠APH＝90°，
∴∠BPM＝∠BPA＝90°，
由（1）知∠ABE＝∠GBE，
且BP＝BP，
∴△ABP≌△MBP（ASA），
∴AB＝MB，
而BH＝BH，∠ABE＝∠GBE，
∴△ABH≌△MBH（SAS），
∴∠HAB＝∠HMB＝90°，
∴A、H、M、B共圆，
∴∠AHB＝∠AMB＝∠GMN，
∴∠DNA＝∠GMN，
∴GN＝GM，
∵CF∥AB，BG∥AF，
∴四边形ABGF是平行四边形，
∴BG＝AF，
∵AE＝AD＝AB＝MB，
∴EF＝GM，
∴EF＝GN，
∵GN＝DG+DN，
∴EF＝DG+AH．
19．如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，延长CA至点E，作DE⊥CE交BA的延长线于点D，连接CD，点F为CD的中点，连接EF，BF．
（1）直接写出线段EF和BF之间的数量关系为 EF＝BF ；
（2）将△ADE绕点A顺时针旋转到图②的位置，猜想EF和BF之间的关系，并加以证明；
（3）若AC＝36，AE＝23，将△ADE绕点A顺时针旋转，当A，E，B共线时，请直接写出EF的长．
试题分析：（1）结论：EF＝BF．利用直角三角形斜边中线的性质证明即可．
（2）结论：EF＝BF，EF⊥BF．过点C作CT∥DE交EF的延长线于点T，连接BT，ET，延长DE交BC于点J，设AB交DJ于点K．利用全等三角形的性质证明△BFE是等腰直角三角形即可．
（3）分两种情形：如图③﹣1中，当点E在BA的延长线上时，如图③﹣2中，当点E在线段AB上时，利用等腰直角三角形的性质分别求解即可．
答案详解：解：（1）如图①中，结论：EF＝BF．
理由：∵DE⊥CE，
∴∠CED＝90°，
∵∠CBD＝90°，CF＝DF，
∴BF=12CD，EF=12CD，
∴EF＝BF．
所以答案是：EF＝BF．
（2）如图②中，结论：EF＝BF，EF⊥BF．
理由：过点C作CT∥DE交EF的延长线于点T，连接BT，ET，延长DE交BC于点J，设AB交DJ于点K．
∵CT∥DE，
∴∠CTF＝∠DEF，
∵∠CFT＝∠DFE，CF＝DF，
∴△CFT≌△DFE（AAS），
∴FT＝EF，CT＝DE，
∵CT∥DJ，
∴∠TCB＝∠DJB，
∵∠AEK＝∠JBK＝90°，∠AKE＝∠JKB，
∴∠EAK＝∠BJK，
∴∠BCT＝∠BAE，
∵AE＝DE，CT＝DE，
∴CT＝AE，
∵CB＝AB，
∴△BCT≌△BAE（SAS），
∴BT＝BE，∠CBT＝∠ABE，
∴∠TBE＝ABC＝90°，
∴△EBT是等腰直角三角形，
∵FT＝EF，
∴BF⊥EF，BF＝EF．
（3）如图③﹣1中，当点E在BA的延长线上时，
∵AB＝BC，AC＝36，∠ABC＝90°，
∴AB=22AC＝33，
∵AE＝23，
∴BE＝53，
∵△BFE是等腰直角三角形，
∴EF=22AE=562
如图③﹣2中，当点E在线段AB上时，同法可得EF=62，
综上所述，满足条件的EF的长为562或62．