专题12 阅读与新定义-2023-2024学年八年级数学下学期期末复习培优拔高（苏科版）

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阅读下列材料，完成相应任务．
任务一：请你按材料中的分析写出证明过程；
任务二：上述证明方法中主要体现的数学思想是 ；
A．转化思想
B．类比思想
C．数形结合思想
D．从一般到特殊思想
任务三：如图3，点C是线段AB上一点，CD⊥AB，点E是线段CD的中点，分别连接AD、BE，点F，G分别是AD和BE的中点，连接FG．若AB＝12，AC＝CD＝8，则FG＝ ．
2．阅读与思考：
若两个等腰三角形有公共腰，则称这两个等腰三角形不在公共腰上的两个顶点关于腰互为对顶点．若再满足不在公共腰上的两个角的和是90°，则称这两个顶点关于腰为互余对顶点．
如图1，在四边形ABCD中，AC是一条对角线，CD＝CA＝CB，则点B与点D关于AC互为对顶点，若再满足∠B+∠D＝90°，则点B与点D关于AC为互余对顶点．
任务：
如图2，平行四边形ABCD与四边形ABCE有两边重合，AC为两个四边形的对角线，AE＝AD＝AC，∠ACB＝70°．
（1）证明：点B与点E关于AC互为对顶点．
（2）当点B与点E关于AC为互余对顶点时，求∠DCE的度数．
3．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图①，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，且CD⊥BE，CD＝3，BE＝5，试求BC+DE的值．
小明发现，过点E作EF∥DC，交BC的延长线于点F，构造△BEF，经过推理得到▱DCFE，再计算就能够使问题得到解决（如图②）．请你帮小明回答：BC+DE的值为 ，并写出推理和计算过程．
参考小明思考问题的方法，请你解决如下问题：
如图③，已知▱ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC＝BF＝DF，求∠AGF的度数．
4．请阅读下列材料：
问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB=3，PC＝1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．
李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP′B＝150°，而∠BPC＝∠AP′B＝150°，进而求出等边△ABC的边长为7，问题得到解决．
请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=5，BP=2，PC＝1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．
5．如图（*），四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．
（1）探究1：小强看到图（*）后，很快发现AE＝EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证△AEM≌EFC就行了，随即小强写出了如下的证明过程：
证明：如图1，取AB的中点M，连接EM．
∵∠AEF＝90°
∴∠FEC+∠AEB＝90°
又∵∠EAM+∠AEB＝90°
∴∠EAM＝∠FEC
∵点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点
∴AM＝EC
又可知△BME是等腰直角三角形
∴∠AME＝135°
又∵CF是正方形外角的平分线
∴∠ECF＝135°
∴△AEM≌△EFC（ASA）
∴AE＝EF
（2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE＝EF仍然成立，请你证明这一结论．
（3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE＝EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．
6．【阅读材料】若分式A与分式B的差等于它们的积，即A﹣B＝AB，则称分式B是分式A的“关联分式”．
例如1x+1与1x+2，
解：∵1x+1−1x+2=1(x+1)(x+2)，
1x+1×1x+2=1(x+1)(x+2)，
∴1x+2是1x+1的“关联分式”．
【解决问题】
（1）已知分式2a2−1，则2a2+1 2a2−1的“关联分式”（填“是”或“不是”）．
（2）和谐小组成员在求分式1x2+y2的“关联分式”时，用了以下方法：
解：设1x2+y2的“关联分式”为B，
则1x2+y2−B=1x2+y2×B，
∴(1x2+y2+1)B=1x2+y2，
∴B=1x2+y2+1．
请你仿照和谐小组成员的方法求分式a−b2a+3b的“关联分式”．
【拓展延伸】
（3）观察（1）（2）的结果，寻找规律直接写出分式yx的“关联分式”： ．
7．阅读以下材料，并解答下列问题：
下列一组方程：①x+2x=3，②x+6x=5，③x+12x=7，…，小贤通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，他的解答过程如下：
由①x+1×2x=1+2得x＝1或x＝2；由②x+2×3x=2+3得x＝2或x＝3；由③x+3×4x=3+4得x＝3或x＝4．
（1）若n为正整数，请直接写出第n个方程及其方程的解．
（2）若n为正整数，关于x的方程x+n2+nx+3=2n﹣2的一个解是x＝7，求n的值．
8．阅读材料，下列关于x的方程：x+1x=c+1c的解为：x1＝c，x2=1c；x−1x=c−1c的解为：x1＝c，x2=−1c；x+2x=c+2c的解为：x1＝c，x2=2c；x+3x=c+3c的解为：x1＝c，x2=3c；
根据这些材料解决下列问题：
（1）方程x−1x=2−12的解是 ；
（2）方程x−1+1x−1=2+12的解是 ；
（3）解方程：x+5x+1=72．
9．阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．
将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：x2−2x+3x−1=x(x−1)+x−2x+3x−1=x+−(x−1)+2x−1=x﹣1+2x−1，这样，分式就拆分成一个分式2x−1与一个整式x﹣1的和的形式．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）如果分式x−4x−2的值为整数，求满足条件的整数x的值；
（2）若分式3x2+7x−2x+2拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：3m+7+4n−2，则m2+n2+mn的最小值为 ．
（3）利用分离常数法，求分式2x2+3x2+2的取值范围．
10．阅读材料：新定义运算max{a，b}：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b．例如：max{﹣3，2}＝2请你阅读以上材料，完成下列各题．
（1）max{7，32}＝ ．
（2）已知y=k1x和y＝k2x+b在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，当max{k1x，k2x+b}=k1x时，结合图象，直接写出x的取值范围．
（3）当max{﹣3x﹣1，﹣2x+3}＝x2+x+3时，求x的值．
11．阅读下列解题过程：
例：若代数式(2−a)2+(a−4)2=2，求a的取值．
解：原式＝|a﹣2|+|a﹣4|，
当a＜2时，原式＝（2﹣a）+（4﹣a）＝6﹣2a＝2，解得a＝2（舍去）；
当2≤a＜4时，原式＝（a﹣2）+（4﹣a）＝2，等式恒成立；
当a≥4时，原式＝（a﹣2）+（a﹣4）＝2a﹣6＝2，解得a＝4；
所以，a的取值范围是2≤a≤4．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
（1）当3≤a≤7时，化简：(3−a)2+(a−7)2；
（2）若(a+1)2+(a−3)2=6，求a的取值；
（3）请直接写出满足(a−1)2+(a−6)2=5的a的取值范围 ．
12．阅读下列计算过程：
12+1=1×(2−1)(2+1)(2−1)=2−1；
13+2=1×(3−2)(3+2)(3−2)=3−2；
15+2=1×(5−2)(5+2)(5−2)=5−2．
（1）根据上面运算方法，直接写出1n+1+n= ________ ；
（2）利用上面的解法，请化简：12021+2020+12020+2019+12019+2018+⋯+12+1；
（3）根据上面的知识化简1n+1+n．
13．我们将（a+b），（a−b）称为一对“对偶式”，因为（a+b）（a−b）＝（a）2﹣（b）2＝a﹣b．所以构造“对偶式”，再将其相乘可以将（a+b）和（a−b）中的“”去掉，例如：3+33−3=(3+3)(3+3)(3−3)(3+3)=(3+3)232−(3)2=12+636=2+3像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号去掉，叫做分母有理化．
理解并运用以上材料提供的方法，解答以下问题．
（1）化简：2+12−1= ．
（2）如图，数轴上表示1，2的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x，求x+2x的值．
14．我们小学学分数时学过真分数和假分数，初中我们又学习了分式，现在我们来了解一下什么是“真分式”和“假分式”，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，称为“真分式”，如2x+2；当分子的次数大于或等于分母的次数时，称为“假分式”，如：x2x2−1，x2x+2．假分式也可以化为带分式的形式，即为整式与“真分式”的和的形式，如：2x+1x−2=2x−4+5x−2=2(x−2)+5x−2=2+5x−2，x2+2x−1=x2−1+3x−1=(x+1)(x−1)+3x−1=x+1+3x−1．
（1）分式4x2−32x−1是 （填“真”或“假”）分式．
（2）请将分式4x2−32x−1化为带分式的形式，问当4x2−32x−1的值为整数时，求整数x的所有可能值．
15．我们知道菱形与正方形的形状有差异，可以将菱形与正方形的接近程度称为菱形的“接近度”．如图，已知菱形ABCD的边长为5，设菱形ABCD的对角线BD，AC的长分别为m，n（m≥n）．若我们将菱形的“接近度”定义为mn，即“接近度”=mn．
（1）当菱形的“接近度”＝ 时，菱形就是正方形；
（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，求此菱形的“接近度”；
（3）若菱形ABCD的“接近度”是2，求此时菱形ABCD面积．
16．在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（4，2），C（4，0），P为矩形ABCO内（不包括边界）一点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，这两条平行线分矩形ABCO为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于OA，则称P为矩形ABCO的矩宽点．
例如：如图中的P（25，35）为矩形ABCO的一个矩宽点．
（1）在点D（12，12），E（2，1），F（134，74）中，矩形ABCO的矩宽点是 ；
（2）若G（m，23）为矩形ABCO的矩宽点，求m的值．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
如图1，△ABC中，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的中线．求证：BD=12AC．
分析：要证明BD等于AC的一半．可以用“倍长法”将BD延长一倍，如图2，延长BD到E，使得DE＝BD．连接AE，CE．可证四边形ABCE是矩形，由矩形的对角线相等得BE＝AC，这样将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到BD=12AC．