专题28轴对称、平移、旋转的核心知识点精讲-备战2024年中考数学一轮复习考点

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1.理解轴对称图形与中心对称图形概念；
2.掌握图形的平移的性质及有关计算；
3.掌握图形的旋转性质并运用其性质进行有关的计算；
4.掌握位似的性质。
考点1：轴对称图形与轴对称
1．常见的轴对称图形: 等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆．
2．折叠的性质:折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．
3．作某点关于某直线的对称点的一般步骤
1）过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足；2）在这条直线另一侧从垂足除法截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点．
4．作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤
1）作出图形的关键点关于这条直线的对称点；
2）把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形．
考点2：图形的平移
1．定义：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小．
2．三大要素： 一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离．
3．性质：
1）平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；2）各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；3）平移前后的图形全等．
4．作图步骤：
1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离；2）找出原图形的关键点；3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形．
考点3：图形的旋转
1．定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．
2．三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度．
3．性质：
1）对应点到旋转中心的距离相等；2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
3）旋转前后的图形全等．
4．作图步骤：1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；2）找出原图形的关键点；3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．
【注意】旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用．
考点4：中心对称图形与中心对称
常见的中心对称图形
平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等．
注意：图形的“对称”“平移”“旋转”这些变化,是图形运动及延伸的重要途径,研究这些变换中的图形的“不变性”或“变化规律”.
考点5：坐标变换的规律
（1）P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为(a,－b)；
（2）P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为(－a,b)；
（3）P(a，b)关于原点对称的点的坐标为(－a,－b)．
【题型1：平移、旋转与轴对称的识别】
【典例1】（2023•苏州）古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美．下面四个花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：A、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、原图既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【变式1-1】（2023•泰州）书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感．下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
【变式1-2】（2023•广西）下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．C．D．
【答案】A
【解答】解：A、图形是中心对称图形，符合题意；
B、图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
【变式1-3】（2023•宜昌）我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：选项A、B、C都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
【题型2：平移、旋转与轴对称性质的应用】
【典例2】（2023•无锡）如图，△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交AC于F．当α＝40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（ ）
A．80°B．85°C．90°D．95°
【答案】B
【解答】解：∵将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，∠BAD＝∠CAE＝40°，AB＝AD，∠C＝∠E，
∴∠B＝70°，
∴∠C＝∠E＝55°，
∴∠AFE＝180°﹣55°﹣40°＝85°，
故选：B．
【变式2-1】（2023•南充）如图，将△ABC沿BC向右平移得到△DEF，若BC＝5，BE＝2，则CF的长是（ ）
A．2B．2.5C．3D．5
【答案】A
【解答】解：由平移的性质可知：CF＝BE＝2，
故选：A．
【变式2-2】（2023•牡丹江）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABEF，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕MN，如图②．
根据以上的操作，若AB＝8，AD＝12，则线段BM的长是（ ）
A．3B．C．2D．1
【答案】C
【解答】解：如图①，∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝12，
∴DC＝AB＝8，BC＝AD＝12，∠BAD＝∠B＝90°，
由折叠得∠AFE＝∠B＝90°，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AF＝AB＝8，
∴四边形ABEF是正方形，
∴BE＝EF＝AB＝8，∠BEF＝90°，
如图②，由折叠得FM＝CM，
∵EM2+EF2＝FM2，且EM＝8﹣BM，FM＝CM＝12﹣BM，
∴（8﹣BM）2+82＝（12﹣BM）2，
解得BM＝2，
故选：C．
【变式2-3】（2023•宁夏）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2．点D在BC上，且BD：CD＝1：3．连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，连接BE，DE．则△BDE的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：∵线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠EAB+∠BAD＝90°，
在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠C＝∠ABC＝45°，
∴∠EAB＝∠CAD，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴∠C＝∠ABE＝45°，CD＝BE，
∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝90°，
∵BC＝2，BD：CD＝1：3，
∴BD＝，CD＝BE＝，
∴＝，
故选：B．
【题型3：图形变化与点坐标变化】
【典例3】（2023•海南）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为（6，0），将△ABO绕着点B顺时针旋转60°，得到△DBC，则点C的坐标是（ ）
A．（3，3）B．（3，3）C．（6，3）D．（3，6）
【答案】B
【解答】解：作CM⊥x轴于M，
∵点B的坐标为（6，0），
∴BC＝OB＝6，
∵∠OBC＝60°，
∴BM＝，CM＝＝3，
∴OM＝OB﹣BM＝6﹣3＝3，
∴C（3，3）．
故选：B．
【变式3-1】（2023•金华）如图，两盏灯笼的位置A，B的坐标分别是（﹣3，3），（1，2），将点B向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点B′，则关于点A，B′的位置描述正确的是（ ）
A．关于x轴对称B．关于y轴对称
C．关于原点O对称D．关于直线y＝x对称
【答案】B
【解答】解：∵点B′由点B（1，2）向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到
∴此时B′坐标为（3，3）．
∴A与B′关于y轴对称．
故选：B．
【变式3-2】（2023•青岛）如图，将线段AB先向左平移，使点B与原点O重合，再将所得线段绕原点旋转180°得到线段A′B′，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（3，﹣2）D．（﹣3，2）
【答案】A
【解答】解：如图，
由题意可知，点A（0，3），B（2，0），
由平移的性质得：A''（﹣2，3），点B'（0，0），
由旋转的性质得：点A'与A''关于原点对称，
∴A′（2，﹣3），
故选：A．
【变式3-3】（2023•聊城）如图，在直角坐标系中，△ABC各点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（﹣4，4）．先作△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2．若B2（2，1），则点A2坐标为（ ）
A．（1，5）B．（1，3）C．（5，3）D．（5，5）
【答案】B
【解答】解：∵A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（﹣4，4）关于x轴对称的点的坐标为A1（﹣2，﹣1），B1（﹣1，﹣3），C1（﹣4，﹣4），
又∵B2（2，1），
∴平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，
∴点A2坐标为（﹣2+3，﹣1+4），即（1，3）．
故选：B．
【变式3-4】（2023•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，1），以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（1，1）B．（4，4）或（8，2）
C．（4，4）D．（4，4）或（﹣4，﹣4）
【答案】D
【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，点A的坐标为（2，2），
∴点A的对应点A′的坐标为（2×2，2×2）或（2×（﹣2），2×（﹣2）），即（4，4）或（﹣4，﹣4），
故选：D．
【题型4：与平移、旋转与轴对称相关的网格作图】
【典例4】（2023•达州）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的格点上．
（1）将△ABC向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3）在（2）的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积．
【答案】（1）见解答；
（2）见解答；
（3）+．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示；
（3）＝，
∵AC＝，
∴＝＝，
∴在（2）的运动过程中△ABC扫过的面积＝＝+．
【变式4-1】（2023•宜昌）如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空．
（1）画出线段OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OB，连接AB；
（2）画出与△AOB关于直线OB对称的图形，点A的对称点是C；
（3）填空：∠OCB的度数为 45° ．
【答案】（1）（2）见解答；
（3）45°．
【解答】解：（1）如图，OB为所作；
（2）如图，△COB为所作；
（3）∵线段OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OB，
∴OB＝OA，∠AOB＝90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OAB＝45°，
∵△COB与△AOB关于直线OB对称，
∴∠OCB＝∠OAB＝45°．
故答案为：45°．
【变式4-2】（2023•宁波）在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形PAB，再画出该三角形向右平移2个单位后的△P′A′B′．
（2）将图2中的格点△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的△A′B′C．
【答案】图形见解答．
【解答】解：（1）如图1，△P′A′B′即为所求；
（2）如图2，△A′B′C即为所求．
【变式4-3】（2023•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．
（1）将△ABC向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）将△A2B2C2绕着原点O顺时针旋转90°，得到△A3B3C3，求线段A2C2在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．
【答案】（1）图形见解答；
（2）图形见解答；
（3）．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）将△A2B2C2绕着原点O顺时针旋转90°，得到△A3B3C3，如图，连接OC3交于D，连接OC2交于E，
∵A2（﹣2，﹣1），B2（﹣1，﹣2），C2（﹣3，﹣3），
∴OA2＝＝，OB2＝＝，OC2＝＝3，
∴OA2＝OB2＝OD＝OE＝，
由旋转得：OA2＝OA3，OB2＝OB3，OC2＝OC3，A2C2＝A3C3，∠C2OC3＝∠DOE＝90°，
∴△OA2C2≌△OA3C3（SSS），
∴＝，
∴线段A2C2在旋转过程中扫过的面积＝S﹣S扇形DOE＝﹣＝．
一．选择题（共8小题）
1．在学习图案与设计这一节课时，老师要求同学们利用图形变化设计图案，下列设计的图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．C．D．
【答案】B
【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．在《生活中的平移现象》的数学讨论课上，小明和小红先将一块三角板描边得到△ABC，后沿着直尺BC方向平移3cm，再描边得到到△DEF，连接AD．如图，经测量发现△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为（ ）
A．16cmB．22cmC．20cmD．24cm
【答案】B
【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，
∴CF＝AD＝3cm，AC＝DF，
∵△ABC的周长为16cm，
∴AB+BC+AC＝16cm，
∴四边形ABFD的周长＝AB+BC+CF+DF+AD
＝AB+BC+AC+CF+AD
＝16+3+3
＝22（cm）．
故选：B．
3．如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，连接AA'，BB'，CC'，其中BB′分别交AC，A′C于点D，D'，下列结论：①AA'∥BB'；②∠ADB＝∠A′D′B′；③直线l垂直平分 AA'；④直线AB与A'B'的交点不一定在直线l上．其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
【答案】A
【解答】解：∵△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，
∴AA'∥BB'，故A正确，
∴∠ADD′＝∠A′D′D，
∴∠ADB＝∠A′D′B′，故B正确，；
∵△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，
∴线段AA′、BB′、CC'被直线l垂直平分，正确，不符合题意；
∵△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，
∴直线l垂直平分 AA'，故C正确；
∵△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，
∴线段AC、A'C'所在直线的交点一定在直线l上，故D错误，
故选：A．
4．如图，在长方形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将长方形沿BE折叠，使得点A落在CD边上F处，则AE的长是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【解答】解：∵将长方形沿BE折叠，使得点A落在CD边上F处，
∴AB＝BF＝5，AE＝EF，
∴CF＝＝4，
∴DF＝1，
∴AE＝EF＝＝，
解得AE＝，
故选：B．
5．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△AB′C′，若∠C′＝45°，且AB′⊥BC于点E，则∠BAC的度数为（ ）
A．60°B．75°C．45°D．50°
【答案】B
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△AB′C′，
∴∠BAE＝30°，∠C＝∠C'＝45°，
又∵AB′⊥BC，
∴∠EAC＝45°，
∴∠BAC＝75°，
故选：B．
6．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为36，DE＝2，则AF的长为（ ）
A．6B．C．8D．
【答案】D
【解答】解：∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置，
∴△ADE≌△ABF，
∴AE＝AF，四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于36，
∴AD＝DC＝6，
∵DE＝2，
∴Rt△ADE中，AE＝，
∴AE＝AF＝，
故选：D．
7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC'，若点C'在AB上，则AA'的长为（ ）
A．B．4C．D．5
【答案】A
【解答】解：如图，连接AA'，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC'，
∴∠A'C'B＝∠C＝90°，A'C'＝AC＝3，AB＝A'B，
根据勾股定理得：
AB＝＝5，
∴A'B＝AB＝5，
∴AC'＝AB﹣BC'＝1，
在Rt△AA'C'中，由勾股定理得：
AA'＝＝，
故选：A．
8．如图，在等腰△AOB中，OA＝AB，∠OAB＝120°，OA边在x轴上，将△AOB绕原点O逆时针旋转120°，得到△A'OB'，若，则点A的对应点A'的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1）B．（﹣1，）C．（﹣1，2）D．（﹣1，）
【答案】B
【解答】解：过B作BC⊥OA于C，直线A'B'交y轴于D，
∵OA＝AB，∠OAB＝120°，
∴∠AOB＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∵，
∴，
∴OA＝AB＝2，
∵将△AOB绕原点O逆时针旋转120°，得到△A'OB'，
∴∠B'＝30°，A'O＝OA＝2，，∠BOB'＝120°，
∴∠DOB'＝60°，
∴∠ODB'＝90°，
∴，
∴B'D＝3，
∴A'D＝B'D﹣A'B'＝1，
∴点A的对应点A'的坐标为，
故选：B．
二．填空题（共7小题）
9．若点A（2，﹣3）关于坐标原点的对称点是B，则点B的坐标为 （﹣2，3） ．
【答案】（﹣2，3）．
【解答】解：∵点A（2，﹣3）关于坐标原点的对称，
∴点B的坐标为（﹣2，3），
故答案为：（﹣2，3）．
10．如图，已知四边形ABCD是长方形，点E、F分别在线段AB、CD上，将四边形AEFD沿EF翻折得到四边形A'EFD'，若∠CFD'＝36°，则∠DFE＝ 108° ．
【答案】108°．
【解答】解：∵∠CFD'＝36°，
∴∠DFD′＝180°﹣∠CFD′＝180°﹣36°＝144°，
由翻折得∠D′FE＝∠DFE，
∴2∠DFE+144°＝360°，
∴∠DFE＝108°，
故答案为：108°．
11．如图，将长为6，宽为4的长方形ABCD先向右平移2，再向下平移1，得到长方形A'B'CD'，则阴影部分的面积为 12 ．
【答案】12．
【解答】解：由题意可得，阴影部分是矩形，长B'C＝6﹣2＝4，宽A'B'＝4﹣1＝3，
∴阴影部分的面积＝4×3＝12，
故答案为：12．
12．线段AB两端点的坐标分别为A（2，4），B（5，2），若将线段AB平移，使得点B的对应点为点C（3，﹣1）．则平移后点A的对应点的坐标为 （0，1） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵B（5，2），点B的对应点为点C（3，﹣1）．
∴变化规律是横坐标减2，纵坐标减3，
∵A（2，4），
∴平移后点A的对应点的坐标为 （0，1），
故答案为（0，1）．
13．如图，有一块长方形区域，AD＝2AB，现在其中修建两条长方形小路，每条小路的宽度均为1米，设AB边的长为x米，则图中空白区域的面积为 2x2﹣3x+1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：AD＝2AB，设AB边的长为x米，则AD＝2x米，
空白区域的面积为：（x﹣1）（2x﹣1）＝2x2﹣3x+1，
故答案为：2x2﹣3x+1，
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝3，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，则BB′＝ 6 ．
【答案】6．
【解答】解：∵在△ABC中，BC＝3，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝6，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AB′C′，
∴∠∠BAB′＝90°，AB＝AB′＝6，
∴BB′＝＝6．
故答案为：6．
15．如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O旋转90°得到点P′，则点P′的坐标为 （3，﹣2）或（﹣3，2） ．
【答案】（3，﹣2）或（﹣3，2）．
【解答】解：将点P（2，3）绕原点O旋转90°得到点P′，如图：
分别过点P和P′作PM⊥y轴于点M，作P′N⊥x轴于点N，
∵将点P绕原点O旋转90°得到点P′，
∴∠POM+∠P′OM＝90°，
∴∠P′OM+∠P′ON＝90°，
∴∠POM+∠P′ON，
在△POM和△P′OM中，
，
∴△POM≌△P′OM（AAS），
∴OM＝ON＝3，PM＝P′N＝2，
由图可知：点P′的坐标为（3，﹣2）或（﹣3，2）；
故答案为：（3，﹣2）或（﹣3，2）．
三．解答题（共3小题）
16．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（2）求（1）中C点旋转到C1点所经过的路径长（结果保留π）．
【答案】（1）画图见解答；A1（﹣4，2）．
（2）．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
点A1的坐标为（﹣4，2）．
（2）由勾股定理得，OC＝＝5，
∴C点旋转到C1点所经过的路径长为＝．
17．如图所示，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，OC，∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC．
（1）求∠DAO的度数；
（2）用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）90°；
（2）OA2+OB2＝OC2．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝90°，
由旋转的性质可知，∠OCD＝60°，∠ADC＝∠BOC＝120°，
∴∠DAO＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°；
（2）线段OA，OB，OC之间的数量关系是OA2+OB2＝OC2．
如图，连接OD．
∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△ADC≌△BOC，∠OCD＝60°．
∴CD＝OC，∠ADC＝∠BOC＝120°，AD＝OB，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC＝OD＝CD，∠COD＝∠CDO＝60°，
∵∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝90°，
∴∠AOD＝30°，∠ADO＝60°．
∴∠DAO＝90°．
在Rt△ADO中，∠DAO＝90°，
∴OA2+AD2＝OD2．
∴OA2+OB2＝OC2．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当∠BDE＝25°时，求∠BEF的度数．
【答案】（1）见解析过程；
（2）65°．
【解答】（1）证明：∵将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE＝∠CAD＝45°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
∵∠BDE＝25°，
∴∠BEF＝65°．
一．选择题（共7小题）
1．如图，将长方形ABCO放置于平面直角坐标系中，点O与原点重合，点A，C分别在y轴和x轴上，点B（8，4），连接BO，并将△ABO沿BO翻折至长方形ABCO所在平面，点A的对称点为点E，则点E的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解答】解：设BE交OC于点F，作EH⊥OF于点H，则∠OHE＝90°，
∵四边形ABCO是矩形，B（8，4），
∴OA＝BC＝4，OC＝AB＝8，AB∥OC，
∴∠ABO＝∠FOB，
由翻折得EB＝AB＝8，OE＝OA＝4，∠ABO＝∠FBO，∠OEB＝∠OAB＝90°，
∴∠FOB＝∠FBO，
∴BF＝OF，
∴EF＝8﹣BF＝8﹣OF，
∵OE2+EF2＝OF2，
∴42+（8﹣OF）2＝OF2，
解得OF＝5，
∴EF＝8﹣5＝3，
∵OF•EH＝OE•EF＝S△OEF，
∴×5EH＝×4×3，
解得EH＝，
∴OH＝＝＝，
∴E（，），
故选：A．
2．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移2个单位长度得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（ ）
A．10B．12C．14D．16
【答案】B
【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移2个单位长度得到△DEF，
∴DF＝AC，AD＝CF＝2，
∴四边形ABFD的周长＝AB+BF+DF+AD
＝AB+BC+CF+AC+AD
＝△ABC的周长+AD+CF
＝8+2+2
＝12．
故选：B．
3．如图，正方形ABCD，边长AB＝2，对角线AC、BD相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与BC、CD交于E、F两点，当三角板绕点O旋转时，线段EF的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．2
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OC＝OD，∠ODC＝∠OCB＝45°，OC⊥OD，
∵∠EOF＝90°＝∠COD，
∴∠DOF＝∠COE，且OC＝OD，∠ODC＝∠OCB＝45°，
∴△OEC≌△OFD（ASA）
∴OE＝OF，且∠EOF＝90°，
∴EF＝OE，
∴OE取最小值，EF有最小值，
当OE⊥BC时，OE有最小值，
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，OE⊥BC，
∴OE＝BC＝1，
∴EF的最小值为，
故选：C．
4．如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：如图，过点B′作B′H⊥y轴于H．
在Rt△A′B′H中，∵A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，
∴A′H＝A′B′cs60°＝1，B′H＝A′B′sin60°＝，
∴OH＝2+1＝3，
∴B′（﹣，3），
故选：A．
5．如图，菱形ABCD，点A，B，C，D均在坐标轴上，∠ADC＝120°，点A的坐标为（﹣4，0），点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是（ ）
A．4B．C．D．
【答案】A
【解答】解：根据题意得，E点关于x轴的对称点是BC的中点E'，连接DE'交AC与点P，此时PD+PE有最小值为DE'，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，点A（﹣4，0），
∴OA＝OC＝4，∠DBC＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴DE'＝OC＝4，
即PD+PE的最小值是4，
故选：A．
6．如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D的对称点为点F，EF为交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE．下列四个结论中：①△PBE∽△QFG；②S△CEG＝S△CBE+S四边形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ•GD，正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④
【答案】B
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°．
由折叠可知：∠GEP＝∠BCD＝90°，∠F＝∠D＝90°．
∴∠BEP+∠AEG＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠AEG+∠AGE＝90°，
∴∠BEP＝∠AGE．
∵∠FGQ＝∠AGE，
∴∠BEP＝∠FGQ．
∵∠B＝∠F＝90°，
∴△PBE∽△QFG．
故①正确；
②过点C作CM⊥EG于M，
由折叠可得：∠GEC＝∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠BEC＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠GEC，
在△BEC和△MEC中，
，
∴△BEC≌△MEC（AAS）．
∴CB＝CM，S△BEC＝S△MEC．
∵CG＝CG，
∴Rt△CMG≌Rt△CDG（HL），
∴S△CMG＝S△CDG，
∴S△CEG＝S△BEC+S△CDG＞S△BEC+S四边形CDQH，
∴②不正确；
③由折叠可得：∠GEC＝∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠BEC＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠GEC，
即EC平分∠BEG．
∴③正确；
④连接DH，MH，HE，如图，
∵△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG，
∴∠BCE＝∠MCE，∠MCG＝∠DCG，
∴∠ECG＝∠ECM+∠GCM＝∠BCD＝45°，
∵EC⊥HP，
∴∠CHP＝45°．
∴∠GHQ＝∠CHP＝45°．
由折叠可得：∠EHP＝∠CHP＝45°，
∴EH⊥CG．
∴EG2﹣EH2＝GH2．
由折叠可知：EH＝CH．
∴EG2﹣CH2＝GH2．
∵CM⊥EG，EH⊥CG，
∴∠EMC＝∠EHC＝90°，
∴E，M，H，C四点共圆，
∴∠HMC＝∠HEC＝45°．
在△CMH和△CDH中，
，
∴△CMH≌△CDH（SAS）．
∴∠CDH＝∠CMH＝45°，
∵∠CDA＝90°，
∴∠GDH＝45°，
∵∠GHQ＝∠CHP＝45°，
∴∠GHQ＝∠GDH＝45°．
∵∠HGQ＝∠DGH，
∴△GHQ∽△GDH，
∴＝，
∴GH2＝GQ•GD，
∴GE2﹣CH2＝GQ•GD．
∴④正确；
综上可得，正确的结论有：①③④．
故选：B．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，点E、F分别是边AB、BC上一动点，将△BEF沿EF折叠，若点B恰好落在AD边上的点G处，设EF＝x，则x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：当点F在C点，将△BEF沿EF折叠，使得点B恰好落在AD边上的点G处，此时EF最小，如图，
由折叠可知：CG＝BC＝10，BE＝GE，
在Rt△DCG中，DC＝8，
∴DG＝＝6，
∴AG＝AD﹣DG＝10﹣6＝4，
设BE＝t，则EG＝t，AE＝8﹣t，
在Rt△AEG中，
∵AE2+AG2＝EG2，
∴（8﹣t）2+42＝t2，
解得t＝5，
∴BE＝t＝5，
∴EF＝＝＝5；
∴此时EF的长为5；
②当点E在A点，将△BEF沿EF折叠，使得点B恰好落在AD边上的点G处，此时EF最大，
由折叠可知：四边形ABFG是正方形，
∴AB＝BF＝8，
∴EF＝＝8，
∴x的取值范围为5≤x≤8．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝65°，将△ABC绕点B逆时针旋转至△EBD，使点C落在边AC上的D处，则∠EBA＝ 50° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由旋转可知，
BD＝BC，
又∵点D落在边AC上，∠C＝65°，
∴∠BDC＝∠C＝65°，
∴∠CBD＝180°﹣2×65°＝50°，
即旋转角为50°，
所以∠EBA＝∠CBD＝50°．
故答案为：50°．
9．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝5，则BE的长度为 5 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转 60°得到△AED，
∴AB＝AE，∠BAE＝60°，
∴△AEB是等边三角形，
∴BE＝AB，
∵AB＝5，
∴BE＝5．
故答案为：5．
10．如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使CD∥AB，则∠BAE的度数为 40° ．
【答案】40°．
【解答】解：∵DC∥AB，
∴∠ACD＝∠CAB＝70°，
由旋转的性质可知，AD＝AC，∠DAE＝∠CAB＝70°，
∴∠ADC＝∠CAB＝70°，
∴∠CAD＝40°，
∴∠CAE＝30°，
∴∠BAE＝40°，
故答案为：40°．
11．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是 ．
【答案】．
【解答】解：如图，由旋转可得∠ACQ＝∠B＝60°，
又∵∠ACB＝60°，
∴∠BCQ＝120°，
∵点D是AC边的中点，
∴CD＝3，
当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，
此时，∠CDQ＝30°，
∴CQ＝CD＝，
∴DQ＝＝，
∴DQ的最小值是，
故答案为：．
12．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点P为射线AD上一个动点．连接BP，把△ABP沿BP折叠，当点A的对应点A'刚好落在线段BC的垂直平分线上时，AP的长为 或 ．
【答案】或．
【解答】解：点P在射线AD上运动，故分两种情况；
情况一：当点A'落在图①的位置时，
由正方形ABCD可知，BC＝AB＝4，
∵点A'落在BC的垂直平分线EF上，
∴，
由折叠可知，A'B＝AB＝4．
在Rt△A'FB中，
由勾股定理可得，，
∴，
∵∠PEA′＝∠PA′B＝∠A′FB＝90°，
∴∠EA′P+∠BA′F＝90°，∠FBA′+∠BA′F＝90°，
∴∠EA′P＝∠FBA′，
∴△PEA'∽△A'FB，
∴，
∴
解得，
∴．
情况二：当点A'若在图②的位置时，
由正方形ABCD可知，BC＝AB＝4，
∵点A'落在BC的垂直平分线上，
∴，
由折叠可知，A'B＝AB＝4，
在Rt△A'FB中，
由勾股定理可得，，
∴．
由折叠可知，AP＝A'P，
设AP＝A'P＝x，则EP＝x﹣2．
在Rt△A'EP中，
由勾股定理可得，A′P2＝A′E2+EP2，
即，
解得x＝，
∴，
∴．
综上，AP＝或．
13．如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，点E是BC边的中点，连接DE，将△DCE沿DE翻折得到△DC'E，连接AC′，则AC′的长为 ．
【答案】．
【解答】解：如图，连接BC′，CC′，过点C′作C′G⊥AB于点G，
∵正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，
∴BE＝CE＝2，
在Rt△CDE中，根据勾股定理得DE＝＝2，
由翻折可知：DE垂直平分CC′，
∴DE•CH＝CE•CD，
∴2CH＝2×4，
∴CH＝，
∴CC′＝，
由折叠可得，CE＝C′E＝BE，
∴△BCC′是直角三角形，
∴BC′＝＝，BC′⊥CC′，
∴∠C′BG＝90°﹣∠CBC′＝∠BCC′，
∵∠C′GB＝∠CC′B＝90°，
∴△C′GB∽△BC′C，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴C′G＝，BG＝，
∴AG＝AB﹣BG＝，
∴AC′＝＝．
故答案为：．
三．解答题（共2小题）
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，连接AE．求证：AB＝AE．
【答案】证明见解析．
【解答】解：由旋转的性质可得BC＝EC，∠DCE＝∠ACB＝30°，∠ACD＝60°，
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝30°，
∴∠ACE＝∠ACB＝30°，
又∵AC＝AC，
∴△ACE≌△ACB（SAS），
∴AB＝AE．
15．[教材呈现]下面是华师版九年级上册数学教材第76页的部分内容．
如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB＝3，AD＝2，CE＝1，证明△AFD∽△DCE，并计算点A到直线DE的距离（结果保留根号）．
结合图①，完成解答过程．
[拓展]
（1）在图①的基础上，延长线段AF交边CD于点G，如图②，则FG的长为 ；
（2）如图③，E、F是矩形ABCD的边AB、CD上的点，连结EF，将矩形ABCD沿EF翻折，使点D的对称点D'与点B重合，点A的对称点为点A'．若AB＝4，AD＝3，则EF的长为 ．
【答案】[教材呈现]证明见解答过程，点A到直线DE的距离AF＝；
[拓展]
（1）；
（2）．
【解答】解：[教材呈现]∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠C＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝2，
∴DE＝＝，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝∠C＝90°，
∴∠DAF+∠ADF＝∠ADF+∠CDE＝90°，
∴∠DAF＝∠CDE，
∴△ADF∽△DCE，
∴，即，
∴点A到直线DE的距离AF＝；
[拓展]
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠C＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝2，
∴DE＝＝，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝∠CDA＝90°，
∴∠CDE+∠ADE＝∠DAG+∠ADE＝90°，
∴∠DAG＝∠CDE，
∴△ADG∽△DCE，得
∴，即，
∴AG＝，
∴FG＝AG﹣AF＝﹣＝；
故答案为：；
（2）如图③，
作FG⊥AD于G，
设DF＝BF＝x，则CF＝4﹣x，
∵将矩形ABCD沿EF翻折，使点D的对称点D'与点B重合，
∴∠DFE＝∠BFE，
∵AB∥CD，
∴∠DFE＝∠BEF，
∴∠BFE＝∠BEF，
∴BE＝BF＝x，
在Rt△BCF中，根据勾股定理得，BF2﹣CF2＝BC2，
∴x2﹣（4﹣x）2＝32，
∴x＝，
∴DF＝BF＝BE＝，BG＝CF＝4﹣＝，
∴GE＝BE﹣BG＝﹣＝，
在Rt△EFG中，GF＝AD＝3，
EF＝＝＝，
故答案为：．
1．（2023•常州）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（2，1），则点P关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，1）
【答案】C
【解答】解：点P的坐标是（2，1），则点P关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，1），
故选：C．
2．（2023•自贡）下列交通标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：图形既是中心对称图形又是轴对称图形，
故选：B．
3．（2023•天津）如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠CAE＝∠BED B．AB＝AEC．∠ACE＝∠ADE D．CE＝BD
【答案】A
【解答】解：如图，设AD与BE的交点为O，
∵把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，
∴∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠CAE，
又∵∠AOB＝∠DOE，
∴∠BED＝∠BAD＝∠CAE，
故选：A．
4．（2023•通辽）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD＝24°，则旋转角α的度数为（ ）
A．24°B．28°C．48°D．66°
【答案】C
【解答】解：∵DE⊥AC，∠CAD＝24°，
∴∠ADE＝66°，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，
∴∠B＝∠ADE＝66°，AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝66°
∴∠BAD＝48°，
故选：C．
5．（2023•黄石）如图，已知点A（1，0），B（4，m），若将线段AB平移至CD，其中点C（﹣2，1），D（a，n），则m﹣n的值为（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
【答案】B
【解答】解：∵线段CD由线段AB平移得到，
且A（1，0），C（﹣2，1），B（4，m），D（a，n），
∴m﹣n＝0﹣1＝﹣1．
故选：B．
6．（2023•绍兴）在平面直角坐标系中，将点（m，n）先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是（ ）
A．（m﹣2，n﹣1）B．（m﹣2，n+1）C．（m+2，n﹣1）D．（m+2，n+1）
【答案】D
【解答】解：将点（m，n）先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是（m+2，n+1），
故选：D．
7．（2022•福建）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到△A′B′C′，点A′对应直尺的刻度为0，则四边形ACC′A′的面积是（ ）
A．96B．96C．192D．160
【答案】B
【解答】解：在Rt△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝8，
则BC＝AB•tan∠CAB＝8，
由平移的性质可知：AC＝A′C′，AC∥A′C′，
∴四边形ACC′A′为平行四边形，
∵点A对应直尺的刻度为12，点A′对应直尺的刻度为0，
∴AA′＝12，轴对称图形
轴对称
图
形
定
义
如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴
如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴
性
质
对应线段相等
AB=AC
AB=A′B′，BC=B′C′，
AC=A′C′
对应角相等
∠B=∠C
∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∠C=∠C′
对应点所连的线段被对称轴垂直平分
区
别
(1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言；
(2)对称轴不一定只有一条
(1)轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形；
(2)只有一条对称轴
关
系
(1)沿对称轴对折，两部分重合；
(2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称
(1)沿对称轴翻折，两个图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形
中心对称图形
中心对称
图
形
定
义
如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心
如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称
性
质
对应点
点A与点C，点B与点D
点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′
对应线段
AB=CD，
AD=BC
AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′
对应角
∠A=∠C
∠B=∠D
∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′
区
别
中心对称图形是指具有某种特性的一个图形
中心对称是指两个图形的关系
联
系
把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，则这“两个图形”成中心对称
把成中心对称的两个图形看成一个“整体”，则“整体”成为中心对称图形