专题16 正方形折叠问题最新期中真题-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

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【例题讲解】
如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．
(1) 求证：∠EDG=45°．(2)如图2，E为BC的中点，连接BF．
①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．
(3) 当BE︰EC= 时，DE=DG．
试题解析：（1）证明：如图：∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC = 90°．
∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，
∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1＝∠2，
∴∠DFG=∠A，DA=DF，又∵DG=DG，
∴△DGA≌△DGF， ∴∠3＝∠4，∴∠EDG=∠3+∠2=(∠ADF+∠FDC)= 45°．
(2)①证明：∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，E为BC的中点
∴CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC．∴∠5＝∠6，
∵∠FEC=∠5+∠6，∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6
∴2∠5＝2∠DEC，即∠5＝∠DEC ∴BF∥DE．
②解：设AG=x，则GF=x，BG=6－x，由正方形边长为6，得CE=EF=BE=3，
∴GE=EF+GF=3+x． 在Rt△GBE中，根据勾股定理得：
解得x=2，即线段AG的长为2． .
【综合演练】
1．如图．已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG．现有如下3个结论；①AG+EC＝GE；②∠GDE＝45°；③△BGE的周长是24．其中正确的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．如图，正方形ABCD的边长为3，将正方形ABCD沿直线EF翻折，则图中折成的4个阴影三角形的周长之和是（ ）
A．8B．9C．12D．以上都不正确
3．如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE，若AB的长为2，则FM的长为（ ）
A．2B．C．D．1
4．如图是一张矩形纸片ABCD，AD＝10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE＝6cm，则CD＝( )
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
5．如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再把点折叠在折痕上，折痕为，点在上的对应点为，则的度数为______．
6．如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠至处，与AC交于点F，若∠EFC＝67°，则∠CAE的度数为____．
7．如图，正方形纸片ABCD的边长为10cm，点P在边BC上，BP=4cm，折叠纸片使点A落在点P上，折痕为MN．则AM的长是______．
8．如图，在正方形中，、分别为、的中点，连接、，将 沿对折，得到，延长交的延长线于点.给出下列结论:①;②;③是等边三角形;④若正方形的边长为，则线段的长为其中，正确的结论有_____.(把你认为正确的结论的序号都填上)
9．如图，将一边长为的正方形纸片的顶点折叠至边上的点，使，折痕为，则的长__________．
10．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为边BC上任意一点（不与点B、C重合），AE、BD交于点P，过点P且垂直于AE的一条直线MN分别交AB、CD于点M、N．连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P'处．AD的中点为F，则P′F的最小值为 ____．
11．如图，正方形ABCD中，，点E在CD上，且，将沿AE对折至，延长EF交BC于点G，连接AG、CF．
求证：≌；
求BG的长；
求的面积．
12．如图，正方形ABCD中，CD=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．
（1）求证：①△ABG≌△AFG； ②求GC的长；
（2）求△FGC的面积．
13．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．
（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：____；
（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）
14．如图1，在正方形中，点为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于点，连接.
(1)____________；
(2)如图2，若正方形边长为6，点为的中点，连接，
①求线段的长；
②求的面积；
(3)当时，若令，则________(用含的式子表示).

15．知识再现：已知，如图，四边形ABCD是正方形，点M、N分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，延长CB至G使BG＝DN，连接AG，根据三角形全等的知识，我们可以证明MN＝BM+DN．
知识探究：（1）在如图中，作AH⊥MN，垂足为点H，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；
知识应用：（2）如图，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，且BD＝2，AD＝6，则CD的长为 ；
知识拓展：（3）如图，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，F为边CD上一点，∠FEC＝2∠BAE，AB=24，求DF的长．
16．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．
（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；
17．如图，已知正方形的边长为5，点E为边上一点（不与点C，D重合），将沿所在直线折叠得到，延长交边于点G，连接、，可得．
(1)判断与是否相等，并说明理由；
(2)若，求的长；
(3)若，请直接写出的值．
18．如图将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使B点落在CD边上一点E，压平后得到折痕MN，当．
(1)求NE的长；
(2)连AN、AE，NG⊥AE，垂足为G，求GN的长；
(3)直接写出AM的长度．
19．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)迁移探究：
①如图1，当点M在上时，___________°，___________°．
②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图2，判断与的数量关系，并说明理由．
③已知正方形纸片的边长为8，当时，直接写出的长．
(2)拓展应用：
正方形的边长为8，点P在边上，将沿直线翻折，使得点A落在正方形内的点M处，连接并延长交正方形一边于点G．当时，则的长为___________．