初中数学苏科版八年级下册10.1 分式一课一练

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【例题讲解】
例1.先化简，若分式的值是负数，求的取值范围．
解：原式=
∵分式的值为负数，且，∴a-2<0且a-1≠0，a≠0，
∴a<2且a≠1，a≠0．
例2.如果m为整数，那么使分式的值为整数的m的值有( )
A．2个B．3个C．4个D．5个
【详解】∵若原分式的值为整数，那么
由得，；由得，；由得，；
由得，；∴，共4个故选C
【综合解答】
1．若分式的值是负数，则的取值范围是（ ）.
A．B．或
C．且D．或
【答案】D
【分析】根据题意列出不等式组，解不等式组则可．
【详解】∵是负数，
∴或
∴或.
故选D.
【点睛】此题考查分式的值，解题关键在于掌握运算法则
2．若是整数，则使分式的值为整数的值有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】先将假分式分离可得出，根据题意只需是6的整数约数即可．
【详解】解：
由题意可知，是6的整数约数，
∴
解得： ，
其中x的值为整数有：共4个．
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分离假分式得到，从而使问题简单．
3．若x为整数，且的值也为整数，则所有符合条件的x的值有（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
【答案】B
【分析】先化简分式，若的值为整数即的值为整数，故（x-2）为4的因数，由此确定整数x的值.
【详解】原式＝，
因为x为整数，分式的值也为整数，且x≠-2，
所以分式的值分别为﹣2、﹣4、4、2、1时，得
X=0、1、3、4、6，
所以所有符合条件的x的值有5个．
故选：B．
【点睛】此题考察分式的化简，分式有意义的条件，根据分式的值为0确定分母的值，由此得出x的值，注意分母中虽约去了（x+2），但是要考虑到x≠-2，避免错误.
4．下列结论：①无论取何值，都有意义；②时，分式的值为0；③若的值为负，则的取值范围是；④若有意义，则的取值范围是且，其中正确的是（ ）．
A．①③④B．①②③C．①③D．①④
【答案】C
【分析】①根据平方的非负性可知分母永远大于0，故分式有意义；
②把时，代入分母可知分母为中，分式没有意义；
③根据分子分母同号得正，异号得负可解；
④根据分母不为0，除数不为0列出条件可解.
【详解】①无论取何值，，，所以都有意义，故①正确；
②时，分母，分式没有意义，故②错误；
③因为分子，若的值为负，则分母，所以的取值范围是，故③正确；
④若有意义，则，，，所以的取值范围是且且，故④错误.
故选：C.
【点睛】本题考查了分式有无意义的条件、分式的值为0的条件以及分式的值为正数为负数的条件，其中④很容易漏了这一限制条件，要注意.
5．若分式的值大于零，则x的取值范围是 ______．
【答案】且
【分析】由已知可得分子x+2＞0，再由分式的分母不等于零，得到x﹣1≠0，进而求出x的取值．
【详解】解：∵分式的值大于零，
∴x+2＞0，
∴x＞﹣2，
∵x﹣1≠0，
∴x≠1，
故答案为x＞﹣2且x≠1．
【点睛】本题考查分式的值；熟练掌握分式求值的特点，特别注意分式的分母不等于零这个隐含条件是解题的关键．
6．若分式的值为负数，x的取值范围是_________．
【答案】且
【分析】由结合分式有意义的条件与两数相除异号得负可得：，再解不等式组从而可得答案.
【详解】解：
由分式有意义的条件与两数相除异号得负可得：

由①得：
由②得：
所以： x的取值范围是且
故答案为：且
【点睛】本题考查的是分式的值为负数，利用两数相除同号得正，异号得负确定分子或分母的符号是解本题的关键.
7．若分式的值为负数，则x的取值范围是__________；
【答案】x<且x≠ -1
【分析】根据题意可得关于x的不等式组，解不等式组即可得.
【详解】由题意得：，
解得：x<且x≠ -1，
故答案为x<且x≠ -1.
【点睛】本题考查了分式的值，绝对值的意义，正确分析得出关于x的不等式组是解题的关键.
8．已知正整数x，y满足，则符合条件的x，y的值有______组．
【答案】2
【分析】根据x，y均为正整数，可知、，据此建立不等式并求解可知，结合，可确定可知符合条件的x的值，然后根据确定与之对应的y的值，即可确定符合条件的x，y的值的组数．
【详解】解：∵x，y均为正整数，
∴，，
∴，
∴，解得，
结合，可知符合条件的x的值为：1、2、3、4、5、6、7、8、9，
对应的y的值为：9、、、、、、、、，
∴符合条件的x、y的值为，，
∴符合条件的x，y的值有2组．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了使分式值为整数时未知数的整数值以及一元一次不等式的应用，根据题意建立不等式并求解是解题关键．
9．当x取何整数时，分式的值是整数？
【答案】x=-5、-1、-2、0、2、3、4、7
【详解】当x-1是6的约数时，分式的值才是整数.
解：∵分式的值是整数
∴x-1＝±6或x-1＝±3或x-1＝±2或x-1＝±1
解得：x=-5、-1、-2、0、2、3、4、7
10．当x取何整数时，分式的值是正整数
【答案】x=0或-1或-2或-5．
【分析】先把分式进行因式分解，然后约分，再根据分式的值是正整数，得出的取值，从而得出x的值．
【详解】解：
∴要使的值是正整数，则分母必须是6的约数，
即或2或3或6，
则x=0或-1或-2或-5．
【点睛】此题考查了分式的值，解题的关键是根据分式的值是正整数，讨论出分母的取值．
11．阅读下面材料：
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似地，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式）参考上面的方法解决下列问题：
将分式，化为带分式．
当x取什么整数值时，分式的值也为整数？
【答案】（1），；（2），3，，时，分式的值也为整数．
【分析】（1）两式根据材料中的方法变形即可得到结果；
（2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数的值．
【详解】解：（1），
；
（2），
当，即；
当，即；
当，即；
当，即，
综上，，3，，时，分式的值也为整数．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．仔细阅读下面的材料并解答问题：
例题：当x取何值时，分式的值为正？
解：依题意得＞0，则有①或②，
解不等式组①得，解不等式组②得不等式组无解
故
所以当，分式的值为正．
依照上面方法解答问题：
（1）当x取何值时，x2﹣3x的值为负？
（2）当x取何值时，分式的值为负？
【答案】（1）；（2），且．
【分析】（1）先利用因式分解将变形为，再参照例题可得两个不等式组，解不等式组即可得；
（2）先将分式变形为，再根据分式有意义的条件可得，且，然后参照例题可得两个不等式组，解不等式组即可得．
【详解】解：（1）依题意得：，即，
则有①或②，
解不等式组①得：，解不等式组②得：不等式组无解，
故，
所以当时，的值为负；
（2），
为分式的分母，
，
解得，且，
依题意得，即，
，
，
则有③或④，
解不等式组③得：，解不等式组④得：不等式组无解，
故，
所以当，且时，分式的值为负．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用、因式分解、分式的值等知识点，读懂例题的思路，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．
13．例：解不等式（x﹣2）（x+3）＞0
解：由实数的运算法则：“两数相乘，同号得正”
得①，或②，
解不等式组①得，x＞2，
解不等式组②得，x＜﹣3，
所以原不等式的解集为x＞2或x＜﹣3．
阅读例题，尝试解决下列问题：
（1）平行运用：解不等式x2﹣9＞0；
（2）类比运用：若分式的值为负数，求x的取值范围．
【答案】（1）x＞3或x＜﹣3；（2）
【分析】（1）结合题中的方法，先对不等式左边因式分解为两个多项式，再分类讨论即可；
（2）利用“两数相除，同号得正，异号得负”结合题干的方法分类讨论即可．
【详解】（1）解不等式x2﹣9＞0，即为解，
根据“两数相乘，同号得正”
得①，或②，
解不等式组①得，x＞3，
解不等式组②得，x＜﹣3，
∴原不等式的解集为x＞3或x＜﹣3；
（2）由题得不等式，
根据“两数相除，同号得正，异号得负”
得①，或②，
解不等式组①得，，
不等式组②无解，
∴原不等式的解集为．
【点睛】本题考查一元二次不等式，以及分式不等式，理解并熟练运用题干中介绍的方法是解题关键．
14．分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．
小亮在解分式不等式＞0时，是这样思考的：根据“两数相除，同号得正，异号得负”，原分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②
解不等式组①，得x＞3，
解不等式组②，得x＜－.
所以原分式不等式的解集为x＞3或x＜－ .
请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式＜0.
【答案】【分析】根据“两数相除，同号得正，异号得负”，把原分式不等式转化为两个不等式组求解即可.
【详解】解：根据“两数相除，同号得正，异号得负”，原分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②，
解不等式组①，得解不等式组②得此不等式组无解．
所以原分式不等式的解集为【点睛】本题考查了分式的值为正与为负的条件及一元一次不等式组的解法，根据“两数相除，同号得正，异号得负”，把分式不等式转化为两个不等式组求解是解答本题的关键.
15．阅读下列材料，解决问题：
在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者为了分子的次数告诉于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数的和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明．
材料1：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：9x+y
材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b
则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b
∵对于任意x上述等式成立．
∴解得：．
∴x﹣2．
这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式．
（1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为 ．
（2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝ ；
（3）已知一个六位整数能被33整除，求满足条件的x，y的值．
【答案】（1）x+7；（2）2或4或﹣10或16；（3），x＝2、y＝9；x＝6、y＝2； x＝9、y＝5．
【分析】（1）将分子x2＋6x－3化为(x－1)(x＋7) ＋4，依据题意可解答；
（2）将分子2x2＋5x－20化为（2x＋11）＋13，根据题意可解答；
（3）由题意得出：＝即可知10x＋y＋4为33的倍数，据此可解答．
【详解】解：（1）
＝
＝
＝
＝
答案为：；
（2）
＝
＝
＝
＝
∵分式的值为整数，
∴是整数，
∴x－3＝±1或x－3＝±13，
解得：x＝2或4或﹣10或16，
故答案为：2或4或﹣10或16；
（3）
＝
＝
＝
∵整数能被33整除，
∴为整数，即10x＋y＋4＝33k，（k为整数）,
当k＝1时，x＝2、y＝9符合题意；
当k＝2时，x＝6、y＝2符合题意；
当k＝3时，x＝9、y＝5符合题意．
【点睛】本题考查分离整数法解决分式的整数值问题，熟练掌握分式的化简求值的方法是解题的关键．
16． （1）如果=，求m的值；
（2）已知x为整数,且分式的值为整数,则x可取的整数有哪些？
（3）我们知道一次函数的图象可以由函数的图象向右平移1个单位得到（如图），那么①函数的图象可以由函数经过怎样的平移得到？
②函数的图象可以由函数经过怎样的平移得到？
【答案】（1）m= -5 （2）0，-2，4，-6 （3）①向左平移一个单位；②向右平移2个单位，再向上平移3个单位，（或向上平移3个单位再向右平移2个单位）
【分析】（1）将分式右边通分，根据分母相同，分子也相同，列出等式求解即可．
（2）将分式化成，∴当x+1=-5，-1，1，5时，分式的值为整数，从而可确定出x的值．
（3）①根据一次函数的图象可以由函数的图象向右平移1个单位得到可知，函数的平移规律是：“左加右减”，因此函数的图象可以由函数向左平移一个单位得到；
②∵，∴函数的图象可以由函数向右平移2个单位，再向上平移3个单位可得．
【详解】（1）∵=，
∴，
∴，
∴，
∴m=-5．
（2）∵且x为整数，
∴当x+1=-5，-1，1，5时分式的值为整数，
∴x=-6，-2，0，4．
（3）①根据一次函数的图象可以由函数的图象向右平移1个单位得到可知，函数的平移规律是：“左加右减”，
∴函数的图象可以由函数向左平移一个单位得到；
②∵，
∴函数的图象可以由函数先向右平移2个单位，再向上平移3个单位可得，也可以先向上平移3个单位再向右平移2个单位．
【点睛】本题考查了分式的化间，分式的整数解，函数的平移，熟练掌握分式的性质，灵活运用平移规律是解题的关键．