专题26 分式（方程）中的规律性问题探究-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

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专题26 分式（方程）中的规律性问题探究【例题讲解】观察下列方程及解的特征：（1）x+=2的解为x1=x2=1；（2）x+=的解为x1=2，x2=；（3）x+=的解为x1=3，x2=；  …解答下列问题：（1）请猜想：方程x+=的解为______；（2）请猜想：关于x的方程x+=______ 的解为x1=a，x2=（a≠0）；（3）下面以解方程x+=为例，验证（1）中猜想结论的正确性．（4）解方式方程【详解】解：（1）方程整理得：x+=5+，其解为x1=5，x2=；（2）猜想得：x+=a+的解为x1=a，x2=（a≠0）；（3）去分母得：5x2-26x+5=0，即（5x-1）（x-5）=0，解得：x1=5，x2=，经检验x1=5，x2=都是分式方程的解；（4）原方程整理得：，，，．【综合解答】1．根据，，，，…所蕴含的规律可得等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分式的运算，求得，，的值，找到规律，利用规律求解即可．【详解】解：，，，∴可知此组数三个一循环，∴故选：C【点睛】此题考查了数字的变化规律，涉及了分式的有关计算，解题的关键是根据已知计算公式找到这组数据的规律．2．若（不取0和），，，…，，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先通过题目给的x2与x1 ，x3与x2， x4与x3，……等关系分别用含有a的代数式表示x2，x3， x4，……从而找到规律，进而得到结果．【详解】解：，，，由此可知，，2020÷3=673……1．∴．故选：A．【点睛】本题考查了分式的化简，通过分式的化简找到周期规律是解决本题的关键．3．观察给定的分式：……，猜想并探索规律，那么第n个分式是 _____．【答案】【分析】先看分子，后面一项是前面一项的2倍（第一项是1，第二项是-2，…第n项是2n-1）；再看分母，后面一项是前面一项的x倍（第一项是x，第二项是x2，…第n项是xn）；据此可以找寻第n个分式的通式．【详解】解：先观察分子：1、21、22、23、…2n-1；再观察分母：x1、x2、x3…xn；所以，第n个分式；故答案是：．【点睛】本题考查了分式的定义．解答此题的关键是找出分子分母的变化规律．找其中的规律采用了归纳法．4．计算：＝__________（n为正整数）．【答案】【详解】试题分析：由题意知，，…，所以原式==2×（1-+-+-+…+）=2×（1-）=考点：规律探索5．给定一列分式：，，，，，其中，根据你发现的规律，试写出第个分式______．【答案】【分析】用后面项除以前面项求出结果，归纳总结得到第个分式即可．【详解】解：给定一列分式：，，，，，其中用任意一个分式做除法，去除它后面一个分式得到的结果是；根据你发现的规律，试写出第个分式，故答案为：．【点睛】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．给定一列分式：，…（其中x≠0），根据你发现的规律，试写出第6个分式_____．【答案】【分析】根据“分式分子及分母对应的底数及其指数的数字规律”即可得出第6个分式．【详解】解：观察一列分式：，……，可以得出第一个分式为：第二个分式为：第三个分式为：…第n个分式为：∴第6个分式为故答案为：．【点睛】本题考查了分式的定义．注意观察每一个分式的分子、分母的变化，然后找出的规律．7．观察分析下列方程：①x+＝3；②x+＝5；③x+＝7，请利用他们所蕴含的规律，写出这一组方程中的第n个方程是_____．【答案】x+ ＝n+（n+1）【分析】方程中的分式的分子变化规律为：n（n+1），方程的右边的变化规律为n+（n+1）．【详解】∵第1个方程为x+＝1+2，第2个方程为x+＝2+3，第3个方程为x+＝3+4，…∴第n个方程为x+＝n+（n+1）．故答案是：x+＝n+（n+1）．【点睛】本题考查了分式的定义.该题属于寻找规律的题目，对于此类题型，应观察哪部分没有发生变化，哪部分发生了变化，变化的规律是什么.8．一组按规律排列的式子：，﹣，，﹣，…（a≠0），其中第10个式子是_____．【答案】【分析】根据题意可得式子的第奇数个数为正，第偶数个数为负，分子为序号的平方，分母中a的指数为：序号三倍减1.据此规律可得结果．【详解】∵,，=（﹣1）3+1·，…第n个式子应为：∴第10个式子是（﹣1）10+1•=，故答案是：．【点睛】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．本题的关键是准确找到分子的规律．9．一组按规律排列的式子：，，，，，…，其中第7个式子是_____，第n个式子是_____(用含的n式子表示，n为正整数)．【答案】          【分析】分母中a的次数等于分式的序次，分子为序次的平方加1，当分式的序次为奇数时，分式符号为正，当分式的序次为偶数时，分式的符号为负，根据这个规律可得第7个式子是，第n个式子是．【详解】这列分式中的第7个式子是，第n个式子是．故答案为；．10．对于正数，规定，例如，，计算=_______ ．【答案】2015【详解】试题分析：根据题意可得：f（x）+f（）=1，则原式=1×2015=2015．考点：规律题．11．如果记y＝＝f（x），并且f（1）表示当x＝1时y的值，即f（1）＝＝；f（）表示当x＝时y的值，即f（）＝＝；那么f（1）＋f（2）＋f（）＋f（3）＋f（）＋…＋f（2013）＋f（）＝_____．【答案】2012.5【详解】试题分析：由题意f（2）＋f（）＝＝1，f（3）＋f（）＝1，…，f（2013）＋f（）＝1，根据这个规律即可求得结果.由题意得f（1）＋f（2）＋f（）＋f（3）＋f（）＋…＋f（2013）＋f（）＝+1+1+1…＋1＝2012.5．考点：找规律-式子的变化点评：解答此类找规律的问题的关键是仔细分析所给式子的特征得到规律，再把这个规律应用于解题.12．观察下列等式：第1个等式：x1=；第2个等式：x2=；第3个等式：x3=；第4个等式：x4=；则xl+x2+x3+…+x10=_______________．【答案】【详解】因为x1=； x2=；x3=； x4=；…所以xl+x2+x3+…+x10=+++…+=（）==．故答案为：【点睛】考点：分式的计算．三、解答题13．按要求完成下列题目．求：的值．对于这个问题，可能有的同学接触过，一般方法是考虑其中的一般项，注意到上面和式的每一项可以写成的形式，而，这样就把一项分裂成了两项．试着把上面和式的每一项都裂成两项，注意观察其中的规律，求出上面的和，并直接写出的值．若求：A、B的值：求：的值．【答案】；①；【分析】（1）根据题目的叙述的方法即可求解；（2）①把等号右边的式子通分相加，然后根据对应项的系数相等即可求解；②根据把所求的每个分式化成两个分式的差的形式，然后求解．【详解】解：（1）+++…+=1-+-+-+…+-=1-=；（2）①∵+==，∴，解得 ．∴A和B的值分别是和-；②∵=•-•=•（-）-（-）∴原式=•-•+•-•+…+•-•=•-•=-=．【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确理解=•-•是关键．14．阅读下列材料：方程的解为，方程的解为，方程的解为，(1)请直接写出方程的解为________；(2)观察上述方程与解的特征，写出一个解为的分式方程：________；(3)观察上述议程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并直接写出这个方程的解：________；________．【答案】(1)x=6(2)(3)，x=n【分析】（1）根据材料可知，方程的解是方程的最简公分母为零时x值的平均数，即可得解；（2）根据材料信息，写出一个解为-5的分式方程即可；（3）观察所给的材料，从特殊形式到一般形式总结出规律，可得方程．（1）解：根据材料发现规律：方程的解是方程的最简公分母为零时x值的平均数，∴方程的解为x=＝6．（2）由题意可得：解是x=-5的方程可以是：；（3）由题意可得：，解是x=n．【点睛】本题考查学生阅读分析理解能力，解答本题的关键是通过对所给材料的理解得出方程以及方程解的一般形式．15．观察以下等式：第1个等式：第2个等式：第3个等式：第4个等式：……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式： ；(2)写出你猜想的第n个等式： （用含正整数n的等式表示），并加以证明；(3)若的值为，求正整数n的值．【答案】(1)(2)，证明见解析(3)7【分析】（1）根据前四个式子的规律，写出第5个式子，即可求解；（2）由（1）中的式子得到规律，即可求解；（3）根据题意把原式变形为，可得，再化简可得到，然后得到关于n的方程，即可求解．（1）解：根据题意得：第1个等式：第2个等式：第3个等式：第4个等式：第5个等式：故答案为：（2）由（1）得：第n个等式：证明： 右边 =左边；（3） ∵的值为，∴，整理得：解得：，检验：当n=7时，，∴是原方程的解．【点睛】本题主要考查了分式的规律性问题，分式加减的应用，解分式方程，明确题意，准确得到规律是解题的关键．16．观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：______________________；(2)写出你猜想的第n个等式：____________（用含n的等式表示），并证明.【答案】(1)；(2)，证明见解析；【分析】（1）根据前4个等式得出第五个等式即可；（2）通过观察减号后面的数字规律，再结合每个式子找到分母之间的关系，最后通过化简即可证明．【详解】（1）解：通过观察可得：；（2）．证明：左边===右边，∴．【点睛】本题主要考查数字类变化规律，仔细观察每个式子中对应位置的数字，并找到相关系数关系是解题的关键．17．观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：按照以上规律，解决下列问题；(1)写出第5个等式：______；(2)写出第n个等式：______（用含n的等式表示），并证明；(3)计算：【答案】(1)(2)，证明见解析(3)【分析】（1）根据规律写出第5个等式即可；（2）根据前几个等式即可得出规律，从而即可写出第n个等式；（3）根据变形整理计算即可．(1)第5个等式为：．故答案为：；(2)第n个等式为：．证明：左边右边∴等式成立．故答案为：；(3)．【点睛】本题考查分式的规律性问题．根据前几个等式总结出规律是解题关键．18．探索发现： ＝1－＝－＝－根据你发现的规律，回答下列问题：（1）＝__________；＝__________；（2）利用发现的规律计算：＋＋＋···＋ （3）利用以上规律解方程：＋＋···＋＝【答案】（1），；（2）；（3）x=25.【分析】（1）利用分式的运算和题中的运算规律求解即可；（2）利用前面的运算规律得到原式=，然后合并后通分即可；（3）利用运算规律方程化为 ，合并后解分式方程即可．【详解】（1），；（2）原式=；（3）原方程可化为 ，即，解得x=25,经检验x=25是原方程的解.【点睛】本题考查了分式的运算和解分式方程：熟练掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．理解分式的计算规律：是解答本题的关键．