期末难点特训（三）和二次根式的计算有关的难题-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

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1．已知m、n是正整数，若+是整数，则满足条件的有序数对（m，n）为（ ）
A．（2，5）B．（8，20）C．（2，5），（8，20）D．以上都不是
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质分析即可得出答案．
【详解】解：∵+是整数，m、n是正整数，
∴m=2，n=5或m=8，n=20，
当m=2，n=5时，原式=2是整数；
当m=8，n=20时，原式=1是整数；
即满足条件的有序数对（m，n）为（2，5）或（8，20），
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，题目比较好，有一定的难度．
2．公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式≈a＋ 得到的近似值．他的算法是先将看成，由近似公式得到≈1＋＝ ；再将看成 ，由近似公式得到≈＋ ＝；…依此算法，所得的近似值会越来越精确．当取得近似值 时，近似公式中的a是________，r是________．
【答案】 或 或
【分析】根据近似公式得到 ，然后解方程组即可．
【详解】由近似值公式得到，
∴a+，
整理得204a2-577a+408=0，
解得a1=，a2=，
经检验a1=，a2=均为方程的根，
当a=时，r=2-a2=；
当a=时，r=2-a2=．
故答案为或；或．
【点睛】本题主要考查的是二次根式的应用，利用类比的方法进行解答是解题的关键.
3．在矩形ABCD中，，，M是BC中点，，垂足为E，请用含a，b的代数式表示DE的长．
【答案】
【分析】分点E在线段AM上和点E在线段AM的延长线上两种情况，分别运用矩形的性质、勾股定理以及三角形的面积进行解答即可．
【详解】解：如图（1），当点E在线段AM上时，连接DM，过点M作MH⊥AD，垂足为H
矩形ABCD
，
四边形ABMH为矩形
M是BC的中点，
在中，,则
∴
∴
∴
如图（2），当点E在线段AM的延长线上时，同（1）可证．
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用矩形的判定和性质定理成为解答本题的关键．
4．先观察下列等式，再回答问题：
① =1+1=2；
②=2+ =2 ；
③=3+=3；…
（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想第四个等式；
（2）请按照上面各等式规律，试写出用 n（n 为正整数）表示的等式，并用所学知识证明．
【答案】（1）；（2），证明见解析．
【分析】（1）根据“第一个等式内数字为1，第二个等式内数字为2，第三个等式内数字为3”，即可猜想出第四个等式为44；
（2）根据等式的变化，找出变化规律“n”，再利用开方即可证出结论成立．
【详解】（1）∵①1+1=2；②22；③33；里面的数字分别为1、2、3，
∴④ ．
（2）观察，发现规律：1+1=2，223344，…，∴ ．
证明：等式左边=n右边．
故n成立．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简以及规律型中数的变化类，解题的关键是：（1）猜测出第四个等式中变化的数字为4；（2）找出变化规律“n”．解决该题型题目时，根据数值的变化找出变化规律是关键．
5．我们要学会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界．例如生活经验：
（1）往一杯糖水中再加入一点糖，糖水就变甜了．这一生活经验可以转译成数学问题：a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为（b＞a＞0），再往杯中加入m（m＞0）克糖，此时糖水的含糖量变大了，
①用数学关系式可以表示为 ；
A． B． C．
②请证明你选择的数学关系式是正确的．
（2）再如：矩形的面积为S（S为定值），设矩形的长为x，则宽为，周长为2，当矩形为正方形时，周长为，“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”这一结论，
①用数学关系式可以表示为 ；
A． B． C．
②请证明你选择的数学关系式是正确的．（友情提示：，）
【答案】（1）①A；②见解析；（2）①A；②见解析
【分析】（1）①根据题意直接进行选择即可；②利用作差法进行证明即可；
（2）①用数学关系式可以表示为；②利用完全平方式及不等式进行证明即可
【详解】（1）①由题意可知用数学关系式可以表示为：，
故选：A；
②证明：＝＝＝，
∵m＞0，b＞a＞0，
∴b﹣a＞0，
∴＞0，
∴成立．
（2）①A
②证明：＝＝
＝＝，
∵≥0，
∴≥，
∴成立
【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是写出相应的式子，会用作差比较法比较两个式子的大小．
6．【阅读材料】
小慧同学数学写作片段
乘法公式“大家族”
学习《整式的乘法及因式分解》之后，我发现乘法公式不只是教材上“黑体字”明确的“平方差公式”“完全平方公式和”，其实在教材或平时的练习中还“隐含”一些“乘法公式”值得积累，比如，
；
；
；
．
……
【解题运用】
（1）在实数范围内因式分解：___________；
（2）设满足等式，求的值；
（3）若正数满足等式，求代数式的值．
【答案】（1）；（2）12；（3）．
【分析】（1）根据公式即可完成多项式的因式分解；
（2）利用公式法将多项式转化为，求得即可计算出结果；
（3）利用公式可将分解为，并再根据完全平方公式将分解结果转化为，再由已知可推出，将其代入化简后的代数式即可得出计算结果．
【详解】解：（1），
故答案为：．
（2）
，
则，
∴
∴．
（3）
．
∵，
∴，
∴，
∴原式．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，掌握因式分解的基本方法，牢记因式分解的相关公式且准确灵活运用公式是解题的关键．
7．像(+2)(﹣2)＝1、•＝a(a≥0)、(+1)(﹣1)＝b﹣1(b≥0)……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与， +1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
(1)化简：；
(2)计算：；
(3)比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1） （2）2+2+（3）
【分析】（1）由×=1，确定互为有理化因式，由此计算即可；
（2）确定分母的有理化因式为与，与，然后分母有理化后计算即可；
（3）确定与的有理化因式为与，得到与，然后比较即可．
【详解】解：(1) 原式==；
（2）原式==；
（3）根据题意，，，
∵，
∴，
即．
【点睛】此题是一个阅读题，认真读题，了解互为有理化因式的实际意义，以及特点，然后根据特点变形解题是关键．
8．在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式.
比如：.善于动脑的小明继续探究：
当为正整数时，若，则有，所以，.
请模仿小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当为正整数时，若，请用含有的式子分别表示，得： ， ；
（2）填空：= - ；
（3）若，且为正整数，求的值.
【答案】（1），；（2）；（3）或46.
【详解】试题分析：
（1）把等式右边展开，参考范例中的方法即可求得本题答案；
（2）由（1）中结论可得： ，结合都为正整数可得：m=2，n=1，这样就可得到：；
（3）将右边展开，整理可得：，结合为正整数，即可先求得的值，再求的值即可.
试题解析：
（1）∵，
∴，
∴；
（2）由（1）中结论可得： ，
∵都为正整数，
∴ 或 ，
∵当m=1，n=2时，，而当m=2，n=1时，，
∴m=2，n=1，
∴；
（3）∵，
∴， ，
又∵为正整数，
∴， 或者，
∴当时，；当，，
即的值为：46或14.
9．观察下列等式：
①；②；③；……
回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简：
（2）计算： +++……+
【答案】（1）- （2）9
【分析】（1）根据已知的3个等式发现规律：，把n=22代入即可求解；（2）先利用上题的规律将每一个分数化为两个二次根式的差的形式，再计算即可．
【详解】解：（1）；
（2）计算：
=
=
=10-1
=9.
10．如图1，在正方形ABCD中，，P是AD边上一点，连接BP，将△ABP绕着点B顺时针旋转，得到．
(1)已知旋转角为60°，点P与D点重合（如图2）．
①证明：；
②证明：是等腰三角形；
(2)已知旋转角为45°．
①请用无刻度的直尺和圆规，在图3上的AD边上作出一点P，使P、、三点在一直线上（不写作法，保留作图痕迹）；
②当是直角三角形时，求AP的长．
【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析
(2)①图见解析；②1或
【分析】（1）①先根据正方形的性质可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；
②连接，先根据旋转的性质证出是等边三角形，再根据三角形全等的判定证出，然后根据全等三角形的性质可得，从而可得，由此即可得证；
（2）①连接，以点为圆心、为半径画弧，交于点，再过点作的垂线，分别交于点；
②过点作于点，先根据勾股定理求出，再根据等腰三角形的性质、角的和差求出，然后分和两种情况，利用勾股定理求解即可得．
【详解】（1）证明：①四边形是正方形，
，
由旋转的性质得：，
，，
，即，
在和中，，
；
②如图，连接，
四边形是正方形，
，
由旋转的性质得：，
是等边三角形，，
，
，
在和中，，
，
，
由（1）①已证：，
，
，
是等腰三角形．
（2）解：①如图，点即为所求．
②由旋转的性质得：，
如图，过点作于点，
则是等腰直角三角形，，
，
解得或（舍去），
，
，
，
，
，
则分以下两种情况：
（Ⅰ）如图，当时，是直角三角形，
过点作，交于点，
则，
是等腰直角三角形，，
设，则，
，
在中，，即，
整理得：，
解得或（舍去），
，
；
（Ⅱ）如图，当时，是直角三角形，
过点作，交于点，
同理可得：，
设，则，
，
，
整理得：，
，
解得或（舍去），
；
综上，当是直角三角形时，的长为1或．
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、二次根式的运算、利用平方根解方程、作垂线、勾股定理等知识点，较难的是题（2）②，正确分两种情况讨论，并通过作辅助线，构造等腰三角形是解题关键．
11．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴、轴上，已知，上有一点，将绕着点顺时针旋转60°得到．
（1）点的坐标为______；连接，若轴，则的值为______；
（2）如果．
①当点落在上时，求的长；
②请直接写出最小值．
【答案】（1），；（2）①的长为；②最小值为2．
【分析】（1）如图，连接 过作于 证明是等边三角形，利用等边三角形的性质与勾股定理可得的坐标，如图，当轴于时，而再利用等边三角形的性质与勾股定理求解 从而可得答案；
（2）①如图，当点落在上时，同理可得：为等边三角形，过作于 则 结合 利用含的直角三角形的性质与勾股定理求解 再求解 从而可得答案；②如图，作直线 交于 过作于 过作于 先证明在直线上运动，再求解直线的解析式，可得为则 当旋转到与重合时，最短，画出图形，再由旋转可得： 再利用直角三角形的性质可得 从而建立方程求解 从而可得答案.
【详解】解：（1）如图，连接 过作于

是等边三角形，


如图，当轴于时，而
同理可得：为等边三角形，



故答案为：
（2）①如图，当点落在上时，
同理可得：为等边三角形，
过作于 则



解得： （负根舍去）




②如图，作直线 交于 过作于 过作于
由旋转与矩形的性质可得：



点旋转后落在直线上，
由矩形
四边形是矩形，


设 则
设为
则 解得：
为
结合①问可得点在直线上，

为则
当旋转到与重合时，最短，如图，
由旋转可得：








所以的最小值为：
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，坐标与图形，旋转的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，含的直角三角形的性质，利用平方根的含义解方程，二次根式的运算，本题综合性强，难度大，要求基础知识扎实，对学生的思维发散要求较高.
12．定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
(1)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，MN＞AM，MN＞BN，若AM＝2，MN＝3，则BN＝ ．
(2)如图，在等腰直角ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，M、N为直线AB上两点，满足∠MCN＝45°．
①如图2，点M、N在线段AB上，求证：点M、N是线段AB的勾股分割点；
②如图3，若点M在线段AB上，点N在线段AB的延长线上，AM，BN，求BM的长．
【答案】(1)
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据勾股分割点的定义得，MN2=AM2+BN2，代入计算即可；
（2）①将△CBN绕点C逆时针旋转90°得到△CAP，连接AP，MP，利用SAS证明△MCN≌△MCP，得MN=PM，即可证明结论；
②将△CBN绕点C逆时针旋转90°得到△CAE，连接ME，由①同理可证△MCE≌△MCN（SAS），得ME=MN，从而有MN2=AM2+BN2，将数据代入计算可得BM．
【详解】（1）解：∵△ANM是直角三角形，MN＞AM，MN＞BN，
∴MN2=AM2+BN2，
∴32=22+BN2，
∴BN=；
（2）①证明：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
将△CBN绕点C逆时针旋转90°得到△CAP，连接AP，MP，
∴CP=CN，∠CAP=∠B=45°，AP=BN，
∴∠MAP=90°，
∵∠MCN=45°，∠NCP=90°，
∴∠MCP=∠MCN=45°，
∵CM=CM，CP=CN，
∴△MCN≌△MCP（SAS），
∴MN=PM，
∵MP2=AM2+AP2，
∴MN2=AM2+BN2，
∴点M，N是线段AB的勾股分割点；
将△CBN绕点C逆时针旋转90°得到△CAE，连接ME，
∴AE=BN=，CE=CN，∠ACE=∠BCN，∠CAE=∠CBN=135°，
∴∠MAE=90°，
∵∠ACE+∠ECB=90°，
∴∠BCN+∠ECB=90°，
∴∠ECN=90°，
∵∠MCN=45°，
∴∠ECM=45°=∠MCN，
在△MCE和△MCN中，
，
∴△MCE≌△MCN（SAS），
∴ME=MN，
∵ME2=AM2+AE2，
∴MN2=AM2+BN2，
∴（+BM）2=（）2+（）2，
∴BM=．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是充分利用旋转的性质得到相等的量．