专题43 根式的应用和几何图形结合-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

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专题43 根式的应用和几何图形结合1．如图，在等腰中，，平分，平分分别为射线上的动点，若，则的最小值为（　　）A．4 B．6 C．8 D．102．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　）A．11 B．10 C．9 D．83．如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰直角三角形，其中∠=90°，，则线段长的最小值是（    ）A．1 B． C． D．44．如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线绕点B顺时针旋转交x轴于点C，则线段长为（    ）A． B． C． D．5．如图，在四边形中，，，，，，则的长为______ ．6．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M在边AB上，点N在对角线AC上，连接DM，DN．若AM＝CN，则(DM＋DN)2的最小值为____．7．如图，和都是等边三角形，若点，，点在第二象限内．将沿翻折得，当点在轴上运动时，设点的坐标为，则与的函数关系式为________．8．如图，直线l：y＝2x+b交y轴于点C，点A在y轴的正半轴上，以OA为斜边作等腰直角△AOB，点B（2，2）．将△AOB向右平移得到△DEF，连结BE交直线l于点G．当A，B，E三点共线时，点D恰好落在直线l上，则的值为 _____．9．在矩形ABCD中，，，M是BC中点，，垂足为E，请用含a，b的代数式表示DE的长．10．如图1，在正方形ABCD中，，P是AD边上一点，连接BP，将△ABP绕着点B顺时针旋转，得到．(1)已知旋转角为60°，点P与D点重合（如图2）．①证明：；②证明：是等腰三角形；(2)已知旋转角为45°．①请用无刻度的直尺和圆规，在图3上的AD边上作出一点P，使P、、三点在一直线上（不写作法，保留作图痕迹）；②当是直角三角形时，求AP的长．11．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴、轴上，已知，上有一点，将绕着点顺时针旋转60°得到．（1）点的坐标为______；连接，若轴，则的值为______；（2）如果．①当点落在上时，求的长；②请直接写出最小值．12．四边形具有不稳定性，现将8个木棍和一些钉子组成了一个正方形和平行四边形（如图），且，在一条直线上，点落在边上．经测量，发现此时、、三个点在一条直线上，，．(1)求的长度．(2)设的长度为，________（用含的代数式表示）．(3)在保证，位置不变的前提条件下，从点向右推动的正方形，直到四边形刚好变为矩形时停止推动（如图）．若此时，求的长度．13．（1）方法回顾证明：三角形中位线定理．已知：如图1，DE是△ABC的中位线．求证：______．证明：（请在答题纸上完成证明过程）（2）问题解决如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝3，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．（3）拓展研究如图3，在四边形ABCD中，∠A＝105°，∠D＝120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝2，，∠GEF＝90°，求GF的长．14．阅读理解： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得：．  类比应用： （1）化简： ； （2）化简： ．  拓展延伸：  宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1．（1）黄金矩形ABCD的长BC= ；（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；（3）在图②中，连结AE，则点D到线段AE的距离为 ．15．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积．16．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边APE（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．（1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是 ，BC与CE的位置关系是 ；（2）如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；（3）当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE．若AB＝2，BE＝2，请直接写出APE的面积．17．定义：对于平面直角坐标系中的任意两点和，我们把它们的横、纵坐标的差的平方和的算术平方根称作这两点的“湘一根”，记作，即（1）若A（2，1）和B（，3），则______；（2）若点M（1，2），，其中a为任意实数，求的最小值（3）若m为常数，且，点A的坐标为（0，5m），B点的坐标为（8m，），C点的坐标为（x，0），求的最小值以及的最大值．（用含m的代数式表示）18．定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．(1)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，MN＞AM，MN＞BN，若AM＝2，MN＝3，则BN＝　 　．(2)如图，在等腰直角ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，M、N为直线AB上两点，满足∠MCN＝45°．①如图2，点M、N在线段AB上，求证：点M、N是线段AB的勾股分割点；②如图3，若点M在线段AB上，点N在线段AB的延长线上，AM，BN，求BM的长．