安徽省六安市金寨县青山中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．
3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回．
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列函数中与是同一个函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数相等的定义是：定义域相同且对应关系相同，逐个分析可得答案.
【详解】对于A，的定义域为，与的定义域为不同，故A不正确；
对于B，与是同一函数，故B正确；
对于C，与的对应关系不同，故C不正确；
对于D，与的定义域不同，故D不正确.
故选：B
2. 命题“"的否定是（ ）
A.
B.
C
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可求得结果．
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：D．
3. 函数，且恒过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据，且求出的值，代入求出对应的函数值即可得出函数恒过定点的坐标.
【详解】由已知得，
由此可知函数恒过定点，
故选：B .
4. 已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意利用三角函数在各个象限里的符号，倍角公式，得出结论.
【详解】，，
故选：A
5. 值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用差的正弦公式化简计算.
【详解】
.
故选：A.
6. 设，，则“”是“” （ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据基本不等式以及必要不充分条件的定义求解.
【详解】∵，，∴，当且仅当时等号成立，
若时，，则，
即“”是“”的必要不充分条件，
而无法推出，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：.
7. 已知集合 则
A. [2,3]B. （ -2,3 ]C. [1,2）D.
【答案】B
【解析】
【详解】有由题意可得： ，
则 ( -2,3 ] .
本题选择B选项.
8 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用指数函数的性质比较的大小，再利用幂函数的性质比较的大小，即得解.
【详解】因为是单调递增函数，所以，
因为是单调递增函数，所以 ，
所以.
故选：A.
二、多选题：本题共4小题，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（ ）
A B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】讨论参数，得到一元二次不等式的解集，进而判断选项的正误.
【详解】由，分类讨论如下：
当时，；
当时，；
当时，或；
当时，；
当时，或.
故选：AB.
10. 已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则或D. 若时，则或
【答案】ABC
【解析】
【分析】求出集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．
【详解】，若，则，且，故A正确.
时，，故D不正确.
若，则且，解得，故B正确.
当时，，解得或，故C正确.
故选：ABC．
11. 已知函数，则（ ）
A.
B. 在（，）上单调递增
C. 为偶函数
D. 的最小值为2
【答案】CD
【解析】
【分析】A选项，代入求值即可；BD选项，换元后利用对勾函数知识进行求解；C选项，利用函数奇偶性定义进行判断
【详解】，A错误；
令，则函数为，由对勾函数知识可知：在上单调递减，在上单调递增，在处取得最小值，，所以的最小值为2，故B错误，D正确；
定义域为R，且，为偶函数，故C正确；
故选：CD
12. 已知，，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据不等式的性质判断A，B，根据比较法判断C，根据基本不等式判断D.
【详解】对于A，因为，，所以，所以A正确；
对于B，由，当时，，所以B不正确；
对于C，因为，，所以，故，所以C正确；
对于D，因为，所以均值不等式得，所以D正确；
故选：ACD.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若，则的最小值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】由，结合基本不等式即可.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当即时，取等号成立.
故的最小值为，
故答案为：
14. 已知，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意，由同角三角函数关系可得的值，而，最后利用齐次式化成关于的分式即可解.
【详解】解：由，得，
则
.
故答案为：.
15. 若幂函数的图象过点，则___________.
【答案】27
【解析】
【分析】代入已知点坐标求出幂函数解析式即可求,
【详解】设代入，即，所以，所以.
故答案为：27.
16. 函数的最大值为______.
【答案】7
【解析】
【分析】
由题得，再利用二次函数的图象和性质求最值.
【详解】由题得
∴当时，取得最大值7.
故答案为：7
【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，考查二次型复合函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 计算
【答案】（1）.（2）44.
【解析】
【详解】试题分析：（1）底数相同的对数先加减运算，根号化为分数指数.（2）根号化为分数指数，再用积的乘方运算.
试题解析：
考点：1.对数运算，指数运算.2.分数指数，零指数等运算.
18. 已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化简求得集合，根据补集的概念运算可得结果；
（2）由，根据，求出，再求出，计算可求出结果.
【小问1详解】
由题意得：当时，
所以
【小问2详解】
由题意知：
又
所以方程的一个根为4，
解得，所以，符合题设条件，
故．
19. 已知x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，求：
（1）xy的最小值；
（2）x+y的最小值..
【答案】（1）64 （2）18
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式构建不等式即可得结果；
（2）将变形为分式型，利用“1”的代换和基本不等式可得结果.
【小问1详解】
∵， ， ，
∴ ，当且仅当时取等号，
∴
∴，当且仅当时取等号，
故的最小值为64.
【小问2详解】
∵，则 ，
又∵， ，
∴，
当且仅当时取等号，
故的最小值为18.
20. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的值域．
【答案】（1）增区间为；减区间为
（2）
【解析】
【分析】(1)利用正弦型函数的单调性直接求即可.
(2)整体代换后利用正弦函数的性质求值域.
【小问1详解】
令，有，
令，有，
可得函数的增区间为；减区间为；
【小问2详解】
当时，，，
有，
故函数在区间上的值域为．
21. 为了在冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某栋房屋要建造能使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层的建造成本是6万元，该栋房屋每年的能源消耗费用C（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式： 若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元.设f（x）为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和.
（1）求C（x）和f（x）的表达式;
（2）当隔热层修建多少厘米厚时，总费用f（x）最小，并求出最小值.
【答案】（1），
（2）隔热层修建4厘米时，总费用最少，最少为64万元
【解析】
【分析】（1）根据无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元得到，解方程得到，即可得到，然后根据题意求即可；
（2）利用基本不等式求最小值即可.
【小问1详解】
若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元，所以，解得，
所以，
.
【小问2详解】
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当隔热层修建4厘米时，总费用最小，最小为64万元.
22. 已知函数为偶函数，当时，，（a为常数).
（1）当x