辽宁省辽阳市2023-2024学年高三下学期第一次模拟考试数学试卷

这是一份辽宁省辽阳市2023-2024学年高三下学期第一次模拟考试数学试卷，共13页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，若为锐角，则，已知函数满足，则，已知集合，则等内容，欢迎下载使用。

1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若为椭圆上一点，为的两个焦点，且，则（ ）
A.10 B.12 C.14 D.16
2.复数的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
3.四羊方尊（又称四羊尊）为中国商代晚期青铜器，其盛酒部分可近似视为一个正四棱台（上､下底面的边长分别为，高为），则四羊方尊的容积约为（ ）
A. B. C. D.
4.将甲､乙､丙等7名志愿者分到三个地区，每个地区至少分配2人，则甲､乙､丙分到同一个地区的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.若为锐角，则（ ）
A. B. C. D.
6.辽宁的盘锦大米以粒粒饱满､口感香糯而著称.已知某超市销售的盘锦袋装大米的质量（单位：）服从正态分布，且，若从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量在的盘锦大米的袋数的方差为（ ）
A.14.4 B.9.6 C.24 D.48
7.已知动点在直线上，过总能作圆的两条切线，切点为，，且恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8.已知函数满足，则（ ）
A.10000 B.10082 C.10100 D.10302
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知集合，则（ ）
A.
B.
C.
D.
10.已知函数在上单调，的图象关于点中心对称且关于直线对称，则的值可能是（ ）
A. B. C. D.
11.抛物线的焦点到准线的距离为1，经过点的直线与交于两点，则（ ）
A.当时，直线斜率的取值范围是
B.当点与点重合时，
C.当时，与的夹角必为钝角
D.当时，为定值（为坐标原点）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在中，内角的对边分别为，且，则的最小值为__________.
13.若，则__________，__________.
14.如图，在矩形中，分别在线段上，，将沿折起，使到达的位置，且平面平面.若直线与平面所成角的正切值为，则四面体的外接球的半径为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）设，证明：.
16.（15分）
如图，在三棱锥中，平面平面，且.
（1）证明：平面.
（2）若，点满足，求二面角的大小.
17.（15分）
根据国家电影局统计，2024年春节假期（2月10日至2月17日）全国电影票房为80.16亿元，观影人次为1.63亿，相比2023年春节假期票房和人次分别增长了和，均创造了同档期新的纪录.2024年2月10日某电影院调查了100名观影者，并统计了每名观影者对当日观看的电影的满意度评分（满分100分），根据统计数据绘制得到如图所示的频率分布直方图（分组区间为）.
（1）求这100名观影者满意度评分不低于60分的人数；
（2）估计这100名观影者满意度评分的第40百分位数（结果精确到0.1）；
（3）设这100名观影者满意度评分小于70分的频率为，小于80分的频率为，若甲､乙2名观影者在春节档某一天都只观看一部电影，甲观看影片的概率分别为，，乙观看影片的概率分别为，当天甲､乙观看哪部电影相互独立，记甲､乙这2名观影者中当天观看影片的人数与观看影片的人数之差为，求的分布列及期望.
18.（17分）
在平面直角坐标系中，已知双曲线经过点，点与点关于原点对称，为上一动点，且异于两点.
（1）求的离心率；
（2）若的重心为，点，求的最小值；
（3）若的垂心为，求动点的轨迹方程.
19.（17分）
已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，且在上单调递减，求的取值范围.
高三考试数学试卷参考答案
1.C 依题意可得，则，所以.
2.A 因为，所以.
3.A 四羊方尊的容积约为.
4.D 将7名志愿者分到三个地区，每个地区至少分配2人，分配方法共有种，其中甲､乙､丙分到同一个地区的分配方法共有种，故所求概率为.
5.B ，解得，因为为锐角，所以.
6.A 因为服从正态分布，且.8，所以，若从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量在的盘锦大米的袋数，所以.
7.D 依题意可得直线与圆相离，且，则，所以，所以，解得.
8.C 令，得.令，得，则，所以，即10098，所以.
9.BCD 因为，所以错误，B正确.因为，所以正确.若，则，所以当时，正确.
10.AC 由题意可得则，即
.因为在上单调，所以，所以，即，所以，即，解得.因为，所以或1或.当时，，则，此时在上单调递增，故符合题意；当时，，则，此时在上不单调，故不符合题意；当时，，则，此时在上单调递增，故符合题意.
11.BCD 依题意可得，当时，设直线的方程为，代入，得，则，得错误.当点与点重合时，直线的方程为，代入，得.设，则，则，B正确.当时，直线的方程为，代入，得，则，，易知异号，所以，则，则，正确.当时，在内，则，又三点不可能共线，所以与的夹角必为钝角，正确.
12. 因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.
13.； 因为，所以.因为，所以.
14. 如图，取的中点，连接.依题意可得为等腰直角三角形，则.设，则.
因为平面平面，所以平面，所以直线与平面所成的角为，所以，则，解得（负根已舍去），所以.因为，所以，所以的外心为的中点.设四面体的外接球的球心为，则底面.易证，则，由，得，解得，则，所以四面体的外接球的半径为.
15.（1）解：当时，.
当时，由，
得，
则，则.
因为也符合上式，所以.
（2）证明：由（1）可得，
则
.
16.（1）证明：如图，取为的中点，连接.
因为，所以.
因为平面平面，且两平面相交于，所以平面.
因为平面，所以.
又，且，所以平面.
（2）解：过点作的平行线，以为坐标原点，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以
.
设平面的法向量为，
则即令，得.
易知平面的一个法向量为，
所以.
由图可知二面角为锐角，所以二面角的大小为.
17.解：（1）由图可知，满意度评分不低于60分的频率为，
所以这100名观影者满意度评分不低于60分的人数为.
（2）因为，
所以这100名观影者满意度评分的第40百分位数位于第三组，且这100名观影者满意度评分的第40百分位数的估计值为.
（3）由图可知，.
的可能取值为，
，
，
则的分布列为
故.
18.解：（1）因为双曲线经过点，所以，解得，
所以的离心率.
（2）易知.设.
因为的重心为，所以
解得
因为，所以，即.
因为点异于两点，所以所以的轨迹不含两点.
故，当且仅当时，等号成立，
即的最小值为.
（3）因为为的垂心，所以.设.
当直线或的斜率为0时，点的坐标为或，点与点重合.
当直线或的斜率不为0时，直线与的斜率存在，则，
由（2）知，则，
则.
因为，所以，
，则，得，
则.
因为都在曲线上，所以动点的轨迹方程为
（挖去这三点）.
19.解：（1）当时，，
则，
故所求切线方程为，
即.
（2）若在上单调递减，则对恒成立.
设，则，
的导数.
由，得或.
当时，必存在，使得当时，，
则在上单调递增，所以当时，，
则在上单调递增，
同理得，当时，，则在上单调递增，
这与在上单调递减矛盾，所以不合题意.
当时，，所以不合题意.
当时，恒有.
①当时，，则在上单调递减；
②当时，，得在上单调递增.
所以，所以对恒成立.
综上，的取值范围是.-2
0
2
0.08
0.44
0.48