华侨城高级中学2024届高三深圳一模适应性考试试题及解答（新结构试题）

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1．已知向量，，且，则
A．B．C．6D．8
2．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是
A．若，，，则B．若，，，则
C．若，，，则D．若，，，则
3．已知为等差数列的前项和，，则
A．60B．120C．180D．240
4．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1，2，4，5，6，，则这6个点数的中位数为4的概率为
A．B．C．D．
5．已知函数的最小正周期为，则在区间，上的最大值为
A．B．1C．D．2
6．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则
A．B．C．D．
7．已知，是椭圆的两个焦点，双曲线的一条渐近线与交于，两点．若，则的离心率为
A．B．C．D．
8．已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某服装公司对月份的服装销量进行了统计，结果如下：
若与线性相关，其线性回归方程为，则下列说法正确的是
A．线性回归方程必过
B．
C．相关系数
D．6月份的服装销量一定为272.9万件
10．设，为复数，下列命题中正确的是
A．
B．若，则与中至少有一个是0
C．若，则
D．
11．已知圆，则下列命题是真命题的是
A．若圆关于直线对称，则
B．存在直线与所有的圆都相切
C．当时，为圆上任意一点，则的最大值为
D．当时，直线，为直线上的动点．过点作圆的切线，，切点为，，则最小值为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合，集合，若，则实数的取值范围为 ．
13．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆．若用平行于圆锥的底面，且与底面的距离为的平面截圆锥，将此圆锥截成一个小圆锥和一个圆台，则小圆锥和圆台的体积之比为 ．
14．已知数列的首项，且满足对任意都成立，则能使成立的正整数的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）
已知函数，，．若在处与直线相切．
（1）求，的值；
（2）求在，（其中为自然对数的底数）上的最大值和最小值．
16．（15分）
如图，在圆锥中，是圆的直径，且是边长为4的等边三角形，，为圆弧的两个三等分点，是的中点．
（1）证明：平面．
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
17．（15分）
某6人小组利用假期参加志愿者活动，已知参志愿者活动次数为2，3，4的人数分别为1，3，2，现从这6人中随机选出2人作为该组的代表参加表彰会．
（1）求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率；
（2）记选出的2人参加志愿者活动次数之和为，求的分布列和期望．
18．（17分）
设抛物线的焦点为，点在抛物线上，（其中为坐标原点）的面积为4．
（1）求；
（2）若直线与抛物线交于异于点的，两点，且直线，的斜率之和为，证明：直线过定点，并求出此定点坐标．
19．（本小题满分17分）
对于给定的正整数，记集合，，，，，，，2，3，，，其中元素称为一个维向量．特别地，称为零向量．
设，，，，，，，，，定义加法和数乘：，，，，，，，．
对一组向量，，，，，若存在一组不全为零的实数，，，，使得，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．
（1）对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
①，；
②，，；
③，，，．
（2）已知向量，，线性无关，判断向量，，是线性相关还是线性无关，并说明理由．
（3）已知个向量，，，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明下列结论：
（ⅰ）如果存在等式，，2，3，，，则这些系数，，，或者全为零，或者全不为零；
（ⅱ）如果两个等式，，，，2，3，，同时成立，其中，则．
华侨城高级中学2024届高三深圳一模适应性考试（新结构试题）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知向量，，且，则
A．B．C．6D．8
【解答】解：向量，，
，
又，
，
解得：，
故选：．
2．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是
A．若，，，则B．若，，，则
C．若，，，则D．若，，，则
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，若，，设直线，的方向向量分别为，则平面，对应法向量为，由，即，则，故正确；
对于，若，，，则与可能平行或相交，故错误；
对于，若，，，则，或，或与相交，故错误；
对于，若，，则，又，则或，错误．
故选：．
3．已知为等差数列的前项和，，则
A．60B．120C．180D．240
【解答】解：解法一、设等差数列的首项为，公差为，
则，
所以，
所以．
解法二、因为数列为等差数列，所以，
所以，
所以．
故选：．
4．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1，2，4，5，6，，则这6个点数的中位数为4的概率为
A．B．C．D．
【解答】解：将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1，2，4，5，6，，
的可能取值分别为1，2，3，4，5，6，有6种情况，
其中，这6个点数的中位数为4时，的可能取值为4，只有1种情况，
这6个点数的中位数为4的概率为．
故选：．
5．已知函数的最小正周期为，则在区间，上的最大值为
A．B．1C．D．2
【解答】解：函数的最小正周期为，
，函数，，．
故当时，取得最大值为．
故选：．
6．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则
A．B．C．D．
【解答】解：因为，
由余弦定理可得，将，代入整理得，
所以．
故选：．
7．已知，是椭圆的两个焦点，双曲线的一条渐近线与交于，两点．若，则的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：如图所示，
由已知，则渐近线，
即，
又，
即，且四边形为矩形，
所以，
则，
又根据椭圆定义可知，
所以离心率．
故选：．
8．已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为
A．B．C．D．
【解答】解：因为函数为偶函数，则，即，①
又因为函数为奇函数，则，即，②
联立①②可得，
由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，
故函数的最小值为．
故选：．
二．多选题（共3小题）
9．某服装公司对月份的服装销量进行了统计，结果如下：
若与线性相关，其线性回归方程为，则下列说法正确的是
A．线性回归方程必过
B．
C．相关系数
D．6月份的服装销量一定为272.9万件
【解答】解：对于，因为，所以线性回归方程必过，所以正确；
对于，由线性回归直线必过，
所以，解得，所以正确；
对于，因为，所以相关系数，所以错误；
对于，当时，，
所以可预测6月份的服装销量约为272.9万件，所以错误．
故选：．
10．设，为复数，下列命题中正确的是
A．
B．若，则与中至少有一个是0
C．若，则
D．
【解答】解：对于，设，，，，，
，，
，，，故正确；
对于，，
则，
故与中至少有一个是0，故正确；
对于，令，，满足，但，故错误；
对于，由复数模的性质可知，，故正确．
故选：．
11．已知圆，则下列命题是真命题的是
A．若圆关于直线对称，则
B．存在直线与所有的圆都相切
C．当时，为圆上任意一点，则的最大值为
D．当时，直线，为直线上的动点．过点作圆的切线，，切点为，，则最小值为4
【解答】解：由圆，得，
所以圆心，半径为，故不正确；
圆心，到的距离为，故存在直线与所有的圆都相切，故正确；
当时，，得，
令，，
，故正确；
当时，，得，
圆心，半径．
因为四边形的面积，
要使四边形面积最小，则需最小，此时与直线垂直，
又到的距离为，
，故正确．
故选：．
三．填空题（共3小题）
12．已知集合，集合，若，则实数的取值范围为 ．
【解答】解：集合，集合，
，
，解得，
实数的取值范围为．
故答案为：．
13．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆．若用平行于圆锥的底面，且与底面的距离为的平面截圆锥，将此圆锥截成一个小圆锥和一个圆台，则小圆锥和圆台的体积之比为 ．
【解答】解：设圆锥的底面半径为，圆锥的母线长为，小圆锥的底面半径为，
则，由，
解得，
所以，
因为，所以，
由 相似于，可得，
所以，即，
所以小圆锥的体积，
圆台的体积，
所以．
故答案为：．
14．已知数列的首项，且满足对任意都成立，则能使成立的正整数的最小值为 19 ．
【解答】解：根据可知或；
当时，
数列是以为首项，1为公差的等差数列；
所以，
则，
可得；
当时，
数列是以为首项，2为公比的等比数列；
所以，
则，
解得，
不合题意，舍去；
若数列为等差和等比交叉数列，
又易知，；
若要使的值最小，
则，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
此时，
即；
故正整数的最小值为19．
故答案为：19．
四．解答题（共5小题）
15．已知函数，，．若在处与直线相切．
（1）求，的值；
（2）求在，（其中为自然对数的底数）上的最大值和最小值．
【解答】解：（1）函数，
，
函数在处与直线相切，
，解得；
（2）由（1）可得，
，
所以当时，，当时，，
所以在，上单调递减，在，上单调递增，在处取得极大值即最大值，
所以（1），
又，，
所以．
16．如图，在圆锥中，是圆的直径，且是边长为4的等边三角形，，为圆弧的两个三等分点，是的中点．
（1）证明：平面．
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【解答】（1）证明：取的中点，连接，，．
因为，为圆弧的两个三等分点，所以，．
因为，分别为，的中点，所以，，
则，，从而四边形为平行四边形，
故．
因为平面，二平面，所以平面．
（2）解：以为坐标原点，垂直平分线为轴，
，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，所以，，，，2，，，
，1，，，
则，，，，，．
设平面的法向量为，，，
则，令，得．
设平面的法向量为，，，
则，令，得．
设平面与平面所成锐二面角为，
则．
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
17．某6人小组利用假期参加志愿者活动，已知参志愿者活动次数为2，3，4的人数分别为1，3，2，现从这6人中随机选出2人作为该组的代表参加表彰会．
（1）求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率；
（2）记选出的2人参加志愿者活动次数之和为，求的分布列和期望．
【解答】解：（1）由题意可得，选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率．
（2）由题意可得，的所有可能取值为5，6，7，8，
，，
，，
故的分布列为：
故．
18．设抛物线的焦点为，点在抛物线上，（其中为坐标原点）的面积为4．
（1）求；
（2）若直线与抛物线交于异于点的，两点，且直线，的斜率之和为，证明：直线过定点，并求出此定点坐标．
【解答】解：（1）设抛物线的焦点为，点在抛物线上，（其中为坐标原点）的面积为4，
因为点在抛物线上，所以，即，
因为的面积为4，所以，解得，所以；
证明：（2）若直线与抛物线交于异于点的，两点，且直线，的斜率之和为，
由（1）得，，
当直线斜率为0时，不适合题意；
当直线斜率不为0时，设直线，设，，，，
由，得，则△，，，
因为直线，的斜率之和为，所以，即，所以，
所以，整理得，
所以直线，令，得，，
所以直线过定点．
19．对于给定的正整数，记集合，，，，，，，2，3，，，其中元素称为一个维向量．特别地，称为零向量．
设，，，，，，，，，定义加法和数乘：，，，，，，，．
对一组向量，，，，，若存在一组不全为零的实数，，，，使得，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．
（Ⅰ）对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
①，；
②，，；
③，，，．
（Ⅱ）已知向量，，线性无关，判断向量，，是线性相关还是线性无关，并说明理由．
（Ⅲ）已知个向量，，，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明下列结论：
（ⅰ）如果存在等式，，2，3，，，则这些系数，，，或者全为零，或者全不为零；
（ⅱ）如果两个等式，，，，2，3，，同时成立，其中，则．
【解答】（Ⅰ）解：对于①，设，则可得，所以线性相关；
对于②，设，则可得，所以，，
所以线性相关；
对于③，设，则可得，解得，
可取，，满足方程组，所以线性相关；
（Ⅱ）解：设，
则，
因为向量，，线性无关，所以，解得，
所以向量，，线性无关，
（Ⅲ）证明：，如果某个，，2，，，
则，
因为任意个都线性无关，所以，，，，，都等于0，
所以这些系数，，，或者全为零，或者全不为零，
因为，所以，，，全不为零，
所以由可得，
代入可得，
所以，
所以，，，
所以．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/16 22:22:18；用户：杨文武；邮箱：yangwenwu1984@163.cm；学号：2218179月份编号
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销量（万件）
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月份编号
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