专题70临界极值问题、多解问题 磁聚焦磁发散 带电粒子在交变磁场中的运动-2023届高三物理一轮复习重难点逐个突破

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考点一 带电粒子在匀强磁场中的临界问题、极值问题（1-5T）
考点二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题（6-11T）
考点三 磁发散磁聚焦 （12-17T）
考点四 带电粒子在交变电、磁场中的运动（18-23T）
考点一 带电粒子在匀强磁场中的临界问题、极值问题
分析思路：以临界问题的关键词“恰好”“最大”“至少”“要使”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，画出临界状态下的运动轨迹，建立几何关系求解．
1．如图所示，一粒子源位于一边长为a的正三角形ABC的中点O处，可以在三角形所在的平面内向各个方向发射出速度大小为v、质量为m、电荷量为q的带电粒子，整个三角形位于垂直于△ABC平面的匀强磁场中，若使沿任意方向射出的带电粒子均不能射出三角形区域，则磁感应强度的最小值为（ ）
A．mvqaB．2mvqa
C．23mvqaD．43mvqa
2．（2022·四川遂宁·三模）如图所示，在直角三角形abc区域（含边界）内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，∠a=60∘，∠b=90∘，边长ac=L。一个粒子源在a点将质量为2m、电荷量为q的带正电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场，在磁场中运动时间最长的粒子中，速度的最大值是（ ）
A．qBL2mB．qBL4mC．3qBL6mD．qBL6m
3．（2022·浙江·高三专题练习）如图半径为R的半圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场．一质量为m、带电量为-q且不计重力的粒子，以速度v沿与半径AO夹角θ=30°的方向从A点垂直磁场射入，最后粒子从圆弧MN上射出，则磁感应强度的大小不可能为（ ）
A．3mvqRB．mvqRC．2mvqRD．4mvqR
4．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）如图所示，有一个环形磁场，处在半径分别为R和2R的内、外两个同心圆之间，磁感应强度为B，方向垂直纸面向外。有一个粒子源可以在纸面内各个方向发射质量为m、带电量为q的正电粒子，粒子源处于P点，P是内圆半径OA的中点。不计粒子间的相互作用力和重力，下列说法正确的是（ ）
A．若没有粒子射出磁场，粒子的速率不大于3qBR5m
B．若没有粒子射出磁场，粒子的速率不大于qBRm
C．若粒子的速率大于3qBR5m，所有粒子都会射出磁场
D．若粒子的速率大于qBRm，将有部分粒子射出磁场
5．（2023·全国·高三专题练习）一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad宽为L，现从ad中点O垂直于磁场射入一带电粒子，速度大小为v0方向与ad边夹角为30°，如图所示。已知粒子的电荷量为q，质量为m（重力不计）。
（1）若粒子带负电，且恰能从d点射出磁场，求v0的大小；
（2）若粒子带正电，使粒子能从ad边射出磁场，求v0的最大值。
考点二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
1.带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题．
2.分析思路
(1)找出多解的原因．
(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况．
(3)若为周期性重复的多解问题，寻找通项式；若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件。
6．(多选)如图所示，L1和L2为两条平行的虚线，L1上方和L2下方都是范围足够大，且磁感应强度相同的匀强磁场，A、B两点都在L2上。带电粒子从A点以初速度v0与L2成30°角斜向右上方射出，经过偏转后正好过B点，经过B点时速度方向也斜向上，不计重力，下列说法正确的是（ ）
A．若将带电粒子在A点时的初速度变大（方向不变），它仍能经过B点
B．带电粒子经过B点时的速度一定跟在A点时的速度大小相同
C．若将带电粒子在A点时的初速度方向改为与L2成60°角斜向右上方，它将不能经过B点
D．此带电粒子既可以是正电荷，也可以是负电荷
7．(多选)如图所示，正方形abcd区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O点是cd边的中点，一个带正电的粒子(重力忽略不计)若从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向(如图中虚线所示)，以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是（ ）
A．该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场
B．若该带电粒子从ab边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是23t0
C．若该带电粒子从bc边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0
D．若该带电粒子从bc边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是53t0
8．（2022·湖北·高考真题）(多选)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从Р点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为（ ）
A．13kBL，0°B．12kBL，0°C．kBL，60°D．2kBL，60°
9．（2022·华中师大一附中博乐分校·模拟预测）(多选)如图，纸面内有一矩形abcd，其长ab为4l、宽ad为23l，P、Q为ab边上的点，aQ=Pb=l。在矩形abcd外存在范围足够大的匀强磁场（图中未画出磁场），磁感应强度大小为B0。一质量为m、带电荷量为q（q>0）的粒子，从P点垂直ab以速度v1向外射入磁场，粒子从Q处进入无场区。现在将入射速度变为v2=2v1，粒子从P点垂直ab射入磁场，粒子的重力不计，粒子离开P点至回到P点的运动路程可能为（ ）
A．16πl+123lB．40πl+243l
C．64πl+423l3D．88πl+603l3
10．（2020·全国·高三专题练习）如图所示，某平面内有折线PAQ为磁场的分界线，已知∠A＝90°，AP＝AQ＝L．在折线的两侧分布着方向相反，与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小均为B．现有一质量为m、电荷量为＋q的粒子从P点沿PQ方向射出，途经A点到达Q点，不计粒子重力．求粒子初速度v应满足的条件及粒子从P经A到达Q所需时间的最小值．
11．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，电子枪将无初速的电子经加速电压加速后在纸面内垂直于SO的方向射出，两个形状为一圆弧的接收屏P1、P2拼接成半径为R的半圆形粒子接收器，直径沿SO方向放置，圆心位于O点，SO长度为2R。电子电荷量为e，质量为m。设电子击中接收屏即被吸收，不计电荷间的相互作用。
（1）为使电子能打到接收屏P1或P2上，求电子枪加速电压U的调节范围；
（2）求能打到接收屏P1或P2上的电子从S点到击中接收屏的时间范围；
（3）若接收屏P1损坏，可以通过调节电子枪加速电压使原本打在接收屏P1上的全部电子能打在接收屏P2上，至少需要调节多少次加速电压?（可能用到的数据：lg2≈0.301，lg5≈0.699，lg6≈0.778）
考点三 磁发散磁聚焦
如图
1.磁发散磁聚焦的条件：磁场边界圆的半径等于粒子轨迹圆的半径。
2.磁发散：从圆形匀强磁场边界上某一点垂直进入磁场的电性相同的粒子，若其轨迹圆的半径与磁场边界圆的半径相等，则无论粒子在磁场内的速度方向如何，射出磁场的速度方向都与入射点的切线平行。
磁聚焦：一组电性相同的平行粒子垂直射入半径为R的圆形匀强磁场区域，若粒子轨迹圆的半径也为R，则粒子将汇聚于磁场边界圆上同一点，该点的切线与粒子入射时的速度方向平行。
3.磁发散磁聚焦的原理（以磁发散为例）：如下图，前提：磁场边界圆的半径等于粒子轨迹圆的半径。A是边界圆上粒子的入射点，cd是A点的切线，B是粒子的出射点，O1是磁场边界圆的圆心，O2是粒子轨迹圆的圆心，连接AO1BO2，由于磁场边界圆的半径等于粒子轨迹圆的半径，则AO1BO2一定是菱形，因而AO1平行于BO2，因为出射粒子的速度方向垂直于BO2，也就垂直于AO1，从而平行于AO1的切线cd。
4.磁聚焦和磁发散是相反的过程,满足运动的可逆性。
12．（2022·广东·模拟预测）(多选)如图所示，半径为R的图形区域内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场（圆形区域上半圆半径略小于下半圆半径）。一群质量为m、电荷量为+q的带电粒子从A点沿平行于纸面的任意方向射入磁场，粒子射入磁场的速度大小为v=qBRm，不计粒子重力及粒子间相互作用，则（ ）
A．粒子在磁场中运动的最短时间为2mqB
B．粒子在磁场中运动的最长时间为πmqB
C．粒子离开磁场时，速度方向一定相同
D．粒子离开磁场时，动量变化量一定相同
13.(多选)如图所示，半径为R、磁感应强度为B的圆形匀强磁场，MN是一竖直放置的足够长的感光板．大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P以速率v沿不同方向垂直磁场方向射入，不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子．粒子质量为m，电荷量为q，不考虑粒子间的相互作用和粒子的重力．关于这些粒子的运动，以下说法正确的是( )
A．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越短
B．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越长
C．若粒子速度大小均为v＝eq \f(qBR,m)，出射后均可垂直打在MN上
D．若粒子速度大小均为v＝eq \f(qBR,m)，则粒子在磁场中的运动时间一定小于eq \f(πm,qB)
14．(多选)如图所示，上部半圆下部矩形组成的平面区域内存在垂直平面向里的匀强磁场，由点A向圆心O方向连续发射相同速率的同种带电粒子，最终粒子从B点离开磁场区域，不计粒子所受重力，粒子间的相互作用及空气阻力，则以下说法正确的是（ ）
A．该种粒子一定带负电，且在B点沿OB方向离开磁场
B．若在A点增大粒子入射速率，方向不变，则粒子在磁场中的运动时间增加
C．若在A点调整粒子入射方向，速率不变，则BC间无粒子射出
D．若在A点调整粒子入射方向，速率不变，从AB弧射出的粒子的出射方向均与OB平行
15．（2022·福建莆田·二模）带电粒子流的磁聚焦是薄膜材料制备的关键技术之一、磁聚焦原理如图，真空中一半径为r的圆形区域内存在垂直纸面的匀强磁场，一束宽度为2r、沿x轴正方向运动的带电粒子流射入该磁场后汇聚于坐标原点O。已知粒子的质量均为m、电荷量均为q、进入磁场的速度均为v，不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用力。则磁感应强度的大小应为（ ）
A． mv2qr B． 2mv2qr C．mvqrD．2mvqr
16．（2023·全国·高三专题练习）(多选)如图所示，半径为R的14圆形区域内存在着垂直纸面向里的匀强磁场，过（－2R，0）点垂直x轴放置一线型粒子发射装置，能在0A．粒子击中点距O点的距离为R
B．磁场的磁感应强度为mvqR
C．粒子离开磁场时速度方向相同
D．粒子从离开发射装置到击中y轴所用时间t的范围为2Rv＜t<(2+π)R2v
17．如图所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。两个半径为r的圆形区域内有与x0y平面垂直的匀强磁场（包括圆形区域边界），宽度为2r的带电粒子流（粒子的质量为m、电荷量为+q）沿x轴正方向以速度v0射入圆心为A（O，r）、半径为r的圆形匀强磁场B1中，带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点O，经过圆心为C（O，-r）、半径为r的圆形匀强磁场B2后，沿x轴正方向射出，不计粒子重力及带电粒子之间的相互作用。求：
（1）这两个圆形匀强磁场的磁感应强度B1、B2的大小和方向；
（2）带电粒子在这两个圆形匀强磁场中运动的最长时间；
（3）增大带电粒子射入的速度，使正对圆心A（0，r）射入的粒子恰好不经过下方的磁场，求粒子射入的速度大小。
考点四 带电粒子在交变电、磁场中的运动
分析方法:
(1)明确场的变化情况。场的变化周期一般与粒子的运动周期相关联,抓住场的变化周期与运动周期之间的联系作为突破口。
(2)通过各阶段受力分析,明确运动特点,正确画出运动轨迹,找出衔接相邻两过程的物理量。
(3)对不同运动过程选取相应规律列式,联立求解。
18．如图甲所示，ABCD是一长方形有界匀强磁场边界，磁感应强度按图乙规律变化，取垂直纸面向外为磁场的正方向，图中AB=3AD=3L，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子以速度v0在t=0时从A点沿AB方向垂直磁场射入，粒子重力不计.则下列说法中正确的是（ ）
A．若粒子经时间t=12T0恰好垂直打在CD上，则磁场的磁感应强度B0=mv0qL
B．若粒子经时间t=32T0恰好垂直打在CD上，则粒子运动的加速度大小a=3v022L
C．若要使粒子恰能沿DC方向通过C点，则磁场的磁感应强度的大小B0=nmv02qLn=1,2,3,⋯
D．若要使粒子恰能沿DC方向通过C点，磁场变化的周期T0=2πL3nv0n=1,2,3,⋯
19．（2022·青海·模拟预测）在如图甲所示的平面直角坐标系xOy（其中Ox水平，Oy竖直）内，矩形区域OMNP充满磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场（边界处有磁场），，其中OM=32d，OP=2d，P点处放置一垂直于x轴的荧光屏，现将质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从OM边的中点A处以某一速度垂直于磁场且沿与y轴负方向夹角为45°的方向射入磁场，不计粒子重力。
（1）求粒子恰好能打在荧光屏上与A等高的点的速度大小；
（2）求粒子能从OM边射出磁场的最大速度及其对应的运动时间。
（3）若规定垂直纸面向外的磁场方向为正方向，磁感应强度B的变化规律如图乙所示（图中B0已知），调节磁场的周期，满足T=2πm3qB0，让上述粒子在t=0时刻从坐标原点O沿与x轴正方向成60°角的方向以一定的初速度射入磁场，若粒子恰好垂直打在屏上，求粒子的可能初速度大小及打在光屏上的位置。
20．（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，在xOy平面内存在均匀、大小随时间周期性变化的磁场和电场，变化规律分别如图乙、丙所示（规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向、沿y轴正方向电场强度为正）。在t＝0时刻由原点O发射初速度大小为v0，方向沿y轴正方向的带负电粒子。已知v0、t0、B0，粒子的比荷为πB0t0，不计粒子的重力。求：
(1)t＝t0时，求粒子的位置坐标；
(2)若t＝5t0时粒子回到原点，求0~5t0时间内粒子距x轴的最大距离；
(3)若粒子能够回到原点，求满足条件的所有E0值。
21.(2022·潍坊二模)如图甲所示，在O－xyz三维坐标系的空间内有平行于z轴向上且交替变化的匀强电场、匀强磁场，电场、磁场随时间变化的规律分别如图乙、丙所示，t＝0时，一带正电的粒子以初速度v0从O点沿x轴正方向射入，在t＝eq \f(L,v0)时粒子恰经过点P(L、0、L)(图中未画出)。已知电场强度大小为E0，磁感应强度大小为eq \f(3πE0,2v0)。粒子重力不计，求：
(1)粒子的比荷；
(2)粒子在t＝eq \f(2L,v0)时的位置坐标；
(3)粒子在t＝eq \f(3L,v0)时的速度；
(4)t＝eq \f(nL,v0)(n为整数)时，粒子所处位置的z轴坐标值zn。
22．（2022·河北·模拟预测）如图甲所示，在xOy平面的第一象限内存在周期性变化的磁场，规定磁场垂直纸面向内的方向为正，磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示。质量为m、电荷量为+q的粒子，在t=0时刻沿x轴正方向从坐标原点O射入磁场。图乙中T0为未知量，不计粒子的重力。已知B0=kπmq，sin37°=0.6，cs37°=0.8。求：
（1）0~25T0时间内粒子做匀速圆周运动的角速度ω；
（2）若粒子不能从Oy轴射出磁场，磁感应强度变化周期的最大值Tm；
（3）若使粒子能从坐标为（3d，4d）的D点平行于Ox轴射出，射入磁场时速度的大小v。
23．（2022·河北）两块面积和间距均足够大的金属板水平放置，如图1所示，金属板与可调电源相连形成电场，方向沿y轴正方向。在两板之间施加磁场，方向垂直平面向外。电场强度和磁感应强度随时间的变化规律如图2所示。板间O点放置一粒子源，可连续释放质量为m、电荷量为、初速度为零的粒子，不计重力及粒子间的相互作用，图中物理量均为已知量。求：
（1）时刻释放的粒子，在时刻的位置坐标；
（2）在时间内，静电力对时刻释放的粒子所做的功；
（3）在点放置一粒接收器，在时间内什么时刻释放的粒子在电场存在期间被捕获。