专题1.2 二次根式的乘除-2023-2024学年八年级数学下册各单元的重点题型+章末检测（浙教版）

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\l "_Tc14164" 【题型1 二次根式乘除法法则成立的条件】 PAGEREF _Tc14164 \h 1
\l "_Tc32128" 【题型2 二次根式的乘除混合运算】 PAGEREF _Tc32128 \h 2
\l "_Tc9830" 【题型3 把根号外的因数（式）移到根号内】 PAGEREF _Tc9830 \h 3
\l "_Tc14946" 【题型4 判断最简二次根式】 PAGEREF _Tc14946 \h 3
\l "_Tc3989" 【题型5 化为最简二次根式】 PAGEREF _Tc3989 \h 3
\l "_Tc25845" 【题型6 根据最简二次根式的概念求值】 PAGEREF _Tc25845 \h 4
\l "_Tc3223" 【题型7 分母有理化及其应用】 PAGEREF _Tc3223 \h 4
\l "_Tc27227" 【题型8 比较二次根式的大小】 PAGEREF _Tc27227 \h 5
\l "_Tc12098" 【题型9 应用二次根式的乘除运算解决实际问题】 PAGEREF _Tc12098 \h 6
\l "_Tc29025" 【题型10 二次根式乘除法中的新情境题】 PAGEREF _Tc29025 \h 6
【知识点1 二次根式的乘除法则】
①二次根式的乘法法则：a∙b=a∙b(a≥0,b≥0)；
②积的算术平方根：a∙b=a∙b(a≥0,b≥0)；
③二次根式的除法法则：ab=ab(a≥0,b>0)；
④商的算术平方根：ab=ab(a≥0,b>0).
【题型1 二次根式乘除法法则成立的条件】
【例1】（2023·上海闵行·八年级校考期中）如果代数式2m−1m−4=2m−1m−4，那么m的取值范围是_____________
【变式1-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）若(x−2)(3−x)=x−2⋅3−x成立．则x的取值范围为（ ）
A．x≤3B．x≥2C．20)
【变式2-1】（2023春·福建龙岩·八年级校联考期中）计算
(1)−4318÷28×1354
(2)(6+1)2−3−23+2
【变式2-2】（2023春·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）计算：312x⋅123xy÷−3418x2y3．
【变式2-3】（2023春·黑龙江鸡西·八年级统考期中）（1）计算：2−52+5−2−22
（2）下面是王鑫同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的问题：
92−12×24+323
=92−12×24+323……第一步
=322−23×26+23×323……第二步
=322−122+62……第三步
=922……第四步
①以上化简步骤中第一步化简的依据是：______；
②第______步开始出现错误，请写出错误的原因______；
③该运算正确结果应是______.
【题型3 把根号外的因数（式）移到根号内】
【例3】（2023春·全国·八年级专题练习）把2−x1x−2的根号外因式移到根号内得____________．
【变式3-1】（2023春·山东·八年级统考期中）若把﹣43根号外的因式移到根号内，得（ ）
A．12B．﹣12C．﹣48D．48
【变式3-2】（2023春·江苏南通·八年级阶段练习）把−a−1a中根号外面的因式移到根号内的结果是（ ）
A．−aB．−aC．−−aD．a
【变式3-3】（2023春·河北唐山·八年级校考期末）把下列根号外的因式移到根号内.
(1)a1a;
(2)xyx-y·x2-2xy+y2xy(x>y>0);
(3)ab1a-1b(0aB．c>a>bC．b>a>cD．b>c>a
【变式8-2】（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
（1）比较15−14和14−13的大小．
（2）求y=x+1−x−1+3的最大值．
【变式8-3】（2023·全国·八年级专题练习）先观察解题过程，再解决以下问题：
比较3−2与2−1的大小．
解：(3−2)(3+2)=1，(2−1)(2+1)=1，
3−2=13+2，2−1=12+1又3+2>2+1，3−2b>c>0，若木块对桌面的最大压强为p1，最小压强为p2，则p1p2的值等于______．
【题型10 二次根式乘除法中的新情境题】
【例10】（2023春·八年级课时练习）老师在复习“二次根式”时，在黑板上写出下面的一道题作为练习：
已知7=a，70=b，用含a，b的代数式表示4.9．小豪、小麦两位同学跑上讲台，板书了下面两种解法：
小豪：4.9=4910=49×1010×10=490100=7×7010=7×7010=ab10．
小麦：4.9=49×0.1=70.1．
因为0.1=110=770=770=ab，4.9=70.1=7ab．
老师看罢，提出下面的问题：
(1)两位同学的解法都正确吗？
(2)请你说明理由．
【变式10-1】（2023春·福建泉州·八年级校联考期中）请阅读材料，并解决实际问题：海伦—秦九韶公式：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：假设在平面内，有一个三角形的三条边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么这个三角形的面积S=pp−ap−bp−c．这个公式称海伦公式．秦九韶（约1202—1261），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式S=14a2b2−a2+b2−c222．它填补了中国数学史上的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平．通过公式变形，可以发现海伦公式和秦九韶公式实质是同一公式，所以海伦公式也称海伦—秦九韶公式．问题：在△ABC中，AC=5，AB=6，BC=7，用海伦—秦九韶公式求△ABC的面积为____．
【变式10-2】（2023春·福建福州·八年级统考期中）我们知道，二次根式乘除法有如下性质：a⋅b=ab(a≥0,b≥0)，ab=ab(a≥0,b>0)，那么二次根式加法是否具有类似性质呢？请同学们根据下列问题开启探索之旅：
(1)举些例子比较a+b与a+b(a≥0,b≥0)的大小，并提出猜想；(至少举3例，举例要全面哦)
(2)利用学过的知识证明你的猜想．
【变式10-3】（2023春·全国·八年级专题练习）阅读下列材料：
在学习完实数的相关运算之后，小明同学提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方的积存在有什么样的关系？小明用自己的方法进行了验证：
小明：25×4=100=10，而25=5，4=2，∴25×4=5×2=10即25×4=25×4
回答以下问题：
(1)结合材料猜想，当a≥0，b≥0时，请直接写出ab和a×b之间有什么关系？
(2)运用以上结论，计算：①．16×25；②．64×169
(3)解决实际问题：已知一个长方形的长为32，宽为8，则长方形的面积为多少？