专题2.4 一元二次方程根与系数的关系-2023-2024学年八年级数学下册各单元的重点题型+章末检测（浙教版）

这是一份专题2.4 一元二次方程根与系数的关系-2023-2024学年八年级数学下册各单元的重点题型+章末检测（浙教版），文件包含专题24一元二次方程根与系数的关系举一反三浙教版原卷版docx、专题24一元二次方程根与系数的关系举一反三浙教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。


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\l "_Tc7244" 【题型1 由根与系数的关系直接求代数式的值】 PAGEREF _Tc7244 \h 1
\l "_Tc1659" 【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】 PAGEREF _Tc1659 \h 2
\l "_Tc7564" 【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】 PAGEREF _Tc7564 \h 2
\l "_Tc29040" 【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】 PAGEREF _Tc29040 \h 2
\l "_Tc7343" 【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】 PAGEREF _Tc7343 \h 3
\l "_Tc3999" 【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】 PAGEREF _Tc3999 \h 3
\l "_Tc23671" 【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】 PAGEREF _Tc23671 \h 4
\l "_Tc14820" 【题型8 已知方程根的情况判断另一个方程】 PAGEREF _Tc14820 \h 4
\l "_Tc30442" 【题型9 根与系数关系中的新定义问题】 PAGEREF _Tc30442 \h 5
\l "_Tc7267" 【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】 PAGEREF _Tc7267 \h 5
【知识点 一元二次方程的根与系数的关系】
若一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
注意它的使用条件为，a≠0，Δ ≥0.
【题型1 由根与系数的关系直接求代数式的值】
【例1】（2023春·广东广州·八年级统考期末）若x1，x2是一元二次方程x2−2x−3=0的两个根，则x12+x22+x1x2的值是（ ）
A．−7B．−1C．1D．7
【变式1-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知m，n是一元二次方程x2+3x−2=0的两根，则2m−n−m+3nm2−n2的值是（ ）
A．−3B．−2C．−13D．−12
【变式1-2】（2023·上海·八年级假期作业）已知a，b是方程x2+6x+4=0的两个根，则bba+aab的值 ．
【变式1-3】（2023春·八年级单元测试）已知x1、x2是方程x2−7x+8=0的两根，且x1>x2，则2x1+3x2的值为 ．
【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】
【例2】（2023春·浙江·八年级专题练习）设α、β是方程 x2+x+2012=0的两个实数根，则 α2+2α+β的值为（ ）
A．－2014B．2014C．2013D．－2013
【变式2-1】（2023春·湖北恩施·八年级统考期中）已知a，b是关于x的一元二次方程x2+3x−1=0的两个实数根，则a+22+b的值为( )
A．32B．5C．2D．−2
【变式2-2】（2023·江西萍乡·校考模拟预测）若α、β是一元二次方程x2−3x−9=0的两个根，则α2−4α−β的值是 ．
【变式2-3】（2023春·安徽池州·八年级统考期末）已知α和β是方程x2+2023x+1=0的两个根，则α2+2024α+2β2+2024β+2的值为（ ）
A．−2021B．2021C．−2023D．2023
【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】
【例3】（2023春·广东广州·八年级广州市第二中学校考阶段练习）若p、q是方程x2−3x−1=0的两个不相等的实数根，则代数式p3−4p2−2q+5的值为 ．
【变式3-1】（2023春·山东日照·八年级统考期末）已知a，b是方程x2−x−3=0的两个根，则代数a2+2b2+a+ab的值为 ．
【变式3-2】（2023春·浙江温州·八年级校考阶段练习）已知α、β是方程x2+x−1=0的两根，则α4β−β3+5的值是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【变式3-3】（2023春·八年级课时练习）已知a，b是方程x2−x−1=0的两根，则代数式2a3+5a+3b3+3b+1的值是（ ）
A．19B．20C．14D．15
【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】
【例4】（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程x2−8x+m=0两根为x1、x2，且x1=3x2，则m的值为（ ）
A．4B．8C．12D．16
【变式4-1】（2023·上海·八年级校考期中）已知关于x的方程x2+(2k−1)x+k2−1=0的两根为x1,x2满足：x12+x22=16+x1x2，求实数k的值
【变式4-2】（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）方程x2−k2−4x+k+1=0的两个实数根互为相反数，则k的值是 ．
【变式4-3】（2023春·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若m、n是关于x的方程x2+2k+3x+k2=0的两个不相等的实数根，且1m+1n=−1，则k的值为 ．
【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】
【例5】（2023春·江苏南京·八年级专题练习）关于x的方程x−2x+1=p2（p为常数）根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．有两个相异正根 B．有两个相异负根C．有一个正根和一个负根D．无实数根
【变式5-1】（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）方程2x2−3x+1=0根的符号是（ ）
A．两根一正一负B．两根都是负数C．两根都是正数D．无法确定
【变式5-2】（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知a、b、c是△ABC的三条边的长，那么方程cx2+a+bx+c4=0的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的负实根D．只有一个实数根
【变式5-3】（2023·八年级统考课时练习）已知a<0，b>0，c<0，则方程ax2−bx−c=0的根的情况是（ ）.
A．有两个负根B．两根异号且正根绝对值较大
C．有两个正根D．两根异号且负根绝对值较大
【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】
【例6】（2023·四川成都·三模）若方程x2+（m﹣4）x+134﹣m＝0有两个不相等的实数根x1和x2，且x1+x2＞﹣3，x1x2＜214，则m的取值范围为多少？
【变式6-1】（2023·山东日照·日照港中学统考二模）已知关于x的一元二次方程x2−4x+m−1=0的实数根x1,x2，满足3x1x2−x1−x2>5，则m的取值范围是 ．
【变式6-2】（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知关于x的方程4x2−k+5x−k−9=0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1=−1，0A．−18C．−9【变式6-3】（2023春·八年级单元测试）设关于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<−1【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】
【例7】（2023·陕西西安·校考二模）已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则mn 的值为（ ）
A．﹣402B．59 C．95 D．6703
【变式7-1】（2023春·广东梅州·八年级校考阶段练习）已知a≥2,m2−2am+2=0,n2−2an+2=0，则(m−1)2+(n−1)2的最小值是（ ）．
A．6B．3C．-3D．0
【变式7-2】（2023·山东德州·统考一模）已知互不相等的三个实数a、b、c满足ca=−a−3，cb=−b−3，求a2c+b2c−9c的值 ．
【变式7-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）设x，y，s，t为互不相等的实数，且(x2−s2)(x2−t2)=1，(y2−s2)(y2−t2)=1，则x2y2−s2t2的值为（ ）
A．-1B．1C．0D．0.5
【题型8 已知方程根的情况判断另一个方程】
【例8】（2023春·浙江·八年级期中）若关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0 (a≠0)的一个根为m，则方程a（x−1）2+2a（x−1）+c=0的两根分别是（ ）．
A．m+1，−m−1 B．m+1，−m+1
C．m+1，m+2 D．m−1 ，−m+1
【变式8-1】（2023春·江西萍乡·八年级统考期中）有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a−c≠0，以下四个结论中，错误的是（ ）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C．如果5是方程M的一个根，那么15是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1
【变式8-2】（2023春·安徽合肥·八年级校考期末）关于x的一元二次方程x2+px+q=0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p=0也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（ ）
A．p是正数，q是负数B．(p−2)2+(q−2)2＜8
C．q是正数，p是负数D．(p−2)2+(q−2)2>8
【变式8-3】（2023春·八年级单元测试）一元二次方程M:ax2+bx+c=0；N:cx2+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c，给出以下四个结论：①若方程M有两个不相等的实数根，则方程N也有两个不相等的实数根；②若方程M的两根符号相同，则方程N的两根符号也相同；③若m是方程M的一个根，则1m是方程N的一个根；④若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根必是x=1，其中正确的结论是（ ）
A．①③B．①②③C．①②④D．①③④
【题型9 根与系数关系中的新定义问题】
【例9】（2023春·山东日照·八年级日照市田家炳实验中学校考阶段练习）定义：如果实数a、b、c满足 a²+b²=c²， 那么我们称一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0)为“勾股”方程；二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)为“勾股”函数．
(1)理解：下列方程是“勾股”方程的有 ．
①x²-1=0；②x2−x+2=0；③13x2+14x+15=0；④4x²+3x=5
(2)探究：若m、n是“勾股”方程 ax²+bx+c=0 的两个实数根，试探究m、n之间的数量关系．
【变式9-1】（2023春·河南安阳·八年级校联考期中）定义运算：a∗b=a1−b．若a，b是方程x2−x+m=0m<0的两根，则b∗b−a∗a的值为（ ）
A．0B．1C．2D．与m有关
【变式9-2】（2023春·广东揭阳·八年级校联考阶段练习）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知x2+mx+n=0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求m2+n2的值．
【变式9-3】（2023春·辽宁鞍山·八年级校考阶段练习）已知：α、β(α>β)是一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根，设S1=α+β，S2=α2+β2，……Sn=αn+βn．
根据根的定义，有α2−α−1=0、β2−β−1=0，将两式相加，得(α2+β2)−(α+β)−2=0，于是S2−S1−2=0
根据以上信息，解答下列问题．
(1)求α、β的值，并利用一元二次方程根与系数关系，求出S2的值．
(2)猜想：当n⩾3时，Sn、Sn−1、Sn−2之间满足的数量关系，并证明你的猜想．
【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】
【例10】（2023春·广东广州·八年级广州白云广雅实验学校校考阶段练习）已知关于x的方程x2−k+1x+14k2+1=0有两实数根x1，x2，
(1)若x1x2=5，求k的值．
(2)是否存在实数k满足x1=x2，若存在请求出k的值，若不存在请说明理由．
【变式10-1】（2023春·黑龙江大庆·八年级统考阶段练习）已知关于x的方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围．
(2)若两个实数根分别是x1，x2，且(x1x2−1)2+2(x1+x2)=0，求m的值．
【变式10-2】（2023·安徽·模拟预测）关于x的一元二次方程x2−(k−1)x−k+2=0有两个实数根x1，x2，若(x1−x2+2)(x1−x2−2)+2x1x2=−3，则k= ．
【变式10-3】（2023·浙江·八年级假期作业）已知，关于x的方程x2−k+1x+14k2+1=0有两个实数根．
(1)求k的取值范围．
(2)若方程的两实根为x1，x2且满足x1+x2=4x1x2−5，求k的值．
(3)当k为何值时，式子x1+1x2+1+2有最小值，并求出该最小值．