初中数学苏科版八年级下册12.1 二次根式练习题

这是一份初中数学苏科版八年级下册12.1 二次根式练习题，文件包含专题127二次根式材料阅读题大题提升训练重难点培优30题-拔尖特训2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题原卷版苏科版docx、专题127二次根式材料阅读题大题提升训练重难点培优30题-拔尖特训2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题解析版苏科版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共30小题）
1．（2022春•江都区期末）请阅读下列材料：
问题：已知x=5+2，求代数式x2﹣4x﹣7的值．
小明的做法是：根据x=5+2得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体代入，得：x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
仿照上述方法解决问题：
（1）已知x=10−3，求代数式x2+6x﹣8的值；
（2）已知x=5−12，求代数式x3+2x2的值．
【分析】（1）根据x=10−3求出x+3=10，两边平方后求出x2+6x+9＝10，求出x2+6x＝1，再代入求出答案即可；
（2）根据x=5−12求出2x+1=5，两边平方求出4x2+4x+1＝5，求出x2+x＝1，再变形后代入，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x=10−3，
∴x+3=10，
两边平方得：（x+3）2＝10，
即x2+6x+9＝10，
∴x2+6x＝1，
∴x2+6x﹣8＝1﹣8＝﹣7；
（2）∵x=5−12，
∴2x=5−1，
∴2x+1=5，
两边平方，得（2x+1）2＝5，
即4x2+4x+1＝5，
∴4x2+4x＝4，
即x2+x＝1，
∴x3+2x2
＝x3+x2+x2
＝x（x2+x）+x2
＝x×1+x2
＝x+x2
＝1．
2．（2021春•泗阳县期末）在解决问题“已知a=12+3，求2a2﹣8a+1的值时，小明是这样分析与解答的：
∵a=12+3=2−(2+3)(2−3)=2−3，
∴a﹣2=−3，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解答下列问题：
（1）化简：23−1；
（2）化简：13+1+15+3+17+5+⋯+12021+2019；
（3）若a=12−1，求：
①12a2﹣a﹣1的值；
②2a2﹣5a2+1的值．
【分析】（1）（2）将原式分母有理化后，得到规律，利用规律求解；
（3）将a分母有理化得a=2+1，移项并平方得到a2﹣2a＝1，变形后代入求值．
【解答】解：（1）23−1=2(3+1)(3+1)(3−1)=3+1；
（2）原式=12（3−1+5−3+7−5+⋯+2021−2019）
=12（2021−1），
=2021−12；
（3）∵a=12−1=2+1(2−1)(2+1)=2+1，
∴a﹣1=2，
∴a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
①12a2−a−1
=12（a2﹣2a）﹣1
=12×1−1
=−12；
②2a2﹣5a2+1
＝﹣3a2+1
＝﹣3(2+1)2+1
＝﹣3（2+22+1）+1
＝﹣9﹣62+1
＝﹣8−62．
3．（2012春•丹阳市校级月考）观察下面的式子：
S1＝1+112+122，S2＝1+122+132，S3＝1+132+142⋯Sn＝1+1n2+1(n+1)2
（1）计算：S1= 32 ，S3= 1312 ；猜想Sn= n(n+1)+1n(n+1) （用n的代数式表示）；
（2）计算：S=S1+S2+S3+⋯+Sn（用n的代数式表示）．
【分析】（1）分别求出S1，S2，…的值，再求出其算术平方根即可；
（2）根据（1）的结果进行拆项得出1+12+1+16+1+112+⋯+1+1n(n+1)，再转换成n+（1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1）
即可求出答案．
【解答】（1）解：∵S1＝1+112+122=94，
∴S1=94=32；
∵S2＝1+122+132=4936，
∴S2=76；
∵S3＝1+132+142=169144，
∴S3=1312；
∵Sn＝1+1n2+1(n+1)2=[n2+n+1]2n2(n+1)2，
∴Sn=n2+n+1n(n+1)=n(n+1)+1n(n+1)，
故答案为：32，1312，n(n+1)+1n(n+1)；
（2）解：S=32+76+1312+⋯+n(n+1)+1n(n+1)
＝1+12+1+16+1+112+⋯+1+1n(n+1)
＝n+（1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1）
＝n+1−1n+1，
=n2+2nn+1．
4．（2019春•沭阳县期末）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+22=(1+2)2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b2=(m+n2)2（其中a、b、m、n均为整数），则有：a+b2=m2+2n2+2mn2，∴a＝m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到了一种把类似a+b2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b3=(m+n3)2，用含m、n的式子分别表示a、b得：a＝ m2+3n2 ，b＝ 2mn ；
（2）利用所探索的结论，用完全平方式表示出：7+43= （2+3）2 ．
（3）请化简：12−63
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+n3）2＝m2+3n2+23mn，从而可用m、n表示a、b；
（2）直接利用完全平方公式，变形得出答案；
（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．
【解答】解：（1）（m+n3）2＝m2+3n2+23mn，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn．
故答案为m2+3n2，2mn；
（2）7+43=（2+3）2；
故答案为：（2+3）2；
（3）∵12﹣63=（3−3）2，
∴12−63=(3−3)2=3−3．
5．（2018秋•吴江区期中）阅读材料：
黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．
在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：(2+3)(2−3)=1，(5+2)(5−2)=3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：13=1×33×3=33，2+32−3=(2+3)(2+3)(2+3)(2−3)=7+43．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
（1）4−7的有理化因式可以是 4+7或﹣4−7 ，323分母有理化得 32 ．
（2）计算：
①已知x=3+13−1，y=3−13+1，求x2+y2的值；
②11+2+12+3+13+4+⋯+11999+2000．
【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；
（2）①将x与y分母有理化后代入原式计算即可得到结果．
②原式各项分母有理化，合并即可得到结果．
【解答】解：（1）4−7的有理化因式可以是4+7或﹣4−7，
323=3×323=32，
故答案为：4+7或﹣4−7，32；
（2）①当x=3+13−1=(3+1)(3+1)(3−1)(3+1)=4+232=2+3，
y=3−13+1=(3−1)(3−1)(3+1)(3−1)=4−232=2−3时，
x2+y2＝（x+y）2﹣2xy
＝（2+3+2−3）2﹣2×（2+3）×（2−3）
＝16﹣2×1
＝14．
②原式=2−1+3−2+4−3+⋯+2000−1999
=2000−1
＝205−1．
6．（2022春•亭湖区校级月考）某同学在解答题目：“化简并求值1a+1a2+a2−2，其中a=15，”时：解答过程是：1a+1a2+a2−2=1a+(a−1a)2=1a+a−1a=15；
（1）请判断他的解答是否正确；如果不正确，请写出正确的解答过程．
（2）设S=1+112+122+1+122+132+1+132+142+⋯+1+1n2+1(n+1)2（n为正整数），
考察所求式子的结构特征：
①先化简通项公式1+1n2+1(n+1)2；
②求出与S最接近的整数是多少？
【分析】（1）根据分是有意义的条件，得a−1a的值分为两种情况≥0或≤0，由a=15，则确定一种情况，再化简求值即可；
（2）上式找出规律，得出通项公式 1+1n2+1(n+1)2再进行化简，得结果为1+1n(n+1)，将自然数n代入求出结果，再判断与S最接近的整数．
【解答】解：（1）他的解答不正确，
正确过程如下：
原式=1a+(a−1a)2=1a+|a−1a|，
当a=15时，原式=1a−a+1a=10−15=945；
（2）∵n为任意的正整数，
∴1+1n2+1(n+1)2
=n2⋅(n+1)2+n2+(n+1)2[n(n+1)]2
=[n(n+1)]2+2n(n+1)+1[n(n+1)]2
=(n2+n+1)2[n(n+1)]2
=n2+n+1n(n+1)
＝1+1n(n+1)，
∴S＝（1+11×2）+（1+12×3）+（1+13×4）…（1+1n(n+1)）
＝n+1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1
＝n+1−1n+1，
当n＝1时，S最接近的数是1或2；
当n＞1时，S最接近的整数是n+1．
7．（2017春•江都区期末）阅读题：a•b=ab（a≥0，b≥0）逆写为ab=a•b（a≥0，b≥0）；ab=ab（a≥0，b＞0）逆写为ab=ab（a≥0，b＞0）；（a）2＝a（a≥0）逆写为 a＝（a）2（a≥0） ．
应用知识：
（1）在实数范围内分解因式：x2﹣23x+3＝ （x−3）2 ；
（2）化简：x−yx+y= x−y ；
（3）求值：已知a+b+c﹣6a−2−10b+1−2c−3=−31，求a+b+c的值．
【分析】（1）根据完全平方公式进行因式分解即可；
（2）根据平方差公式进行因式分解即可；
（3）先根据完全平方公式配方，再得出a，b，c的值，计算a+b+c的值即可．
【解答】解：（a）2＝a（a≥0）逆写为a＝（a）2（a≥0），
故答案为：a＝（a）2（a≥0）；
（1）原式＝（x−3）2，
故答案为：（x−3）2；
（2）原式=(x+y)(x−y)x+y=x−y；
故答案为：x−y；
（3）原式变形为（a−2−3）2+（b+1−5）2+（c−3−1）2＝0，
∴a−2−3＝0，b+1−5＝0，c−3−1＝0，
∴a＝11，b＝24，c＝4，
∴a+b+c＝11+24+4＝39．
8．（2022春•江宁区期末）材料阅读：古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》中提出：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么三角形的面积为S=p(p−a)(p−b)(p−c)，这一公式称为海伦公式．
我国南宋时期数学家秦九韶在《数书九章》中提出利用三角形三边a，b，c，求三角形面积的公式S=14[a2b2−(a2+b2−c22)2]，被称之为秦九韶公式．
（1）海伦公式与秦九韶公式本质上是同一个公式．你同意这种说法吗？请利用以下数据验证两公式的一致性．
如图①，在△ABC中，BC＝a＝7，AC＝b＝5，AB＝c＝6，求△ABC的面积．
（2）在（1）的基础上，作∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O．过点O作OD⊥AB，OD的长为 236 ．
【分析】（1）分别代入公式求解，答案一样就是一致的．
（2）利用公式求解．
【解答】解：（1）我同意这种说法．
验证：利用海伦公式：P＝0.5（5+6+7）＝9．
△ABC的面积的面积为：9×(9−5)×(9−6)×(9−7)=66；
利用秦九韶公式：
△ABC的面积的面积为0.25[49×25−0.25(49+25−36)2]=66．
∵66=66，
海伦公式与秦九韶公式本质上是同一个公式．
（2）∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，
∴O为△ABC的内心，且O到三角形的三条边的距离相等，距离为OD的长，设为x，
∴△ABC的面积等于：0.5×（5+6+7）x＝66，
解得：x=236．
所以OD的长为：236．
故填：236．
9．（2018春•兴化市期中）数学阅读：
古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，则这个三角形的面积为S=p(p−a)(p−b)(p−c)，其中p=12（a+b+c）．这个公式称为“海伦公式”．
数学应用：
如图1，在△ABC中，已知AB＝9，AC＝8，BC＝7．
（1）请运用海伦公式求△ABC的面积；
（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高h2，求h1+h2的值；
（3）如图2，AD、BE为△ABC的两条角平分线，它们的交点为I，求△ABI的面积．
【分析】（1）把a、b、c的长代入求出p，再代入S计算即可得解；
（2）根据三角形面积公式列式，可得h1和h2，相加可得结论；
（3）作高线IF、IH、IG，根据角平分线定理可得：IF＝IH＝IG，并根据三角形面积计算IF的长，根据三角形面积公式可得结论．
【解答】解：（1）∵AB＝9，AC＝8，BC＝7，
∴p=12（a+b+c）=12（9+8+7）＝12，
∴S=p(p−a)(p−b)(p−c)=12(12−9)(12−8)(12−7)=125；
答：△ABC面积是125；
（2）∵S△ABC=12AC•h2=12AB•h1＝125，
∴h2=2458=35，h1=2459=853，
∴h1+h2＝35+853=1753；
（3）如图，过点I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，垂足分别为点F、G、H，
∵AD、BE分别为△ABC的角平分线，
∴IF＝IH＝IG，
∵S△ABC＝S△ABI+S△ACI+S△BCI，
∴12（9•IF+8•IF+7•IF）＝125，解得IF=5，
故S△ABI=12AB•FI=12×9×5=952．
10．（2021秋•昆明期末）小明在解方程24−x−8−x=2时采用了下面的方法：由
（24−x−8−x）（24−x+8−x）＝（24−x）2﹣（8−x）2＝（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16，
又有24−x−8−x=2，可得24−x+8−x=8，将这两式相加可得24−x=58−x=3，将24−x=5两边平方可解得x＝﹣1，经检验x＝﹣1是原方程的解．
请你学习小明的方法，解下面的方程：
（1）方程x2+42+x2+10=16的解是 x＝±39 ；
（2）解方程4x2+6x−5+4x2−2x−5=4x．
【分析】（1）首先把根式x2+42+x2+10有理化，然后分别求出根式x2+42+x2+10和它的有理化因式的值是多少；再根据求出的根式x2+42+x2+10和它的有理化因式的值，求出方程x2+42+x2+10=16的解是多少即可；
（2）首先把根式4x2+6x−5+4x2−2x−5有理化，然后分别求出根式4x2+6x−5+4x2−2x−5和它的有理化因式的值是多少；再根据求出的根式4x2+6x−5+4x2−2x−5和它的有理化因式的值，求出方程4x2+6x−5+4x2−2x−5=4x的解是多少即可．
【解答】解：（1）（x2+42+x2+10）（x2+42−x2+10）
=(x2+42)2−(x2+10)2
＝（x2+42）﹣（x2+10）
＝32
∵x2+42+x2+10=16，
∴x2+42−x2+10=32÷16＝2，
∴x2+42=9x2+10=7
∵(x2+42)2=x2+42=92＝81，
∴x＝±39，
经检验x＝±39都是原方程的解，
∴方程x2+42+x2+10=16的解是：x＝±39；
故答案为：x＝±39．
（2）（4x2+6x−5+4x2−2x−5）（4x2+6x−5−4x2−2x−5）
=(4x2+6x−5)2−(4x2−2x−5)2
＝（4x2+6x﹣5）﹣（4x2﹣2x﹣5）
＝8x
∵4x2+6x−5+4x2−2x−5=4x，
∴4x2+6x−5−4x2−2x−5=8x÷4x＝2，
∴4x2+6x−5=2x+14x2−2x−5=2x−1，
∵(4x2+6x−5)2=(2x+1)2，
∴4x2+6x﹣5＝4x2+4x+1，
∴2x＝6，
解得x＝3，
经检验x＝3是原方程的解，
∴方程4x2+6x−5+4x2−2x−5=4x的解是：x＝3．
11．（2020春•玄武区期中）数学阅读：
古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，则这个三角形的面积为S=p(p−a)(p−b)(p−c)，其中p=12（a+b+c），这个公式称为“海伦公式”．
数学应用：
如图，在△ABC中，已知AB＝9，AC＝8，BC＝7．
（1）请运用海伦公式求△ABC的面积；
（2）设AC边上的高为h1，BC边上的高h2，求h1+h2的值．
【分析】（1）根据海伦公式，代入解答即可；
（2）根据三角形面积公式解答即可．
【解答】解：（1）AB＝c＝9，AC＝b＝8，BC＝a＝7，p=12(a+b+c)=12，
∴S=p(p−a)(p−b)(p−c)=12(12−7)(12−8)(12−9)=125；
（2）∵S△ABC=12AC⋅ℎ1=12BC⋅ℎ2=125，
∴ℎ1=2458=35，ℎ2=2457，
∴ℎ1+ℎ2=35+2457=4557．
12．（2016春•泰州校级期末）（1）阅读：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p=12(a+b+c)，则这个三角形的面积为s=p(p−a)(p−b)(p−c)．
（2）应用：如图1，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC＝4，求△ABC面积．
（3）引申：如图2，在（2）的条件下，AD、BE分别为△ABC的角平分线，它们的交点为I，求：I到AB的距离．
【分析】（2）先根据三边长度求出p的值，再代入公式计算可得；
（3）过点I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，由角平分线性质可得IF＝IH＝IG，再根据S△ABC＝S△ABI+S△ACI+S△BCI即可求得IF的长．
【解答】解：（1）如图：
在△ABC中，过A作高AD交BC于D，
设BD＝x，那么DC＝a﹣x，
由于AD是△ABD、△ACD的公共边h2＝c2﹣x2＝b2﹣（a﹣x）2，
解出x得x=c2−b2+a22a，
于是h=c2−(c2−b2+a22a)2，
△ABC的面积S=12ah=12ac2−(c2−b2+a22a)2
即S=12c2a2−(c2+a2−b22)2，
令p=12（a+b+c），
对被开方数分解因式，并整理得到s=p(p−a)(p−b)(p−c)；
（2）由题意，得：a＝4，b＝5，c＝6；
∴p=a+b+c2=152；
∴S=152×(152−4)×(152−5)×(152−6)=152×72×52×32=1574，
故△ABC的面积是1574；
（3）如图，过点I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，垂足分别为点F、G、H，
∵AD、BE分别为△ABC的角平分线，
∴IF＝IH＝IG，
∵S△ABC＝S△ABI+S△ACI+S△BCI，
即1574=12×6•IF+12×5•IG+12×4•IH，
∴3•IF+52•IF+2•IF=1574，
解得IF=72，
故I到AB的距离为72．
13．（2019秋•鹿城区校级期中）我们规定，对数轴上的任意点P进行如下操作：先将点P表示的数乘以﹣1，再把所得数对应的点向右平移2个单位，得到点P的对应点P′．现对数轴上的点A，B进行以上操作，分别得到点A′，B′．
（1）若点A对应的数是﹣2，则点A′对应的数x＝ 4 ．
若点B'对应的数是3+2，则点B对应的数y＝ −3 ．
（2）在（1）的条件下，求代数式1x−(y+12)的值．
【分析】（1）由已知可得：（﹣2）×（﹣1）+2＝4，可得A′为4．设B为m，则﹣m+2＝2+3，解得m=−3，
（2）将x＝4，y=−3代入所求式子化简即可．
【解答】解：（1）由已知可得：x＝（﹣2）×（﹣1）+2＝4，
∴A'对应的数4；
由题意﹣y+2＝2+3，
解得y=−3，
∴B对应的数−3；
（2）当x＝4，y=−3时，1x−(y+12)=14−（−3+12）=12+3−12=3．
14．（2022春•武江区校级期末）请阅读下列材料：
问题：已知x=5+2，求代数式x2﹣4x﹣7的值．小敏的做法是：根据x=5+2得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，得：
x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体代入：得x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：
（1）已知x=5−2，求代数式x2+4x﹣10的值；
（2）已知x=5−12，求代数式x3+x2+1的值．
【分析】（1）根据完全平方公式求出x2+4x＝1，代入计算即可；
（2）根据二次根式的乘法法则、完全平方公式计算，答案．
【解答】解：（1）∵x=5−2，
∴（x+2）2＝5，
∴x2+4x+4＝5，
∴x2+4x＝1，
∴x2+4x﹣10＝1﹣10＝﹣9；
（2）∵x=5−12，
∴x2＝（5−12）2=3−52，
则x3＝x•x2=5−12×3−52=5−2，
∴x3+x2+1=5−2+3−52+1=5+12．
15．（2022秋•长安区期中）求代数式a+a2−2a+1的值，其中a＝﹣2022．下面是小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题．
小芳：
解：原式＝a+(a−1)2=a+1﹣a＝1
小亮：
解：原式＝a+(a−1)2=a+a﹣1＝﹣4045
（1） 小亮 的解法是错误的；
（2）求代数式a+2a2−6a+9的值，其中a＝4−5．
【分析】（1）根据题意得到a﹣1＜0，根据二次根式的性质计算即可；
（2）根据二次根式的性质把原式化简，代入计算即可．
【解答】解：（1）∵a＝﹣2022，
∴a﹣1＝﹣2022﹣1＝﹣2023＜0，
∴(a−1)2=1﹣a，
∴小亮的解法是错误的，
故答案为：小亮；
（2）∵a＝4−5，
∴a﹣3＝4−5−3＝1−5＜0，
∴(a−3)2=3﹣a，
则a+2a2−6a+9
＝a+2(a−3)2
＝a+2（3﹣a）
＝6﹣a，
当a＝4−5时，原式＝6﹣（4−5）＝2+5．
16．（2022秋•高明区月考）阅读下列解题过程：
12+1=2−1(2+1)(2−1)=2−1
13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2
14+3=4−3(4+3)(4−3)=4−3
……
请你参考上面的化简方法，解决如下问题：
（1）计算：110+9；
（2）计算：（12+1+13+2+14+3+⋯12022+2021）•（2022+1）；
（3）若a=12−5，求2a2+8a+1的值．
【分析】（1）先分子和分母都乘以10−9，再求出答案即可；
（2）根据已知算式得出规律，得出原式＝（2−1+3−2+4−3+⋯+2022−2021）×（2022+1），再求出答案即可；
（3）求出a，再根据完全平方公式得出2a2+8a+1＝2（a+2）2﹣7，再代入求出答案即可．
【解答】解：（1）110+9
=10−9(10+9)×(1−9)
=10−9
=10−3；
（2）（12+1+13+2+14+3+⋯12022+2021）•（2022+1）
＝（2−1+3−2+4−3+⋯+2022−2021）×（2022+1）
＝（2022−1）×（2022+1）
＝（2022）2﹣12
＝2022﹣1
＝2021；
（3）∵a=12−5=2+5(2−5)×(2+5)=2+5−1=−2−5，
∴2a2+8a+1
＝2（a2+4a+4﹣4）+1
＝2（a+2）2﹣8+1
＝2×（﹣2−5+2）2﹣7
＝2×（−5）2﹣7
＝2×5﹣7
＝10﹣7
＝3．
17．（2019春•高新区期末）阅读材料：像（(5+2)、(5−2)=3、a⋅a=a（a≥0）、(b+1)(b−1)=b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如3与3，2+1与2−1，23+35与23−35等都是互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号
例如：123=323×3=36；2+12−1=(2+1)2(2−1)(2+1)=3+22
解答下列问题
（1）3−7与 3+7 互为有理化因式，将232分母有理化得 23 ；
（2）计算2−13−63；
（3）观察下面的变形规律并解决问题
①12+1=2−1，13+2=3−2，14+3=4−3，15+4=5−4⋯若n为正整数，请你猜想1n+1+n= n+1−n ；
②计算：（12+1+13+2+14+3+⋯+12019+2018）×(2019+1)
【分析】（1）根据互为有理化因式的定义和化简有理化因式的方法可解；
（2）先把其中的二次根式中的分母有理化，再合并同类二次根式即可；
（3）①利用分母有理化化简即可；
②由①的结论化简第一个括号内的式子，然后利用平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）根据互为有理化因式的定义可知，3−7与3+7 互为有理化因式；
232=2232×2=23
故答案为：3+7；23．
（2）2−13−63
＝2−33×3−633×3
＝2−33−23
＝2−733
故答案为2−733．
（3）①1n+1+n=n+1−n(n+1+n)(n+1−n)=n+1−n
故答案为：n+1−n．
②（12+1+13+2+14+3+⋯+12019+2018）×(2019+1)
＝（2−1+3−2+4−3+⋯+2019−2018）×（2019+1）
＝（2019−1））×（2019+1）
＝2019﹣1
＝2018
故原式的值为2018．
18．（2021秋•洪江市期末）阅读并解答问题：
12+1=2−1(2+1)(2−1)=2−1；
13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2；
12+3=2−3(2+3)(2−3)=2−3；
……
上面的计算过程叫做“分母有理化”，仿照上述计算过程，解答下列问题：
（1）将15+2的分母有理化；
（2）已知a=17+6，b=17−6，求a+b的值；
（3）计算12+1+13+2+⋯+199+98+1100+99．
【分析】（1）利用平方差公式进行二次根式分母有理化计算；
（2）先利用平方差公式进行分母有理化计算，从而化简a和b的值，然后代入求值；
（3）利用平方差公式进行分母有理化计算，然后通过观察数字变化的规律进行分析计算．
【解答】解：（1）原式=5−2(5+2)(5−2)
=5−2；
（2）a=7−6(7+6)(7−6)=7−6，
b=7+6(7+6)(7−6)=7+6，
∴a+b=7−6+7+6=27；
（3）原式=2−1(2+1)(2−1)+3−2(3+2)(3−2)+...+99−98(99+98)(99−98)+100−99(100+99)(100−99)
=2−1+3−2+...+99−98+100−99
=100−1
＝10﹣1
＝9．
19．（2021春•石城县期末）在二次根式中如：(2+3)(2−3)=1，(5+2)(5−2)=3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：13=1×33×3=33，2+32−3=(2+3)(2+3)(2+3)(2−3)=7+43．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
（1）4−7的有理化因式可以是 4+7 ，323分母有理化得 32 ．
（2）计算：
①已知x=3+13−1，y=3−13+1，求x2+y2的值；
②11+2+12+3+13+4+⋯+12020+2021．
【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；
（2）①将x与y分母有理化后代入原式计算即可得到结果．
②原式各项分母有理化，合并即可得到结果．
【解答】解：（1）4−7的有理化因式可以是4+7，
323=3×323=32．
故答案为：4+7，32；
（2）①当x=3+13−1=(3+1)(3+1)(3−1)(3+1)=4+232=2+3，
y=3−13+1=(3−1)(3−1)(3+1)(3−1)=4−232=2−3时，
x2+y2
＝（x+y）2﹣2xy
＝（2+3+2−3）2﹣2×（2+3）×（2−3）
＝16﹣2×1
＝14．
②原式=2−1+3−2+4−3+⋯+2021−2020=2021−1．
20．（2022秋•驻马店期中）阅读材料：（一）如果我们能找到两个正整数x，y使x+y＝a且xy＝b，这样a+2b=(x)2+(y)2+2x⋅y=(x+y)2=x+y，那么我们就称a+2b为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．
例如：3+22=(1)2+(2)2+21⋅2=(1+2)2=1+2．
（二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如23+1样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：23+1=2×(3−1)(3+1)(3−1)=2×(3−1)(3)2−12=3−1．那么我们称这个过程为分式的分母有理化．根据阅读材料解决下列问题：
（1）化简“和谐二次根式”：①11+228= 7+2 ；②7−43= 2−3 ．
（2）已知m=15+26，n=15−26，求m−nm+n的值．
【分析】（1）根据阅读材料（一）化简“和谐二次根式”即可；
（2）先根据阅读材料（一）化简m与n的分母，再根据阅读材料（二）进行分母有理化即可．
【解答】（1）解：①11+228=(7)2+(4)2+27⋅4=(7+4)2=7+2；
②7−43=7−212=(4)2+(3)2−24⋅3=(4−3)2=2−3．
故答案为：7+2；2−3；
（2）解：∵m=15+26=13+2=3−2，n=15−26=13−2=3+2，
∴m﹣n=3−2−（3+2）＝﹣22，
m+n=3−2+（3+2）＝23，
∴m−nm+n=−2223=−63；
21．（2022秋•昌平区期中）我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似ba的形式，我们把形如ba的式子称为根分式，例如32，x−1x都是根分式．
（1）下列式子中①aa2+1，②3x+1，③a2+32， ③ 是根分式（填写序号即可）；
（2）写出根分式x−1x−2中x的取值范围 x≥1且x≠2 ；
（3）已知两个根分式M=x2−6x+7x−2，N=2x−1x−2．
①若M2﹣N2＝1，求x的值；
②若M2+N2是一个整数，且x为整数，请直接写出x的值： 1 ．
【分析】（1）根据根分式的定义进行判断即可；
（2）根据二次根式的定义，分式有意义的条件进行分析即可；
（3）①对式子进行化简，再进行求解即可；
②对式子进行化简，结合分式有意义的条件及二次根式的定义进行求解即可．
【解答】解：（1）①aa2+1不是根分式，
②3x+1不是根分式，
③a2+32是根分式，
故答案为：③；
（2）由题意得：x﹣1≥0，x﹣2≠0，
解得：x≥1，x≠2，
故x的取值范围是：x≥1且x≠2；
故答案为：x≥1且x≠2；
（3）当M=x2−6x+7x−2，N=2x−1x−2时，
①M2﹣N2＝1，
（x2−6x+7x−2）2﹣（2x−1x−2）2＝1，
x2−6x+7(x−2)2−2x−1(x−2)2=1，
x2−8x+8(x−2)2=1，
解得：x＝1，
经检验，x＝1是原方程的解；
②M2+N2
＝（x2−6x+7x−2）2+（2x−1x−2）2
=x2−6x+7(x−2)2+2x−1(x−2)2
=x2−4x+6(x−2)2
=(x−2)2+2(x−2)2
＝1+2(x−2)2，
∵M2+N2是一个整数，且x为整数，
∴2(x−2)2是一个整数，
∴x﹣2＝±1，
解得：x＝3或1，
经检验，x＝1符合题意，
故答案为：1．
22．（2022秋•隆昌市校级月考）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题：
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如23+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：23+1=2(3−1)(3+1)(3−1)=2(3−1)(3)2−1=2(3−1)2=3−1，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知a+b＝2，ab＝﹣3，求a2+b2.我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令x＝a+b，y＝ab，则a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝x2﹣2y＝4+6＝10．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
（1）计算：13+1+15+3+17+5+⋯+12023+2021；
（2）m是正整数，a=m+1−mm+1+m，b=m+1+mm+1−m且2a2+1823ab+2b2＝2019，求m；
（3）已知15+x2−26−x2=1，求15+x2+26−x2的值．
【分析】（1）先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答；
（2）先利用分母有理化化简a，b，从而求出a+b＝4m+2，ab＝1，然后根据已知可得a2+b2＝98，再利用完全平方公式进行计算即可解答；
（3）利用完全平方公式，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）13+1+15+3+17+5+⋯+12023+2021
=3−1(3+1)(3−1)+5−3(5+3)(5−3)+7−5(7+5)(7−5)+−2021(2023+2021)(2023−2021)
=3−12+5−32+7−52+...+2023−20212
=12×（3−1+5−3+7−5+...+2023−2021）
=2023−12；
（2）∵a=m+1−mm+1+m，b=m+1+mm+1−m，
∴a=(m+1−m)2(m+1+m)(m+1−m)=（m+1−m）2，
b=(m+1+m)2(m+1−m)(m+1+m)=（m+1+m）2，
∴a+b＝（m+1−m）2+（m+1+m）2＝2（2m+1）＝4m+2，
ab＝（m+1−m）2（m+1+m）2＝[（m+1−m）（m+1+m）]2＝（m+1﹣m）2＝1，
∵2a2+1823ab+2b2＝2019，
∴2a2+1823+2b2＝2019，
∴2a2+2b2＝196，
∴a2+b2＝98，
∴（a+b）2﹣2ab＝98，
∴（4m+2）2﹣2＝98，
∴（4m+2）2＝100，
∴4m+2＝±10，
∴4m+2＝10或4m+2＝﹣10，
∴m1＝2，m2＝﹣3（不合题意，舍去），
∴m的值为2；
（3）∵15+x2−26−x2=1，
∴（15+x2−26−x2）2＝1，
∴15+x2﹣215+x226−x2+26﹣x2＝1，
∴15+x226−x2=20，
∴（15+x2+26−x2）2
＝（15+x2−26−x2）2+415+x226−x2
＝12+4×20
＝1+80
＝81，
∵15+x2≥0，26−x2≥0，
∴15+x2+26−x2=9．
23．（2022秋•新城区校级月考）爱动脑筋的小明在做二次根式的化简时，发现一些二次根式的被开方数是二次三项式，而且这些二次三项式正好是完全平方式的结构，于是就可以利用二次根式的性质：a2=|a|=a(a≥0)，−a(a＜0)来进一步化简．
比如：x2+2x+1=(x+1)2=|x+1|，∴当x+1≥0即x≥﹣1时，原式＝x+1；当x+1＜0即x＜﹣1时，原式＝﹣x﹣1．
（1）仿照上面的例子，请你尝试化简m2−m+14．
（2）判断甲、乙两人在解决问题：“若a＝9，求a+1−2a+a2的值”时谁的答案正确，并说明理由．
甲的答案：原式=a+(1−a)2=a+(1−a)=1；
乙的答案：原式=a+(1−a)2=a+(a−1)=2a−1=2×9−1=17．
（3）化简并求值：|x−1|+4−4x+x2，其中x=5．
【分析】（1）仿照上面的例子，分类讨论即可化简；
（2）根据a＝9，得1﹣a＜0，即可判断出答案；
（3）根据x=5，得x﹣1＞0，2﹣x＜0，即可化简求值．
【解答】解：（1）m2−m+14
=(m−12)2
＝|m−12|，
∴当m−12≥0即m≥12时，原式＝m−12，
当m−12＜0即m＜12时，原式＝﹣m+12．
（2）∵a＝9，
∴1﹣a＜0，
∴原式=a+(1−a)2=a+(a−1)=2a−1=2×9−1=17．
∴乙的答案正确．
（3）∵x=5，
∴x﹣1＞0，2﹣x＜0，
∴|x−1|+4−4x+x2
＝x﹣1+(2−x)2
＝x﹣1+x﹣2
＝2x﹣3
＝25−3．
24．（2022秋•高新区校级月考）阅读材料：
黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：（2+3）（2−3）＝1，（5+2）（5−2）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：13=1×33×3=33，2+32−3=(2+3)(2+3)(2−3)(2+3)=7+43．像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
（1）4−7的有理化因式可以是 4+7 ，232分母有理化得 23 ．
（2）计算：①11+2+12+3+13+4+⋯11999+2000．②已知：x=3−13+1，y=3+13−1，求x2+y2的值．
【分析】（1）根据有理化因式的定义确定4−7的有理化因式，把232分子分母都乘以2可分母有理化；
（2）①先分母有理化，然后合并即可；
②先利用分母有理化得到x＝2−3，y＝2+3，再计算出x+y＝4，xy＝1，然后利用完全平方公式得到x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，最后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1）4−7有理化因式可以是4+7，
232=2×232×2=23；
故答案为：4+7，23；
（2）①原式=2−1+3−2+4−3+•••+2000−1999
=2000−1
＝205−1；
②∵x=3−13+1=(3−1)2(3+1)(3−1)=2−3，y=3+13−1=(3+1)2(3−1)(3+1)=2+3，
∴x+y＝4，xy＝1，
x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝42﹣2×1＝14．
25．（2021秋•赫山区期末）“分母有理化”是我们常见的一种化简的方法．
如：2+12−1=(2+1)(2+1)(2−1)(2+1)=3+22．
除此之外，我们也可以平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．
如：化简2+3−2−3．
解：设x=2+3−2−3，易知2+3＞2−3，故x＞0．
由于x2＝（2+3−2−3）2＝2+3+2−3−2(2+3)(2−3)=2．
解得x=2，即2+3−2−3=2
根据以上方法，化简：3−223+22+3−5−3+5．
【分析】根据题目提供的方法先计算3−5−3+5．再计算3−223+22，进而进行计算即可．
【解答】解：设x=3−5−3+5，易知3−5＜3+5，故x＜0，
由于x2＝（3−5−3+5）2＝3−5+3+5−2(3−5)(3+5)=2，
所以x=−2，即3−5−3+5=−2，
所以原式=(3−22)(3−22)(3+22)(3−22)−2
＝17﹣122−2
＝17﹣132．
26．（2018秋•天河区校级期中）小马在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个含根号的式子的平方，如3+22=（1+2）2，善于思考的小明进行了如下探索：
设a+b2=（m+n2）2，（其中a、b、m、n均为正整数）则有a+b2=m2+2mn2+2n2．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样，小马找到了把部分a+b2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b3=（m+n3）2，用含m，n的式子分别表示a，b得，a＝ m2+3n2 ，b＝ 2mn ．
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： 13 + 4 3=（ 1 + 2 3）2．
（3）设x=3+2，试用含有x的代数式（各项系数均为有理数）来表示2．（要写出必要过程）
【分析】（1）已知等式右边利用完全平方公式展开，表示出a与b即可；
（2）令m＝1，n＝2，确定出a与b的值即可；
（3）先把已知条件变形得到x−2=3，再两边平方得到x2﹣22x+2＝3，然后用x表示2即可．
【解答】解：（1）∵（m+n3）2＝m2+2mn3+3n2，
而a+b3=（m+n3）2，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn；
故答案为m2+3n2，2mn；
（2）令m＝1，n＝2，则a＝m2+3n2＝1+3×4＝13，b＝2mn＝4，
∴13+43=（1+23）2；
故答案为13，4，1，2；
（3）∵x=3+2，
∴x−2=3，
∴（x−2）2＝3，
∴x2﹣22x+2＝3，
∴2=x2−12．
27．（2020春•安庆期中）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．
比如：7−6=(7−6)(7+6)7+6=17+6．
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较7−6和6−5的大小可以先将它们分子有理化如下：7−6=17+6，6−5=16+5．
因为7+6＞6+5，所以，7−6＜6−5．
再例如，求y=x+2−x−2的最大值、做法如下：
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=x+2−x−2=4x+2+x−2．
当x＝2时，分母x+2+x−2有最小值2．所以y的最大值是2．
利用上面的方法，完成下述两题：
（1）比较15−14和14−13的大小；
（2）求y=x+1−x−1+3的最大值．
【分析】（1）先将两数变形为115+14、114+13，再由15＞13知15+14＞14+13，从而得出答案；
（2）根据二次根式有意义的条件得出x≥1，据此知x+1+x−1有最小值2，从而得到y=x+1−x−1+3=2x+1+x−1+3的最大值．
【解答】解：（1）15−14=115+14，
14−13=114+13，
而15＞13，
∴15+14＞14+13，
∴15−14＜14−13；
（2）∵x+1≥0，x﹣1≥0，
∴x≥1，
∵y=x+1−x−1+3=2x+1+x−1+3，
当x＝1时，分母x+1+x−1有最小值2，
∴y=2x+1+x−1+3有最大值是2+3．
28．先阅读下面的材料．再解答下面的问题．
∵（a+b）（a−b）＝a﹣b，
∴a﹣b＝（a+b）（a−b）
特别地．（12+11）×（12−11）＝1，
∴112−11=12+11，
当然也可以利用12﹣11＝1得1＝12﹣11，
故112−11=(12)2−(11)212−11=12+11
这种变形也是将分母有理化．
利用上述的思路方法解答下列问题：
（1）计算：13−8−18−7+17−6−16−5+15+2；
（2）计算：54−11−411−7−23+7．
【分析】（1）先把每一部分分母有理化，化简后合并同类二次根式即可；
（2）先把每一部分分母有理化，化简后合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1）原式=3+8(3−8)(3+8)−8+7(8−7)(8+7)+7+6(7−6)(7+6)−6+5(6−5)(6+5)+5−2(5+2)(5−2)
＝3+8−（8+7）+7+6−（6+5）+5−2
＝3﹣2
＝1；
（2）原式=5×(4+11)(4−11)(4+11)−4×(11+7)(11−7)(11+7)−2×(3−7)(3+7)(3−7)
＝4+11−（11+7）﹣（3−7））
＝4+11−11−7−3+7
＝1．
29．（2020秋•吴江区期中）像2⋅2=2；(3+1)(3−1)=2；(5+2)(5−2)=3⋯两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号．
（1）123=323×3=36；
（2）2+12−1=(2+1)2(2−1)(2+1)=2+22+12−1=3+22．
勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．
（3）化简：3+5−3−5．
解：设x=3+5−3−5，易知3+5＞3−5，∴x＞0．
由：x2＝3+5+3−5−2(3+5)(3−5)=6−24=2．解得x=2．
即3+5−3−5=2．
请你解决下列问题：
（1）23−35的有理化因式是 23+35 ；
（2）化简：33+12−1+12+3；
（3）化简：6−33−6+33．
【分析】（1）找出原式的有理化因式即可；
（2）原式各式分母有理化，计算即可求出值；
（3）设x=6−33−6+33，判断出x小于0，将左右两边平方求出x的值即可．
【解答】解：（1）23−35的有理化因式是23+35；
故答案为：23+35；
（2）原式=3+2+1+2−3
=2+3；
（3）设x=6−33−6+33，可得6−33＜6+33，即x＜0，
由题意得：x2＝6﹣33+6+33−2(6−33)(6+33)=12﹣6＝6，
解得：x=−6，
则原式=−6．
30．（2019秋•郫都区期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=（1+2）2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+2b＝（m+2n）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+2b＝m2+2n2+22mn，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+2b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+6b＝（m+6n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ m2+6n2 ，b＝ 2mn ；
（2）若a+43=（m+3n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简：7−21+80．
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+6n）2＝m2+6n2+26mn，从而可用m、n表示a、b；
（2）直接利用完全平方公式，变形得出答案；
（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．
【解答】解：（1）∵（m+6n）2＝m2+6n2+26mn，a+6b＝（m+6n）2，
∴a＝m2+6n2，b＝2mn．
故答案为m2+6n2，2mn；
（2）∵（m+3n）2＝m2+3n2+23mn，a+43=（m+3n）2，
∴a＝m2+3n2，mn＝2，
∵m、n均为正整数，
∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，
∴a＝13或7；
（3）21+80=20+45+1=(25+1)2=25+1，
则7−21+80
=7−25−1
=6−25
=(5−1)2
=5−1．