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第1章 二次函数 基础常考60题（20个考点）专练-2023-2024学年九年级数学上册重难点高分突破（浙教版）
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基础常考题一、列二次函数关系式
1．（2023·上海·九年级假期作业）在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积，得出y与x的函数关系式即可．
【详解】解：设剩下部分的面积为y，则：
，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出是解题关键．
2．（2023春·河北保定·八年级统考期中）用长为的绳子围成一个长方形，设长方形的面积为y ，一边长为，用含有x的代数式表示y为 ，自变量x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先求出另一边长，再根据长方形的面积公式即可得出y与x的关系式．
【详解】解：①由题意可知，这个长方形的周长为
又因为一边长为，
所以另一边长为
又∵长方形面积长宽，
，
所以．
②∵，
∴
∴自变量x的取值范围是．
故答案为：①；②．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，准确分析列式是解题的关键．
3．（2023·浙江·九年级假期作业）某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多．
（1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？
（2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）长方体有6个面，然后根据长方形的面积公式即可得到，再去括号整理即可；
（2）把（1）中的除以5即可得到．
【详解】解：（1）
；
（2）．
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是读懂题意，根据实际问题确定二次函数关系式，建立二次函数的数学模型来解决问题．
基础常考题二、二次函数的识别
1．（2023·上海·九年级假期作业）下列函数中，二次函数是（ ）
A．y＝﹣3x+5B．y＝x（4x﹣3）
C．y＝2（x+4）2﹣2x2D．y＝
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．是二次函数，故本选项符合题意；
C．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D．不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握：形如、、为常数，的函数，叫二次函数．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）有下列函数：①；②；③；④．其中y是x的二次函数有 ．（填序号）
【答案】②③④
【分析】根据二次函数定义：形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数进行分析即可．
【详解】解：y是x的二次函数的是②；③；④．
故答案为：②③④．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
3．（2023·浙江·九年级假期作业）下列函数中，哪些是二次函数？
（1）y＝3x—1；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6）
【答案】（2）（4）是二次函数
【分析】根据二次函数的定义，即可求解．
【详解】解∶（1）不是二次函数，因为自变量的最高次数是1．
（2）是二次函数，因为符合二次函数的概念．
（3）不是二次函数，因为自变量的最高次数是3．
（4）是二次函数，因为符合二次函数的概念．
（5）不是二次函数，因为原式整理后为y=－x．
（6）不是二次函数，因为x－2为分式，不是整式．
故（2）（4）是二次函数．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如（其中a、b、c均为常数，且）的函数关系称为二次函数是解题的关键．
基础常考题三、根据二次函数的定义求参数
1．（2023·全国·九年级假期作业）已知是关于的二次函数，则的值为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的未知数最高次数是2，最高次项系数不为零列式计算即可；
【详解】∵是关于的二次函数，
∴，
解得：；
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确分析计算是解题的关键．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）若关于x的函数是二次函数，则a必须满足的条件是 ．
【答案】
【分析】根据二次函数的定义：形如，进行求解即可．
【详解】解：根据二次函数的定义，得：
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，是解题的关键．
3．（2023·浙江·九年级假期作业）若．
(1)m取什么值时，此函数是二次函数？
(2)m取什么值时，此函数是一次函数？
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据二次函数的定义得出，进而即可求解；
（2）根据一次函数的定义得出，进而即可求解．
【详解】（1）解：(1)当是二次函数时，
有，
解得，
∴当时，此函数是二次函数；
（2）当是一次函数时，
有，
解得或，
∴或时，此函数是一次函数．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的定义，解一元二次方程，熟练掌握二次函数与一次函数的定义是解题的关键．
基础常考题四、y=ax2的图象与性质
1．（2023·浙江·九年级假期作业）抛物线与直线，，，围成的正方形有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据图形，求出过、(2，1)两点的抛物线解析式可确定a的取值范围．
【详解】解：当时，抛物线与直线，，，围成的正方形没有公共点，
则，画出草图如图，
把代入得，
把点代入得，
则a的范围介于这两点之间，故，
故选：D．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的图象及性质，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．
2．（2023·全国·九年级假期作业）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】解：由当时，y随x的增大而减小，可知：，
∴；
故答案为．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．（2023·浙江·九年级假期作业）已知二次函数的图象经过点．求：
(1)该函数解析式及对称轴；
(2)试判断点是否在此函数的图象上．
【答案】(1)，对称轴为y轴
(2)点不在此函数的图象上
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再求出对称轴即可；
（2）求出当，y的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为，
∴二次函数对称轴为y轴；
（2）解：在中，当时，，
∴点不在此函数的图象上．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
基础常考题五、y=ax2+k的图象与性质
1．（2023·上海·九年级假期作业）抛物线，，共有的性质是（ ）
A．开口向上B．对称轴都是y轴C．都有最高点D．顶点相同
【答案】B
【分析】从所给抛物线的开口方向、对称轴、最高点或最低点、顶点坐标等方面考虑即可完成．
【详解】解：抛物线开口向上，对称轴是轴，有最低点，顶点坐标；抛物线，开口向下，对称轴是轴，有最高点，顶点坐标；抛物线开口向上，对称轴是轴，有最高点，顶点坐标．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质，掌握抛物线的图象与性质是解题的关键．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）已知点，是抛物线上的两点，若，则 （填“”“”或“”）．
【答案】＜
【分析】根据二次函数的图象与性质可进行求解．
【详解】解：由抛物线可知：，开口向下，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴当点，是抛物线上的两点，且，则；
故答案为＜．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
3．（2023·上海·九年级假期作业）已知函数是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
(2)函数图象的两点，，若满足，则此时m的值是多少？
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据二次函数的定义可得，，即可求解；
（2）点，，且，可得在对称轴右边，y随x的增大而减小，即可进行解答．
【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数，
∴，
解得：或．
（2）∵该函数的对称轴为y轴，点，，且，
∴在对称轴右边，y随x的增大而减小，
∴，解得
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象定义和性质，解题的关键是掌握二次函数的二次项系数不为0，次数最高为2；时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．
基础常考题六、y=a(x+h)2的图象与性质
1．（2023·浙江·九年级假期作业）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上B．对称轴是直线
C．当时，随的增大而减小D．顶点坐标为
【答案】D
【分析】根据二次函数解析式可得，该二次函数的图象开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，在对称轴的左侧，随的增大而增大，
【详解】对于二次函数，，则开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，
故A，B选项错误，D选项正确，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
∴当时，随的增大先增大后减小，故C选项错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）已知函数．当时，的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据二次函数的图象和性质，即可解答．
【详解】解：∵中，，
∴该二次函数图象的开口向上，当时，函数有最小值为，
当时，，
当时，，
当时，的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握和运用二次函数的图象和性质是解决本题的关键．
3．（2023·全国·九年级假期作业）写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)
(2)
(3)．
【答案】(1)开口向下，对称轴是，顶点坐标为
(2)开口向上，对称轴是，顶点坐标为
(3)开口向上，对称轴是，顶点坐标为
【分析】（1）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答；
（2）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答；
（3）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答；
【详解】（1）解：∵抛物线，
∴开口向下，对称轴是，顶点坐标为；
（2）解：∵抛物线，
∴开口向上，对称轴是，顶点坐标为；
（3）解：∵抛物线，
∴开口向上，对称轴是，顶点坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质吗，对称轴，顶点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键．
基础常考题七、y=a(x+h)2+k的图象与性质
1．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为B．顶点坐标为C．函数的最大值是－3D．函数的最小值是－3
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可．
【详解】二次函数的对称轴为，顶点坐标为
∵
∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为
∴A、B、D选项错误，C选项正确
故选：C
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
2．（2023·上海·九年级假期作业）与抛物线形状相同，顶点为（3，）的抛物线解析式为 ．
【答案】或
【分析】设解析式为，根据二次函数的性质即可得出答案．
【详解】解：设解析式为，
∵抛物线形状与相同，
∴，
∵顶点为（3，），
∴，，
∴解析式为、．
故答案为：或
【点睛】本题考查二次函数的顶点式的求法，抛物线形状相同，则说明a相等或互为相反数．
3．（2023·上海·九年级假期作业）已知二次函数
(1)将化成的形式；并写出其对称轴和顶点坐标；
(2)当取何值时，随的增大而减小．
【答案】(1)；对称轴是直线，顶点坐标是
(2)当时，y随x的增大而减小
【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项函系数的一半的平方来凑完全平方公式，把一般式转化为顶点式，即可求出对称轴和顶点坐标．
（2）根据二次函数的图像即可解答．
【详解】（1）
该二次函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是；
（2）如图，当时，y随x的增大而减小．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质及顶点坐标的求法，熟知二次函数的顶点式是解题关键．
基础常考题八、y=ax2+bx+c的图象与性质
1．（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）已知二次函数的图像上有两点和，则当时，二次函数的值是（ ）
A．−1B．0C．1D．2
【答案】C
【分析】根据题意得出抛物线的对称轴为直线，也可表示为直线，可得，代入函数的解析式即可求得二次函数的值．
【详解】解：二次函数的图像上有两点和，
∴，
∴，
当时，二次函数．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像上点的坐标特征，图像上的点坐标符合解析式是解题的关键．
2．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆市南渝中学校校考期中）已知二次函数，当时，的取值范围为 ．
【答案】/
【分析】先求出二次函数的对称轴，再利用二次函数的增减性即可得出结论．
【详解】解：，
该抛物线的对称轴为直线，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，的取值范围为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的增减性，关键是要牢记抛物线的对称轴的公式，理解抛物线的增减性．
3．（2023春·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期末）已知二次函数．
(1)请在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
(2)若点在该函数图象上
①当时，则x的取值范围为___________；
②当（t为常数）时，y随x的增大而减小，则t的取值范围是__________．
【答案】(1)见解析
(2)①，②
【分析】（1）先列表，再用描点，最后用平滑的曲线连接即可得出该函数的图象；
（2）①根据（1）中的图象，即可得出x的取值范围；②先得出其对称轴，即可根据图象分析其增减性，得出结论．
【详解】（1）解：列表如下：
二次函数如图所示：
（2）解：①由图可知：当时，x的取值范围为，
故答案为：；
②由图可知，该二次函数对称轴为直线，
∵y随x的增大而减小，
∴，
∵，
∴，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用描点法画二次函数图象的方法，以及能够结合图象，分析函数的性质．
基础常考题九、二次函数图象的平移
1．（2023秋·安徽滁州·九年级校考期末）抛物线经过平移得到，则平移方法是（ ）
A．向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度
D．向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度
【答案】D
【分析】先将抛物线解析式化为顶点式，写出顶点坐标，再根据函数图象的平移法则：左平移横坐标加，右平移横坐标减，上平移纵坐标加，下平移纵坐标减，即可得到答案．
【详解】解：，
的顶点坐标为，
向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移的法则是解题的关键．
2．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）二次函数的图象向右平移2个单位长度后，再向下平移3个单位长度，平移后的图象对应的二次函数解析式为 ．
【答案】（或）
【分析】先将解析式化为顶点式，再根据平移规则：“左加右减，上加下减”求解即可．
【详解】解：∵，
∴二次函数的图象向右平移2个单位长度后，再向下平移3个单位长度，平移后的图象对应的二次函数解析式为，即或，
故答案为：（或）．
【点睛】本题考查二次函数的平移，熟练掌握函数图象平移规则是解答的关键．
3．（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，求得到的新抛物线的解析式．
【答案】
【分析】先将抛物线化为顶点式，即，可得该抛物线的顶点坐标是，根据先向右平移3个单位，再向上平移4个单位得平移后的抛物线的顶点坐标为，即可得．
【详解】解：∵抛物线，
∴该抛物线的顶点坐标是．
∵抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为，
∴得到的新抛物线的解析式是．
【点睛】本题考查了图象的平移，解题的关键是掌握图象的平移．
基础常考题十、一次函数、二次函数图象综合判断
1．（2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图是一次函数的图象，则二次函数的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据一次函数图象确定，进而确定二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，由此即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限且与y轴交于y轴的正半轴，
∴，
∴二次函数的图象的开口向上，
∵二次函数的对称轴为直线，
∴二次函数的对称轴在y轴左侧，
∴四个选项中只有C选项中的函数图象符合题意，
故选C．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，正确求出是解题的关键．
2．（2023·全国·九年级专题练习）观察函数与的图像，写出一条它们的共同特征： ．
【答案】都过等
【分析】从函数图像的分布，图像过点等角度去探索答案．
【详解】∵函数与的图像都经过点（0，-1），
故答案为：（0，-1）．
【点睛】本题考查了函数图像的特点，熟练掌握图像的特点是解题的关键．
3．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）抛物线经过A(6，0)，顶点M在直线y=2x-7上，求抛物线的解析式．
【答案】
【分析】根据抛物线的对称性求出顶点的横坐标，再代入直线y=2x-7，再将A及顶点坐标代入解析式，据此即可求出抛物线的解析式．
【详解】∵，
∴抛物线经过(0，0)，
∵抛物线经过(6，0)，
∴抛物线对称轴为直线x=-=3，
∴b=-6a，，
将x=3代入y=2x-7中得y=6-7=-1，
∴抛物线顶点坐标为(3，1)，
将(3，1)代入得，
解得a=-，
∴．
【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线的解析式，根据抛物线的对称性求出顶点的坐标是解题的关键．
基础常考题十一、简单的二次函数图象与各系数的关系
1．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）二次函数的图象如图所示，则下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由图知，，对称轴，得，，；时，；时，，变形求解．
【详解】由图知，，对称轴，得，，，故A选项错误，D选项错误；
时，，故B错误；
时，，得，故C正确；
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的解析式，图象性质，运用数形结合思想，将图象信息转化为数量信息是解题的关键．
2．（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）已知二次函数，其中自变量与函数值之间满足下面的对应关系：
下列判断中，正确的是 （填序号）．
①顶点是；②；③；④当时，；⑤当时，随着的增大而减小．
【答案】②④⑤
【分析】由，可得抛物线的对称轴为直线，由，，可知抛物线的开口向下，进而逐项判断即可得到结论．
【详解】已知抛物线经过，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴顶点不是，故①错误；
由，，可得时，随着的增大而减小，
∴抛物线开口向下，
∴，故②正确；
∵抛物线经过点，，，
∴抛物线与轴有两个交点，
∴，故③错误；
∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，
∴抛物线经过点，
∴当时，，故④正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴时，随着的增大而减小，故⑤正确；
故答案为：②④⑤
【点睛】本题主要考查二次函数的图像性质，根据抛物线经过的点判断抛物线的开口方向及对称轴，掌握二次函数与方程和不等式的关系是解题的关键．
3．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，抛物线y＝﹣x2+(m﹣1)x+m与y轴交于点(0，3)．
（1）m的值为________；
（2）当x满足________时，y的值随x值的增大而减小；
（3）当x满足________时，抛物线在x轴上方；
（4）当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是________．
【答案】（1）3；（2）x＞1；（3）-1＜x＜3；（4）-5≤y≤4
【分析】根据函数的图象和性质即可求解．
【详解】解：（1）将（0，3）代入y＝﹣x2+（m﹣1）x+m得，3＝m，
故答案为3；
（2）m＝3时，抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，
函数的对称轴为直线x＝＝1，
∵﹣1＜0，故抛物线开口向下，
当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，
故答案为x＞1；
（3）令y＝﹣x2+2x+3，解得x＝﹣1或3，
从图象看，当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方；
故答案为﹣1＜x＜3；
（4）当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣5，
而抛物线的顶点坐标为（1，4），
故当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是﹣5≤y≤4，
故答案为﹣5≤y≤4．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质及系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质及系数的关系是解题的关键．
基础常考题十二、待定系数法求二次函数的解析式
1．（2023秋·山东临沂·九年级校考期末）已知抛物线经过和两点，则n的值为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【分析】将代入解析式，求出值，再将代入解析式，求出值即可．
【详解】解：将代入函数解析式，得：，
解得：，
∴，
当时，，即：；
故选：B．
【点睛】本题考查求二次函数的函数值．解题的关键的是利用待定系数法，正确的求出二次函数解析式．
2．（2023·全国·九年级专题练习）将抛物线沿轴翻折，得到的新的抛物线的解析式是 ．
【答案】
【分析】根据点关于y轴对称时“纵坐标相等，横坐标互为相反数”，可得新抛物线的解析式．
【详解】∵点关于y轴对称时“纵坐标相等，横坐标互为相反数”，
∴沿轴翻折，得到的新的抛物线的解析式是即．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
3．（2023·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、、．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点D与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D的横坐标为，试求点E的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次函数图象上的点的坐标以及待定系数法解决此题．
（2）根据二次函数图象的对称性求得的横坐标，再将其代入函数解析式，进而求得的坐标．
【详解】（1）解：由题意得，，，．
，．
这个抛物线的表达式为．
（2）由（1）得，．
该抛物线的对称轴是直线．
点与点是抛物线上关于对称轴对称的两点，点的横坐标为，
的横坐标是4．
当时，．
．
【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解决本题的关键．
基础常考题十三、二次函数与一元二次方程的关系
1．（2023·全国·九年级假期作业）若二次函数的图象经过点，，则关于x的方程的解为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的根为二次函数与x轴的交点即可解答．
【详解】解：的图象经过点，，
方程的解为，．
故选：A．
【点睛】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是正确应用两者的关系．
2．（2023秋·内蒙古通辽·九年级校考期中）已知二次函数（均为常数，且），若与的部分对应值如下表所示，则方程的根为 ．
【答案】，
【分析】根据图表当时，；当时，；直接得出方程的根．
【详解】解：由图表可知：
当时，；当时，；
方程的根为，
故答案为，．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，解题关键是根据图表直接找出取何值时．
3．（2023春·江苏盐城·八年级校考期中）已知抛物线（为常数），求证：无论为何值，抛物线与轴总有两个公共点．
【答案】见解析
【分析】求得判别式并分解得到平方与正数的和，得到判别式大于0即可证明．
【详解】证明：∵，
∴无论为何值，抛物线与轴总有两个公共点．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，把抛物线与x轴的交点问题转化为一元二次方程的问题是解题的关键．
基础常考题十四、利用二次函数的交点确定不等式的取值范围
1．（2023秋·山西晋城·九年级校考期末）如图，抛物线与直线相交于，两点，则当时，自变量x的取值范围是（ ）．
A．B．
C．或D．或
【答案】A
【分析】根据当时，自变量x的取值范围是抛物线图象在一次函数图象上方部分所对应的的取值范围，结合图象进行作答即可．
【详解】解：由图象可知，当时，自变量x的取值范围是，
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象的交点与不等式的解集的关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
2．（2023春·广西·八年级南宁十四中校考期末）如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于x的不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】找到二次函数的图象在一次函数的图象下方的部分对应的x的值即可．
【详解】解：由图象可知，关于x的不等式的解集为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一次函数与二次函数图象交点问题，利用交点求不等式的解集，解答本题的关键是熟练掌握图象在下方的部分对应的函数值较小．
3．（2023春·北京西城·九年级北京八中校考开学考试）对于抛物线．
(1)它与轴交点的坐标为_______，与轴交点的坐标为________，顶点坐标为_______；
(2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
(3)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围________；
(4)若点，在抛物线上，且，直接写出的取值范围_______．
【答案】(1)，；；
(2)见解析
(3)
(4)或
【分析】（1）分别令，求得与坐标轴的交点，化为顶点式求得顶点坐标，即可求解；
（2）根据列表描点连线画出函数图象即可求解；
（3）根据函数图象直接可得结果；
（4）根据题意得出，进而根据函数图象即可求解．
【详解】（1）解：，
当，，
当，，
解得：，
，
∴顶点坐标为，
∴与轴交点的坐标为，，与轴交点的坐标为，顶点坐标为：；
故答案为：，；；．
（2）列表如下，
描点、连线如下，
（3）当时，，
故答案为：．
（4）点，在抛物线上，且，
则，
∴，
根据或
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，画二次函数图象，根据函数图象求不等式的解集，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
基础常考题十五、二次函数与坐标轴的交点
1．（2023秋·广东广州·九年级校考期末）若抛物线对称轴为直线，与x轴交于点，则该抛物线与x轴的另一交点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据抛物线对称性及对称轴为直线求解．
【详解】解：抛物线对称轴为直线，点A坐标为，
由抛物线的对称性可得图象与x轴另一交点坐标为，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象关于对称轴对称．
2．（2023秋·河南信阳·九年级统考期末）二次函数的图象与直线的交点坐标是 ．
【答案】
【分析】联立两个函数解析式求解即可．
【详解】解：由题意，得
，
解得，
∴次函数的图象与直线的交点坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数与直线的交点问题，联立函数解析式求解是解答本题的关键．
3．（2023秋·江西宜春·九年级统考期末）已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)求此抛物线的顶点坐标．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）当时，解方程即可得到A、B的坐标，将代入即可得到点C的坐标；
（2）把二次函数的解析式配方成顶点式，然后写出顶点坐标．
【详解】（1）当时，
∴，
∴，
将代入得：
∴
（2）∵
∴顶点坐标是：
【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点和配方求顶点，掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点的坐标的求法是解题的关键．
基础常考题十六、二次函数的应用之增长率问题
1．（2023·福建·九年级专题练习）根据福建省统计局数据，福建省年的地区生产总值为亿元，年的地区生产总值为亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可求解．
【详解】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）为了让农民能种植高产、易发芽的种子，某农科实验基地大力开展种子实验．该实验基地两年前有100种种子，经过两年不断地努力，现在已有144种种子．若培育的种子平均每年的增长率为x，则x的值为 ．
【答案】20%
【分析】利用该实验基地现在拥有的种子种数＝该实验基地两年前拥有的种子种数×(1+培育的种子平均每年的增长率)2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：根据题意得：，
解得：(不符合题意，舍去)，
∴x的值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2023·上海·九年级假期作业）某公司月份的营收为万元，设每个月营收的增长率相同，且为 ，月份的营收为万元，写出关于的函数解析．
【答案】
【分析】设每月增长率都为，所以5月份的营收为万元，6月份的营收为万元．
【详解】解：因为月份的营收为万元，月份起，每月增长率都为，所以月份的营收为万元，月份的营收为万元．
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式解题的关键．
基础常考题十七、二次函数的应用之拱桥问题
1．（2023春·山西朔州·九年级校考阶段练习）如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m，如图，以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】观察函数图象可知，抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，设抛物线的解析式为，根据水面宽4m时，拱顶离水面2m，可知图象经过点，代入中即可求解．
【详解】解：设抛物线的解析式为，
由水面宽4m时，拱顶离水面2m，可知点在函数图象上，
将代入中，得，
解得，
故抛物线的解析式为，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意找出函数图象上点的坐标是解题的关键．
2．（2023·江苏南通·统考一模）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加 .
【答案】；
【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，从而可以求得水面的宽度增加了多少，本题得以解决．
【详解】如右图建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为y=ax2，
由已知可得，点（2，-2）在此抛物线上，
则-2=a×22，解得，
∴，
当y=-3时，，
解得，，
∴此时水面的宽度为：，
∴水面的宽度增加，
故答案为．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，建立合适的平面直角坐标系．
3．（2023·全国·九年级专题练习）郑州市彩虹桥新桥将于2023年9月底建成通车．新桥采用三跨连续单拱肋钢箱系杆拱桥，既保留了历史记忆，又展示出郑州的开放与创新．新桥的中跨大拱的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面（视为水平的）与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，测得拱肋的跨度为120米，与中点O相距30米处有一高度为27米的系杆．以所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立如图②所示的平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)正中间系杆的长度是多少米？若相邻系杆之间的间距均为3米（不考虑系杆的粗细），是否存在一根系杆的长度恰好是长度的？请说明理由．
【答案】(1)
(2)正中间系杆的长度是36米，不存在一根系杆的长度恰好是OC长度的，理由见解析
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出正中间系杆的长度是36米，再建立方程求解即可．
【详解】（1）结合图象由题意可知：，，
设该抛物线解析式为：，
则：，
解得：，
∴．
（2）当时，，
∴正中间系杆的长度是36米．
设存在一根系杆的长度是的，即这根系杆的长度是12米，
则，
解得．
∵相邻系杆之间的间距均为3米，最中间系标在轴上，
∴每根系杆上的点的横坐标均为整数．
∴与实际不符．
∴不存在一根系杆的长度恰好是长度的．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，涉及到了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程等知识，解题关键是读懂题意，找出数量关系，列出方程，并根据实际意义求解．
基础常考题十八、二次函数的应用之销售问题
1．（2023·全国·九年级专题练习）某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，求最大销售额是（ ）
A．2500元B．2000元C．1800元D．2200元
【答案】C
【分析】设每件商品降价x元，每天的销售额为y元，由题意可得到y和x的二次函数关系，利用配方法可求最值．
【详解】解：设每件商品降价x元，每天的销售额为y元．
依题意有：
y＝（35﹣x）（50+2x）
＝﹣2x2+20x+1750
＝﹣2（x﹣5）2+1800，
∵﹣2＜0，
∴当x＝5时，y最大，最大值为1800，
∴最大销售额为1800元．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模型，利用配方法求最值．
2．（2023秋·浙江杭州·九年级期中）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出40元的各种费用。房价定为 时，宾馆利润最大，最大利润是 元．
【答案】 360 10240
【分析】设房价为x元，利润为y元，利用公式：利润=（每间房价-每天开支）×房间数量，则 ，化为顶点式，即可给出最大利润和房价单价．
【详解】设房价为x元，利润为y元，
则有，
故元时，y的利润最大，最大值为10240元，
故答案为：360；10240．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，准确列出二次函数解析式并整理为顶点式是解题关键．
3．（2023秋·湖南湘西·九年级统考期末）某农户生产经销一种地方特产．已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w元
(1)求w与x之间的函数关系式；
(2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于每千克30元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
【答案】(1)
(2)该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元
(3)每千克25元
【分析】（1）根据利润=销量×一件的利润列出关系式即可；
（2）把函数关系式化成顶点式求解即可；
（3）把代入关系式求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：，
∴w与x之间的函数解析式为；
（2）解：由（1）得：，
∵，
∴当时，w有最大值，且最大值为；
∴该产品售价定为每千克30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元；
（3）解：当时，可得，
解得：，
∵，
∴舍去，
∴该农户想要每天获得150元的销售利润，售价应定为每千克25元；
【点睛】本题主要考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，根据条件得出函数解析式或方程是解题的关键．
基础常考题十九、二次函数的应用之投球问题
1．（2023·浙江·九年级假期作业）在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为（ ）
A．14米B．12米C．11米D．10米
【答案】B
【分析】根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求x的值即可．
【详解】解：当时，则，
解得（舍去）或．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，小明对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系为：，则小明此次实心球训练的成绩为 米．
【答案】
【分析】求出抛物线与轴正半轴的交点的横坐标，即为所求．
【详解】解：当时：，
解得：（不合题意，舍去），
∴小明此次实心球训练的成绩为米；
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．根据题意，求出抛物线与轴正半轴的交点的横坐标，是解题的关键．
3（2023春·山东东营·八年级东营市实验中学校考期中）掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生掷实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分10分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不能；理由见解析
【分析】（1）由图2可知，顶点坐标为，设二次函数表达式为，由此即可求解；
（2）令（1）中抛物线的解析式，且，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意设关于的函数表达式为，
把代入解析式得，，
解得，，
∴关于的函数表达式为：，
即：．
（2）解：不能得满分，理由如下，
根据题意，令，且，
∴，
解方程得，，（舍去），
∵，
∴不能得满分．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际运用，掌握二次函数的性质及求解是解题的关键．
基础常考题二十、二次函数的应用之图形运动问题
1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在中，，，．动点从点出发，沿边向点以的速度移动（不与点重合），同时动点从点出发，沿边向点以的速度移动（不与点重合）．当四边形的面积最小时，经过的时间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】用含代数式表示四边形的面积，通过配方求解．
【详解】解：设运动时间为秒，四边形的面积为，
则，，
，
，
即，
当时，有最小值为12，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了函数关系式的求法以及最值的求法，解题的关键是根据题意列出函数关系式，并根据二次函数的性质求出最值．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，中，，，为中点．、是边、上的动点，从出发向运动，同时以相同的速度从出发向运动，运动到停止．当为 时，的面积最大．
【答案】4
【分析】设，可得，可得到，再利用二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴当时，的面积最大．
故答案为：4
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意准确得到是解题的关键．
3．（2023秋·内蒙古通辽·九年级校考期中）已知：如图所示，在中，， cm， cm，点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．
(1)如果分别从同时出发，那么几秒后，的面积等于4cm2？
(2)几秒时，的面积最大？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）设经过x秒钟，的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．
（2）设经过t秒以后面积最大，用含的式子表示的面积，即可得出结论．
【详解】（1）解：设经过x秒以后面积为，则
，
整理得：，
解得：，
∵当时，，
∴不合题意，
答：1秒后的面积等于；
（2）解：当秒时，面积最大．理由如下：
设经过t秒以后面积最大，则
，
当秒时，面积最大．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“的面积最大”得出等量关系是解决问题的关键．
x
……
0
1
……
y
……
0
3
4
3
0
……
……
2
3
7
……
……
……
x
...
-2
-1
0
1
2
3
4
...
y
...
5
0
-3
-4
-3
0
5
...
…
…
…
…
…
…
…
…
基础常考题一、列二次函数关系式
1．（2023·上海·九年级假期作业）在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积，得出y与x的函数关系式即可．
【详解】解：设剩下部分的面积为y，则：
，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出是解题关键．
2．（2023春·河北保定·八年级统考期中）用长为的绳子围成一个长方形，设长方形的面积为y ，一边长为，用含有x的代数式表示y为 ，自变量x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先求出另一边长，再根据长方形的面积公式即可得出y与x的关系式．
【详解】解：①由题意可知，这个长方形的周长为
又因为一边长为，
所以另一边长为
又∵长方形面积长宽，
，
所以．
②∵，
∴
∴自变量x的取值范围是．
故答案为：①；②．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，准确分析列式是解题的关键．
3．（2023·浙江·九年级假期作业）某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多．
（1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？
（2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）长方体有6个面，然后根据长方形的面积公式即可得到，再去括号整理即可；
（2）把（1）中的除以5即可得到．
【详解】解：（1）
；
（2）．
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是读懂题意，根据实际问题确定二次函数关系式，建立二次函数的数学模型来解决问题．
基础常考题二、二次函数的识别
1．（2023·上海·九年级假期作业）下列函数中，二次函数是（ ）
A．y＝﹣3x+5B．y＝x（4x﹣3）
C．y＝2（x+4）2﹣2x2D．y＝
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．是二次函数，故本选项符合题意；
C．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D．不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握：形如、、为常数，的函数，叫二次函数．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）有下列函数：①；②；③；④．其中y是x的二次函数有 ．（填序号）
【答案】②③④
【分析】根据二次函数定义：形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数进行分析即可．
【详解】解：y是x的二次函数的是②；③；④．
故答案为：②③④．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
3．（2023·浙江·九年级假期作业）下列函数中，哪些是二次函数？
（1）y＝3x—1；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6）
【答案】（2）（4）是二次函数
【分析】根据二次函数的定义，即可求解．
【详解】解∶（1）不是二次函数，因为自变量的最高次数是1．
（2）是二次函数，因为符合二次函数的概念．
（3）不是二次函数，因为自变量的最高次数是3．
（4）是二次函数，因为符合二次函数的概念．
（5）不是二次函数，因为原式整理后为y=－x．
（6）不是二次函数，因为x－2为分式，不是整式．
故（2）（4）是二次函数．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如（其中a、b、c均为常数，且）的函数关系称为二次函数是解题的关键．
基础常考题三、根据二次函数的定义求参数
1．（2023·全国·九年级假期作业）已知是关于的二次函数，则的值为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的未知数最高次数是2，最高次项系数不为零列式计算即可；
【详解】∵是关于的二次函数，
∴，
解得：；
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确分析计算是解题的关键．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）若关于x的函数是二次函数，则a必须满足的条件是 ．
【答案】
【分析】根据二次函数的定义：形如，进行求解即可．
【详解】解：根据二次函数的定义，得：
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，是解题的关键．
3．（2023·浙江·九年级假期作业）若．
(1)m取什么值时，此函数是二次函数？
(2)m取什么值时，此函数是一次函数？
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据二次函数的定义得出，进而即可求解；
（2）根据一次函数的定义得出，进而即可求解．
【详解】（1）解：(1)当是二次函数时，
有，
解得，
∴当时，此函数是二次函数；
（2）当是一次函数时，
有，
解得或，
∴或时，此函数是一次函数．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的定义，解一元二次方程，熟练掌握二次函数与一次函数的定义是解题的关键．
基础常考题四、y=ax2的图象与性质
1．（2023·浙江·九年级假期作业）抛物线与直线，，，围成的正方形有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据图形，求出过、(2，1)两点的抛物线解析式可确定a的取值范围．
【详解】解：当时，抛物线与直线，，，围成的正方形没有公共点，
则，画出草图如图，
把代入得，
把点代入得，
则a的范围介于这两点之间，故，
故选：D．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的图象及性质，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．
2．（2023·全国·九年级假期作业）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】解：由当时，y随x的增大而减小，可知：，
∴；
故答案为．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．（2023·浙江·九年级假期作业）已知二次函数的图象经过点．求：
(1)该函数解析式及对称轴；
(2)试判断点是否在此函数的图象上．
【答案】(1)，对称轴为y轴
(2)点不在此函数的图象上
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再求出对称轴即可；
（2）求出当，y的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为，
∴二次函数对称轴为y轴；
（2）解：在中，当时，，
∴点不在此函数的图象上．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
基础常考题五、y=ax2+k的图象与性质
1．（2023·上海·九年级假期作业）抛物线，，共有的性质是（ ）
A．开口向上B．对称轴都是y轴C．都有最高点D．顶点相同
【答案】B
【分析】从所给抛物线的开口方向、对称轴、最高点或最低点、顶点坐标等方面考虑即可完成．
【详解】解：抛物线开口向上，对称轴是轴，有最低点，顶点坐标；抛物线，开口向下，对称轴是轴，有最高点，顶点坐标；抛物线开口向上，对称轴是轴，有最高点，顶点坐标．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质，掌握抛物线的图象与性质是解题的关键．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）已知点，是抛物线上的两点，若，则 （填“”“”或“”）．
【答案】＜
【分析】根据二次函数的图象与性质可进行求解．
【详解】解：由抛物线可知：，开口向下，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴当点，是抛物线上的两点，且，则；
故答案为＜．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
3．（2023·上海·九年级假期作业）已知函数是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
(2)函数图象的两点，，若满足，则此时m的值是多少？
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据二次函数的定义可得，，即可求解；
（2）点，，且，可得在对称轴右边，y随x的增大而减小，即可进行解答．
【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数，
∴，
解得：或．
（2）∵该函数的对称轴为y轴，点，，且，
∴在对称轴右边，y随x的增大而减小，
∴，解得
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象定义和性质，解题的关键是掌握二次函数的二次项系数不为0，次数最高为2；时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．
基础常考题六、y=a(x+h)2的图象与性质
1．（2023·浙江·九年级假期作业）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上B．对称轴是直线
C．当时，随的增大而减小D．顶点坐标为
【答案】D
【分析】根据二次函数解析式可得，该二次函数的图象开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，在对称轴的左侧，随的增大而增大，
【详解】对于二次函数，，则开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，
故A，B选项错误，D选项正确，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
∴当时，随的增大先增大后减小，故C选项错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）已知函数．当时，的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据二次函数的图象和性质，即可解答．
【详解】解：∵中，，
∴该二次函数图象的开口向上，当时，函数有最小值为，
当时，，
当时，，
当时，的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握和运用二次函数的图象和性质是解决本题的关键．
3．（2023·全国·九年级假期作业）写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)
(2)
(3)．
【答案】(1)开口向下，对称轴是，顶点坐标为
(2)开口向上，对称轴是，顶点坐标为
(3)开口向上，对称轴是，顶点坐标为
【分析】（1）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答；
（2）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答；
（3）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答；
【详解】（1）解：∵抛物线，
∴开口向下，对称轴是，顶点坐标为；
（2）解：∵抛物线，
∴开口向上，对称轴是，顶点坐标为；
（3）解：∵抛物线，
∴开口向上，对称轴是，顶点坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质吗，对称轴，顶点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键．
基础常考题七、y=a(x+h)2+k的图象与性质
1．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为B．顶点坐标为C．函数的最大值是－3D．函数的最小值是－3
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可．
【详解】二次函数的对称轴为，顶点坐标为
∵
∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为
∴A、B、D选项错误，C选项正确
故选：C
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
2．（2023·上海·九年级假期作业）与抛物线形状相同，顶点为（3，）的抛物线解析式为 ．
【答案】或
【分析】设解析式为，根据二次函数的性质即可得出答案．
【详解】解：设解析式为，
∵抛物线形状与相同，
∴，
∵顶点为（3，），
∴，，
∴解析式为、．
故答案为：或
【点睛】本题考查二次函数的顶点式的求法，抛物线形状相同，则说明a相等或互为相反数．
3．（2023·上海·九年级假期作业）已知二次函数
(1)将化成的形式；并写出其对称轴和顶点坐标；
(2)当取何值时，随的增大而减小．
【答案】(1)；对称轴是直线，顶点坐标是
(2)当时，y随x的增大而减小
【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项函系数的一半的平方来凑完全平方公式，把一般式转化为顶点式，即可求出对称轴和顶点坐标．
（2）根据二次函数的图像即可解答．
【详解】（1）
该二次函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是；
（2）如图，当时，y随x的增大而减小．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质及顶点坐标的求法，熟知二次函数的顶点式是解题关键．
基础常考题八、y=ax2+bx+c的图象与性质
1．（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）已知二次函数的图像上有两点和，则当时，二次函数的值是（ ）
A．−1B．0C．1D．2
【答案】C
【分析】根据题意得出抛物线的对称轴为直线，也可表示为直线，可得，代入函数的解析式即可求得二次函数的值．
【详解】解：二次函数的图像上有两点和，
∴，
∴，
当时，二次函数．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像上点的坐标特征，图像上的点坐标符合解析式是解题的关键．
2．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆市南渝中学校校考期中）已知二次函数，当时，的取值范围为 ．
【答案】/
【分析】先求出二次函数的对称轴，再利用二次函数的增减性即可得出结论．
【详解】解：，
该抛物线的对称轴为直线，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，的取值范围为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的增减性，关键是要牢记抛物线的对称轴的公式，理解抛物线的增减性．
3．（2023春·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期末）已知二次函数．
(1)请在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
(2)若点在该函数图象上
①当时，则x的取值范围为___________；
②当（t为常数）时，y随x的增大而减小，则t的取值范围是__________．
【答案】(1)见解析
(2)①，②
【分析】（1）先列表，再用描点，最后用平滑的曲线连接即可得出该函数的图象；
（2）①根据（1）中的图象，即可得出x的取值范围；②先得出其对称轴，即可根据图象分析其增减性，得出结论．
【详解】（1）解：列表如下：
二次函数如图所示：
（2）解：①由图可知：当时，x的取值范围为，
故答案为：；
②由图可知，该二次函数对称轴为直线，
∵y随x的增大而减小，
∴，
∵，
∴，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用描点法画二次函数图象的方法，以及能够结合图象，分析函数的性质．
基础常考题九、二次函数图象的平移
1．（2023秋·安徽滁州·九年级校考期末）抛物线经过平移得到，则平移方法是（ ）
A．向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度
D．向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度
【答案】D
【分析】先将抛物线解析式化为顶点式，写出顶点坐标，再根据函数图象的平移法则：左平移横坐标加，右平移横坐标减，上平移纵坐标加，下平移纵坐标减，即可得到答案．
【详解】解：，
的顶点坐标为，
向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移的法则是解题的关键．
2．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）二次函数的图象向右平移2个单位长度后，再向下平移3个单位长度，平移后的图象对应的二次函数解析式为 ．
【答案】（或）
【分析】先将解析式化为顶点式，再根据平移规则：“左加右减，上加下减”求解即可．
【详解】解：∵，
∴二次函数的图象向右平移2个单位长度后，再向下平移3个单位长度，平移后的图象对应的二次函数解析式为，即或，
故答案为：（或）．
【点睛】本题考查二次函数的平移，熟练掌握函数图象平移规则是解答的关键．
3．（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，求得到的新抛物线的解析式．
【答案】
【分析】先将抛物线化为顶点式，即，可得该抛物线的顶点坐标是，根据先向右平移3个单位，再向上平移4个单位得平移后的抛物线的顶点坐标为，即可得．
【详解】解：∵抛物线，
∴该抛物线的顶点坐标是．
∵抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为，
∴得到的新抛物线的解析式是．
【点睛】本题考查了图象的平移，解题的关键是掌握图象的平移．
基础常考题十、一次函数、二次函数图象综合判断
1．（2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图是一次函数的图象，则二次函数的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据一次函数图象确定，进而确定二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，由此即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限且与y轴交于y轴的正半轴，
∴，
∴二次函数的图象的开口向上，
∵二次函数的对称轴为直线，
∴二次函数的对称轴在y轴左侧，
∴四个选项中只有C选项中的函数图象符合题意，
故选C．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，正确求出是解题的关键．
2．（2023·全国·九年级专题练习）观察函数与的图像，写出一条它们的共同特征： ．
【答案】都过等
【分析】从函数图像的分布，图像过点等角度去探索答案．
【详解】∵函数与的图像都经过点（0，-1），
故答案为：（0，-1）．
【点睛】本题考查了函数图像的特点，熟练掌握图像的特点是解题的关键．
3．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）抛物线经过A(6，0)，顶点M在直线y=2x-7上，求抛物线的解析式．
【答案】
【分析】根据抛物线的对称性求出顶点的横坐标，再代入直线y=2x-7，再将A及顶点坐标代入解析式，据此即可求出抛物线的解析式．
【详解】∵，
∴抛物线经过(0，0)，
∵抛物线经过(6，0)，
∴抛物线对称轴为直线x=-=3，
∴b=-6a，，
将x=3代入y=2x-7中得y=6-7=-1，
∴抛物线顶点坐标为(3，1)，
将(3，1)代入得，
解得a=-，
∴．
【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线的解析式，根据抛物线的对称性求出顶点的坐标是解题的关键．
基础常考题十一、简单的二次函数图象与各系数的关系
1．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）二次函数的图象如图所示，则下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由图知，，对称轴，得，，；时，；时，，变形求解．
【详解】由图知，，对称轴，得，，，故A选项错误，D选项错误；
时，，故B错误；
时，，得，故C正确；
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的解析式，图象性质，运用数形结合思想，将图象信息转化为数量信息是解题的关键．
2．（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）已知二次函数，其中自变量与函数值之间满足下面的对应关系：
下列判断中，正确的是 （填序号）．
①顶点是；②；③；④当时，；⑤当时，随着的增大而减小．
【答案】②④⑤
【分析】由，可得抛物线的对称轴为直线，由，，可知抛物线的开口向下，进而逐项判断即可得到结论．
【详解】已知抛物线经过，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴顶点不是，故①错误；
由，，可得时，随着的增大而减小，
∴抛物线开口向下，
∴，故②正确；
∵抛物线经过点，，，
∴抛物线与轴有两个交点，
∴，故③错误；
∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，
∴抛物线经过点，
∴当时，，故④正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴时，随着的增大而减小，故⑤正确；
故答案为：②④⑤
【点睛】本题主要考查二次函数的图像性质，根据抛物线经过的点判断抛物线的开口方向及对称轴，掌握二次函数与方程和不等式的关系是解题的关键．
3．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，抛物线y＝﹣x2+(m﹣1)x+m与y轴交于点(0，3)．
（1）m的值为________；
（2）当x满足________时，y的值随x值的增大而减小；
（3）当x满足________时，抛物线在x轴上方；
（4）当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是________．
【答案】（1）3；（2）x＞1；（3）-1＜x＜3；（4）-5≤y≤4
【分析】根据函数的图象和性质即可求解．
【详解】解：（1）将（0，3）代入y＝﹣x2+（m﹣1）x+m得，3＝m，
故答案为3；
（2）m＝3时，抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，
函数的对称轴为直线x＝＝1，
∵﹣1＜0，故抛物线开口向下，
当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，
故答案为x＞1；
（3）令y＝﹣x2+2x+3，解得x＝﹣1或3，
从图象看，当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方；
故答案为﹣1＜x＜3；
（4）当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣5，
而抛物线的顶点坐标为（1，4），
故当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是﹣5≤y≤4，
故答案为﹣5≤y≤4．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质及系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质及系数的关系是解题的关键．
基础常考题十二、待定系数法求二次函数的解析式
1．（2023秋·山东临沂·九年级校考期末）已知抛物线经过和两点，则n的值为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【分析】将代入解析式，求出值，再将代入解析式，求出值即可．
【详解】解：将代入函数解析式，得：，
解得：，
∴，
当时，，即：；
故选：B．
【点睛】本题考查求二次函数的函数值．解题的关键的是利用待定系数法，正确的求出二次函数解析式．
2．（2023·全国·九年级专题练习）将抛物线沿轴翻折，得到的新的抛物线的解析式是 ．
【答案】
【分析】根据点关于y轴对称时“纵坐标相等，横坐标互为相反数”，可得新抛物线的解析式．
【详解】∵点关于y轴对称时“纵坐标相等，横坐标互为相反数”，
∴沿轴翻折，得到的新的抛物线的解析式是即．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
3．（2023·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、、．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点D与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D的横坐标为，试求点E的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次函数图象上的点的坐标以及待定系数法解决此题．
（2）根据二次函数图象的对称性求得的横坐标，再将其代入函数解析式，进而求得的坐标．
【详解】（1）解：由题意得，，，．
，．
这个抛物线的表达式为．
（2）由（1）得，．
该抛物线的对称轴是直线．
点与点是抛物线上关于对称轴对称的两点，点的横坐标为，
的横坐标是4．
当时，．
．
【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解决本题的关键．
基础常考题十三、二次函数与一元二次方程的关系
1．（2023·全国·九年级假期作业）若二次函数的图象经过点，，则关于x的方程的解为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的根为二次函数与x轴的交点即可解答．
【详解】解：的图象经过点，，
方程的解为，．
故选：A．
【点睛】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是正确应用两者的关系．
2．（2023秋·内蒙古通辽·九年级校考期中）已知二次函数（均为常数，且），若与的部分对应值如下表所示，则方程的根为 ．
【答案】，
【分析】根据图表当时，；当时，；直接得出方程的根．
【详解】解：由图表可知：
当时，；当时，；
方程的根为，
故答案为，．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，解题关键是根据图表直接找出取何值时．
3．（2023春·江苏盐城·八年级校考期中）已知抛物线（为常数），求证：无论为何值，抛物线与轴总有两个公共点．
【答案】见解析
【分析】求得判别式并分解得到平方与正数的和，得到判别式大于0即可证明．
【详解】证明：∵，
∴无论为何值，抛物线与轴总有两个公共点．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，把抛物线与x轴的交点问题转化为一元二次方程的问题是解题的关键．
基础常考题十四、利用二次函数的交点确定不等式的取值范围
1．（2023秋·山西晋城·九年级校考期末）如图，抛物线与直线相交于，两点，则当时，自变量x的取值范围是（ ）．
A．B．
C．或D．或
【答案】A
【分析】根据当时，自变量x的取值范围是抛物线图象在一次函数图象上方部分所对应的的取值范围，结合图象进行作答即可．
【详解】解：由图象可知，当时，自变量x的取值范围是，
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象的交点与不等式的解集的关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
2．（2023春·广西·八年级南宁十四中校考期末）如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于x的不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】找到二次函数的图象在一次函数的图象下方的部分对应的x的值即可．
【详解】解：由图象可知，关于x的不等式的解集为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一次函数与二次函数图象交点问题，利用交点求不等式的解集，解答本题的关键是熟练掌握图象在下方的部分对应的函数值较小．
3．（2023春·北京西城·九年级北京八中校考开学考试）对于抛物线．
(1)它与轴交点的坐标为_______，与轴交点的坐标为________，顶点坐标为_______；
(2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
(3)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围________；
(4)若点，在抛物线上，且，直接写出的取值范围_______．
【答案】(1)，；；
(2)见解析
(3)
(4)或
【分析】（1）分别令，求得与坐标轴的交点，化为顶点式求得顶点坐标，即可求解；
（2）根据列表描点连线画出函数图象即可求解；
（3）根据函数图象直接可得结果；
（4）根据题意得出，进而根据函数图象即可求解．
【详解】（1）解：，
当，，
当，，
解得：，
，
∴顶点坐标为，
∴与轴交点的坐标为，，与轴交点的坐标为，顶点坐标为：；
故答案为：，；；．
（2）列表如下，
描点、连线如下，
（3）当时，，
故答案为：．
（4）点，在抛物线上，且，
则，
∴，
根据或
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，画二次函数图象，根据函数图象求不等式的解集，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
基础常考题十五、二次函数与坐标轴的交点
1．（2023秋·广东广州·九年级校考期末）若抛物线对称轴为直线，与x轴交于点，则该抛物线与x轴的另一交点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据抛物线对称性及对称轴为直线求解．
【详解】解：抛物线对称轴为直线，点A坐标为，
由抛物线的对称性可得图象与x轴另一交点坐标为，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象关于对称轴对称．
2．（2023秋·河南信阳·九年级统考期末）二次函数的图象与直线的交点坐标是 ．
【答案】
【分析】联立两个函数解析式求解即可．
【详解】解：由题意，得
，
解得，
∴次函数的图象与直线的交点坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数与直线的交点问题，联立函数解析式求解是解答本题的关键．
3．（2023秋·江西宜春·九年级统考期末）已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)求此抛物线的顶点坐标．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）当时，解方程即可得到A、B的坐标，将代入即可得到点C的坐标；
（2）把二次函数的解析式配方成顶点式，然后写出顶点坐标．
【详解】（1）当时，
∴，
∴，
将代入得：
∴
（2）∵
∴顶点坐标是：
【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点和配方求顶点，掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点的坐标的求法是解题的关键．
基础常考题十六、二次函数的应用之增长率问题
1．（2023·福建·九年级专题练习）根据福建省统计局数据，福建省年的地区生产总值为亿元，年的地区生产总值为亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可求解．
【详解】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）为了让农民能种植高产、易发芽的种子，某农科实验基地大力开展种子实验．该实验基地两年前有100种种子，经过两年不断地努力，现在已有144种种子．若培育的种子平均每年的增长率为x，则x的值为 ．
【答案】20%
【分析】利用该实验基地现在拥有的种子种数＝该实验基地两年前拥有的种子种数×(1+培育的种子平均每年的增长率)2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：根据题意得：，
解得：(不符合题意，舍去)，
∴x的值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2023·上海·九年级假期作业）某公司月份的营收为万元，设每个月营收的增长率相同，且为 ，月份的营收为万元，写出关于的函数解析．
【答案】
【分析】设每月增长率都为，所以5月份的营收为万元，6月份的营收为万元．
【详解】解：因为月份的营收为万元，月份起，每月增长率都为，所以月份的营收为万元，月份的营收为万元．
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式解题的关键．
基础常考题十七、二次函数的应用之拱桥问题
1．（2023春·山西朔州·九年级校考阶段练习）如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m，如图，以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】观察函数图象可知，抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，设抛物线的解析式为，根据水面宽4m时，拱顶离水面2m，可知图象经过点，代入中即可求解．
【详解】解：设抛物线的解析式为，
由水面宽4m时，拱顶离水面2m，可知点在函数图象上，
将代入中，得，
解得，
故抛物线的解析式为，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意找出函数图象上点的坐标是解题的关键．
2．（2023·江苏南通·统考一模）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加 .
【答案】；
【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，从而可以求得水面的宽度增加了多少，本题得以解决．
【详解】如右图建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为y=ax2，
由已知可得，点（2，-2）在此抛物线上，
则-2=a×22，解得，
∴，
当y=-3时，，
解得，，
∴此时水面的宽度为：，
∴水面的宽度增加，
故答案为．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，建立合适的平面直角坐标系．
3．（2023·全国·九年级专题练习）郑州市彩虹桥新桥将于2023年9月底建成通车．新桥采用三跨连续单拱肋钢箱系杆拱桥，既保留了历史记忆，又展示出郑州的开放与创新．新桥的中跨大拱的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面（视为水平的）与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，测得拱肋的跨度为120米，与中点O相距30米处有一高度为27米的系杆．以所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立如图②所示的平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)正中间系杆的长度是多少米？若相邻系杆之间的间距均为3米（不考虑系杆的粗细），是否存在一根系杆的长度恰好是长度的？请说明理由．
【答案】(1)
(2)正中间系杆的长度是36米，不存在一根系杆的长度恰好是OC长度的，理由见解析
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出正中间系杆的长度是36米，再建立方程求解即可．
【详解】（1）结合图象由题意可知：，，
设该抛物线解析式为：，
则：，
解得：，
∴．
（2）当时，，
∴正中间系杆的长度是36米．
设存在一根系杆的长度是的，即这根系杆的长度是12米，
则，
解得．
∵相邻系杆之间的间距均为3米，最中间系标在轴上，
∴每根系杆上的点的横坐标均为整数．
∴与实际不符．
∴不存在一根系杆的长度恰好是长度的．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，涉及到了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程等知识，解题关键是读懂题意，找出数量关系，列出方程，并根据实际意义求解．
基础常考题十八、二次函数的应用之销售问题
1．（2023·全国·九年级专题练习）某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，求最大销售额是（ ）
A．2500元B．2000元C．1800元D．2200元
【答案】C
【分析】设每件商品降价x元，每天的销售额为y元，由题意可得到y和x的二次函数关系，利用配方法可求最值．
【详解】解：设每件商品降价x元，每天的销售额为y元．
依题意有：
y＝（35﹣x）（50+2x）
＝﹣2x2+20x+1750
＝﹣2（x﹣5）2+1800，
∵﹣2＜0，
∴当x＝5时，y最大，最大值为1800，
∴最大销售额为1800元．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模型，利用配方法求最值．
2．（2023秋·浙江杭州·九年级期中）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出40元的各种费用。房价定为 时，宾馆利润最大，最大利润是 元．
【答案】 360 10240
【分析】设房价为x元，利润为y元，利用公式：利润=（每间房价-每天开支）×房间数量，则 ，化为顶点式，即可给出最大利润和房价单价．
【详解】设房价为x元，利润为y元，
则有，
故元时，y的利润最大，最大值为10240元，
故答案为：360；10240．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，准确列出二次函数解析式并整理为顶点式是解题关键．
3．（2023秋·湖南湘西·九年级统考期末）某农户生产经销一种地方特产．已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w元
(1)求w与x之间的函数关系式；
(2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于每千克30元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
【答案】(1)
(2)该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元
(3)每千克25元
【分析】（1）根据利润=销量×一件的利润列出关系式即可；
（2）把函数关系式化成顶点式求解即可；
（3）把代入关系式求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：，
∴w与x之间的函数解析式为；
（2）解：由（1）得：，
∵，
∴当时，w有最大值，且最大值为；
∴该产品售价定为每千克30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元；
（3）解：当时，可得，
解得：，
∵，
∴舍去，
∴该农户想要每天获得150元的销售利润，售价应定为每千克25元；
【点睛】本题主要考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，根据条件得出函数解析式或方程是解题的关键．
基础常考题十九、二次函数的应用之投球问题
1．（2023·浙江·九年级假期作业）在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为（ ）
A．14米B．12米C．11米D．10米
【答案】B
【分析】根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求x的值即可．
【详解】解：当时，则，
解得（舍去）或．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，小明对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系为：，则小明此次实心球训练的成绩为 米．
【答案】
【分析】求出抛物线与轴正半轴的交点的横坐标，即为所求．
【详解】解：当时：，
解得：（不合题意，舍去），
∴小明此次实心球训练的成绩为米；
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．根据题意，求出抛物线与轴正半轴的交点的横坐标，是解题的关键．
3（2023春·山东东营·八年级东营市实验中学校考期中）掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生掷实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分10分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不能；理由见解析
【分析】（1）由图2可知，顶点坐标为，设二次函数表达式为，由此即可求解；
（2）令（1）中抛物线的解析式，且，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意设关于的函数表达式为，
把代入解析式得，，
解得，，
∴关于的函数表达式为：，
即：．
（2）解：不能得满分，理由如下，
根据题意，令，且，
∴，
解方程得，，（舍去），
∵，
∴不能得满分．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际运用，掌握二次函数的性质及求解是解题的关键．
基础常考题二十、二次函数的应用之图形运动问题
1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在中，，，．动点从点出发，沿边向点以的速度移动（不与点重合），同时动点从点出发，沿边向点以的速度移动（不与点重合）．当四边形的面积最小时，经过的时间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】用含代数式表示四边形的面积，通过配方求解．
【详解】解：设运动时间为秒，四边形的面积为，
则，，
，
，
即，
当时，有最小值为12，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了函数关系式的求法以及最值的求法，解题的关键是根据题意列出函数关系式，并根据二次函数的性质求出最值．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，中，，，为中点．、是边、上的动点，从出发向运动，同时以相同的速度从出发向运动，运动到停止．当为 时，的面积最大．
【答案】4
【分析】设，可得，可得到，再利用二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴当时，的面积最大．
故答案为：4
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意准确得到是解题的关键．
3．（2023秋·内蒙古通辽·九年级校考期中）已知：如图所示，在中，， cm， cm，点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．
(1)如果分别从同时出发，那么几秒后，的面积等于4cm2？
(2)几秒时，的面积最大？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）设经过x秒钟，的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．
（2）设经过t秒以后面积最大，用含的式子表示的面积，即可得出结论．
【详解】（1）解：设经过x秒以后面积为，则
，
整理得：，
解得：，
∵当时，，
∴不合题意，
答：1秒后的面积等于；
（2）解：当秒时，面积最大．理由如下：
设经过t秒以后面积最大，则
，
当秒时，面积最大．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“的面积最大”得出等量关系是解决问题的关键．
x
……
0
1
……
y
……
0
3
4
3
0
……
……
2
3
7
……
……
……
x
...
-2
-1
0
1
2
3
4
...
y
...
5
0
-3
-4
-3
0
5
...
…
…
…
…
…
…
…
…
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