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    专题11 垂径定理重难点题型专训(八大题型)-2023-2024学年九年级数学上册重难点高分突破(浙教版)
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    专题11 垂径定理重难点题型专训(八大题型)-2023-2024学年九年级数学上册重难点高分突破(浙教版)

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    这是一份专题11 垂径定理重难点题型专训(八大题型)-2023-2024学年九年级数学上册重难点高分突破(浙教版),文件包含专题11垂径定理重难点题型专训八大题型原卷版docx、专题11垂径定理重难点题型专训八大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共85页, 欢迎下载使用。

    题型一 利用垂径定理求值
    题型二 利用垂径定理求平行弦问题
    题型三 利用垂径定理求同心圆问题
    题型四 利用垂径定理求解其他问题
    题型五 垂径定理的推论
    题型六 垂径定理的实际应用
    题型七 利用弧、弦、圆心角的关系求解
    题型八 利用弧、弦、圆心角的关系求证
    【经典例题一 利用垂径定理求值】
    【例1】(2023春·辽宁鞍山·九年级统考阶段练习)如图,的半径垂直于弦,垂足为点,连接并延长交于点,连接,.若,,则的面积为( )

    A.12B.15C.16D.18
    【变式训练】
    1.(2023·陕西咸阳·统考一模)如图,是的直径,是的弦,且,垂足为,连接.若,,则的长为( )

    A.10B.5C.D.
    2.(2023秋·全国·九年级专题练习)如图,的半径为6cm,是弦,于点C,将劣弧沿弦折叠,交于点D,若D是的中点,则的长为 .

    3.(2023春·全国·九年级专题练习)如图,在中,弦,点C在上移动,连结,过点C作交⊙O于点D,则的最大值为 .
    4.(2023秋·浙江·九年级专题练习)如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦交小圆于C、D两点,若,.

    (1)求的长;
    (2)若大圆半径为,求小圆的半径.
    5.(2023·江苏·九年级假期作业)如图,,交于点,,是半径,且于点F.
    (1)求证:.
    (2)若,,求的半径.
    【经典例题二 利用垂径定理求平行弦问题】
    【例2】(2022·四川遂宁·中考真题)如图,在⊙O中,AE是直径,半径OC垂直于弦AB于D,连接BE,若AB=2,CD=1,则BE的长是
    A.5B.6C.7D.8
    【变式训练】
    1.(2022·九年级单元测试)如图所示,矩形与相交于、、、,若,,,则的长为( )
    A.2B.4C.6D.8
    2.(2022春·九年级课时练习)如图,AB,CD是半径为15的⊙O的两条弦,AB=24,CD=18,MN是直径,AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F,P为EF上任意一点,则PA+PC的最小值为 .
    3.(2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习)如图,矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G,B,F,E, GB =5,EF =4,那么AD = .
    4.(2021·全国·九年级专题练习)如图,A,B,C,D在上,经过圆心O的线段于点F,与交于点E,已知半径为5.
    (1)若,,求的长;
    (2)若,且,求弦的长;
    5.(2021春·全国·九年级专题练习)如图,在上,经过圆心的线段于点,与交于点.
    (1)如图1,当半径为,若,求弦的长;
    (2)如图2,当半径为 ,,若,求弦的长.
    【经典例题三 利用垂径定理求同心圆问题】
    【例3】(2023秋·江苏·九年级专题练习)如图,在平面直角坐标系中,一条圆弧经过,,O三点,那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的( )
    A.点DB.点EC.点FD.点G
    【变式训练】
    1.(2023秋·江苏·九年级专题练习)将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒,水平放置在桌面上,水杯的底面如图所示,已知水杯内径(图中小圆的直径)是8cm,水的最大深度是2cm,则杯底有水面AB的宽度是( )cm.
    A.6B.C.D.
    2.(2021秋·浙江台州·九年级统考期末) 如图,一人口的弧形台阶,从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧.已知每个台阶宽度为32cm(即相邻两弧半径相差32cm),测得AB=200cm,AC=BD=40cm,则弧AB所在的圆的半径为 cm
    3.(2021·湖南长沙·统考中考真题)如图,在⊙O中,弦的长为4,圆心到弦的距离为2,则的度数为 .
    4.(2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习)如图,在两个同心圆中,大圆的弦与小圆相交于C,D两点.
    (1)求证:.
    (2)若,大圆的半径,求小圆的半径r.
    5.(2020秋·江苏扬州·九年级统考阶段练习)高致病性禽流感是比SARS病毒传染速度更快的传染病.
    (1)某养殖场有8万只鸡,假设有1只鸡得了禽流感,如果不采取任何防治措施,那么,到第二天将新增病鸡10只,到第三天又将新增病鸡100只,以后每天新增病鸡数依次类推,请问:到第四天,共有多少只鸡得了禽流感病?到第几天,该养殖场所有鸡都会被感染?
    (2)为防止禽流感蔓延,政府规定:离疫点3千米范围内为扑杀区,所有禽类全部扑杀;离疫点3至5千米范围内为免疫区,所有的禽类强制免疫;同时,对扑杀区和免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理.现有一条笔直的公路AB通过禽流感病区,如图,O为疫点,在扑杀区内的公路CD长为4千米,问这条公路在该免疫区内有多少千米
    【经典例题四 利用垂径定理求解其他问题】
    【例4】(2020秋·浙江宁波·九年级校考期中)如图,四个水平放置正方形的边长都为4,顶点A、B、C是圆上的点,则此圆的面积为( )
    A.B.C.D.
    【变式训练】
    1.(2020秋·九年级课时练习)如图,在平面直角坐标系中,的圆心是,半径为3,函数的图象被截得的弦的长为,则的值是( )
    A.B.C.D.
    2.(2023春·江西南昌·九年级统考期末)如图,是半圆O的弦,过圆心O,过O作于点D.若,则 cm.

    3.(2023春·天津和平·九年级校考阶段练习)如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,点,点,点均在格点上,并且在同一个圆上,取格点,连接并延长交圆于点.
    (1)线段的长为 .
    (2)请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺画图:
    ①确定圆心;并求出四边形外接圆的半径为 ;
    ②画出线段,使平分,且点在圆上并简要说明点的位置是如何找到的(不要求证明) .
    4.(2023秋·江苏·九年级专题练习)不过圆心的直线交于、两点,是的直径,于,于.

    (1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形;
    (2)请你观察(1)中所画图形,写出一个各图都具有的两条线段相等的结论除外不再标注其他字母,找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中,不写推理过程);
    (3)请你选择(1)中的一个图形,证明(2)所得出的结论.
    5.(2020春·浙江杭州·九年级期中)如图,已知正方形的边长为1,正方形中,点在的延长线上,点在上,点在线段上,且.以为半径的与直线交于点、.
    (1)如图1,若点为中点,且点,点都在上,求正方形的边长.
    (2)如图2,若点在上,求证:以线段和为邻边的矩形的面积为定值,并求出这个定值.
    (3)如图3,若点在上,求证:.
    【经典例题五 垂径定理的推论】
    【例5】(2022春·九年级课时练习)如图,在△ABC中,,点D是AB的中点,将△ACD沿CD对折得△A′CD.连接,连接AA′交CD于点E,若,,则CE的长为( )
    A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm
    【变式训练】
    1.(2022春·九年级课时练习)如图,矩形中,,,,分别是,边上的动点,,以为直径的与交于点,.则的最大值为( ).
    A.48B.45C.42D.40
    2.(2021·浙江·九年级自主招生)如图,在中,,以该三角形的三条边为边向形外作正方形,正方形的顶点E,F,G,M,N都在同一个圆上.记该圆面积为,面积为,则的值是 .
    3.(2022秋·浙江嘉兴·九年级校联考期中)如图, 是以为直径的半圆上一点,连结,分别以为直径作半圆,其中分别是为直径作半圆弧的中点,弧,弧的中点分别是,若,,则的长是 .
    4.(2023秋·全国·九年级专题练习)△ABC中,AB=AC=5,BC=6,⊙O是△ABC的外接圆.
    (1)如图①,求⊙O的半径;
    (2)如图②,∠ABC的平分线交半径OA于点E,交⊙O于点D.求OE的长.
    5.(2021·上海·九年级专题练习)如图,已知在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交边DC于E、F两点,AD=1,BC=5,设⊙O的半径长为r.
    (1)联结OF,当OF∥BC时,求⊙O的半径长;
    (2)过点O作OH⊥EF,垂足为点H,设OH=y,试用r的代数式表示y;
    (3)设点G为DC的中点,联结OG、OD,△ODG是否能成为等腰三角形?如果能,试求出r的值;如不能,试说明理由.
    【经典例题六 垂径定理的实际应用】
    【例6】(2023·广西·统考中考真题)赵州桥是当今世界上建造最早,保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图,主桥拱呈圆弧形,跨度约为,拱高约为,则赵州桥主桥拱半径R约为( )

    A.B.C.D.
    【变式训练】
    1.(2023春·河北承德·九年级统考阶段练习)为了测量圆形工件的直径.
    甲:如图1,在工作台上用边长相同的两个立方体小木块顶在圆形工件的两侧,测得两木块间的距离b和小木块的边长a即可;
    乙:如图2,把两个小木块换成两个相同的小圆柱,量得圆柱半径n和两个圆心之间的距离m即可.
    下面的说法正确的是( )
    A.甲对乙不对B.甲不对乙对C.两人都不对D.两人都对
    2.(2023秋·河北石家庄·九年级校联考期末)如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面,“图上”太阳与海平线交于,两点,他测得“图上”圆的半径为5厘米,厘米.若从日前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为8分钟,则①现在“图上”太阳与海平线的位置关系是 ;②“图上”太阳升起的平均速度为 厘米/分.
    3.(2022秋·浙江温州·九年级温州绣山中学校考期中)如图1是某学校食堂墙壁上“光盘行动,从我做起”的长方形宣传画,画的左侧为一个圆盘上摆放一双筷子,画的下边缘为水平线,图2是其示意图,水平线上的点在圆心的正下方,筷子与右下方交于,两点,线段,分别垂直于点,.测得,,则圆盘的半径为 .
    4.(2022秋·广西河池·九年级统考期末)将图中破损的轮子复原,已知点,,在弧上.
    (1)尺规作图:作出该轮子的圆心(不写作法,用黑色笔将作图痕迹加黑);
    (2)连接,若点是弧的中点,,点到的距离是,求轮子的半径.
    5.(2023·湖南·统考中考真题)问题情境:筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,既经济又环保,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如图①).假定在水流量稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动,每旋转一周用时120秒.
    问题设置:把筒车抽象为一个半径为r的.如图②,始终垂直于水平面,设筒车半径为2米.当时,某盛水筒恰好位于水面A处,此时,经过95秒后该盛水筒运动到点B处.(参考数据,)

    问题解决:
    (1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时,的度数;
    (2)求该盛水筒旋转至B处时,它到水面的距离.(结果精确到米)
    【经典例题七 利用弧、弦、圆心角的关系求解】
    【例7】(2023·江苏·九年级假期作业)如图,的顶点A、B、C均在上,点A是中点,则下列结论正确的是( )

    A. B.
    C. D.
    【变式训练】
    1.(2023·江苏·模拟预测)将半径为5的如图折叠,折痕长为8,C为折叠后的中点,则长为( )

    A.2B.C.1D.
    2.(2023春·全国·九年级专题练习)如图,在半圆O中半径为,,与交于点D
    (1)= ;
    (2)当点D恰好为的中点时,= .
    3.(2022春·山东烟台·九年级校联考期中)如图,以的半径为半径,自上的A点起,在圆上依次画弧截取点B,C,D,E,F.正方形EFGH的中心为,连接FA,,则 .
    4.(2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中)如图,在半圆O中半径为,,,与交于点D,
    (1)__________;
    (2)当点D恰好为的中点时,__________.
    5.(2023秋·湖北鄂州·九年级统考期末)请仔细阅读以下材料:
    定理一:一般地,如图,四边形中,如果连接两条对角线后形成的,则四点共圆.
    我们由定理可以进一步得出结论:,,.
    定理二:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
    温馨提示:下面问题的关键地方或许能够用到上述定理,如果用到,请直接运用相关结论;如果你有自己更好的做法,那就以自己的做法为主,只要正确,一样得分.
    探究问题:如图,在和中,
    ,,,连接交于点,交于点,连接.
    (1)求证;
    (2)请直接写出___________度,___________度;
    (3)若,求证.
    【经典例题八 利用弧、弦、圆心角的关系求证】
    【例8】.(2023·江苏·九年级假期作业)如图,为的直径,点是的中点,过点作于点,延长交于点.若,,则的直径长为( )
    A.B.C.D.
    【变式训练】
    1.(2023春·河北承德·九年级校联考阶段练习)已知锐角,观察下图中的作图痕迹,判断下列结论错误的是( )
    A.当时,B.
    C.与互相垂直平分D.连接、,是等腰三角形
    2.(2022秋·九年级单元测试)判断下列命题是真命题还是假命题(写在横线上):
    (1)在同圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的弧也相等.
    (2)在等圆中,如果弦相等,那么它们所对的弧也相等.
    (3)在同圆或等圆中,如果弧相等,那么它们所对的弦的弦心距也相等.
    (4)在等圆中,如果弧不相等,那么它们所对的弦也不相等.
    3.(2023秋·北京·九年级清华附中校考期中)如图,是的直径,弦,分别过、作的垂线,垂足为、,以下结论
    ①;
    ②;
    ③若四边形是正方形,则;
    ④若为弧的中点,则为中点.
    所有正确结论的序号是 .
    4.(2023·湖北武汉·校考模拟预测)如图为圆O的直径,为圆O的弦,C为O上一点,,,垂足为D.

    (1)连接,判断与的位置关系,并证明;
    (2)若,,求圆O的半径;
    5.(2023秋·河南周口·九年级校考期末)问题呈现:阿基米德折弦定理:如图,和是的两条弦(即折线是弦的一条折弦),,是弧的中点,则从向所作垂线的垂足是折弦的中点,即,下面是运用“截长法”证明的部分证明过程
    证明:如图2,在上截取,连接,,和
    是弧的中点,
    ∴,
    ……
    (1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分;
    (2)实践应用:如图3,内接于,,是弧的中点,于点,依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为______.
    (3)如图4,等腰内接于,,为弧上一点,连接,,,,求的周长.
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