专题11 垂径定理重难点题型专训（八大题型）-2023-2024学年九年级数学上册重难点高分突破（浙教版）

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题型一 利用垂径定理求值
题型二 利用垂径定理求平行弦问题
题型三 利用垂径定理求同心圆问题
题型四 利用垂径定理求解其他问题
题型五 垂径定理的推论
题型六 垂径定理的实际应用
题型七 利用弧、弦、圆心角的关系求解
题型八 利用弧、弦、圆心角的关系求证
【经典例题一 利用垂径定理求值】
【例1】（2023春·辽宁鞍山·九年级统考阶段练习）如图，的半径垂直于弦，垂足为点，连接并延长交于点，连接，．若，，则的面积为（ ）

A．12B．15C．16D．18
【变式训练】
1．（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，是的直径，是的弦，且，垂足为，连接．若，，则的长为（ ）

A．10B．5C．D．
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，的半径为6cm，是弦，于点C，将劣弧沿弦折叠，交于点D，若D是的中点，则的长为 ．

3．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在中，弦，点C在上移动，连结，过点C作交⊙O于点D，则的最大值为 ．
4．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点，若，．

(1)求的长；
(2)若大圆半径为，求小圆的半径．
5．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，，交于点，，是半径，且于点F．
(1)求证：．
(2)若，，求的半径．
【经典例题二 利用垂径定理求平行弦问题】
【例2】（2022·四川遂宁·中考真题）如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是
A．5B．6C．7D．8
【变式训练】
1．（2022·九年级单元测试）如图所示，矩形与相交于、、、，若，，，则的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
2．（2022春·九年级课时练习）如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为 ．
3．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ．
4．（2021·全国·九年级专题练习）如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5．
（1）若，，求的长；
（2）若，且，求弦的长；
5．（2021春·全国·九年级专题练习）如图,在上,经过圆心的线段于点，与交于点.
(1)如图1,当半径为,若,求弦的长;
(2)如图2,当半径为 ,,若,求弦的长.
【经典例题三 利用垂径定理求同心圆问题】
【例3】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（ ）
A．点DB．点EC．点FD．点G
【变式训练】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（ ）cm.
A．6B．C．D．
2．（2021秋·浙江台州·九年级统考期末） 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm
3．（2021·湖南长沙·统考中考真题）如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为 ．
4．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．
(1)求证：．
(2)若，大圆的半径，求小圆的半径r．
5．（2020秋·江苏扬州·九年级统考阶段练习）高致病性禽流感是比SARS病毒传染速度更快的传染病．
（1）某养殖场有8万只鸡，假设有1只鸡得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依次类推，请问：到第四天，共有多少只鸡得了禽流感病？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染？
（2）为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路AB通过禽流感病区，如图，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米
【经典例题四 利用垂径定理求解其他问题】
【例4】（2020秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，四个水平放置正方形的边长都为4，顶点A、B、C是圆上的点，则此圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2020秋·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，的圆心是，半径为3，函数的图象被截得的弦的长为，则的值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·江西南昌·九年级统考期末）如图，是半圆O的弦，过圆心O，过O作于点D．若，则 cm．

3．（2023春·天津和平·九年级校考阶段练习）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，点，点均在格点上，并且在同一个圆上，取格点，连接并延长交圆于点．
（1）线段的长为 ．
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画图：
①确定圆心；并求出四边形外接圆的半径为 ；
②画出线段，使平分，且点在圆上并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ．
4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）不过圆心的直线交于、两点，是的直径，于，于．

(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；
(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论除外不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；
(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．
5．（2020春·浙江杭州·九年级期中）如图，已知正方形的边长为1，正方形中，点在的延长线上，点在上，点在线段上，且．以为半径的与直线交于点、．
（1）如图1，若点为中点，且点，点都在上，求正方形的边长．
（2）如图2，若点在上，求证：以线段和为邻边的矩形的面积为定值，并求出这个定值．
（3）如图3，若点在上，求证：．
【经典例题五 垂径定理的推论】
【例5】（2022春·九年级课时练习）如图，在△ABC中，，点D是AB的中点，将△ACD沿CD对折得△A′CD．连接，连接AA′交CD于点E，若，，则CE的长为（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm
【变式训练】
1．（2022春·九年级课时练习）如图，矩形中，，，，分别是，边上的动点，，以为直径的与交于点，．则的最大值为（ ）．
A．48B．45C．42D．40
2．（2021·浙江·九年级自主招生）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E，F，G，M，N都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是 ．
3．（2022秋·浙江嘉兴·九年级校联考期中）如图， 是以为直径的半圆上一点，连结，分别以为直径作半圆，其中分别是为直径作半圆弧的中点，弧，弧的中点分别是，若，，则的长是 ．
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的外接圆．
（1）如图①，求⊙O的半径；
（2）如图②，∠ABC的平分线交半径OA于点E，交⊙O于点D．求OE的长．
5．（2021·上海·九年级专题练习）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交边DC于E、F两点，AD＝1，BC＝5，设⊙O的半径长为r．
（1）联结OF，当OF∥BC时，求⊙O的半径长；
（2）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，设OH＝y，试用r的代数式表示y；
（3）设点G为DC的中点，联结OG、OD，△ODG是否能成为等腰三角形？如果能，试求出r的值；如不能，试说明理由．
【经典例题六 垂径定理的实际应用】
【例6】（2023·广西·统考中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）

A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）为了测量圆形工件的直径．
甲：如图1，在工作台上用边长相同的两个立方体小木块顶在圆形工件的两侧，测得两木块间的距离b和小木块的边长a即可；
乙：如图2，把两个小木块换成两个相同的小圆柱，量得圆柱半径n和两个圆心之间的距离m即可．
下面的说法正确的是（ ）
A．甲对乙不对B．甲不对乙对C．两人都不对D．两人都对
2．（2023秋·河北石家庄·九年级校联考期末）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于，两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，厘米．若从日前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为8分钟，则①现在“图上”太阳与海平线的位置关系是 ；②“图上”太阳升起的平均速度为 厘米/分．
3．（2022秋·浙江温州·九年级温州绣山中学校考期中）如图1是某学校食堂墙壁上“光盘行动，从我做起”的长方形宣传画，画的左侧为一个圆盘上摆放一双筷子，画的下边缘为水平线，图2是其示意图，水平线上的点在圆心的正下方，筷子与右下方交于，两点，线段，分别垂直于点，．测得，，则圆盘的半径为 ．
4．（2022秋·广西河池·九年级统考期末）将图中破损的轮子复原，已知点，，在弧上．
(1)尺规作图：作出该轮子的圆心（不写作法，用黑色笔将作图痕迹加黑）；
(2)连接，若点是弧的中点，，点到的距离是，求轮子的半径．
5．（2023·湖南·统考中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的．如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，）

问题解决：
(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数；
(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米）
【经典例题七 利用弧、弦、圆心角的关系求解】
【例7】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，的顶点A、B、C均在上，点A是中点，则下列结论正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【变式训练】
1．（2023·江苏·模拟预测）将半径为5的如图折叠，折痕长为8，C为折叠后的中点，则长为（ ）

A．2B．C．1D．
2．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在半圆O中半径为，，与交于点D
（1）＝ ；
（2）当点D恰好为的中点时，＝ ．
3．（2022春·山东烟台·九年级校联考期中）如图，以的半径为半径，自上的A点起，在圆上依次画弧截取点B，C，D，E，F．正方形EFGH的中心为，连接FA，，则 ．
4．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，在半圆O中半径为，，，与交于点D，
(1)__________；
(2)当点D恰好为的中点时，__________．
5．（2023秋·湖北鄂州·九年级统考期末）请仔细阅读以下材料：
定理一：一般地，如图，四边形中，如果连接两条对角线后形成的，则四点共圆．
我们由定理可以进一步得出结论：，，．
定理二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
温馨提示：下面问题的关键地方或许能够用到上述定理，如果用到，请直接运用相关结论；如果你有自己更好的做法，那就以自己的做法为主，只要正确，一样得分．
探究问题：如图，在和中，
，，，连接交于点，交于点，连接．
(1)求证；
(2)请直接写出___________度，___________度；
(3)若，求证．
【经典例题八 利用弧、弦、圆心角的关系求证】
【例8】．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，为的直径，点是的中点，过点作于点，延长交于点．若，，则的直径长为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023春·河北承德·九年级校联考阶段练习）已知锐角，观察下图中的作图痕迹，判断下列结论错误的是（ ）
A．当时，B．
C．与互相垂直平分D．连接、，是等腰三角形
2．（2022秋·九年级单元测试）判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）：
（1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等．
（2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等．
（3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等．
（4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等．
3．（2023秋·北京·九年级清华附中校考期中）如图，是的直径，弦，分别过、作的垂线，垂足为、，以下结论
①；
②；
③若四边形是正方形，则；
④若为弧的中点，则为中点．
所有正确结论的序号是 ．
4．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图为圆O的直径，为圆O的弦，C为O上一点，，，垂足为D．

(1)连接，判断与的位置关系，并证明；
(2)若，，求圆O的半径；
5．（2023秋·河南周口·九年级校考期末）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图，和是的两条弦（即折线是弦的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程
证明：如图2，在上截取，连接，，和
是弧的中点，
∴，
……
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)实践应用：如图3，内接于，，是弧的中点，于点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为______.
(3)如图4，等腰内接于，，为弧上一点，连接，，，，求的周长.