专题14 弧长及扇形的面积重难点题型专训（七大题型）-2023-2024学年九年级数学上册重难点高分突破（浙教版）

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题型一 求弧长
题型二 求扇形半径
题型三 求圆心角
题型四 求某点的弧形运动路径长度
题型五 求扇形面积
题型六 求弓形面积
题型七 求不规则图形的面积
【经典例题一 求弧长】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，，是边上的一点，以为直径的交边于点，若，则的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，根据，得，再根据圆周角定理得，即可求出答案．
【详解】解：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
的长为，
故选：B．
【点睛】本题考查了弧长的计算和圆周角定理，熟练记住弧长公式：（弧长为，圆心角度数为，圆的半径为）是关键．
2．（2023秋·山西长治·九年级统考期末）如图，在平行四边形中，以为直径的与相交于点E，与相交于点F，，已知，，则的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，弧长公式计算即可．
【详解】如图，连接，

∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵平行四边形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，平行四边形的性质，弧长公式，熟练掌握弧长公式，圆周角定理是解题的关键．
3．（2022秋·广西贵港·九年级统考期末）如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若该莱洛三角形的周长（即外周三段弧的和）为，则的边长为 ．

【答案】3
【分析】利用弧长公式计算即可．
【详解】设的边长为x，根据题意，得
，
∴，
解得，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，弧长公式，熟练掌握等边三角形的性质和弧长公式是解题的关键．
4．（2023·四川成都·校考三模）“斐波那契螺旋线”（也称“黄金螺旋”）是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，人类耳朵的形状也符合这种螺旋形状，这种形状的构造帮助人类可以更好地接收声波，从而增强听觉．现依次取边长为1，1，2，3，5……的正方形按如图所示方式拼接，分别以每个正方形的一个顶点为圆心，边长为半径作圆弧，连接形成的螺旋曲线即为“斐波那契螺旋线”．那么前五个正方形内形成的曲线的长度是 ．

【答案】
【分析】观察图形可知，螺旋曲线的每一段都是以正方形的边长为半径的圆弧构成，计算出每个正方形的边长，再根据圆的周长公式即可求解．
【详解】解：由图可知，正方形的边长依次为：1，1，2，3，5……，螺旋曲线的每一段都是以正方形的边长为半径的圆弧构成，
故前五个正方形内形成的曲线的长度是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查弧长的计算，解题的关键是观察图形得出每一段圆弧对应的正方形的边长．
5．（2023春·河北邢台·九年级统考开学考试）如图，一量角器所在圆的直径为，其外缘有两点，其读数分别为和．

(1)劣弧所对圆心角=__________；
(2)求的长（结果不求近似值）．
【答案】(1)24
(2)
【分析】（1）根据量角器所示的度数计算；
（2）根据弧长公式计算．
【详解】（1）解：劣弧所对圆心角的度数为．
故填：．
（2）解：的长．
【点睛】本题考查的是圆心角的计算与弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．
6．（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）【感知】（1）如图，在中，，，，是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线分别与、相交于G、H．
证明：．
【探究】（2）证明：点A、C、G、D均在以为直径的圆上．
【拓展】（3）在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质，运用边角边定理证明全等即可．
（2）证明即可．
（3）根据四点共圆，判定点G移动轨迹为，计算出圆心角和半径，代入弧长公式计算即可．
【详解】证明：（1）∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴．
证明：（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴A、C、G、D四点共圆，且均在以为直径的圆上．
（2）∵A、C、G、D四点共圆，且均在以为直径的圆上
∴点G的运动轨迹为，
设的中点为点O，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点G的运动轨迹的长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，四点共圆的判定，弧长的计算，熟练掌握性质和公式是解题的关键．
【经典例题二 求扇形半径】
1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】当圆与相切时，半径最大，设，根据扇形的弧长等于底面圆的周长，进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：当圆与相切时，半径最大，
设，则：圆的直径为：，
∵扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，
∴，解得：；
∴的长为；
故选C．
【点睛】本题考查求圆锥的母线长．熟练掌握扇形的弧长等于圆锥的底面周长，是解题的关键．
2．（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图是某圆弧形桥洞，水面跨径米，小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】A
【分析】取圆心，连接，，，，根据圆周角定理得，设半径为米，则米，在中，根据勾股定理得，解得，圆弧所在圆的半径米．
【详解】解：如图，取圆心，连接
，
，
，
设半径为米，则米，
在中，根据勾股定理得，
，
即，
解得，
圆弧所在圆的半径米．
故选：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，由勾股定理得出方程是解题的关键．
3．（2023·河南新乡·校联考二模）如图，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点的对应点恰好落在边上，若的长为，则的长为 ．
【答案】2
【分析】连接，，由旋转可知，根据弧长公式得，得，在中，根据勾股定理得，即，即可求出．
【详解】解：如图，连接，，

由旋转可知
∵的长为，
，
，
四边形是矩形，
，，
∴
∴
在中，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长的计算，矩形的性质和旋转的性质，熟记公式是解题的关键．
4．（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）如图，半圆的直径为，点为半圆的三等分点，点为直径上任意一点，若阴影部分的面积为，则半圆的半径为 ．
【答案】5
【分析】连接，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形的面积，然后计算半径即可．
【详解】解：连接，如图所示，
和同底等高，
，
点为半圆的三等分点，
，
阴影部分的面积＝，
，
解得：，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了扇形面积求法，利用已知得出阴影部分的面积等于扇形的面积是解题的关键．
5．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，已知．
（1）试用尺规作图确定所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若的度数为120°，的长是8π，求所在圆的半径的长．
【答案】（1）作图见解析；（2）12
【分析】（1）在弧上任取一点C，连接AC，BC，作弦AC、弦BC的垂直平分线即可
（2）根据弧长公式计算即可；
【详解】（1）在弧上任取一点C，连接AC，BC，作弦AC、弦BC的垂直平分线即可，点O即为所求；
（2）如图，连接AO，BO，
∵弧AB的度数为，
∴，
又∵弧AB的长是，
∴，
解得：，
∴所在圆的半径的长是12．
【点睛】本题主要考查了弧长公式的应用，结合垂直平分线作图求解是解题的关键．
6．（2022秋·全国·九年级统考期末）庆祝小丽十三岁生日那天，小丽和位好朋友一起均匀地围坐在一张半径为厘米的圆桌旁，每人离圆桌的距离均为厘米．后来小丽的爸爸和妈妈也赶到了，在座的每个人都向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使人都坐下，此时人之间的距离与原来人之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等，那么每人向后挪动的距离是多少厘米？
【答案】．
【分析】根据人之间的距离与原来人之间的距离相等，列方程求解即可.
【详解】解：设每人向后挪动的距离为，则这个人之间的距离是：，人之间的距离是：，
根据等量关系列方程得：
，
解得．
【点睛】本题考查了与圆相关的计算,属于简单题,熟悉弧长公式是解题关键.
【经典例题三 求圆心角】
1．（2023·河北邯郸·校考三模）如图1是边长为的等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的面积是（ ）

A．1B．2C．D．
【答案】C
【分析】根据题意的长就是边的长，由弧长公式求得扇形的圆心角的度数，进而根据扇形面积公式即可求解．
【详解】解：设，
，
，
解得：，
圆心角的度数为：
扇形的面积是，
故选：C．
【点睛】本题考查了弧长公式的应用，扇形的面积计算，掌握公式和理解图形变化前后对应关系是解题的关键．
2．（2021秋·甘肃金昌·九年级校考阶段练习）在半径为6 cm的圆中，长为2π cm的弧所对的圆周角的度数为 （ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】A
【分析】根据弧长公式，即可求出弧所对的圆心角的度数．
【详解】∵，
∴圆心角的度数为n=2×30°=60°．
∴长为2π cm的弧所对的圆周角的度数为，
故选A．
【点睛】本题考查了弧长的计算，牢记弧长公式是解题的关键．
3．（2023·云南临沧·统考三模）现有一个圆周的扇形纸片，该扇形的半径为40cm，小琪同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角度数为 ．
【答案】30/30度
【分析】根据圆锥形纸帽的底面半径，可计算出展开后的扇形的弧长，根据弧长公式即可算出剩下扇形纸片的圆心角，再利用原来扇形纸片的圆心角减去剩下扇形纸片的圆心角，即可解答．
【详解】解：剩下扇形纸片的弧长为：cm，
原来的扇形纸片的圆心角为：，
则剩下扇形纸片的圆心角为：，
剪去的扇形纸片的圆心角度数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形的弧长公式和圆锥相关计算，熟知两者之间的对应关系：圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长两个关系，是解题的关键．
4．（2023秋·湖北荆州·九年级统考期末）扇子在我国已经有三、四千年的历史，中国扇文化有丰富的文化底蕴．如图，扇形纸扇完全打开后，的长为，扇面的长为，若弧的长为，则扇面的面积为 ．
【答案】
【分析】先利用扇形的弧长求出圆心角的度数，再由两个扇形的面积作差即可得到答案．
【详解】解：设扇形的圆心角为n，则，解得，
则扇面的面积为．
故答案为：
【点睛】此题考查了扇形面积和弧长，熟练掌握扇形面积公式和弧长公式是解题的关键．
5．（2023·福建·模拟预测）石家庄市水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光．据工作人员介绍，新建摩天轮直径为100m，最低点距离地面1m，摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱，运行一圈时间恰好是13分14秒，寓意“一生一世”．小明从摩天轮的底部出发开始观光，摩天轮转动1周．
(1)小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为 m；
(2)在小明进座舱后间隔3个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于P、Q两点），
①求两人所在座舱在摩天轮上的距离（弧的长）；
②求此时两人所在座舱距离地面的高度差；
(3)受周围建筑物的影响，当乘客与地面的距离不低于时，可视为最佳观赏位置，求最佳观赏时间有多长（不足一分钟按一分钟记）．
【答案】(1)101
(2)①m；②25m
(3)5分钟
【分析】（1）根据题意得出最高点是直径加即可；
（2）①求出圆心角的度数，再根据弧长公式进行计算即可；
②求出的长即可，利用直角三角形的边角关系求出的长，进而求出即可；
（3）求出达到最佳观赏位置时，座椅所处的位置，进而求出所夹的弧所对的圆心角的度数，由圆心角所占周角的百分比，得出最佳观赏时间占13分14秒的百分比，通过计算可得答案．
【详解】（1）解：如图，由题意可知，，，
当座椅转到点时，距离地面最高，此时，
故答案为：101；
（2）①圆周上均匀的安装24个座椅，因此每相邻两个座椅之间所对的圆心角为，
，
的长为，
答：两人所在座舱在摩天轮上的距离（弧的长）为；
②由题意得，两人所在座舱距离地面的高度差就是的长，
在中，，，
，
，
即两人所在座舱距离地面的高度差为；
（3）如图，当时，对应的座椅为点、点，当座椅在上运动时，观赏位置最佳，
此时，，
，
，
的长是圆周长的，
因此最佳观赏位置所持续的时间为：13分14秒的，
，
答：最佳观赏时间有多长约有5分钟．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，掌握弧长计算公式是正确计算的关键．
6．（2021·河北邢台·校考二模）如图1，扇形的半径为6，弧长为．
（1）求圆心角的度数；
（2）如图2，将扇形绕点逆时针旋转60°，连接，．
①判断四边形的形状并证明；
②如图3，若，将绕点旋转，与 ，分别交于点（点，与点， ，均不重合），判断的值是否为定值，如果是定值请求出；如果不是，说明理由．
【答案】（1）60°；（2）①菱形，证明见解析；②是，6
【分析】（1）根据弧长公式即可得到答案；
（2）①证明与是等边三角形，可得四边形得四边相等，从而证明四边形 是菱形；
②证明得，从而可得 ，是定值6．
【详解】解：（1）扇形的半径为6，弧长为．
∴，解得： ，
∴的度数为60°．
（2）①四边形是菱形．在扇形中，， ，
∴是等边三角形，∴，
∵将扇形绕点逆时针旋转60°，
∴与是等边三角形，
∴，∴四边形是菱形．
②是定值
由①可知与是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：，
又，．
∴≌，
∴，
∴．
【点睛】本题考查扇形圆心角的度数、菱形判定、旋转、全等三角形等综合知识，熟悉相关性质是解题的关键．
【经典例题四 求某点的弧形运动路径长度】
1．（2023·湖南娄底·统考一模）如图，一个边长为的等边三角形木板在平面直角坐标系上绕点按顺时针旋转到的位置，则顶点从开始到结束所经过的路程及的横坐标分别为( )

A．B．，C．，D．，
【答案】A
【分析】由题意知，顶点从开始到结束所经过的路径为圆弧，所对的圆心角为，根据弧长公式计算求得顶点从开始到结束所经过的路程，再根据等边三角形的三线合一的性质，即可求得的横坐标．
【详解】解：一个边长为的等边三角形木板，在平面直角坐标系上绕点按顺时针旋转到的位置，

，，
，
作于，
是等边三角形，
的横坐标为，
故选：A．
【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，弧长公式等知识，得出点运动的路径是解题关键．
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，将边长为的正方形绕着其中心点沿所在直线顺时针转动，转动四周后刚好在以为中心的正方形处，在此过程中，中心点移动的路径长为( )

A．B．C．D．无法计算
【答案】C
【分析】根据正方形的性质可得，，又边长为的正方形沿直线按顺时针方向翻滚当正方形翻滚一周时，需要翻滚四次，而每次正方形的中心所经过的路径长为弧以为圆心，为半径，然后根据弧长公式计算出弧的长，即可求解．
【详解】解：如图所示，

四边形为正方形，且边长为，
，，
边长为的正方形沿直线按顺时针方向翻滚当正方形翻滚一周时，需要翻滚四次，
而每次正方形的中心所经过的路径长为弧以为圆心，为半径，
弧的长，
当正方形翻滚一周时，正方形的中心所经过的路径长．
转动四周后正方形的中心所经过的路径长为
故选：C．
【点睛】本题考查了求弧长，正方形的性质，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，，分别是射线上的动点，的长始终为，点为的中点，则点的运动路径长为

【答案】
【分析】根据垂直的定义可知是直角三角形，再根据直角三角形的性质可知，最后利用弧长公式即可解答．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∵，
∴，
∴点的运动路径长为弧，
∴弧的长度：，
故答案为．

【点睛】本题考查了垂直的定义，直角三角形的性质，弧长公式，掌握直角三角形的性质是解题的关键．
4．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边重合（），其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第20秒时点E在量角器上运动路径长是 ．

【答案】
【分析】首先连接，由，易得点，，，C共圆，然后由圆周角定理，求得点E在量角器上对应的读数．
【详解】解：连接，

∵，
∴A，B，C在以点O为圆心，AB为直径的圆上，
∴点E，A，B，C共圆，
∵，
∴．
∴点E在量角器上运动路径长，
故答案为：2π．
【点睛】本题考查的是圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
5．（2023春·陕西西安·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上，点A的坐标是

(1)将平移，使点B平移到，画出平移后的，此时线段的长度为 ；
(2)画出绕坐标原点O逆时针旋转后的，那么在旋转过程中点C走过的路径长为 ．
【答案】(1)见解析,
(2)
【分析】(1)根据平移坐标为，得到向左平移1个单位长度，向上平移6个单位长度，确定A，C的平移后坐标，画图形即可，利用两点间的距离公式计算即可．
(2)根据勾股定理计算半径，根据旋转得到圆心角，利用弧长公式计算即可．
【详解】（1）∵平移坐标为，
∴向左平移1个单位长度，向上平移6个单位长度，
∵，，
∴，，
画图如下，

则即为所求；
∵，，
∴，
故答案为：．
（2）根据勾股定理计算半径，
根据旋转得到圆心角，
故运动路径长为，
故答案为：．

【点睛】本题考查了平移规律，旋转的性质，勾股定理，弧长公式，熟练掌握平移规律是解题的关键．
6．（2023春·九年级单元测试）为推进“双减”政策落地落实，某校在校内课后延时服务中开设了丰富多彩的兴趣社团活动，小明同学在手工社团课上制造出一个特殊的小汽车，如图1是这个小汽车的侧面示意图，其中矩形表示该小汽车的后备箱．在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在了的位置（如图2所示，已知，）．求点E在旋转过程中经过的路线长．（结果保留根号和）
【答案】厘米
【分析】连接，，，利用旋转的性质可得出，，进而可得出是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出，在中，利用勾股定理可求出的长度，结合可得出、两点的距离．
【详解】解：连接，，，如图所示．
由题意，得：，，
是等边三角形，
．
四边形是矩形，
．
在中，厘米，厘米，
（厘米），
的长（厘米）．
答：点在旋转过程中经过的路线长厘米．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、求弧长，解题的关键是利用勾股定理求出的长度，掌握弧长公式．
【经典例题五 求扇形面积】
1．（2023·山西忻州·校联考模拟预测）如图，是等边三角形，是边上的中线，以点为圆心，长为半径画弧分别交，于点，，过点作于点，交于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等边三角形的性质得，，再利用是边上的中线得到，，，则，易证得是等边三角形，是等边三角形重心，然后根据扇形面积公式，用一个扇形的面积减去的面积可得到图中阴影部分的面积．
【详解】解：为等边三角形，
，，
是边上的中线，
，，，
，
，
是等边三角形，
于点，
是的角平分线，，
是是重心，
，
图中阴影部分的面积．
故选：A．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算：阴影面积常用的方法：直接用公式法；和差法；割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了等边三角形的性质．
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，则阴影部分的面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】可求，，从而可证是等边三角形，可得，即可求解．
【详解】解：，，，
，，
，
是等边三角形，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，扇形的面积公式，掌握性质及公式是解题的关键．
3．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，以点为圆心，线段的长为半径作，交的延长线于点，求出阴影部分的面积（结果保留）．

【答案】
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理利证明，利用勾股定理求出，根据计算即可．
【详解】解：，，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形的面积，等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是明确．
4．（2023秋·河南濮阳·九年级统考期末）如图，正方形的边长为，点E为的中点，以E为圆心，为半径作圆，分别交、于M、N两点，与切于P点．则图中阴影部分的面积是 ．

【答案】
【分析】根据直角三角形的性质求出和，根据勾股定理求出，根据扇形面积公式计算，得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∵，
∴，，
∴，
同理，，
∴，
阴影部分的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是切线的性质、正方形的性质、扇形面积计算，熟记扇形面积公式是解题的关键．
5．（2022秋·上海静安·七年级上海市风华初级中学校考期中）在长方形中，弧是以为圆心的一段圆弧，．

求：
(1)用含有的代数式表示阴影部分的面积；
(2)当时，求图中阴影部分的面积（结果保留）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由矩形的性质和弧是以为圆心的一段圆弧可得，再根据，进行计算即可得到答案；
（2）代入的值即可得到答案．
【详解】（1）解：在长方形中，弧是以为圆心的一段圆弧，，
，
阴影部分的面积为：；
（2）解：当时，．
【点睛】本题考查了列代数式及求代数式的值，矩形的性质，扇形的面积公式，熟练掌握矩形的性质，扇形的面积公式，是解题的关键．
6．（2023·吉林长春·统考一模）如图，为的直径，．动点在上且位于直线上方，连结．作点关于直线的对称点，连结．

(1)当点与点重合时，的大小为________度；
(2)当时，求的长；
(3)当平分线段时，求扇形的面积；
(4)连接，当时，直接写出线段的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)或
【分析】（1）根据轴对称的性质即可求解；
（2）根据平行线的性质得出，由轴对称的性质可得，，则，得出是等边三角形，可得，进而根据弧长公式即可求解；
（3）连接，则，由轴对称的性质可得，则，得出，根据扇形面积公式即可求解；
（4）分在优弧时与劣弧时，两种情况讨论即可求解．
【详解】（1）∵关于对称，
∴当与点重合时，
∴的大小为度，
故答案为：．
（2）当时，
由轴对称的性质可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
（3）如图所示，连接，则，

∵平分，
∴，
由轴对称的性质可得，
∴
∵，
∴，
∴，
（4）解：如图所示，连接交于点，

∴，且，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
如图所示，连接交的延长线于点，同理可得，则，

在中，，
∴的长为或．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，求弧长，求扇形面积，勾股定理，垂径定理，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
【经典例题六 求弓形面积】
1．（2023·山西临汾·统考二模）如图，是的直径，是弦，，在直径上截取，延长交于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】如图，连接，过点O作于点F，求出，由圆周角定理得，得，由三角形外角的性质得，由垂径定理得，根据勾股定理得，根据求解即可．
【详解】解：如图，连接，过点O作于点F，

则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴∠，
∴∠，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，扇形面积等知识，求出扇形的半径和圆心角是解答本题的关键．
2．（2023秋·九年级单元测试）如图，是的直径，弦与垂直，垂足为点，连接并延长交于点，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，首先证明是等边三角形，证明，求出即可解决问题．
【详解】解：如图，连接．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
3．（2023·河南周口·校联考三模）如图，在中，，，以中点D为圆心、长为半径作半圆交线段于点E，则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】
【分析】连接，，然后根据已知条件求出，，从而得到，最后结合扇形的面积计算公式求解即可．
【详解】解：如图，连接，．

∵为直径，
∴．
∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴阴影部分的面积=
．
故答案为：．
【点睛】本题考查阴影部分面积计算问题，涉及到扇形面积计算，等边三角形的判定与性质，直径所对的圆周为直角等，掌握扇形面积计算公式是解题关键．
4．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，以为直径作交斜边于点D，点M是中点，过点M作直线于点E，交于点F．
(1)证明：是的切线；
(2)若，求图中阴影部分面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据圆周角定理和等腰三角形的性质证得，进而证明，得到，利用切线的判定定理即可证得结论；
（2）连接，过点O作，根据等腰三角形的性质证得，则，再证明四边形是矩形得到，再根据等腰直角三角形的性质求得，由求解即可．
【详解】（1）证明：连接、，
∵点M是弧中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，又是的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，过点O作，
∵是等腰直角三角形，∴，
∵，
∴，∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，∴，
∵
∴．
【点睛】本题考查切线的判定、等腰直角三角形的判定与性质、圆周角定理、矩形的判定与性质、扇形的面积公式等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
【经典例题七 求其他不规则图形的面积】
1．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图，为的直径，射线交于点，点为劣弧的中点，连接．若，，则阴影部分的面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接，，交于，由圆周角定理可，，可知和均为等边三角形，继而可知，可得，再结合阴影部分的面积即可求解．
【详解】解：连接，，交于，

∵点为劣弧的中点，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴和均为等边三角形，即：，
∴，
∴，
则阴影部分的面积
故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理，扇形的面积公式，等边三角形的判定及性质，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．
2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，某玩具品牌的标志由半径为的三个等圆构成，且三个等圆相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等，只要计算出一个阴影部分的面积即可，如图，连接，阴影的面积＝扇形的面积，据此即可解答.
【详解】解：根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等；
如图，连接，则，是等边三角形，
∴，弓形的面积相等，
∴阴影的面积＝扇形的面积，
∴图中三个阴影部分的面积之和；
故选：C.

【点睛】本题考查了不规则图形面积的计算，正确添加辅助线、掌握求解的方法是解题关键.
3．（2023·河南新乡·校联考三模）如图，在扇形中，，，将扇形沿射线方向平移得到对应的扇形，交于点，若点恰好为弧的点，则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】
【分析】根据平移的性质，圆周角定理以及直角三角形的边角关系求出，再根据图形中的面积关系进行计算即可求解.
【详解】解：如图，连接，过点N作于点F，由平移可知，四边形是平行四边形，

∵点P是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴
=.
故答案为：.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，扇形的面积计算，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
4．（2023秋·江西赣州·九年级统考期末）如图为的直径，且，点是弧上的一动点（不与，重合），过点作的切线交的延长线于点，点是的中点，连接．

(1)若，求线段的长度；
(2)求证：是的切线；
(3)当时，求图中阴影部分面积．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，如图，连接，根据切线的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式和勾股定理即可得到结论；
（2）连接，，由是的中点，可得，证明，得，则结论得证；
（3）阴影部分的面积即为四边形的面积减去扇形的面积．
【详解】（1）如图，连接，

是的切线，
，
，
为的直径，
，
，
；
（2）连接
为的直径，
，在中，
，
，
，
是的切线，
，
为半径，
是的切线；
（3）
，
，
，
．
四边形的面积为，
阴影部分面积为．
【点睛】此题考查了圆的综合题，全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，直角三角形的性质、等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法，正确的作出辅助线是解题的关键．