专题03 解直角三角形及其应用（7大题型）-2023-2024学年九年级数学下册重难点高分突破（浙教版）

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题型一 解直角三角形的相关计算
题型二 解非直角三角形
题型三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
题型四 仰角俯角问题
题型五 方位角问题
题型六 坡度坡比问题
题型七 解直角三角形的其他应用
【知识梳理】
知识点1：解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA=∠A的对边斜边=ac，csA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
知识点2：解直角三角形的应用——仰角、俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角；
知识点3：解直角三角形的应用——方位角问题
（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
知识点4：解直角三角形的应用—:坡度、坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
知识点5: 解直角三角形的综合应用
（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
【经典例题一 解直角三角形的相关计算】
1．（22·23下·深圳·模拟预测）如图，在边长为6的等边中，点E在边上自A向C运动，点F在边上自C向B运动，且运动速度相同，连接交于点P，连接，在运动过程中，点P的运动路径长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点A作于A，作于，连接，交于，证明，得，再证明，可得，确定点的运动路径是以点为圆心，以为半径的弧，再由弧长公式求解即可．
【详解】解：如图，过点A作于A，作于，连接，交于，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
是的垂直平分线，，
在中，，
，，
，
，
，
，
，
，
点的运动路径是以点为圆心，以为半径的弧，
点P的运动路径长为．
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，扇形的面积，动点的运动轨迹等知识，确定点的运动轨迹是解本题的关键．
2．（21·22下·武汉·模拟预测）如图，在扇形中，，，点C为半径上的一点，过C作交弧于点D，交于E，若，则的值为（ ）

A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，由，，可得．设，则，，．在中，由，可得方程，求解得，因此，，从而求解．
【详解】连接，

∵，，
∴．
设，则
∵在中，，
∴．
∵
在中，，
∴，解得，
∴，，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键．
3．（21·22下·武汉·一模）如图，已知D为等腰的腰上一点，绕点D逆时针旋转至，连接，，M为的中点，则当时， ．

【答案】/0.25
【分析】连接，过点E作于点F，根据旋转的性质可得，，推出，则，根据三角形的中位线定理可得，通过证明，可推出，得出，即可求解．
【详解】解：连接，过点E作于点F，
∵绕点D逆时针旋转至，
∴，，则，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点D为中点，
∵M为的中点，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
则，
∵，，，
∴，
∴，
∴，即，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，旋转的性质，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，相似三角性质对应边成比例．
4．（21·22下·芜湖·自主招生）如图所示，已知，且与的距离为2，与的距离为1，正三角形的三个顶点分别在，，上，则 ．

【答案】
【分析】作于．将绕点逆时针旋转60°到，过作的垂线．显然有为等边三角形，，都是有一个角为30°的直角三角形，所以．勾股定理，即可求解．
【详解】解： 如图所示作于则，将绕点逆时针旋转60°到，过作的垂线，交分别于点，

∴为等边三角形，则
∴
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
5．（2022秋·广东深圳·八年级深圳市南山区荔香学校校考期中）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（），如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：

(1)________．
(2)对于，的正对值的取值范围是________．
(3)如图②，已知，其中为锐角，试求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）如图，,，所以.
（2）如图，当点A向靠近时，增大，逐渐接近，腰长接近， 相应的；当点A远离时，减小，逐渐接近，腰长逐渐增大，相应的；于是．
（3）如图，在上截取，过H作于D，设，则,．解，，．
【详解】（1）解：如图，,
,
∵,
∴.

（2）解：如图，点A在的中垂线上，当点A向靠近时，增大，逐渐接近，腰长接近， 相应的；
当点A远离时，减小，逐渐接近，腰长逐渐增大，相应的逐渐接近0，；
∴

（3）解：如图，在上截取，过H作于D，
，
设，则，,
∴．
中，，
∴．

【点睛】本题考查新定义，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形性质；添加辅助线，构造等腰三角形是解题的关键．
【经典例题二 解非直角三角形】
1．（2020·哈尔滨·模拟预测）如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点两点的距离为（）千米．
A．4B．C．2D．6
【答案】D
【分析】根据题意可知，，千米，则根据三角函数可求、，再根据，利用三角函数可求BC，则．
【详解】解：由题意可知，，，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义，正确标注方向角是解题的关键．
2．（2019上·成都·期末）如图，在等腰中，于点，则的值（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由，易得，由可得，进而用勾股定理分别将BD、BC长用AB表示出来，再根据即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
故选：D
【点睛】本题主要考查了解三角形，涉及了等腰三角形性质和勾股定理以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
3．（23·24上·哈尔滨·阶段练习）在中，若，，，则 ．
【答案】1或13
【分析】过点作于点，分高在三角形内部和三角形外部两种情况进行讨论求解．
【详解】解：过点作于点，分两种情况讨论：
①当在的外部时，如图：

∵，
∴设，则：，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当在的内部时，如图：

同法可得：，
∴；
综上：1或13；
故答案为：1或13．
【点睛】本题考查解非直角三角形，解题的关键是构造直角三角形，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解．
4．（22·23下·长宁·二模）如图，将平行四边形沿着对角线翻折，点的对应点为，交于点，如果，，且，那么平行四边形的周长为 ．（参考数据：）
【答案】
【分析】由，四边形为平行四边形，折叠的性质可得是等腰三角形，，设，则，由三角形的内角和定理解得，由外角性质可证明为等腰三角形，继而得到，解得，分别过点作，利用余弦定理分别解得的长，最后求得平行四边形的周长．
【详解】解：，四边形为平行四边形，
翻折
是等腰三角形
设，则
在中，由三角形内角和定理可得
分别过点作
在中，
在中，
平行四边形的周长为
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形内角和定理、图形的翻折变换等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
5．（2022·湖南·统考中考真题）阅读下列材料：
在中，、、所对的边分别为、、，求证：．
证明：如图1，过点作于点，则：
在中， CD=asinB
在中，
根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：；
(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解；
（2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解．
【详解】（1）证明：如图2，过点作于点，
在中，，
在中，，
，
；
（2）解：如图3，过点作于点，
，，
，
在中，
又，
即，
，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提．
【经典例题三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】
1．（22·23下·益阳·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（ ）

A．48B．50C．52D．54
【答案】A
【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果．
【详解】解：连接，如图所示

，，
，
四边形的面积为48
故选：A．
【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题．
2．（2022下·哈尔滨·开学考试）如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【分析】过点N作CD的垂线交于点E，根据对折和平分线可以得到，再利用三角函数可以求出，，最后利用勾股定理可以求出CN的长．
【详解】解：如图，过点N作CD的垂线交于点E
由折叠可知：
，，
∵AN平分
∴
∴
∵
∴，
∴
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴在中，由勾股定理可得：

故选：C
【点睛】本题考查了折叠的性质、解直角三角形以及勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．
3．（22·23下·专题练习）如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ．
【答案】
【分析】过作，如图所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面积公式代值求解即可得到．
【详解】解：过作，如图所示：
在中，，，
，
在中，，
，即，
，
由勾股定理得；
，
故答案为：，．
【点睛】本题考查解非直角三角形问题以及求三角形面积，涉及三角函数定义、勾股定理及三角形面积公式，熟练掌握解非直角三角形的方法是解决问题的关键．
4．（22·23上·西安·阶段练习）如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为 ．
【答案】
【分析】延长交于点，过点作于点，根据直角三角形边角关系，等腰三角形的性质，以及锐角三角函数的定义，进行计算即可．
【详解】解：如图，延长、相交于点，过点作于点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，是等腰直角三角形，
设，则，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形．正确的添加辅助线，构造直角三角形，熟记直角三角形的边角关系，是解题的关键．
5．（2022春·湖北武汉·九年级统考自主招生）四边形中，，，点E在边上运动（不与C重合），点F在上运动，且．

(1)若，判断与的数量关系；
(2)若，你在（1）中得到的结论是否会发生变化？写出猜想并给出证明；
(3)若，，为锐角，设，当E，F运动时，求t的取值范围．
【答案】(1)
(2)没有变化，，证明见解析
(3)
【分析】（1）过点作交于点．设交于点．证明是等边三角形和是等边三角形，得到.证得与，即可证明，得到结论；
（2）过点作交于点，设交于点,证明，即可得到结论；
（3）过点作交于点，设交于点，作于点N，于点M， 求出，得到，则，，，，证明，，证明，则，则，则，则，点E不与点B、C重合，，即可求出答案．
【详解】（1）；
证明：过点作交于点，设交于点．

则，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴.
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）没有变化．，
证明：过点作交于点，设交于点，

则，，
∵，
∴.
∴，
∴.
∵，
∴.
∵，，
∴.
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：过点作交于点，设交于点，作于点N，于点M，

∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（2）可得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∵点E不与点B、C重合，
∴
∴
∴，
∴．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识， 熟练掌握相似三角形的判定和性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质，是解题的关键．
【经典例题四 仰角俯角问题】
1．（22·23下·日照·阶段练习）如图，是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端沿水平方向向左走米到达点，沿坡度（坡度坡面铅直高度与水平宽度的比）斜坡走到点，再继续沿水平方向向左走米到达点、、、、在同一平面内，在处测得建筑物顶端A的仰角为，已知建筑物底端与水平面的距离为米，则建筑物的高度约是参考数据：，，（ ）

A．米B．米C．米D．米
【答案】C
【分析】延长交的延长线于，作于，首先根据坡度求出，再根据锐角三角函数构建方程即可解决问题．
【详解】解：如图，延长交的延长线于，作于，

由题意得：米，米，米，
在中，：，
米，
在中，，米，，
米，
米；
即建筑物的高度约为米．
故选：．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
2．（22·23·一模）安装了软件“”的智能手机可以测量物高．其数学原理是：该软件通过测量手机离地面的高度，物体底端的俯角和顶端的仰角即可得出物体高度．如图，小明测得大树底端点俯角，顶端点的仰角，点离地面的高度米，则大树的为（ ）

A．米B．米
C．米D．米
【答案】D
【分析】过点作，垂足为，由题意得：，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，
，
由题意得：，，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
3．（21·22下·武汉·模拟预测）如图，一飞机到达A点时，测得观礼台C在飞机前下方，俯角为，此时飞行路线改为沿仰角为方向的直线飞行，飞机飞行了6千米到B处时，居民区D恰好在飞机的正下方，现在的飞行高度为5千米，则观礼台C和居民区D的距离是 千米．（，，，，结果精确到0.1）
【答案】
【分析】过A作于点E，过C作于点F，根据锐角三角函数求出千米，千米，再证四边形为矩形，得出千米，，在中，千米，则千米．
【详解】过A作于点E，过C作于点F，
∵，
∴为直角三角形，，
∵，，
∴（千米），
（千米），
∴（千米），
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴千米，，
∵在中，（千米），
∴（千米）．
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，仰角与俯角，利用辅助线构造直角三角形，掌握解直角三角形的应用，仰角与俯角，利用辅助线构造直角三角形是解题关键．
4．（21·22下·武汉·阶段练习）如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门的顶部C的俯角为，底部D的俯角为，如果A处离地面的高度米，则起点拱门的高度为 ．（结果精确到1米；参考数据：，，）

【答案】6米
【分析】作于，则四边形为矩形，根据矩形的性质得到，，根据正切的定义求出，结合图形计算即可得出答案．
【详解】解：作于，则四边形为矩形，

∴，，
由题意得：，，
∴为等腰直角三角形，，
∴米，
∴米，
∵在中，，
∴（米），
∴（米），
故答案为：6米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
5．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，）

【答案】铜像的高度是；
【分析】根据题意可得，从而求出，即可求解．
【详解】解：由题意得：，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴铜像的高度是；
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，关键是求出．
【经典例题五 方位角问题】
1．（23·24上·石家庄·阶段练习）如图，岛位于岛的正西方，两岛间的距离为海里，由岛分别测得船位于南偏东和南偏西方向上，则船到岛的距离为（ ）

A．40海里B．海里C．海里D．海里
【答案】A
【分析】要求的长，需要构造直角三角形，作辅助线，然后根据题目中的条件利用特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：如图，作于点，

海里,，，，
，，，
，
解得：海里，
海里，
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用特殊角的三角函数值进行解答．
2．（22·23下·厦门·模拟预测）如图，在铁路建设中，需要确定隧道两洞口A和B的距离．点D，点E分别位于测绘点C的正北和正西方向．已知测得两定位点E和D与隧道口A和B的距离分别为和，测绘点H，G分别为，的中点，测绘方在测绘点H测得点G在点H的南偏西的方向上，且，则隧道的长约为（ ）（参考数据：）

A．1600mB．1300mC．980mD．900m
【答案】B
【分析】先解直角三角形求出，然后根据三角形中位线定理求出，即可求解．
【详解】解：由题意知：，，，，
在中，，
∴，
∵点H，G分别为，的中点，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用—方位角问题，三角形中位线定理等，明确题意，熟悉相关性质是解题的关键．
3．（23·24上·泰安·期中）如图，轮船从处以每小时60海里的速度沿南偏东方向匀速航行，在处观测灯塔位于南偏东方向上，轮船航行40分钟到达处，在处观测灯塔位于北偏东方向上，则处与灯塔的距离是 ．

【答案】海里
【分析】过点作于．先由题意得，，再根据等角对等边得出，由等腰三角形三线合一的性质得到海里．然后在直角中，利用余弦函数的定义即可．
【详解】解：如图，过点作于，

由题意得，，，（海里），，
则．
，
，
，
，
，
于，
（海里）．
在直角中，，，
（海里）．
故答案为：海里．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，余弦函数的定义，难度适中．求出海里是解题的关键．
4．（22·23下·清远·三模）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔的处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为 ．

【答案】
【分析】过点作，垂足为，先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，

在中，海里，，
（海里），
在中，，
（海里），
处与灯塔的距离为海里，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
5．（2022秋·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考期末）如图，某渔船向正东方向以10海里/时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东方向上，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向上，已知该岛周围9海里内有暗礁．

(1)B处离岛C有多远？
(2)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？
(3)如果渔船在B处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险（参考数据：、、）
【答案】(1)10海里
(2)有危险
(3)没有危险
【分析】（1）过C作垂直，通过证明，即可求出的长；
（2）求出点C到的距离是否大于9，如果大于9则无触礁危险，反之则有；
（3）过点C作，首先求出，然后根据三角函数求出的长，进而比较求解即可．
【详解】（1）过C作垂直，

为渔船向东航行到C道最短距离
∵在A处测得岛C在北偏东的
∴
又∵B处测得岛C在北偏东，
∴，，
∴，
∴（海里）；
（2）∵，
∴
∴（海里）
∴（海里）
∵
∴如果渔船继续向东航行，有触礁危险；
（3）如图所示，过点C作，

根据题意可得，
∴，即
解得（海里）
∵
∴没有危险．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是根据角度得到，再通过三角函数计算出相关距离．
【经典例题六 坡度坡比问题】
1．（22·23下·广州·一模）如图是一个山坡，已知从处沿山坡前进160米到达处，垂直高度同时升高80米，那么山坡的坡度为（ ）

A．B．C． D．
【答案】C
【分析】直接利用勾股定理得出的长，进而利用坡度的定义得出答案．
【详解】解：由题意可得：（米），
则山坡的坡度为：，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理、解直角三角形的应用，正确掌握坡度的定义是解题的关键．
2．（22·23下·太原·一模）我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物的高度，如图，建筑物前有一段坡度为的斜坡，用测角仪测得建筑物屋顶的仰角为，接着小明又向下走了米，刚好到达坡底处，这时测到建筑物屋顶的仰角为，在同一平面内，若测角仪的高度米，则建筑物的高度约为（ ）米．（精确到0.1米，参考数据：，，）

A．38.5米B．39.0米C．40.0米D．41.5米
【答案】D
【分析】设米，延长交于，作于，于，求出米，米，由矩形的性质得出米，在中，求出米，米，米，在中，由，得出方程，解方程即可．
【详解】解：设米，延长交于，作于，于，
，
在中，米，，
米，米，
四边形是矩形，四边形是矩形，
米，
在中，，
米，
米，米，
在中，，
，
，
米，
米，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用的辅助线，构造直角三角形解决问题．
3．（21·22下·江门·模拟预测）如图，在距某居民楼楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡的坡度（或坡比），山坡坡底C点到坡顶D点的距离m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼与山坡的剖面在同一平面内，则居民楼的高度约为 （参考数据：）

【答案】82.1m
【分析】构造直角三角形，利用坡比的意义和直角三角形的边角关系，分别计算出、，进而求出．
【详解】如图，由题意得，，
在中，
∵山坡的坡度，
∴，
设则，由勾股定理可得，
又，即，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题考查解直角三角形、坡比；添加辅助线构建直角三角形是解题的关键．
4．（22·23下·南充·阶段练习）有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线的距离皆为100cm．王诗嬑观测到高度矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm；而高圆柱的部分影子落在坡上，已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100cm，则高圆柱的高度为多少 cm

【答案】280
【分析】过点F作于点G，设，利用勾股定理求出和，得到，过点F作于点H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出的长度，即可得到．
【详解】解：如图，为高圆柱，为太阳光，为斜坡，为圆柱在斜坡上的影子，
过点F作于点G，

由题意可得：，
∵斜坡坡度，
∴，
∴设，在中，
，
解得：，
∴，
∴，
过点F作于点H，
∵同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm，
，
可知四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
故高圆柱的高度为280cm．
故答案为：280．
【点睛】本题考查了解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解实际物体与影长之间的关系解决问题，属于中考常考题型．
5．（2023·浙江·模拟预测）某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线的形状，现按操作要求，电缆最低点离水平地面不得小于6米．

(1)如图1，若水平距离间隔80米建造一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有多少米的高度？
(2)如图2，若在一个坡度为的斜坡上，按水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱．求这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为多少米？
【答案】(1)22米
(2)米
【分析】（1）由题意，最低点的横坐标是40，代入函数表达式中可求得高度即可；
（2）以点D为坐标原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图，利用待定系数法求得抛物线的解析式为，直线的解析式为，设为抛物线上一点，过点M作轴于F，交于G，则，由可求解．
【详解】（1）解：由题意，最低点的横坐标是40，则，
（米），
答：固定电缆的位置离地面至少应有22米的高度；
（2）解：以点D为坐标原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图，
设此时抛物线的解析式为，
由于斜坡的坡度为，且米，
∴米，
而（米），
∴；
∵，
，坐标两点分别代入解析式中，得
，解得，
∴，
即，
即抛物线的顶点坐标为；
过点M作轴于F，交于G，
∵坡度为，
∴（米），
∴（米），
答：在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为米．
【点睛】本题考查二次函数在实际生活中应用、坡度问题，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
【经典例题七 解直角三角形的其他应用】
1．（2022春·云南红河·八年级统考期末）我国明代有一位杰出的数学家程大位在所著的《直指算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”词写得很优美，其大意是：当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺，将秋千的踏板往前推两步(每一步为五尺)，秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺，当然这时秋千的绳索是呈直线状态，问这个秋千的绳索有多长？（ ）

A．14尺B．尺C．15尺D．无法计算
【答案】B
【分析】设这个秋千的绳索，得到，求出的值即可．
【详解】解：设这个秋千的绳索，
则，
，
，
，
，
，
这个秋千的绳索有尺．
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2．（2022秋·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期中）为完成“综合与实践”作业任务，小明和小华利用周末一起去郊外放风筝，小明负责放风筝，小华负责测量相关数据，如图，当小明把风筝放飞到空中到点P处时，小华分别在地面测得，，米，则风筝的高度的长为（ ）米（点C在点P的正下方，A、B、C在地面的同一条直线上）（结果保留根号）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设的长为x米，根据，，，得出，，最后根据米，列出 求解即可．
【详解】解：设的长为x米，
∵，，，
∴，，
∵米，
∴，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是熟练掌握特殊角度的三角函数值，以及解直角三角形的方法和步骤．
3．（2022·湖北武汉·校考三模）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣竿的高度图2是支撑杆的平面示意图，和分别是两根不同长度的支撑杆，夹角．若，，问：当时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为 ．（参考数据：，）．

【答案】120
【分析】过作，过作，可得，利用等腰三角形的三线合一得到为角平分线，进而求出同位角的度数，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出即可．
【详解】解：过作，过作，可得，

，
平分，
，
，
在中，，
，
∴较长支撑杆的端点离地面的高度约为，
故答案为：120．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，弄清题中的数据是解本题的关键．
4．（2022春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，某景区由游客中心A处通往百米观景长廊有两条栈道，且，现需要从游客中心A到观景长廊加修一条栈道，则的最短长度为 米．（结果精确到0.1，，）
【答案】63.4
【分析】根据题意可得当时，最短，设，然后利用三角函数用x表示出，进而构建方程求解即可．
【详解】解：当时，最短，设，
则在直角三角形中，∵，
∴，
在直角三角形中，∵，
∴，
∵，即，
∴
解得：米；
故答案为：63.4．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
5．（2022春·黑龙江绥化·九年级绥化市第八中学校校联考阶段练习）松花江斜拉桥是哈尔滨绕城高速公路西段（瓦盆窑——秦家）项目的重要组成部分，是我省修建的第一座公路斜拉桥，也是哈尔滨市乃至黑龙江省的标志性工程．主桥采用双塔双索面钢—混凝土结合梁斜拉桥，塔墩固结一体、塔与主梁纵向活动支承，属塔墩固结、塔梁支承式半悬浮体系．大桥索塔为门式塔，桥面以上设一道上横梁．全长．图2是从图1引申出的平面图．假设你站在桥上测得拉索与水平桥面的夹角是，拉索与水平桥面的夹角是，两拉索顶端的距离为2米，两拉索底端距离为128米，请求出索塔高的长．（结果精确到0.1米，）

【答案】109.8米
【分析】设的长为x米，运用三角函数表示出的长，列出等式算出，即可解答；
【详解】解：设的长为x米，
在中，，
（米），
米，
在中，米，
米，
，
，
解得：，
米，
（米），
答：索塔BH的长约为109.8米．
【点睛】该题主要考查了解直角三角形的应用，解答该题的关键是能够熟练地运用三角函数列出等量关系式．
【重难点训练】
1．（21·22下·哈尔滨·二模）如图，是等边三角形，是的平分线上一点，于点，线段的垂直平分线交于点，垂足为点．若，则的长为（ ）

A．2B．C．D．3
【答案】C
【分析】先求出，再求出，根据所对的直角边等于斜边的一半，求出的长．
【详解】解：∵是等边三角形，是的平分线上一点，
∴，
∵，为线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角函数，所对的直角边等于斜边的一半的知识，解题的关键是熟练利用相应的定理进行推理．
2．（23·24上·襄阳·阶段练习）如图，是的内接三角形，，，则的半径为（ ）

A．B．4C．D．
【答案】B
【分析】在优弧上取点，连接，，，过点作于点，根据圆内接四边形的性质可得出的度数，故可得出的度数，根据直角三角形的性质即可得出的长．
【详解】解∶优弧上取点，连接，，，过点作于点，

∵四边形是圆内接四边形，，
∴．
∵于点，
∴，，
∴，
故选∶ B．
【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出圆内接四边形是解答此题的关键．
3．（23·24上·杭州·阶段练习）如图，矩形中，，对折矩形使得与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点的对应点落在上，折痕是，连接，若，则点的长是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由矩形性质和折叠性质可得，，，，可得，从而可得，可得，从而可得的长，，即可求解，进而求出的长．
【详解】解：四边形是矩形，
，
由折叠性质可得：，，，，
在中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查折叠性质，长方形的性质，角的直角三角形等知识点，解题的关键是利用边之间的关系推出．
4．（22·23·丹东·中考真题）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，垂足为点E，F是的中点，连接，若，则矩形的周长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据矩形的性质得出，即可求证为等边三角形，进而得出点E为中点，根据中位线定理得出，易得，求出，即可得出矩形的周长．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴点E为中点，
∵F是的中点，若，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形的周长，
故选：D．
【点睛】矩形主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，中位线定理，解直角三角形，解题的关键是掌握矩形的对角线相等，等边三角形三线合一，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，以及解直角三角形的方法和步骤．
5．（21·22下·泉州·模拟预测）如图，菱形的对角线与相交于点O，将沿着方向平移的长度得到，连接，则的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接，过点作交延长线于点，证明和是等边三角形，设，则，所以，由平移可得，，根据勾股定理可得，然后利用锐角三角函数可得，根据，，进而可以解决问题．
【详解】解：如图，连接，过点作交延长线于点，

∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴和是等边三角形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
设，
则，
∴，
由平移可知：，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，平移的性质，解直角三角形，解决本题的关键是得到．
6．（23·24上·杨浦·期中）如图，已知在中，点在边上，，，那么的值是 ．
【答案】/0.25
【分析】设，则，，然后根据相似三角形的性质得到，解得，，然后过点作于点，求出长，然后计算解题即可．
【详解】设，则，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，
解得：，，
过点作于点，
则，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
7．（23·24上·泰安·阶段练习）如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏东方向，则两港之间的距离为 ．

【答案】
【分析】设过点正北方向直线为，过点正北方向直线为，过作于，过作，由题意得：，，，，则，为等腰直角三角形，，由平行线的性质可得，再由，求出的长，即可得到答案．
【详解】解：如图，设过点正北方向直线为，过点正北方向直线为，过作于，过作，
由题意得：，，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方位角问题、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键．
8．（23·24上·浦东新·期中）如图，在中，，，，点、分别在边、上．将沿着所在的直线翻折，使点的对应点落在边的延长线上．如果平分，那么的长度为 ．

【答案】
【分析】由翻折得出，再根据平分，得出，然后借助相似列出方程即可．
【详解】解：作于H，
在纸片中，，
由勾股定理得：，
∵将沿翻折得，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
设，
在中， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案是：．
【点睛】本题考查了以直角三角形为背景的翻折问题，紧扣翻折前后对应线段相等、对应角相等来解决问题，通过相似表示线段和列方程是解题本题的关键．
9．（21·22下·黄石·模拟预测）如图，某办公楼的后面有一建筑物，当光线与地面的夹角是时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子，而当光线与地面夹角是时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（，F，C在一条直线上）．则办公楼的高度为 ．（参考数据：，，）
【答案】米/米
【分析】过点E作于点F，易证四边形是矩形，则，设，则，则，，最后根据，列出方程求解．
【详解】解：过点E作于点F，
根据题意可得：，
∴四边形是矩形，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵米，，
∴，
解得：，
∴（米），
故答案为：米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．
10．（21·22下·绥化·阶段练习）如图，在矩形中，，对角线、相交于点O，．点E是的中点，若点F是对角线上一点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】过点F作于点G，证明为等边三角形，推出，则，，进而得出，当点E、F、G在同一条直线上时，取最小值，证明，根据相似三角形对应边成比例，即可求解．
【详解】解：过点F作于点G，如图，
∵四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，．
∵，
∴，，
∴，
当点E、F、G在同一条直线上时，取最小值，
∵点E是的中点，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
综上：的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线，找出．
11．（22·23上·红河·期末）昆明西山万达广场是万达集团斥资100亿元打造的第100座开业万达广场．项目位于昆明市西山区前兴路东侧，是“昆明金产区”核心．其中万达·昆明双塔写字楼是昆明城市新地标，定位为西南金融总部基地．在大楼的顶部有一块广告牌，广告牌位于写字楼顶部如图所示的两点之间．某校九年级数学社团利用元旦假期进行校外实践活动，他们选定点为观测点，测得广告牌顶端的仰角为，测得广告牌底的仰角为，已知楼高，请你帮他们求出广告牌的高度．（结果保留整数）（参考数据：，，，）
【答案】广告牌的高度约为
【分析】根据三角函数求出，，即可求出．
【详解】解：由题意得，，，，
在中，，
，
在中，，
，
答：广告牌的高度约为．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的基本思路是解题的关键．
12．（21·22·哈尔滨·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在x轴上，点为抛物线上一点，轴交抛物线于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点为抛物线对称轴左侧，直线下方图象上一点，点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，作，垂足为，连接，若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把点代入，即可求解；
（2）先求出点，可得，过点P作于点M，设点P的坐标为，可得，再根据三角形的面积公式，即可求解；
（3）过点P作轴交x轴于点G，交于点H，则，证明，可得，由（2）得：点P的坐标为，，，，可得到关于m的等式，解出，即可求解．
【详解】（1）解：把点代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵轴，，
∴点，
∴，
如图，过点P作于点M，

设点P的坐标为，
∴，
∴；
（3）解：如图，过点P作轴交x轴于点G，交于点H，则，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（2）得：点P的坐标为，，，，
∴，
解得：或（舍去），
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，利用数形结合思想解答是解题的关键．
四、计算题
13．（23·24上·专题练习）已知：如图，在中，D是边的中点，、分别是、的中点，且，，．求：

(1)线段的长；
(2)的余弦值．
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）连接，根据，为中点，可证得，然后根据为的中点，可得，即可求出的长度；
（2）在中，根据，，求出、的长度，然后根据、分别为、的中点，求出的长度，根据勾股定理求出的长度，继而可求得的余弦值．
【详解】（1）连接．

，为的中点，
，即得．
又是的中点，，
；
（2）在中，
，
，
，
是边的中点，
，
又为的中点，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形，解答本题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及勾股定理的应用．
五、证明题
14．（23·24上·浦东新·期中）如图，点D是斜边上一点，点E是直线左侧一点，且，．

(1)求证：；
(2)如果点D是斜边的中点，且，试求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意先证明，即得出，即，从而即可证明；
（2）由正切的定义可得出，设，则，根据勾股定理可求出，结合题意可求出，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，即．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴．
设，则，
∴．
∵点D是斜边的中点，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，勾股定理，解直角三角形．掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题关键．
六、应用题
15．（23·24上·沈阳·阶段练习）如图，一般轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行10海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东方向上，测得港口C位于B的北偏东方向上：已知港口C在灯塔M的正北方向上．
(1)填空： ______度， ______度；
(2)求灯塔M到轮船航线的距离（结果保留根号）；
(3)求港口C与灯塔M的距离（，，结果精确到1海里）．
【答案】(1)30，45
(2)灯塔到轮船航线的距离为海里
(3)港口与灯塔的距离约为4海里
【分析】（1）作交于，作交于，由三角形外角的定义与性质可得，再由平行线的性质可得，即可得解；
（2）作交于，作交于，由（1）可得：，从而得到海里，再由进行计算即可；
（3）作交于，作交于，证明四边形是矩形，得到海里，，由计算出的长度，证明是等腰直角三角形，得到海里，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，作交于，作交于，
，
，
，
都是正北方向，
，
，
，
故答案为：30，45；
（2）解：如图，作交于，作交于，
，
由（1）可得：，
海里，
在中，，海里，
海里；
灯塔到轮船航线的距离为海里；
（3）解：如图，作交于，作交于，
，
，，、都是正北方向，
四边形是矩形，
海里，，
在中，，海里，
海里，
在中，，
是等腰直角三角形，
海里，
海里，
港口与灯塔的距离约为4海里．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解题的关键．