备战中考数学《重难点解读•专项训练》专题05 对角互补模型综合应用（专项训练）

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。

专题05 对角互补模型综合应用（专项训练）
1．如图，将5个边长为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形的中心，则5个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 ．
【解答】解：如图，过正方形ABCD的中心O作OM⊥CD于M，作ON⊥BC于N，
则∠EOM＝∠FON，OM＝ON，
在△OEM和△OFN中，
，
∴△OEM≌△OFN（ASA），
则四边形OECF的面积就等于正方形OMCN的面积，
如正方形ABCD的边长是1，则OMCN的面积是cm2，
∴得阴影部分面积等于正方形面积的cm2，即是cm2，
∴5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 ×4＝1cm2，
故答案为：1cm2．
2．如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为 2 ．
【解答】解：将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，如图：
由旋转得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，
∵∠BAC＝∠D＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠ABD+∠ABE＝180°，
∴E，B，M三点共线，
∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°，
∴∠EAM＝∠EAB+∠BAM＝∠CAN+∠BAM＝∠BAC﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAM＝∠MAN，
在△AEM和△ANM中，
，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴MN＝ME，
∴MN＝CN+BM，
∵在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，BC＝4，
∴CD＝BC＝2，BD＝＝2，
∴△DMN的周长为DM+DN+MN＝DM+DN+BM+CN＝BD+DC＝2+2，
故答案为：2+2．
3.（袁州区校级期中）如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，证明：PC＝PD．
【答案】略
【解答】证明：过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如图，
∴∠PEC＝∠PFD＝90°，
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE＝PF，
∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，
∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
而∠PDO+∠PDF＝180°，
∴∠PCE＝∠PDF，
在△PCE和△PDF中，
∴△PCE≌△PDF（AAS），
∴PC＝PD．
4.（2021秋•泉港区期末）如图，在正方形ABCD中，AC交BD于O，F在AC上，连线DF，过F作FE⊥DF交BD于G，交AB于E．
（1）求证：DF＝EF；
（2）若F为OC中点，求证：FG＝EG．
【答案】（1） 略 （2）略
【解答】证明：（1）如图1，连接BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝BC，∠DAC＝∠BAC＝45°，AC⊥BD，
在△DAF和△BAF中，
，
∴△DAF≌△BAF（SAS），
∴DF＝BF，∠ADF＝∠ABF，
∵∠DAE＝∠DFE＝90°，
∴∠ADF+∠AEF＝180°，
∵∠AEF+∠BEF＝180°，
∴∠ADF＝∠BEF，
∴∠ABF＝∠BEF，
∴BF＝EF＝DF；
（2）如图2，过点E作EH⊥AC于H，
∴∠EHF＝∠DOF＝90°，
∴∠DFO+∠FDO＝90°＝∠DFO+∠EFH，
∴∠FDO＝∠EFH，
在△DFO和△FEH中，
，
∴△DFO≌△FEH（AAS），
∴DO＝FH，
∵F为OC中点，
∴FO＝CF，
∴OH＝OF，
∵BD∥HE，
∴，
∴FG＝GE．
5.（2020•呼伦贝尔）已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°．
求证：CE＝DF．
【答案】略
【解答】证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴OD＝OC，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COD＝90°，
∴∠DOF+∠COF＝90°，
∵∠EOF＝90°，即∠COE+∠COF＝90°，
∴∠COE＝∠DOF，
∴△COE≌△DOF（ASA），
∴CE＝DF．
6.（2021春•满城区期末）如图，正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点P为平面内外一点，且BP⊥CP．过点O作OE⊥OP交PB的延长线于E．
（1）探究BE与PC之间的数量关系，并说明理由．
（2）BP、CP、OP三者之间存在怎样的关系？并说明理由．
【答案】（1）BE＝PC （2）BP+CP＝OP
【解答】解：（1）BE＝PC，理由如下：
如图，连接OB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，OB⊥OC，
∵OE⊥OP，
∴∠EOP＝∠BOC＝90°，
∴∠EOB+∠BOP＝∠POC+∠BOP，即∠EOB＝∠POC，
∵OE⊥OP，BP⊥CP，
∴∠E+∠OPE＝∠OPC+∠OPE＝90°，
∴∠E＝∠OPC，
在△BOE与△COP中，
，
∴△BOE≌△COP（AAS），
∴BE＝PC；
（2）BP+CP＝OP，理由如下：
由（1）知，△BOE≌△COP，
∴BE＝CP，OE＝OP，
∴Rt△EOP是等腰直角三角形，
∴EP＝＝OP，
∵EP＝BP+BE＝BP+CP，
∴BP+CP＝OP．
7．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，若EF＝BE+FD．
求证：∠EAF＝∠BAD
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，证明你的结论．
【解答】证明：（1）延长CB至M，使得BM＝DF，连接AM，
∵∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，
在△ABM与△ADF中
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠DAF＝∠BAM，
∵EF＝BE+DF＝BE+BM＝ME，
在△AME与△AFE中
，
∴△AME≌△AFE（SSS），
∴∠MAE＝∠EAF，
∴∠BAE+∠DAF＝∠EAF，
即∠EAF＝∠BAD；
（2）线段EF、BE、FD之间的数量关系是EF+DF＝BE，
在BE上截取BM＝DF，连接AM，
∵AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠ABM＝∠ADF，
在△ABM与△ADF中
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∠EAF＝∠BAD，
∴∠EAF＝∠EAM，
在△AEM与△AEF中
，
∴△AEM≌△AEF（SAS），
∴EM＝EF，
即BE﹣BM＝EF，
即BE﹣DF＝EF．
8．问题背景：
（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ．
探索延伸：
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【解答】证明：（1）在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
故答案为 EF＝BE+DF．
（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；
理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
9．（1）如图（1），在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明；
（2）如图（2），在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
【解答】证明：（1）EF2＝BE2+CF2，
理由如下：如图（1）延长ED到G，使DG＝ED，连接CG，FG，
在△DCG与△DBE中，
，
∴△DCG≌△DBE（SAS），
∴DG＝DE，CG＝BE，∠B＝∠DCG，
又∵DE⊥DF，
∴FD垂直平分线段EG，
∴FG＝FE，
∵∠A＝90°，
∴∠B+∠ACB＝90°，
∴∠FCG＝90°，
在△CFG中，CG2+CF2＝FG2，
∴EF2＝BE2+CF2；
（2）如图（2），结论：EF＝EB+FC，
理由如下：延长AB到M，使BM＝CF，
∵∠ABD+∠C＝180°，又∠ABD+∠MBD＝180°，
∴∠MBD＝∠C，
在△BDM和△CDF中，
，
∴△BDM≌△CDF（SAS），
∴DM＝DF，∠BDM＝∠CDF，
∴∠EDM＝∠EDB+∠BDM＝∠EDB+∠CDF＝∠CDB﹣∠EDF＝120°﹣60°＝60°＝∠EDF，
在△DEM和△DEF中，
，
∴△DEM≌△DEF（SAS），
∴EF＝EM，
∴EF＝EM＝BE+BM＝EB+CF．