备战中考数学《重难点解读•专项训练》专题07 二次函数与直角三角形有关的问题（知识解读）

这是一份备战中考数学《重难点解读•专项训练》专题07 二次函数与直角三角形有关的问题（知识解读），共19页。试卷主要包含了复习方法，复习难点等内容，欢迎下载使用。

一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
专题07 二次函数与直角三角形有关的问题（知识解读）
【专题说明】
二次函数之直角三角形存在性问题，主要指的是在平面直角坐标系下，已知一条边（或两个顶点）的直角三角形存在，求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用。
【解题思路】
直角三角形的存在性问题
找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点
方法：（1）以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1*k2=-1
（2） 以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者三条边分别表示之后，利用勾股定理求解
下面主要介绍2种常用方法：
【方法1 几何法】“两线一圆”
（1）若∠A 为直角，过点 A 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C；
（2）若∠B 为直角，过点 B 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C；
（3）若∠C 为直角，以 AB 为直径作圆，与 x 轴的交点即为所求点 C．（直径所对的圆周角为直角）

如何求得点坐标？以为例：构造三垂直．


【方法2 代数法】点-线-方程
【典例分析】
【方法1 勾股定理】
【典例1】（2021秋•建华区期末）抛物线y＝x2+bx+c经过A、B（1，0）、C（0，﹣3）三点．点D为抛物线的顶点，连接AD、AC、BC、DC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在y轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形？若存在，请你直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1-1】（2022•灞桥区校级模拟）如图，抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）连接BC，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使△BCE是直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1-2】（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．
【方法2 构造“K”字型利用相似作答】
【典例2】（2022•碑林区校级四模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣5，0），B（﹣1，0），交y轴于点C（0，5）．
（1）求抛物线C1的表达式和顶点D的坐标．
（2）将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2，点E为抛物线C2上一点若△DOE是以DO为直角边的直角三角形，求点E的坐标．
【变式2-1】（2022•济南）抛物线y＝ax2+x﹣6与x轴交于A（t，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx﹣6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式和t，k的值；
（2）如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
【变式2-2】（2022•滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．
（1）求线段AC的长；
（2）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．
专题07 二次函数与直角三角形有关的问题（知识解读）
【专题说明】
二次函数之直角三角形存在性问题，主要指的是在平面直角坐标系下，已知一条边（或两个顶点）的直角三角形存在，求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用。
【解题思路】
直角三角形的存在性问题
找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点
方法：（1）以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1*k2=-1
（2） 以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者三条边分别表示之后，利用勾股定理求解
下面主要介绍2种常用方法：
【方法1 几何法】“两线一圆”
（1）若∠A 为直角，过点 A 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C；
（2）若∠B 为直角，过点 B 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C；
（3）若∠C 为直角，以 AB 为直径作圆，与 x 轴的交点即为所求点 C．（直径所对的圆周角为直角）

如何求得点坐标？以为例：构造三垂直．


【方法2 代数法】点-线-方程
【典例分析】
【方法1 勾股定理】
【典例1】（2021秋•建华区期末）抛物线y＝x2+bx+c经过A、B（1，0）、C（0，﹣3）三点．点D为抛物线的顶点，连接AD、AC、BC、DC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在y轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形？若存在，请你直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过B（1，0）、C（0，﹣3），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3．
（4）在y轴上存在点E，使△ADE为直角三角形，理由如下：
∵抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴D（﹣1，﹣4），
设E点坐标为（0，m），
∴AE2＝m2+9，DE2＝m2+8m+17，AD2＝20，
当∠EAD＝90°时，有AE2+AD2＝DE2，
∴m2+9+20＝m2+8m+17，
解得m＝，
∴此时点E的坐标为（0，）；
当∠ADE＝90°时，DE2+AD2＝AE2，
m2+8m+17+20＝m2+9，
解得m＝﹣，
∴此时点E的坐标为（0，﹣）；
当∠AED＝90°时，AE2+DE2＝AD2，
m2+9+m2+8m+17＝20，
解得m＝﹣1或m＝﹣3，
∴此时点E的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）．
【变式1-1】（2022•灞桥区校级模拟）如图，抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）连接BC，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使△BCE是直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），
将点C（0，3）代入y＝a（x﹣1）（x﹣3），
∴3a＝3，
∴a＝1，
∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点为（2，﹣1）；
（2）存在一点E，使△BCE是直角三角形，理由如下：
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
设E（2，t），
∵△BCE是直角三角形，
∴BE⊥CE，
∵B（3，0），C（0，3），
∴BC＝3，BE＝，CE＝，
①当BC为斜边时，
∴18＝（）2+（）2，
解得t＝，
∴E点坐标为（2，）或（2，）；
②当BE为斜边时，
∴18+（）2＝（）2，
解得t＝5，
∴E点坐标为（2，5）；
③当CE为斜边时，
∴18+（）2＝（）2，
解得t＝﹣1，
∴E点坐标为（2，﹣1）；
综上所述：E点坐标为（2，）或（2，）或（2，5）或（2，﹣1）
【变式1-2】（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；
（2）如图2中，设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点B作BM⊥抛物线的对称轴于点M．则N（﹣1.0）．M（﹣1，﹣4）；
∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形，
∴AN＝NP1＝3，
∴P1（﹣1，3），
当∠ABP2＝90°时，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），
当∠APB＝90°时，设P（﹣1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（﹣2，﹣2），
∴PJ＝AB＝2，
∴12+（n+2）2＝（2）2，
解得n＝﹣2或﹣﹣2，
∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．
【方法2 构造“K”字型利用相似作答】
【典例2】（2022•碑林区校级四模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣5，0），B（﹣1，0），交y轴于点C（0，5）．
（1）求抛物线C1的表达式和顶点D的坐标．
（2）将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2，点E为抛物线C2上一点若△DOE是以DO为直角边的直角三角形，求点E的坐标．
【解答】解：（1）将点A（﹣5，0），B（﹣1，0），C（0，5）代入y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝x2+6x+5，
∵y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，
∴顶点D（﹣3，﹣4）；
（2）设抛物线C2上任意一点（x，y），则（x，y）关于y轴对称的点为（﹣x，y），
∵点（﹣x，y）在抛物线C1上，
∴抛物线记作C2的解析式为y＝x2﹣6x+5，
设E（t，t2﹣6t+5），
过点D作DG⊥x轴交于点G，过点E作EH⊥x轴交于点H，
∵∠DOE＝90°，
∴∠GOD+∠HOE＝90°，
∵∠GOD+∠GDO＝90°，
∴∠HOE＝∠GDO，
∴△GDO∽△HOE，
∴＝，
∵DG＝4，GO＝3，HE＝﹣t2+6t﹣5，OH＝t，
∴＝，
∴t＝4或t＝，
∴E（4，﹣3）或E（，﹣）．
【变式2-1】（2022•济南）抛物线y＝ax2+x﹣6与x轴交于A（t，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx﹣6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式和t，k的值；
（2）如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
【解答】解：（1）将B（8，0）代入y＝ax2+x﹣6，
∴64a+22﹣6＝0，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2+x﹣6，
当y＝0时，﹣t2+t﹣6＝0，
解得t＝3或t＝8（舍），
∴t＝3，
∵B（8，0）在直线y＝kx﹣6上，
∴8k﹣6＝0，
解得k＝，
∴y＝x﹣6；
（2）作PM⊥x轴交于M，
∵P点横坐标为m，
∴P（m，﹣m2+m﹣6），
∴PM＝m2﹣m+6，AM＝m﹣3，
在Rt△COA和Rt△AMP中，
∵∠OAC+∠PAM＝90°，∠APM+∠PAM＝90°，
∴∠OAC＝∠APM，
∴△COA∽△AMP，
∴＝，即OA•MA＝CO•PM，
3（m﹣3）＝6（m2﹣m+6），
解得m＝3（舍）或m＝10，
∴P（10，﹣）；
【变式2-2】（2022•滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．
（1）求线段AC的长；
（2）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．
【解答】解：（1）针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣3，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
∴x＝3或x＝﹣1，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AC＝＝；
（2）由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
设M（m，m2﹣2m﹣3），
∵△BCM为直角三角形，
∴①当∠BCM＝90°时，
如图1，过点M作MH⊥y轴于H，则HM＝m，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠HCM＝90°﹣∠OCB＝45°，
∴∠HMC＝45°＝∠HCM，
∴CH＝MH，
∵CH＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，
∴﹣m2+2m＝m，
∴m＝0（不符合题意，舍去）或m＝1，
∴M（1，﹣4）；
②当∠CBM＝90°时，
过点M作M'H'⊥x轴，
同①的方法得，M'（﹣2，5）；
③当∠BMC＝90°时，如图2，
Ⅰ、当点M在第四象限时，
过点M作MD⊥y轴于D，过点B作BE⊥DM，交DM的延长线于E，
∴∠CDM＝∠E＝90°，
∴∠DCM+∠DMC＝90°，
∵∠DMC+∠EMB＝90°，
∴∠DCM＝∠EMB，
∴△CDM∽△MEB，
∴，
∵M（m，m2﹣2m﹣3），B（3，0），C（0，﹣3），
∴DM＝m，CD＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，ME＝3﹣m，BE＝﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m+3，
∴，
∴m＝0（舍去）或m＝3（点B的横坐标，不符合题意，舍去）或m＝（不符合题意，舍去）或m＝，
∴M（，﹣），
Ⅱ、当点M在第三象限时，M（，﹣），
即满足条件的M的坐标为（1，﹣4）或（﹣2，5）或（，﹣），或（，﹣）．