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第7章《平面图形的认识（二）》-2023-2024学年数学七年级下册章节复习讲讲义（苏科版）
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2023-2024学年苏科版数学七年级下册章节知识讲练1. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；2. 了解图形平移的概念及性质；3. 熟练掌握三角形的三边关系及内角和定理，并能灵活应用；4. 掌握多边形的内角和公式与外角和定理．知识点01：平行线的判定与性质【高频考点精讲】 1．平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．知识点02：图形的平移【高频考点精讲】 1.平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．【易错点剖析】决定平移的两个要素：（1）平移的方向；（2）平移的距离．2.平移的性质： (1)图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置．（2）图形平移后，对应点的连线平行或在同一直线上且相等． (3)图形经过平移，对应线段互相平行或在同一条直线上且相等，对应角相等．知识点03：认识三角形【高频考点精讲】 三角形的分类 （1）按角分： 三角形2.三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边; 三角形任意两边之差小于第三边.【易错点剖析】（1）判断给定三条线段能否构成一个三角形：看较小两边的和是否大于最长边.（2）已知三角形的两边长,确定第三边的范围：两边之差的绝对值＜第三边＜两边之和.3.三角形的三条主要线段（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。三角形的三条中线交于三角形内部一点，叫做三角形的重心.（2）在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线交于三角形内一点，叫做三角形的内心.（3）在三角形中，从一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高，三角形的三条高交于一点，叫做三角形的垂心.4.三角形的角（1）三角形的内角和为180°.(2) 三角形的一边与他的邻边的延长线组成的角叫做三角形的外角.【易错点剖析】（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角和；（3）三角形的一个外角大于任意一个不相邻的内角.知识点04：多边形的内角和与外角和【高频考点精讲】 1. 多边形的内角和：边形的内角和为(－2)·180°(≥3)．【易错点剖析】(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数； (2)正多边形的每个内角都相等，都等于. 2. 多边形的外角和：任意多边形的外角和都为360°.【易错点剖析】多边形的外角和为360°．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.55一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2024•邵阳模拟）如图，直线l1∥l2，分别与直线l交于点A，B，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放．若∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）A．130° B．100° C．90° D．70°解：如图，∵直线l1∥l2，∴∠1＝∠3，∵∠1＝50°，∴∠3＝50°，由题意知∠4＝30°，∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣50°﹣30°＝100°，故选：B．2．（2分）（2023秋•成华区期末）如图，直线AB∥CD，∠ABE＝45°，∠E＝20°，则∠D的度数为（ ）A．20° B．25° C．30° D．35°解：∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BCD＝45°，∴∠DCE＝135°，由三角形的内角和可得∠D＝180°﹣135°﹣20°＝25°．故选：B．3．（2分）（2023秋•东城区期末）一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那么这个多边形是（ ）A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形解：设这个多边形的边数为n，由题意得：（n﹣2）•180°＝360°×2，n﹣2＝4，n＝6，故选：D．4．（2分）（2023秋•东莞市校级期末）为估计池塘两岸A、B间的距离，晓聪在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16m，PB＝12m，那么AB间的距离可能是（ ）A．2m B．30m C．28m D．20m解：根据三角形的三边关系定理可得：16﹣12＜AB＜16+12，即4＜AB＜28，故选：D．5．（2分）（2023秋•桐乡市期末）如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得PA＝14 米，PB＝9米，那么A，B间的距离不可能是（ ）A．6米 B．8.7米 C．27米 D．18米解：由三角形三边关系定理得：14﹣9＜AB＜14+9，5＜AB＜23，∴A，B间的距离不可能是27米．故选：C．6．（2分）（2023秋•射洪市期末）如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（ ）A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠3+∠5＝180° D．∠2＝∠3解：A、∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠5，因为”同旁内角互补，两直线平行“，所以本选项不能判断AB∥CD，符合题意；B、∵∠3＝∠4，∴AB∥CD，故本选项能判定AB∥CD，不符合题意；C、∵∠3+∠5＝180°，∴AB∥CD，故本选项能判定AB∥CD，不符合题意；D、∵∠1＝∠5，∴AB∥CD，故本选项能判定AB∥CD，不符合题意．故选：A．7．（2分）（2023秋•太康县期末）如图，点E在CD延长线上，下列条件中不能判定AC∥BD的是（ ）A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠5＝∠C D．∠C+∠BDC＝180°解：A．∠1与∠2是直线AC、BD被AD所截形成的内错角，因为∠1＝∠2，所以应是AC∥BD，所以A选项不符合题意．B．∵∠3＝∠4，∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行），不能判定BD∥AC，所以B选项符合题意．C．∵∠5＝∠C，∴BD∥AC （同位角相等，两直线平行），所以C选项不合题意．D．∵∠C+∠BDC＝180°，∴BD∥AC（同旁内角互补，两直线平行），所以D选项不合题意．故选：B．8．（2分）（2023秋•钟祥市校级期中）如图，∠AOB＝70°，点M，N分别在OA，OB上运动（不与点O重合），ME平分∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在M，N的运动过程中，∠F的度数（ ）A．变大 B．变小 C．等于55° D．等于35°解：∵ME平分∠AMN，NF平分∠MNO，∴∠EMN＝∠AMN，∠MNF＝∠MNO，根据外角的定义：∠AMN＝∠AOB+∠MNO，∴∠EMN＝∠AOB+∠MNO，∵∠AOB＝70°，∴∠EMN＝×70°+∠MNF＝35°+∠MNF，根据外角的定义：∠EMN＝∠F+∠MNF，∴∠F＝35°，故选：D．9．（2分）（2023春•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F＝（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABE+∠C，正确的是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4解：设BD交FH于点J．①∵BD⊥FD，∴∠FJD+∠F＝90°∵FH⊥BE，∴∠BJG+∠DBE＝90°，∵∠FJD＝∠BJG，∴∠DBE＝∠F，①正确；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BEF＝∠CBE+∠C，∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，∠BAF＝∠ABC+∠C，∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，②正确；③∠ABD＝90°﹣∠BAC，∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，∵∠CBD＝90°﹣∠C，∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，由①得，∠DBE＝∠F，∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，∴∠F＝（∠BAC﹣∠C）；③正确；④∵∠AEB＝∠EBC+∠C，∵∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE+∠C，∵BD⊥FC，FH⊥BE，∴∠FGD＝∠FEB，∴∠BGH＝∠ABE+∠C，④正确，故选：D．10．（2分）（2023秋•兰州期末）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝40°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：延长FG，交CH于I．∵AB∥CD，∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH，∵FD∥EH，∴∠EHC＝∠D，∵FE平分∠AFG，∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC，∴3∠EHC＝90°，∴∠EHC＝30°，∴∠D＝30°，∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°，∴①∠D＝40°错误；②2∠D+∠EHC＝90°正确，∵FE平分∠AFG，∴∠AFI＝30°×2＝60°，∵∠BFD＝30°，∴∠GFD＝90°，∴∠GFH+∠HFD＝90°，可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可，∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确．故选：A．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023秋•旌阳区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AB于点E，若∠B＝50°，∠ACE＝20°，则∠ADC的度数是 85° ．解：∵∠B＝50°，CE⊥AB，∴∠BCE＝90°﹣∠B＝40°，∴∠ACB＝∠BCE+∠ACE＝40°+20°＝60°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝70°．∵AD平分∠BAC，∴．∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACB＝85°．故答案为：85°．12．（2分）（2023秋•鹰潭期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．若∠A＝30°，∠BDC＝50°，则∠BDE的度数是 20° ．解：∵∠A＝30°，∠BDC＝50°，∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝20°．∵BD是△ABC的角平分线，∴∠DBC＝∠ABD＝20°，∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠DBC＝20°．故答案为：20°．13．（2分）（2023秋•汉中期末）如图，BE，CF是△ABC的角平分线，∠ABC＝60°，∠ACB＝80°，BE，CF相交于点D，则∠CDE的度数是 70° ．解：∵BE，CF是△ABC的角平分线，∠ABC＝60°，∠ACB＝80°，∴，，∴∠EDC＝∠DBC+∠DCB＝70°．故答案为：70°．14．（2分）（2023秋•石嘴山校级期中）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝310°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠CPD的度数是 65° ．解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝310°，∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣310°＝230°，∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点P，∴∠PDC+∠PCD＝（∠BCD+∠CDE）＝115°，∴∠CPD＝180°﹣115°＝65°．故答案为：65°．15．（2分）（2023秋•钟祥市校级期中）一张△ABC纸片，点M、N分别是AB、AC上的点，若沿直线MN折叠后，点A落在AC边的下面A′的位置，如图所示，则∠1，∠2，∠A之间的数量关系式是 ∠1＝2∠A+∠2 ．解：如图，由折叠得：∠A＝∠A′，∵∠1是△MDA的外角，∴∠1＝∠A+∠MDA，同理：∠MDA＝∠2+∠A′，∴∠1＝∠A+∠2+∠A′，即：∠1＝2∠A+∠2，故答案为：∠1＝2∠A+∠2．16．（2分）（2023秋•湛江期末）如图所示，∠CAB的外角等于120°，∠B等于40°，则∠C的度数是 80° ．解：∵∠CAB的外角＝∠B+∠C，且∠CAB的外角等于120°，∠B等于40°，∴∠C＝80°，故答案为：80°．17．（2分）（2023秋•丹东期末）如图，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，∠D＝15°，则∠A＝ 30° ．解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠ECD，∵∠ACE＝∠A+∠ABC，即∠ACD+∠ECD＝∠ABC+∠CBD+∠A，∴2∠ECD＝2∠CBD+∠A，∴∠A＝2（∠ECD﹣∠CBD）∵∠ECD＝∠CBD+∠D，∠D＝15°∴∠D＝∠ECD﹣∠CBD＝15°∴∠A＝2×15°＝30°．故答案为：30°．18．（2分）（2023秋•吉林期末）如图，直角三角形的两条直角边AC，BC分别经过正九边形的两个顶点，则图中∠1+∠2的结果是 190° ．解：如图，（9﹣2）×180°÷9×2＝7×180°÷9×2＝280°，∠3+∠4＝180°﹣90°＝90°，∠1+∠2＝280°﹣90°＝190°．故答案为：190°．19．（2分）（2022秋•济阳区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿A→C→E运动．若设点P运动的时间是t s，那么当t＝ 2或 s时，△APE的面积等于8．解：∵BC＝8cm，点E是BC的中点，∴CE＝BC＝4cm，当点P在线段AC上，如图1所示，AP＝2t，∵∠C＝90°，∴S△APE＝AP•CE＝×2t×4＝4t＝8，解得：t＝2；当点P在线段CE上，如图2所示，AC＝6cm，PE＝10﹣2t，∴S△APE＝PE•AC＝×（10﹣2t）×6＝8，解得：t＝．故答案为：2或．20．（2分）（2023春•慈溪市期中）如图，PQ∥MN，A，B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣4|+（b﹣1）2＝0．若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动 或36 秒时，射线AM与射线BQ互相平行．解：∵|a−4|+（b−1）2＝0，∴a＝4，b＝1，设射线AM再转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行．如图，射线AM绕点A顺时针先转动18秒后，AM转动至AM'的位置，∠MAM'＝18×4＝72°，分两种情况：①当M″到达MN前，∠QBQ'＝t°，∠M'AM″＝4t°，∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，∴∠MAB＝135°，∴∠M'AB＝135°﹣72°＝63°，∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM″＝∠M'AM″﹣∠M'AB＝4t°﹣63°，当∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″，此时，45°﹣t°＝4t°﹣63°，解得t＝；②当M″到达MN后，∠QBQ'＝t°，∠NAM″＝4t°﹣（180﹣72）°＝4t°﹣108°，∠BAM″＝45°﹣（4t°﹣108°）＝153°﹣4t°，∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，∴∠ABQ'＝45°﹣t°，，当∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″，此时，45°﹣t°＝153°﹣4t°，解得t＝36；综上所述，射线AM再转动或36秒时，射线AM、射线BQ互相平行．故答案为：或36．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023秋•德化县期末）如图，若∠DAE＝∠E，∠B＝∠D，那么AB∥DC吗？请在下面的解答过程中填空或在括号内填写理由．解：理由如下：∵∠DAE＝∠E（已知），∴ AD ∥ BE （ 内错角相等，两直线平行 ），∴∠DCE＝ ∠D （ 两直线平行，内错角相等 ），又∵∠B＝∠D（已知），∴∠DCE＝ ∠B （ 等量代换 ），∴AB∥DC（ 同位角相等，两直线平行 ）．解：∵∠DAE＝∠E（已知），∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行），∴∠DCE＝∠D（两直线平行，内错角相等），又∵∠B＝∠D（已知），∴∠DCE＝∠B（等量代换），∴AB∥DC（同位角相等，两直线平行），故答案为：AD；BE；内错角相等，两直线平行；∠D；两直线平行，内错角相等；∠B；等量代换；同位角相等，两直线平行．22．（6分）（2023秋•商河县期末）如图，在△ABC中，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°．（1）求证：DE∥BF；（2）若DE⊥AC，∠2＝140°，求∠AFG的度数．解：（1）BF∥DE，理由如下：∵∠AGF＝∠ABC，∴GF∥BC，∴∠1＝∠CBF，∵∠1+∠2＝180°，∴∠CBF+∠2＝180°，∴BF∥DE；（2）∵BF∥DE，DE⊥AC，∴BF⊥AC，∵∠1+∠2＝180°，∠2＝140°，∴∠1＝40°，∴∠AFG＝90°﹣40°＝50°．23．（8分）（2023秋•凤翔区期末）如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．【观察猜想】（1）∠BCD与∠ACE的数量关系是 ∠BCD＝∠ACE ；∠BCE与∠ACD的数量关系是 ∠BCE+∠ACD＝180° ；【类比探究】（2）若保持三角板ABC不动，绕直角顶点C顺时针转动三角板DCE，试探究当∠ACD等于多少度时CE∥AB，画出图形并简要说明理由；【拓展应用】（3）若∠BCE＝3∠ACD，求∠ACD的度数；并直接写出此时DE与AC的位置关系．解：（1）∵∠BCD+∠ACD＝90°，∠ACE+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠ACE；∵∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°+∠ACE，∴∠BCE+∠ACD＝90°+∠ACE+∠ACD＝90°+90°＝180°，∴∠BCE+∠ACD＝180°．故答案为：∠BCD＝∠ACE；∠BCE+∠ACD＝180°；（2）分两种情况：①如图1所示，当CE∥AB时，∠ACE＝∠A＝30°，∴∠ACD＝∠DCE﹣∠ACE＝90°﹣30°＝60°．②如图2所示，当CE∥AB时，∠BCE＝∠B＝60°，∴∠ACD＝360°﹣∠ACB﹣∠BCE﹣∠DCE＝360°﹣90°﹣60°﹣90°＝120°．综上所述，当∠ACD等于60°或120°时，CE∥AB；（3）设∠ACD＝α，则∠BCE＝3α．由（1）可知，∠BCE+∠ACD＝180°，∴3α+α＝180°，∴α＝45°，即∠ACD＝45°，此时DE⊥AC或DE∥AC．24．（8分）（2023秋•鹰潭期末）生活现象如图1，杆秤是中国最古老也是现今人们仍然在使用的衡量工具，是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、提绳等组成．数学模型如图2，是杆秤的示意图，AC∥BD，经测量发现∠A＝104°，∠BOE＝76°，请判断OE与BD的位置关系，并说明理由．解：OE∥BD，理由如下：∵AC∥BD，∴∠A+∠ABD＝180°，∴∠ABD＝180°﹣104°＝76°，∴∠ABD＝∠BOE，∴OE∥BD．25．（8分）（2023秋•城阳区期末）【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P．【提出问题】小明提出：∠BPD，∠ABP和∠CDP三个角之间存在着怎样的数量关系？【分析问题】已知平行，可以利用平行线的性质，把∠BPD分成两部分进行研究．【解决问题】探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由．探究二：如图②，∠P，∠AMP，∠CNP的数量关系为 ∠BPD＝∠ABP+∠CDP ；如图③，已知∠ABC＝25°，∠C＝60°，AE∥CD，则∠BAE＝ 145 °（不需要写解答过程）利用探究一得到的结论解决下列问题：如图④，射线ME，NF分别平分∠BMP和∠CNP，ME交直线CD于点E，NF与∠AMP内部的一条射线MF交于点F，若∠P＝2∠F，求∠FME的度数．解：探究一：∠BPD＝∠ABP+∠CDP，理由如下：如图①，∵AB∥MN∥CD，∴∠BPN＝∠ABP，∠DPN＝∠CDP，∴∠BPN+∠DPN＝∠ABP+∠CDP，∴∠BPD＝∠ABP+∠CDP．探究二：如图②，∠AMP＝∠P+∠CNP，理由如下：∵AB∥CD，∴∠MKP＝∠CNP，∵∠AMP＝∠P+∠MKP，∴∠AMP＝∠P+∠CNP．如图③，延长EA交BC于L，∵AE∥CD，∴∠ALC＝∠C＝60°，∴∠ALB＝180°﹣∠ALC＝120°，∴∠BAE＝∠B+∠ALB＝25°+120°＝145°．故答案为：∠AMP＝∠P+∠CNP，145．∵射线ME，NF分别平分∠BMP和∠CNP，∴∠PME＝∠PMB，∠CNF＝∠PNF，如图④，由探究一的结论得：∠P＝∠AMF+∠PMF+∠CNF+∠PNF，∠F＝∠AMF+∠CNF，∵∠P＝2∠F，∴∠AMF+∠PMF+∠CNF+∠PNF＝2∠AMF+2∠CNF，∵∠CNF＝∠PNF，∴∠AMF+∠PMF＝2∠AMF，∴∠PMF＝∠AMF＝∠AMP，∴∠PMF+∠PME＝（∠AMP+∠PMB），∴∠FME＝∠AMB＝×180°＝90°．26．（8分）（2023秋•海口期末）将一副直角三角尺的直角顶点C按照如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°），并能绕C点自由旋转．（1）写出∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；（2）当0°＜∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，固定直角三角尺ACD，将直角三角尺ECB绕C点自由旋转．①当EB∥AC时，∠ACE＝ 45°或135° °；②要使CB∥AD，则∠ACE的度数为 30°或150° °，请说明理由；③直接写出分别使得CE∥AD，EB∥DC，EB∥AD的∠ACE的度数，在备用图中画出相应的草图，不必写出理由．解：（1）∠ACB与∠DCE的数量关系是：∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：∵∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°，∴∠ACD＝90°，∠BCE＝90°，∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+∠DCB，∠DCE＝∠BCE﹣∠DCB＝90°﹣∠DCB，∴∠ACB+∠DCE＝90°+∠DCB+90°﹣∠DCB＝180°；（2）①当EB∥AC时，有以下两种情况：（ⅰ）当BE在AC的上方时，如图1所示：∵EB∥AC，∠E＝45°，∴∠ACE＝∠E＝45°，（ⅱ）当BE在AC下方时，如图2所示：∵EB∥AC，∠B＝45°，∴∠ACB＝∠B＝45°，∴∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝45°+90°＝135°，综上所述：∠ACE＝45°或135°，故答案为：45°或135°．②要使CB∥AD，则∠ACE的度数为60°或150°，理由如下：有以下两种情况：（ⅰ）当CB在AC的上方时，如图3所示：∵CB∥AD，∠D＝30°，∴∠DCB＝∠D＝30°，∴∠DCE＝∠BCE﹣∠DCB＝90°﹣30°＝60°，∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝90°﹣60°＝30°；（ⅱ）当CB在AC的下方时，如图4所示：∵CB∥AD，∠A＝60°，∴∠ACB＝∠A＝60°，∴∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝60°+90°＝150°，综上所述：∠ACE的度数为30°或150°；故答案为：60°或150°．③当CE∥AD时，有以下两种情况：（ⅰ）当CE在AC上方时，如图5所示：∵CE∥AD，∠D＝30°，∴∠DCE＝∠D＝30°，∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝90°+30°＝120°；（ⅱ）当CE在AC下方时，如图6所示：∵CE∥AD，∠A＝60°，∴∠ACE＝∠A＝60°，综上所述：当CE∥AD时，∠ACE的度数为120°或60°；当EB∥DC时，有以下两种情况：（ⅰ）当BE在CD的左侧时，如图7所示：∵EB∥DC，∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACE＝∠BCE﹣∠ACB＝90°﹣45°＝45°，（ⅱ）当BE在CD的右侧时，如图8所示：∵EB∥DC，∠E＝45°，∴∠DCE＝∠E＝45°，∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝90°+45°＝135°，综上所述：当EB∥DC时，∠ACE的度数为45°或135°；当EB∥AD时，有以下两种情况：（ⅰ）当EB在AD的左侧时，如图9所示：设BC与AD交于点T，∵EB∥AD，∠B＝45°，∴∠ATC＝∠B＝45°，∴∠ACT＝180°﹣（∠ATC+∠A）＝180°﹣（45°+60°）＝75°，∴∠ACE＝∠BCE﹣∠ACT＝90°﹣75°＝15°，（ⅱ）当EB在AD的右侧时，如图10所示：延长AC交EB于点H，∵EB∥AD，∠A＝60°，∴∠CHE＝180°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°，∴∠ECH＝180°﹣（CHE+∠E）＝180°﹣（120°+45°）＝15°，∵∠ACD＝90°，∴∠DCH＝90°，∴∠DCE＝∠DCH﹣∠ECH＝90°﹣15°＝75°，∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝90°+75°＝165°，综上所述：当EB∥AD时，∠ACE的度数为15°或165°．∴当CE∥AD时，∠ACE的度数为120°或60°；当EB∥DC时，∠ACE的度数为45°或135°；当EB∥AD时，∠ACE的度数为15°或165°．27．（8分）（2023秋•大东区期末）如图，四边形BCED中，点A在CB的延长线上，点F在DE的延长线上，连接AF交BD于G，交CE于H，且∠1＝45°，∠2＝135°．（1）求证：BD∥CE；（2）若∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．证明：（1）∵∠CHG+∠2＝180°，∠2＝135°，∴∠CHG＝45°，∵∠1＝45°，∴∠CHG＝∠1，∴BD∥CE．（2）∵BD∥CE，∴∠C＝∠ABD，∵∠C＝∠D，∴∠ABD＝∠D．∴AC∥DF，∴∠A＝∠F．28．（8分）（2023秋•潍城区期末）已知ABCD为四边形，点E为边AB延长线上一点．【探究】：（1）如图1，∠ADC＝110°，∠BCD＝120°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝ 35 °；（2）如图2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝ ；（用α，β表示）（3）如图3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG，BH平行时，α，β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论；【挑战】：如果将（2）中的条件α+β＞180°改为α+β＜180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，若两平分线所在的直线交于点F，则∠AFB与α，β有怎样的数量关系？请画出图形并直接写出结论．解：（1）如图1．∵BF平分∠CBE，AF平分∠DAB，∴∠FBE＝∠CBE，∠FAB＝∠DAB．∵∠D+∠DCB+∠DAB+∠ABC＝360°，∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB＝360°﹣120°﹣110°＝130°．又∵∠F+∠FAB＝∠FBE，∴∠F＝∠FBE﹣∠FAB＝＝＝（180°﹣130°）＝25°；（2）如图2．由（1）得：∠AFB＝，∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB．∴∠AFB＝＝．（3）若AG∥BH，则α+β＝180°．证明：如图3．若AG∥BH，则∠GAB＝∠HBE．∵AG平分∠DAB，BH平分∠CBE，∴∠DAB＝2∠GAB，∠CBE＝2∠HBE．∴∠DAB＝∠CBE．∴AD∥BC．∴∠DAB+∠DCB＝α+β＝180°．挑战：如图4．∵AM平分∠DAB，BN平分∠CBE，∴∠BAM＝，．∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠BCD＝360°，∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣BCD＝360°﹣α﹣β．∴∠DAB+180°﹣∠CBE＝360°﹣α﹣β．∴∠DAB﹣∠CBE＝180°﹣α﹣β．∵∠ABF与∠NBE是对顶角，∴∠ABF＝∠NBE．又∵∠F+∠ABF＝∠MAB，∴∠F＝∠MAB﹣∠ABF．∴∠F＝＝＝90°﹣
2023-2024学年苏科版数学七年级下册章节知识讲练1. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；2. 了解图形平移的概念及性质；3. 熟练掌握三角形的三边关系及内角和定理，并能灵活应用；4. 掌握多边形的内角和公式与外角和定理．知识点01：平行线的判定与性质【高频考点精讲】 1．平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．知识点02：图形的平移【高频考点精讲】 1.平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．【易错点剖析】决定平移的两个要素：（1）平移的方向；（2）平移的距离．2.平移的性质： (1)图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置．（2）图形平移后，对应点的连线平行或在同一直线上且相等． (3)图形经过平移，对应线段互相平行或在同一条直线上且相等，对应角相等．知识点03：认识三角形【高频考点精讲】 三角形的分类 （1）按角分： 三角形2.三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边; 三角形任意两边之差小于第三边.【易错点剖析】（1）判断给定三条线段能否构成一个三角形：看较小两边的和是否大于最长边.（2）已知三角形的两边长,确定第三边的范围：两边之差的绝对值＜第三边＜两边之和.3.三角形的三条主要线段（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。三角形的三条中线交于三角形内部一点，叫做三角形的重心.（2）在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线交于三角形内一点，叫做三角形的内心.（3）在三角形中，从一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高，三角形的三条高交于一点，叫做三角形的垂心.4.三角形的角（1）三角形的内角和为180°.(2) 三角形的一边与他的邻边的延长线组成的角叫做三角形的外角.【易错点剖析】（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角和；（3）三角形的一个外角大于任意一个不相邻的内角.知识点04：多边形的内角和与外角和【高频考点精讲】 1. 多边形的内角和：边形的内角和为(－2)·180°(≥3)．【易错点剖析】(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数； (2)正多边形的每个内角都相等，都等于. 2. 多边形的外角和：任意多边形的外角和都为360°.【易错点剖析】多边形的外角和为360°．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.55一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2024•邵阳模拟）如图，直线l1∥l2，分别与直线l交于点A，B，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放．若∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）A．130° B．100° C．90° D．70°解：如图，∵直线l1∥l2，∴∠1＝∠3，∵∠1＝50°，∴∠3＝50°，由题意知∠4＝30°，∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣50°﹣30°＝100°，故选：B．2．（2分）（2023秋•成华区期末）如图，直线AB∥CD，∠ABE＝45°，∠E＝20°，则∠D的度数为（ ）A．20° B．25° C．30° D．35°解：∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BCD＝45°，∴∠DCE＝135°，由三角形的内角和可得∠D＝180°﹣135°﹣20°＝25°．故选：B．3．（2分）（2023秋•东城区期末）一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那么这个多边形是（ ）A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形解：设这个多边形的边数为n，由题意得：（n﹣2）•180°＝360°×2，n﹣2＝4，n＝6，故选：D．4．（2分）（2023秋•东莞市校级期末）为估计池塘两岸A、B间的距离，晓聪在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16m，PB＝12m，那么AB间的距离可能是（ ）A．2m B．30m C．28m D．20m解：根据三角形的三边关系定理可得：16﹣12＜AB＜16+12，即4＜AB＜28，故选：D．5．（2分）（2023秋•桐乡市期末）如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得PA＝14 米，PB＝9米，那么A，B间的距离不可能是（ ）A．6米 B．8.7米 C．27米 D．18米解：由三角形三边关系定理得：14﹣9＜AB＜14+9，5＜AB＜23，∴A，B间的距离不可能是27米．故选：C．6．（2分）（2023秋•射洪市期末）如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（ ）A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠3+∠5＝180° D．∠2＝∠3解：A、∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠5，因为”同旁内角互补，两直线平行“，所以本选项不能判断AB∥CD，符合题意；B、∵∠3＝∠4，∴AB∥CD，故本选项能判定AB∥CD，不符合题意；C、∵∠3+∠5＝180°，∴AB∥CD，故本选项能判定AB∥CD，不符合题意；D、∵∠1＝∠5，∴AB∥CD，故本选项能判定AB∥CD，不符合题意．故选：A．7．（2分）（2023秋•太康县期末）如图，点E在CD延长线上，下列条件中不能判定AC∥BD的是（ ）A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠5＝∠C D．∠C+∠BDC＝180°解：A．∠1与∠2是直线AC、BD被AD所截形成的内错角，因为∠1＝∠2，所以应是AC∥BD，所以A选项不符合题意．B．∵∠3＝∠4，∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行），不能判定BD∥AC，所以B选项符合题意．C．∵∠5＝∠C，∴BD∥AC （同位角相等，两直线平行），所以C选项不合题意．D．∵∠C+∠BDC＝180°，∴BD∥AC（同旁内角互补，两直线平行），所以D选项不合题意．故选：B．8．（2分）（2023秋•钟祥市校级期中）如图，∠AOB＝70°，点M，N分别在OA，OB上运动（不与点O重合），ME平分∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在M，N的运动过程中，∠F的度数（ ）A．变大 B．变小 C．等于55° D．等于35°解：∵ME平分∠AMN，NF平分∠MNO，∴∠EMN＝∠AMN，∠MNF＝∠MNO，根据外角的定义：∠AMN＝∠AOB+∠MNO，∴∠EMN＝∠AOB+∠MNO，∵∠AOB＝70°，∴∠EMN＝×70°+∠MNF＝35°+∠MNF，根据外角的定义：∠EMN＝∠F+∠MNF，∴∠F＝35°，故选：D．9．（2分）（2023春•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F＝（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABE+∠C，正确的是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4解：设BD交FH于点J．①∵BD⊥FD，∴∠FJD+∠F＝90°∵FH⊥BE，∴∠BJG+∠DBE＝90°，∵∠FJD＝∠BJG，∴∠DBE＝∠F，①正确；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BEF＝∠CBE+∠C，∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，∠BAF＝∠ABC+∠C，∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，②正确；③∠ABD＝90°﹣∠BAC，∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，∵∠CBD＝90°﹣∠C，∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，由①得，∠DBE＝∠F，∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，∴∠F＝（∠BAC﹣∠C）；③正确；④∵∠AEB＝∠EBC+∠C，∵∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE+∠C，∵BD⊥FC，FH⊥BE，∴∠FGD＝∠FEB，∴∠BGH＝∠ABE+∠C，④正确，故选：D．10．（2分）（2023秋•兰州期末）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝40°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：延长FG，交CH于I．∵AB∥CD，∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH，∵FD∥EH，∴∠EHC＝∠D，∵FE平分∠AFG，∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC，∴3∠EHC＝90°，∴∠EHC＝30°，∴∠D＝30°，∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°，∴①∠D＝40°错误；②2∠D+∠EHC＝90°正确，∵FE平分∠AFG，∴∠AFI＝30°×2＝60°，∵∠BFD＝30°，∴∠GFD＝90°，∴∠GFH+∠HFD＝90°，可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可，∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确．故选：A．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023秋•旌阳区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AB于点E，若∠B＝50°，∠ACE＝20°，则∠ADC的度数是 85° ．解：∵∠B＝50°，CE⊥AB，∴∠BCE＝90°﹣∠B＝40°，∴∠ACB＝∠BCE+∠ACE＝40°+20°＝60°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝70°．∵AD平分∠BAC，∴．∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACB＝85°．故答案为：85°．12．（2分）（2023秋•鹰潭期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．若∠A＝30°，∠BDC＝50°，则∠BDE的度数是 20° ．解：∵∠A＝30°，∠BDC＝50°，∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝20°．∵BD是△ABC的角平分线，∴∠DBC＝∠ABD＝20°，∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠DBC＝20°．故答案为：20°．13．（2分）（2023秋•汉中期末）如图，BE，CF是△ABC的角平分线，∠ABC＝60°，∠ACB＝80°，BE，CF相交于点D，则∠CDE的度数是 70° ．解：∵BE，CF是△ABC的角平分线，∠ABC＝60°，∠ACB＝80°，∴，，∴∠EDC＝∠DBC+∠DCB＝70°．故答案为：70°．14．（2分）（2023秋•石嘴山校级期中）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝310°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠CPD的度数是 65° ．解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝310°，∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣310°＝230°，∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点P，∴∠PDC+∠PCD＝（∠BCD+∠CDE）＝115°，∴∠CPD＝180°﹣115°＝65°．故答案为：65°．15．（2分）（2023秋•钟祥市校级期中）一张△ABC纸片，点M、N分别是AB、AC上的点，若沿直线MN折叠后，点A落在AC边的下面A′的位置，如图所示，则∠1，∠2，∠A之间的数量关系式是 ∠1＝2∠A+∠2 ．解：如图，由折叠得：∠A＝∠A′，∵∠1是△MDA的外角，∴∠1＝∠A+∠MDA，同理：∠MDA＝∠2+∠A′，∴∠1＝∠A+∠2+∠A′，即：∠1＝2∠A+∠2，故答案为：∠1＝2∠A+∠2．16．（2分）（2023秋•湛江期末）如图所示，∠CAB的外角等于120°，∠B等于40°，则∠C的度数是 80° ．解：∵∠CAB的外角＝∠B+∠C，且∠CAB的外角等于120°，∠B等于40°，∴∠C＝80°，故答案为：80°．17．（2分）（2023秋•丹东期末）如图，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，∠D＝15°，则∠A＝ 30° ．解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠ECD，∵∠ACE＝∠A+∠ABC，即∠ACD+∠ECD＝∠ABC+∠CBD+∠A，∴2∠ECD＝2∠CBD+∠A，∴∠A＝2（∠ECD﹣∠CBD）∵∠ECD＝∠CBD+∠D，∠D＝15°∴∠D＝∠ECD﹣∠CBD＝15°∴∠A＝2×15°＝30°．故答案为：30°．18．（2分）（2023秋•吉林期末）如图，直角三角形的两条直角边AC，BC分别经过正九边形的两个顶点，则图中∠1+∠2的结果是 190° ．解：如图，（9﹣2）×180°÷9×2＝7×180°÷9×2＝280°，∠3+∠4＝180°﹣90°＝90°，∠1+∠2＝280°﹣90°＝190°．故答案为：190°．19．（2分）（2022秋•济阳区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿A→C→E运动．若设点P运动的时间是t s，那么当t＝ 2或 s时，△APE的面积等于8．解：∵BC＝8cm，点E是BC的中点，∴CE＝BC＝4cm，当点P在线段AC上，如图1所示，AP＝2t，∵∠C＝90°，∴S△APE＝AP•CE＝×2t×4＝4t＝8，解得：t＝2；当点P在线段CE上，如图2所示，AC＝6cm，PE＝10﹣2t，∴S△APE＝PE•AC＝×（10﹣2t）×6＝8，解得：t＝．故答案为：2或．20．（2分）（2023春•慈溪市期中）如图，PQ∥MN，A，B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣4|+（b﹣1）2＝0．若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动 或36 秒时，射线AM与射线BQ互相平行．解：∵|a−4|+（b−1）2＝0，∴a＝4，b＝1，设射线AM再转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行．如图，射线AM绕点A顺时针先转动18秒后，AM转动至AM'的位置，∠MAM'＝18×4＝72°，分两种情况：①当M″到达MN前，∠QBQ'＝t°，∠M'AM″＝4t°，∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，∴∠MAB＝135°，∴∠M'AB＝135°﹣72°＝63°，∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM″＝∠M'AM″﹣∠M'AB＝4t°﹣63°，当∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″，此时，45°﹣t°＝4t°﹣63°，解得t＝；②当M″到达MN后，∠QBQ'＝t°，∠NAM″＝4t°﹣（180﹣72）°＝4t°﹣108°，∠BAM″＝45°﹣（4t°﹣108°）＝153°﹣4t°，∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，∴∠ABQ'＝45°﹣t°，，当∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″，此时，45°﹣t°＝153°﹣4t°，解得t＝36；综上所述，射线AM再转动或36秒时，射线AM、射线BQ互相平行．故答案为：或36．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023秋•德化县期末）如图，若∠DAE＝∠E，∠B＝∠D，那么AB∥DC吗？请在下面的解答过程中填空或在括号内填写理由．解：理由如下：∵∠DAE＝∠E（已知），∴ AD ∥ BE （ 内错角相等，两直线平行 ），∴∠DCE＝ ∠D （ 两直线平行，内错角相等 ），又∵∠B＝∠D（已知），∴∠DCE＝ ∠B （ 等量代换 ），∴AB∥DC（ 同位角相等，两直线平行 ）．解：∵∠DAE＝∠E（已知），∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行），∴∠DCE＝∠D（两直线平行，内错角相等），又∵∠B＝∠D（已知），∴∠DCE＝∠B（等量代换），∴AB∥DC（同位角相等，两直线平行），故答案为：AD；BE；内错角相等，两直线平行；∠D；两直线平行，内错角相等；∠B；等量代换；同位角相等，两直线平行．22．（6分）（2023秋•商河县期末）如图，在△ABC中，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°．（1）求证：DE∥BF；（2）若DE⊥AC，∠2＝140°，求∠AFG的度数．解：（1）BF∥DE，理由如下：∵∠AGF＝∠ABC，∴GF∥BC，∴∠1＝∠CBF，∵∠1+∠2＝180°，∴∠CBF+∠2＝180°，∴BF∥DE；（2）∵BF∥DE，DE⊥AC，∴BF⊥AC，∵∠1+∠2＝180°，∠2＝140°，∴∠1＝40°，∴∠AFG＝90°﹣40°＝50°．23．（8分）（2023秋•凤翔区期末）如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．【观察猜想】（1）∠BCD与∠ACE的数量关系是 ∠BCD＝∠ACE ；∠BCE与∠ACD的数量关系是 ∠BCE+∠ACD＝180° ；【类比探究】（2）若保持三角板ABC不动，绕直角顶点C顺时针转动三角板DCE，试探究当∠ACD等于多少度时CE∥AB，画出图形并简要说明理由；【拓展应用】（3）若∠BCE＝3∠ACD，求∠ACD的度数；并直接写出此时DE与AC的位置关系．解：（1）∵∠BCD+∠ACD＝90°，∠ACE+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠ACE；∵∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°+∠ACE，∴∠BCE+∠ACD＝90°+∠ACE+∠ACD＝90°+90°＝180°，∴∠BCE+∠ACD＝180°．故答案为：∠BCD＝∠ACE；∠BCE+∠ACD＝180°；（2）分两种情况：①如图1所示，当CE∥AB时，∠ACE＝∠A＝30°，∴∠ACD＝∠DCE﹣∠ACE＝90°﹣30°＝60°．②如图2所示，当CE∥AB时，∠BCE＝∠B＝60°，∴∠ACD＝360°﹣∠ACB﹣∠BCE﹣∠DCE＝360°﹣90°﹣60°﹣90°＝120°．综上所述，当∠ACD等于60°或120°时，CE∥AB；（3）设∠ACD＝α，则∠BCE＝3α．由（1）可知，∠BCE+∠ACD＝180°，∴3α+α＝180°，∴α＝45°，即∠ACD＝45°，此时DE⊥AC或DE∥AC．24．（8分）（2023秋•鹰潭期末）生活现象如图1，杆秤是中国最古老也是现今人们仍然在使用的衡量工具，是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、提绳等组成．数学模型如图2，是杆秤的示意图，AC∥BD，经测量发现∠A＝104°，∠BOE＝76°，请判断OE与BD的位置关系，并说明理由．解：OE∥BD，理由如下：∵AC∥BD，∴∠A+∠ABD＝180°，∴∠ABD＝180°﹣104°＝76°，∴∠ABD＝∠BOE，∴OE∥BD．25．（8分）（2023秋•城阳区期末）【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P．【提出问题】小明提出：∠BPD，∠ABP和∠CDP三个角之间存在着怎样的数量关系？【分析问题】已知平行，可以利用平行线的性质，把∠BPD分成两部分进行研究．【解决问题】探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由．探究二：如图②，∠P，∠AMP，∠CNP的数量关系为 ∠BPD＝∠ABP+∠CDP ；如图③，已知∠ABC＝25°，∠C＝60°，AE∥CD，则∠BAE＝ 145 °（不需要写解答过程）利用探究一得到的结论解决下列问题：如图④，射线ME，NF分别平分∠BMP和∠CNP，ME交直线CD于点E，NF与∠AMP内部的一条射线MF交于点F，若∠P＝2∠F，求∠FME的度数．解：探究一：∠BPD＝∠ABP+∠CDP，理由如下：如图①，∵AB∥MN∥CD，∴∠BPN＝∠ABP，∠DPN＝∠CDP，∴∠BPN+∠DPN＝∠ABP+∠CDP，∴∠BPD＝∠ABP+∠CDP．探究二：如图②，∠AMP＝∠P+∠CNP，理由如下：∵AB∥CD，∴∠MKP＝∠CNP，∵∠AMP＝∠P+∠MKP，∴∠AMP＝∠P+∠CNP．如图③，延长EA交BC于L，∵AE∥CD，∴∠ALC＝∠C＝60°，∴∠ALB＝180°﹣∠ALC＝120°，∴∠BAE＝∠B+∠ALB＝25°+120°＝145°．故答案为：∠AMP＝∠P+∠CNP，145．∵射线ME，NF分别平分∠BMP和∠CNP，∴∠PME＝∠PMB，∠CNF＝∠PNF，如图④，由探究一的结论得：∠P＝∠AMF+∠PMF+∠CNF+∠PNF，∠F＝∠AMF+∠CNF，∵∠P＝2∠F，∴∠AMF+∠PMF+∠CNF+∠PNF＝2∠AMF+2∠CNF，∵∠CNF＝∠PNF，∴∠AMF+∠PMF＝2∠AMF，∴∠PMF＝∠AMF＝∠AMP，∴∠PMF+∠PME＝（∠AMP+∠PMB），∴∠FME＝∠AMB＝×180°＝90°．26．（8分）（2023秋•海口期末）将一副直角三角尺的直角顶点C按照如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°），并能绕C点自由旋转．（1）写出∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；（2）当0°＜∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，固定直角三角尺ACD，将直角三角尺ECB绕C点自由旋转．①当EB∥AC时，∠ACE＝ 45°或135° °；②要使CB∥AD，则∠ACE的度数为 30°或150° °，请说明理由；③直接写出分别使得CE∥AD，EB∥DC，EB∥AD的∠ACE的度数，在备用图中画出相应的草图，不必写出理由．解：（1）∠ACB与∠DCE的数量关系是：∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：∵∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°，∴∠ACD＝90°，∠BCE＝90°，∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+∠DCB，∠DCE＝∠BCE﹣∠DCB＝90°﹣∠DCB，∴∠ACB+∠DCE＝90°+∠DCB+90°﹣∠DCB＝180°；（2）①当EB∥AC时，有以下两种情况：（ⅰ）当BE在AC的上方时，如图1所示：∵EB∥AC，∠E＝45°，∴∠ACE＝∠E＝45°，（ⅱ）当BE在AC下方时，如图2所示：∵EB∥AC，∠B＝45°，∴∠ACB＝∠B＝45°，∴∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝45°+90°＝135°，综上所述：∠ACE＝45°或135°，故答案为：45°或135°．②要使CB∥AD，则∠ACE的度数为60°或150°，理由如下：有以下两种情况：（ⅰ）当CB在AC的上方时，如图3所示：∵CB∥AD，∠D＝30°，∴∠DCB＝∠D＝30°，∴∠DCE＝∠BCE﹣∠DCB＝90°﹣30°＝60°，∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝90°﹣60°＝30°；（ⅱ）当CB在AC的下方时，如图4所示：∵CB∥AD，∠A＝60°，∴∠ACB＝∠A＝60°，∴∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝60°+90°＝150°，综上所述：∠ACE的度数为30°或150°；故答案为：60°或150°．③当CE∥AD时，有以下两种情况：（ⅰ）当CE在AC上方时，如图5所示：∵CE∥AD，∠D＝30°，∴∠DCE＝∠D＝30°，∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝90°+30°＝120°；（ⅱ）当CE在AC下方时，如图6所示：∵CE∥AD，∠A＝60°，∴∠ACE＝∠A＝60°，综上所述：当CE∥AD时，∠ACE的度数为120°或60°；当EB∥DC时，有以下两种情况：（ⅰ）当BE在CD的左侧时，如图7所示：∵EB∥DC，∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACE＝∠BCE﹣∠ACB＝90°﹣45°＝45°，（ⅱ）当BE在CD的右侧时，如图8所示：∵EB∥DC，∠E＝45°，∴∠DCE＝∠E＝45°，∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝90°+45°＝135°，综上所述：当EB∥DC时，∠ACE的度数为45°或135°；当EB∥AD时，有以下两种情况：（ⅰ）当EB在AD的左侧时，如图9所示：设BC与AD交于点T，∵EB∥AD，∠B＝45°，∴∠ATC＝∠B＝45°，∴∠ACT＝180°﹣（∠ATC+∠A）＝180°﹣（45°+60°）＝75°，∴∠ACE＝∠BCE﹣∠ACT＝90°﹣75°＝15°，（ⅱ）当EB在AD的右侧时，如图10所示：延长AC交EB于点H，∵EB∥AD，∠A＝60°，∴∠CHE＝180°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°，∴∠ECH＝180°﹣（CHE+∠E）＝180°﹣（120°+45°）＝15°，∵∠ACD＝90°，∴∠DCH＝90°，∴∠DCE＝∠DCH﹣∠ECH＝90°﹣15°＝75°，∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝90°+75°＝165°，综上所述：当EB∥AD时，∠ACE的度数为15°或165°．∴当CE∥AD时，∠ACE的度数为120°或60°；当EB∥DC时，∠ACE的度数为45°或135°；当EB∥AD时，∠ACE的度数为15°或165°．27．（8分）（2023秋•大东区期末）如图，四边形BCED中，点A在CB的延长线上，点F在DE的延长线上，连接AF交BD于G，交CE于H，且∠1＝45°，∠2＝135°．（1）求证：BD∥CE；（2）若∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．证明：（1）∵∠CHG+∠2＝180°，∠2＝135°，∴∠CHG＝45°，∵∠1＝45°，∴∠CHG＝∠1，∴BD∥CE．（2）∵BD∥CE，∴∠C＝∠ABD，∵∠C＝∠D，∴∠ABD＝∠D．∴AC∥DF，∴∠A＝∠F．28．（8分）（2023秋•潍城区期末）已知ABCD为四边形，点E为边AB延长线上一点．【探究】：（1）如图1，∠ADC＝110°，∠BCD＝120°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝ 35 °；（2）如图2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝ ；（用α，β表示）（3）如图3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG，BH平行时，α，β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论；【挑战】：如果将（2）中的条件α+β＞180°改为α+β＜180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，若两平分线所在的直线交于点F，则∠AFB与α，β有怎样的数量关系？请画出图形并直接写出结论．解：（1）如图1．∵BF平分∠CBE，AF平分∠DAB，∴∠FBE＝∠CBE，∠FAB＝∠DAB．∵∠D+∠DCB+∠DAB+∠ABC＝360°，∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB＝360°﹣120°﹣110°＝130°．又∵∠F+∠FAB＝∠FBE，∴∠F＝∠FBE﹣∠FAB＝＝＝（180°﹣130°）＝25°；（2）如图2．由（1）得：∠AFB＝，∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB．∴∠AFB＝＝．（3）若AG∥BH，则α+β＝180°．证明：如图3．若AG∥BH，则∠GAB＝∠HBE．∵AG平分∠DAB，BH平分∠CBE，∴∠DAB＝2∠GAB，∠CBE＝2∠HBE．∴∠DAB＝∠CBE．∴AD∥BC．∴∠DAB+∠DCB＝α+β＝180°．挑战：如图4．∵AM平分∠DAB，BN平分∠CBE，∴∠BAM＝，．∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠BCD＝360°，∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣BCD＝360°﹣α﹣β．∴∠DAB+180°﹣∠CBE＝360°﹣α﹣β．∴∠DAB﹣∠CBE＝180°﹣α﹣β．∵∠ABF与∠NBE是对顶角，∴∠ABF＝∠NBE．又∵∠F+∠ABF＝∠MAB，∴∠F＝∠MAB﹣∠ABF．∴∠F＝＝＝90°﹣
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