数学七年级下册12.2 证明导学案

这是一份数学七年级下册12.2 证明导学案，文件包含第12章证明教师版docx、第12章证明学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共33页， 欢迎下载使用。


1．了解定义、命题、真命题、假命题的含义，会区分命题的题设（条件）和结论，会判断一个命题的真假；
2．了解综合法的证明步骤和书写格式.
3．运用平行线的判定与性质、三角形的内角和定理及其推论去解决一些简单的问题，用几何语言进行简单的推理论证.
4.了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立，逆命题不一定成立.会判断一个命题的逆命题的真假.
知识点01：定义、命题、真命题、假命题
定义：对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给它们的定义.
命题：判断一件事情的句子叫命题．
真命题：如果条件成立，那么结论成立，这样的命题叫做真命题.
假命题：如果条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，这样的命题叫做假命题.
【易错点剖析】命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．其中命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以，即只需列出一个具备条件而不具备结论的例子即可.要说明一个真命题，则要从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理,证明它的正确性.
知识点02：证明
根据已知真命题，确定某个命题的真实性的过程，叫做证明．经过证明的真命题称为定理.
证明过程必须做到言必有据.证明过程通常包含几个推理，每个推理都应包括因、果和有因得果的依据.其中，“因”是已知事项，“果”是推出的结论；“有因得果的依据”是基本事实、定义、已学过的定理以及等式性质、不等式性质.
证明的步骤：1.根据题意，画出图形；
2.根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证；
3.写出证明过程.
【易错点剖析】推理和证明是有区别的，推理是证明的组成部分，一个证明过程往往包含多个推理.
知识点03：三角形的内角和定理及其推论
三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°.
推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和.
【易错点剖析】(1)三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
(2)三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
(3)三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（4）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（5）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
知识点04：互逆命题
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题是另一个命题的逆命题.
把一个命题的条件与结论互换，就得到它的逆命题，我们能够判断一个命题及其它的逆命题的真假.证明一个命题是假命题，只需举出一个反例就可以了.
【易错点剖析】每一个命题都有对应的逆命题，一个真命题的逆命题不一定是真命题，同样一个假命题的逆命题也不一定仍为假命题.
反例就是复合命题的条件，但不符合命题的结论的例子，它可以是数值、图形，也可以是文字说明.一个命题的反例可以有很多个，解题时只需要举出其中最易懂的一个即可.
检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.55
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2023秋•常德期末）下列选项中可以用来说明命题“若x2＞1，则x＞1”是假命题的反例是（ ）
A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝3D．x＝﹣3
解：A、x＝﹣1时，不满足x2＞1，本选项不符合题意；
B、x＝1时，不满足x2＞1，本选项不符合题意；
C、x＝3时．满足x2＞1，则x＞1．本选项不符合题意；
D、∵（﹣3）2＝9＞1，﹣3＜1，
∴当x＝﹣3时，说明命题“若x2＞1，则x＞1”是假命题，本选项符合题意．
故选：D．
2．（2分）（2023秋•晋江市期末）对于命题“若m＝2，则m2＝4”，能说明该命题的逆命题是假命题的m的值可以是（ ）
A．m＝﹣2B．m＝2C．m＝﹣4D．m＝4
解：命题“若m＝2，则m2＝4”的逆命题为若m2＝4，则m＝2，
m＝﹣2时m2＝4成立，m＝2不成立，
故选：A．
3．（2分）（2023秋•靖边县期末）下列各语句中，不是真命题的是（ ）
A．直角都相等
B．对顶角相等
C．若∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，则∠1与∠3相等
D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
解：A、直角都相等，是真命题，故此选项不符合题意；
B、对顶角相等，是真命题，故此选项不符合题意；
C、若∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，则∠1与∠3相等，是真命题，故此选项不符合题意；
D、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题，故此选项符合题意．
故选：D．
4．（2分）（2023秋•青白江区期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．相等的角是对顶角
C．三角形的外角大于任一内角
D．直角三角形的两锐角互余
解：A、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，错误，是假命题，不符合题意；
C、三角形的外角大于不相邻的内角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、直角三角形的两锐角互余，正确，是真命题，符合题意，
故选：D．
5．（2分）（2023秋•城关区校级期末）下列各命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补
B．若两个数a+b＝0，则这两个数为相反数
C．对顶角相等
D．如果a2＝b2，那么a＝b
解：A、逆命题为同旁内角互补，两直线平行，是真命题，不符合题意；
B、逆命题为如果两个数互为相反数，那么a+b＝0，是真命题，不符合题意；
C、逆命题为相等的角为对顶角，是假命题，符合题意；
D、逆命题为如果a＝b，那么a2＝b2，是真命题，不符合题意．
故选：C．
6．（2分）（2022秋•商水县期末）下列命题中：①同旁内角互补，两直线平行；②无理数都是无限不循环小数；③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是0或1，是真命题的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
解：①同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题，符合题意；
②无理数都是无限不循环小数，正确，是真命题，符合题意；
③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是0或±1，故原命题错误，不符合题意；
真命题有2个，
故选：C．
7．（2分）（2023秋•李沧区期末）对于命题“如果a＜2，那么a2＜4”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣3B．a＝3C．a＝﹣1D．1
解：当a＝﹣3时，满足a＜2，但不满足a2＜4，
所以能说明原命题是假命题的反例是a＝﹣3．
故选：A．
8．（2分）（2023秋•秦州区期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．内错角相等
D．如果a∥b，b∥c，则a∥c
解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；
B、在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a∥c，原命题是假命题；
C、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题；
D、如果a∥b，b∥c，则a∥c，是真命题；
故选：D．
9．（2分）（2023春•信都区期末）已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．钝角三角形
解：如图，钝角△ABC的三条高的交点在△ABC的外部．
故选：D．
10．（2分）（2018春•绍兴期中）甲乙丙丁四人的车分别为白色、银色、蓝色和红色．在问到他们各自车的颜色时，甲说：“乙的车不是白色．”乙说：“丙的车是红色的．”丙说：“丁的车不是蓝色的．”丁说：“甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是实话．”如果丁说的是实话，那么以下说法正确的是（ ）
A．甲的车是白色的，乙的车是银色的
B．乙的车是蓝色的，丙的车是红色的
C．丙的车是白色的，丁的车是蓝色的
D．丁的车是银色的，甲的车是红色的
解：∵丁说：“甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是实话．”如果丁说的是实话，
假设乙的车是红色，
∴乙的说法是实话，
∴丙的车也是红色，和乙的车是红色矛盾，
假设丙的车是红色，
∴丙的说法是实话，而乙说：“丙的车是红色的．”，
∴乙的说法是实话，
∴有两人说的是实话，与只有一个人是说法是实话矛盾，
∴只有甲的车是红色，
∴甲的说法是实话，
∴丙的说法不是实话，
∵丙说：“丁的车不是蓝色的．”
∴丁的车是蓝色，
∴乙和丙的车一个是白色，一个是银色，
∵甲说：“乙的车不是白色．”且甲的说法是实话，
∴丙的车是白色，乙的车是银色，
即：甲的车是红色，乙的车是银色，丙的车是白色，丁的车是蓝色，
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2022秋•晋城期末）请写出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题： 两个角相等三角形是等腰三角形 ．
解：∵原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
∴命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个底角相等三角形是等腰三角形”，
故答案为：两个角相等三角形是等腰三角形．
12．（2分）（2023春•任城区期末）命题“如果，那么a＞b”的逆命题是 假 命题（填“真”或“假”）．
解：根据题意得：命题“如果，那么a＞b”，逆命题是“如果a＞b，那么”，该命题是假命题．因为当c＝0时，此命题结论错误，
故答案为：假．
13．（2分）（2023春•临邑县期末）如图①，在长方形ABCD中，E点在AD上，并且∠ABE＝30°，分别以BE、CE为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中∠AED＝n°，则∠BCE的度数为 n+30 °（用含n的代数式表示）．
解：∵BE＝2AE＝2A′E，∠A＝∠A′＝90°，
∴△ABE、△A′BE都为30°、60°、90° 的三角形，
∴∠1＝∠AEB＝60°，
∴∠AED′＝180°﹣∠1﹣∠AEB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠DED′＝∠AED+∠AED′＝n°+60°＝（n+60）°，
∴∠2＝∠DED′＝（n+30）°，
∵A′D′∥BC，
∴∠BCE＝∠2＝（n+30）°．
故答案为：（n+30）．
14．（2分）（2022秋•阳山县期末）“对顶角相等”的逆命题是 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 ．（用“如果…那么…”的形式写出）
解：命题“对顶角相等．”的逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，
故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
15．（2分）（2023春•安顺期末）在说明命题“若|a|＞3，则a＞3”是假命题的反例中，a的值可以是 ﹣4（答案不唯一）． ．
解：当a＝﹣4时，|a|＝4＞3，而﹣4＜﹣3，
∴“|a|＞3，则a＞3”是假命题，
故答案为：﹣4（答案不唯一）．
16．（2分）（2023春•三台县期中）如图，现有以下3个论断：①AB∥CD；②∠B＝∠C；③∠E＝∠F．如果以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题，能够构成 3 个真命题．
解：若选择①AB∥CD，②∠B＝∠C为条件，③∠E＝∠F作为结论，
∵AB∥CD，
∴∠EAB＝∠C，
∵∠B＝∠C，
∴∠EAB＝∠B，
∴EC∥BF，
∴∠E＝∠F，
∴此命题为真命题；
若选择②∠B＝∠C，③∠E＝∠F为条件，①AB∥CD作为结论，
∵∠E＝∠F，
∴EC∥BF，
∴∠C＝∠CDF，
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠CDF，
∴AB∥CD，
∴此命题为真命题；
若选择①AB∥CD，③∠E＝∠F为条件，②∠B＝∠C作为结论，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠CDF，
∵∠E＝∠F，
∴EC∥BF，
∴∠C＝∠CDF，
∴∠B＝∠C，
∴此命题为真命题，
综上所述，能够构成3个真命题．
故答案为：3．
17．（2分）（2023春•宣化区期末）下列命题中：
①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
②过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
③若∠1＝40°，∠2的两边与∠1的两边分别平行，则∠2＝40°；
④若b⊥c，a⊥c，则b∥a；
⑤若两条平行线被第三条直线所截，则一对同旁内角的平分线互相平行．
其中真命题的是 ② ．（填写序号）
解：命题①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故命题①错误；
命题②过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故命题②正确；
命题③若∠1＝40°，∠2的两边与∠1的两边分别平行，如图所示，
则∠2＝40°或∠2＝140°，故命题③错误；
命题④在同一平面内，若b⊥c，a⊥c，则b∥a，故命题④错误；
命题⑤若两条平行线被第三条直线所截，则一对同旁内角的平分线互相垂直，故命题⑤错误；
综上所述，命题正确的有②，
故答案为：②．
18．（2分）（2023春•大丰区期中）如图，在四边形ABCD中，∠B＝126°，∠B与∠ADC互为补角，点E在BC上，将△DCE沿DE翻折得到△DC′E，若AB∥C′E，DC′平分∠ADE，则∠A的度数为 72 °．
解：∵∠B＝126°，∠B与∠ADC互为补角，
∴∠ADC＝54°，
由折叠的性质得：∠CDE＝∠C'DE，∠CED＝∠C'ED，
∵DC'平分∠ADE，
∴∠ADC'＝∠C'DE，
∴∠CDE＝∠ADC'＝∠C'DE＝18°，
∵AB∥C'E，
∴∠CEC'＝∠B＝126°，
∴∠CED＝63°，
∴∠C＝180°﹣63°﹣18°＝81°，
∴∠A＝360°﹣∠B﹣∠C﹣∠ADC＝81°；
故答案为：81．
19．（2分）（2023春•金乡县月考）金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：
甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．
已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为 C A D B ．
解：①假设甲说的：C是亚军正确，则他说D是季军错误，
于是乙说：D是殿军正确，则乙说的A得亚军就错误，
故丙说：B得亚军正确，与假设甲说的：C是亚军正确互相矛盾，
所以：甲说的：C是亚军错误；
②假设甲说的：C是亚军错误，则他说D是季军正确，
于是乙说：D是殿军错误，则乙说的A得亚军就正确，
故丙说：B得亚军错误，C是冠军正确；
没有矛盾，
故：冠，亚，季，殿军分别为：C，A，D，B．
故答案为：C，A，D，B．
20．（2分）（2023秋•射洪市期末）把命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行”改写成“如果…那么…”的形式： 同一平面内，如果的两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 ．
解：把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式，
是“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”，
故答案为：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2023春•双辽市期中）（1）如图，DE∥BC，∠1＝∠3，CD⊥AB，试说明FG⊥AB；
（2）若把（1）中的题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否为真命题？试说明理由．
解：（1）∵DE∥BC，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴CD∥FG，
∵CD⊥AB，
∴FG⊥AB；
（2）把题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题为真命题，理由如下：
∵FG⊥AB，CD⊥AB，
∴FG∥CD，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴DE∥BC．
22．（6分）（2023春•汝南县期末）发现：如图，∠AOB内有一点P：过点P画PC∥OB交OA于点C，画PD∥OA交OB于点D；根据所画图形试说明：∠O与∠CPD的数量关系；
验证：完善下面的解答过程，并填写理由或数学式：
∵PC∥OB
∴∠O＝ ACP （ 两直线平行，同位角相等 ）
∵PD∥OA
∴∠CPD＝ ∠ACP ∴∠O＝∠CPD
探究：某数学兴趣小组通过以上练习发现了命题“两边分别平行的两个角相等”，甲同学认为该命题是真命题并画了图1进行验证，乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，并作图如图2所示，题设与甲同学相同，得到∠B≠∠D，根据乙同学的作图，试判断此时∠B与∠D的数量关系，并说明理由．
归纳：综合甲乙两同学的证明得到结论：两边分别平行的两个角 相等或互补 ．
解：验证：如图，
∵PC∥OB，
∴∠O＝∠ACP（两直线平行，同位角相等），
∵PD∥OA，
∴∠CPD＝∠ACP（两直线平行，内错角相等），
∴∠O＝∠CPD．
故答案为：∠ACP；两直线平行，同位角相等；∠ACP；
探究：两边分别平行的两个角相等或互补，理由：
如图1，
∵DF∥BC，
∴∠D＝∠CGE．
∵DE∥BA，
∴∠B＝∠CGE，
∴∠D＝∠B．
∴两边分别平行的两个角相等；
如图2，
∵DF∥BC，
∴∠D＝∠DGB．
∵DE∥BA，
∴∠B+∠DGB＝180°，
∴∠D+∠B＝180°．
∴两边分别平行的两个角互补，
综上，两边分别平行的两个角相等或互补．
故答案为：相等或互补．
23．（8分）（2023春•龙口市期末）如图，直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，且EM∥FN．AB与CD平行吗？请说明理由．
解：AB∥CD．理由如下：
∵EM∥FN，
∴∠FEM＝∠EFN，
又∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，
∴∠BEF＝2∠FEM，∠EFC＝2∠EFN，
∴∠FEB＝∠EFC，
∴AB∥CD．
24．（8分）（2023春•清江浦区期末）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？
（1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 ∠ABC+∠DEF＝180° ；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 ∠ABC＝∠DEF ；
请选择其中一种情况说明理由．
②由①得出一个真命题（用文字叙述）： 如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补 ．
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．
解：（1）①如图1中，∠ABC+∠DEF＝180°．如图2中，∠ABC＝∠DEF，
故答案为：∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC＝∠DEF．
理由：如图1中，
∵BC∥EF，
∴∠DPB＝∠DEF，
∵AB∥DE，
∴∠ABC+∠DPB＝180°，
∴∠ABC+∠DEF＝180°．
如图2中，∵BC∥EF，
∴∠DPC＝∠DEF，
∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DPC，
∴∠ABC＝∠DEF．
②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
（2）设两个角分别为x和2x﹣30°，
由题意x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，
解得x＝30°或x＝70°，
∴这两个角的度数为30°，30°或70°和110°．
25．（8分）（2023春•宁乡市期末）定义：对于任意实数m，n，如果满足m+n＝mn，那么称m，n互为“好友数”，点（m、n）为“好友点”．
（1）若（5，n）为“好友点”，则n＝ ；
（2）判断下列命题的真假，真命题在括号内打“√”，假命题在括号内打“×”．
①与4是互为“好友数”的； √
②若点（m，n）为“好友点”，则点（n，m）也一定为“好友点”； √
③若m与n互为相反数，则（m，n）一定不是“好友点”； ×
④存在与1互为“好友数”的实数； ×
（3）已知A（x、y）是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是关于x，y的二元一次方程组的解，请判断点A（x，y）是否能成为“好友点”？若能，请求出a的值和点A的坐标；若不能，请说明理由．
解：（1）把（5，n）代入m+n＝mn，得：5+n＝5n，
解得：n＝，
故答案为：n＝；
（2）①把和4分别代入m+n＝mn的左右两边，得：
左边＝，右边＝，
∵左边＝右边，
∴与4是互为“好友数”，
故①是真命题；
②把点（n，m）代入m+n＝mn后，结果为n+m＝nm，
根据加法交换律和乘法交换律可以知道n+m＝nm可以变形为m+n＝mn，
∴若点（m，n）为“好友点”，则点（n，m）也一定为“好友点”，
故②是真命题；
③∵m与n互为相反数，
∴m＝﹣n，
假设（m，n）是“好友点”，
∴﹣n+n＝﹣n2，
∴n＝0，
∴存在这样的实数，使m、n是相反数，点（m，n）又是“好友点”，
故③是假命题；
④把m＝1代入m+n＝mn得：1+n＝n，
∴不存在这样的n的值，
∴不存在与1互为“好友数”的实数，
故④是假命题；
故答案为：√；√；×；×．
（3），
解方程组得：，
设点A（x，y）是能成为“好友点”，
∴10+a2+1＝10×（a2+1），
∴9a2＝1，解得a＝，
∴y＝a2+1＝（）2+1＝，
∴点A坐标为（10，）．
26．（8分）（2023春•合江县期中）如图1，已知AB∥CD，AC∥EF．
（1）观察猜想：若∠A＝45°，∠E＝65°，则∠CDE的度数为 110度 ；
（2）探究问题：请在图1中探究∠A，∠CDE与∠E之间有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时∠CAB，∠CDE与∠E又有怎样的数量关系呢？请写出结论并说明理由．
解：（1）延长AB交DE于点G，交EF于点H，如图所示：
∵AC∥EF，∠A＝45°，
∴∠EHG＝∠A＝45°，
∵∠E＝65°，
∴∠DGH＝∠E+∠EHG＝65°+45°＝110°，
∵AB∥CD，
∴∠CDE＝∠DGH＝110°．
故答案为：110°．
（2）∠CDE＝∠A+∠E；理由如下：
延长AB交DE于点G，交EF于点H，如图所示：
∵AC∥EF，
∴∠EHG＝∠A，
∴∠DGH＝∠E+∠EHG＝∠E+∠A，
∵AB∥CD，
∴∠CDE＝∠DGH＝∠A+∠E．
（3）∠CAB＝∠E+∠D，理由如下：
延长CA交DE于点G，AB与DE交于点H，如图所示：
∵AC∥EF，
∴∠CGD＝∠E，
∵AB∥CD，
∴∠AHG＝∠D，
∴∠CAB＝∠CGD+∠AHG＝∠E+∠D．
27．（8分）（2023春•清丰县期中）【问题提出】
课堂上，李老师提出了这样一个问题：“已知一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角是什么关系？”
【问题探索】
为了解答李老师问题，小明与小颖分别画出了下面图形，请你根据这两位同学画的图形，解答下列问题：
（1）如图，AB∥DE，BC∥EF，则下列结论正确的是 C
A．∠B＝∠E
B．∠B+∠E＝180°
C．∠B＝∠E或∠B+∠E＝180°
D．以上答案都不对
（2）请你选择其中一位同学所画的图形，给出你的结论并证明．
我用 小明 画的图形，证明如下：
已知：如图，AB∥DE，BC∥EF，
求证： ∠B＝∠E或小颖 ．
证明：
（3）结合李老师提出的问题，请你总结出一个结论（请你用语言文字概括写出来，要求按命题的叙事方式表达： ∠B+∠E＝180° ；
【结论应用】
若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且其中一个角的比另一个角的2倍少30°，求这两个角分别是多少度？
解：（1）①如图，小明所画的图形：∵AB∥DE，BC∥EF，
∴∠B＝∠DGC，∠E＝∠DGC，
∴∠B＝∠E；
②如图，小颖所画的图形：∵AB∥DE，BC∥EF，
∴∠B＝∠BGE，∠E+∠BGE＝180°，
∴∠B+∠E＝180°，
故选：C．
（2）请你选择其中一种一位同学图形，给出你的证明．
我用小明 画的图形，证明如下：
已知：如图，AB∥DE，BC∥EF，
求证：∠B＝∠E．
证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DGC，
∵BC∥EF，
∴∠DGC＝∠E，
∴∠B＝∠E．
我用小颖 画的图形，证明如下：
已知：如图，AB∥DE，BC∥EF，
求证：∠B+∠E＝180°．
证明：∵AB∥DE，
∴∠B+∠DGB＝180°，
∵BC∥EF，
∴∠DGB＝∠E，
∴∠B+∠E＝180°，
故答案为：小明，∠B＝∠E或小颖，∠B+∠E＝180°．
（3）由题意可得，结论：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，
故答案为：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．
【结论应用】设一个角为x，
∵一个角的两边分别平行于另一个角的两边，
∴另一个角为x或180°﹣x，
∵一个角的比另一个角的2倍少30°，
∴2x﹣30°＝x或2（180°﹣x）﹣30°＝x，
∴x＝30°或x＝110°，
当x＝30°时另一个角也是x＝30°，
当x＝110°时另一个角为180°﹣x＝180°﹣110°＝70°，
∴这两个角分别是30°，30°或110°，70°．
28．（8分）（2023春•淮安期末）已知MN∥GH，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°，点A在MN上，边BC在GH上，在Rt△DEF中，∠DFE＝90°，边DE在直线AB上，∠EDF＝30°，如图1．
（1）求∠BAN的度数；
（2）将Rt△DEF沿射线BA的方向平移，当点F在MN上时，如图2，求∠AFE的度数；
（3）将Rt△DEF从图2的位置继续沿射线BA的方向平移，当以A、D、F为顶点的三角形是直角三角形时，求∠FAN度数．
解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝45°
∴∠ABC＝45°，
∵MN∥GH，
∴∠BAN＝∠ABC＝45°；
（2）∵∠DFE＝90°，
∴∠DEF+∠EDF＝90°，
∵∠EDF＝30°，
∴∠DEF＝60°，
∵∠DEF＝∠EAF+∠AFE，
∴∠AFE＝∠DEF﹣∠EAF＝60°﹣45°＝15°；
（3）由题意可知，∠AFD＝90°或∠FAD＝90°，
①如图3，当∠AFD＝90°时，∵∠AFD＝90°，
∴∠FAD+∠ADF＝90°，
∵∠ADF＝30°，
∴∠FAD＝60°，
∴∠FAN＝∠FAD﹣∠BAN＝60°﹣45°＝15°；
②如图4，当∠FAD＝90°时，∠FAN＝∠FAD﹣∠BAN＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FAN度数为15°或45°．