2023年山东省青岛市崂山区育才学校中考数学二模模拟试题（原卷版+解析版）

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1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，即可解答．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查绝对值，熟练掌握求一个数的绝对值是解题的关键．
2. 下列垃圾分类标识的图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐个判定即可．
【详解】解：A．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
3. 下列运算中，计算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据积的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法，合并同类项，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，选项正确，符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、，选项错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查整式的运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
4. 疫情过后的第一个五一小长假，全国旅游市场迎来里程碑式的爆发青岛市文化和旅游局监测级景区家，共接待游客万人次，同比增长请用科学记数法表示万为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可．
【详解】解：万．
故选：C．
5. 开学前，根据学校防疫要求，小宁同学连续14天进行了体温测量，结果统计如下表：
这14天中，小宁体温的众数和中位数分别为（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】应用众数和中位数的定义进行就算即可得出答案．
【详解】解：由统计表可知，
36.5℃出现了4次，次数最多，故众数为36.5，
中位数为=36.5（℃）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了众数和中位数，熟练掌握众数和中位数的计算方法进行求解是解决本题的关键．
6. 正方形在坐标系中的位置如图所示，将正方形绕点顺时针方向旋转，得正方形，则点的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意在所给坐标系中画出正方形绕点顺时针方向旋转后所得的正方形，由此即可得到旋转后点的对应点的坐标.
【详解】解：如图所示，
由图可知，的坐标为（4，0）.
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，根据旋转图形的画法，画出旋转后所得的正方形是解题的关键．
7. 如图，是的直径，点是外一点，过点的两条直线分别与圆相切于点、，点是圆周上任意一点，连接、，若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查切线长定理，切线的性质，连接，根据切线长定理结合等边对等角，求出的度数，切线的性质，求出的度数，再根据圆周角定理，即可得出结果．
【详解】解：连接，

，分别切圆于、，
，
，
，
，
是圆的直径，
，

．
故选：D．
8. 一次函数y＝ax+b和反比例函数y在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y＝ax2－bx+c的图象可能是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数y＝ax+b和反比例函数y图象经过的象限，即可得出a＜0、b＞0、c＜0，由此即可得出：二次函数y＝ax2－bx+c的图象开口向下，对称轴x0，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论.
【详解】解：观察函数图象可知：a＜0，b＞0，c＜0，
∴二次函数y＝ax2－bx+c的图象开口向下，（特别注意－b与a变成左异右同）对称轴x0，与y轴的交点在y轴负半轴.
故选：B.
【点睛】此题考查了依据一次函数与反比例函数的图象所经过的象限确定系数的符号，一般形式的二次函数的性质及图象，正确掌握各函数的图象与字母系数的关系是解题的关键.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 计算__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质、绝对值的意义及特殊角的三角函数值进行化简，继而计算即可．
【详解】，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及二次根式的性质、绝对值的意义及特殊角的三角函数值，熟练掌握知识点是解题的关键．
10. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得且，
即a的取值范围是为且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
11. 近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动据了解，市场上每捆种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的少捆设菜苗基地每捆种菜苗的价格为元，则可列方程为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查分式方程的应用，设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，则市场上每捆种菜苗的价格为元，根据题中“用元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的少捆”可得出关于x的方程，解之即可．
【详解】解：市场上每捆种菜苗的价格是菜苗基地的倍，且菜苗基地每捆种菜苗的价格为元，
市场上每捆种菜苗的价格为元．
根据题意得：．
故答案为：．
12. 如图，在矩形中，点是的中点，点为上一点，将沿折叠后，点恰好落在上的点处，过点作交于点，若，，则______．
【答案】####2.625
【解析】
【分析】连接，根据矩形的性质、折叠的性质证明，设，则，，再根据勾股定理可得，解得，即；由，易知，则，在中，根据勾股定理可得，解得，即可获得答案．
详解】解：如下图，连接，
∵四边形为矩形，，，
∴，，，
∵点是的中点，
∴，
由折叠的性质可得，，，， ，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
设，则，，
∴在中，可有，
即，解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，正确作出所需辅助线是解题关键．
13. 如图，在正方形中，和交于点O，过点O的直线交于点E（E不与A，B重合），交于点F．以点O为圆心，为半径的圆交直线于点M，N．若，则图中阴影部分的面积为_____________．

【答案】
【解析】
【分析】求出，证明，则，由即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵,
∴，
∴，
∴
,
故答案为：
【点睛】此题考查了扇形面积公式、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握扇形面积公式和正方形的性质是解题的关键．
14. 如图，矩形中，，，连接，的平分线交于点，过点做于点，分别交、于点、，点是线段上的任意一点，且于点，连接下列结论：①；②；③的最小值是；④其中所有正确结论的序号是______ ．

【答案】①②③④
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，证明即可判断①，证明即可判断②，过点作于，交于，过作于，证明结合利用勾股定理即可判断③，先在中求出，过点作交的延长线于，结合得到线段比比关系，即可判断④；
【详解】解：四边形为矩形，，，
，，，，
平分，，
，，
在和中，
，
∴，
，
，
故结论①正确；
②，，
，
，
平分，
，
，
在和中，
，，
∴，
：：，
即：，
，
，
故结论②正确；
③过点作于，交于，过作于，

平分，，，
，
当点与点重合时，为最小，最小值为线段的长，
∵，
，
又，，
，
∴，
：：，
：：，
，
由①可知：，
，
在中，由勾股定理得：，
即：，
，
的最小值为，
故结论③正确；
④在中，，，
由勾股定理得：，
，
过点作交的延长线于，

，，
平分，
，
，
，
∵，
：：，
即：，
，
，
，
，
而，
，
故结论④正确，
综上所述：正确的结论是①②③④，
故答案为：①②③④．
三、解答题（本大题共11小题，共78.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：
求作：圆，使圆心到点和点的距离相等，且与边和所在直线都相切，切点分别在边、上．

【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查作图复杂作图，切线的判定和性质等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，灵活运用所学知识解决问题．
作的平分线，再作线段的垂直平分线交于点D，与交于点O，以O为圆心，为半径作即可．
【详解】解：如图，为所作．

16. （1）化简：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算和一元一次不等式组的解法；（1）按照分式的加减乘除混合运算的顺序和法则计算即可；
（2）求出每个不等式的解集，再取公共部分即可得到不等式组的解集．
【详解】解：（1）；


；
（2），
解不等①式得，，
解不等式②得，，
原不等式组的解集是．
17. 青岛市举行帆船知识竞赛，某校需要从、两个小组中选择一个小组参加，现设计了如下的游戏来确定参赛队伍，具体规则如下：把四个完全相同的乒乓球标上数字，，，，然后放到一个不透明的袋中，每个小组派一名代表参加摸球游戏，一人从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一球，若摸出的两个球上的数字之和为奇数，则组去，否则组去请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
【答案】不公平，见解析
【解析】
【分析】本题考查树状图法求概率，画出树状图，利用概率公式求出概率，进行判断即可．
【详解】解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下：

共有种等可能出现的结果，其中两球数字之和为奇数的有种，
所以摸出的两个球上的数字之和为奇数，即组去的概率为，而组去的概率为，
所以不公平．
18. 为了给游客提供更好的服务，某风景区随机对部分游客进行关于“景区服务工作满意度”的调查，并根据调查结果绘成如图不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题：
：非常满意；：满意；：比较满意；：不满意
（1）本次调查的总人数为______ ，扇形统计图中的值为______ ；
（2）请补全条形统计图；
（3）据统计，该景区平均每天接待游客约人，若将和作为游客对风景区服务工作的肯定，请你估计该景区服务工作平均每天得到多少名游客的肯定．
【答案】（1）人，；
（2）见解析； （3）估计该景区服务工作平均每天得到名游客的肯定．
【解析】
【分析】本题考查的知识点是条形统计图和扇形统计图信息关联、求条形统计图的相关数据、画条形统计图、由样本所占百分比估计总体的数量，解题关键是理解条形统计图和扇形统计图之间的关系．
（1）根据条形统计图与扇形统计图的对照关系找到“非常满意”的人数及所占的百分比即可求出本次调查的总人数，再根据总人数和“满意”的人数即可求出扇形统计图中的值；
（2）根据（1）中求出的参与调查的总人数及条形统计图中“非常满意”“满意”“不满意”的人数差补全“比较满意”的人数即可；
（3）由样本所占百分比估计总体的数量即可求解．
【小问1详解】
解：本次调查的总人数为：人，
，
；
故答案为：人，．
【小问2详解】
解：“比较满意”的游客有：人，
补全条形图如图：
【小问3详解】
解：人，
答：估计该景区服务工作平均每天得到名游客的肯定．
19. 信号山公园位于青岛老城区的中心位置，山顶有幢红色蘑菇楼，取意于古代通信的柄火炬，其中旋转观景楼高共层，楼内镶嵌着反映人类通信发展史的大型彩色釉画某校数学社团登上信号山开展实践活动，他们利用无人机在点处测得观景楼顶端的俯角为，测得观景楼底端的俯角为，此时无人机到山顶地面的垂直距离为米，求旋转观景楼的高度(结果保留整数)．(参考数据：，，，， )
【答案】旋转观景楼高度约为米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，延长交于点，根据题意可得：米，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：延长交于点，

由题意得：米，，
在中，，
(米)
在中，，
(米)
(米)
旋转观景楼的高度约为米．
20. 年月日是共产主义青年团建团周年，各种有关建团的纪念品也一度脱销．某实体店购进了甲种纪念品个，乙种纪念品个，共花费元已知乙种纪念品每个进价比甲种纪念品贵元．
（1）甲、乙两种纪念品每个进价各是多少元？
（2）这批纪念品上架之后很快售罄．该实体店计划按原进价再次购进这两种纪念品共件，销售官网要求新购进甲种纪念品数量不低于乙种纪念品数量的不计其他成本已知甲、乙纪念品售价分别为元个，元个．请问实体店应怎样安排此次进货方案，才能使销售完这批纪念品获得的利润最大？
【答案】（1）甲种纪念品每件进价是元，乙种纪念品每件进价为元
（2）购进甲种纪念品件，乙种纪念品件时利润最大
【解析】
【分析】（1）根据，总价单价数量，列出二元一次方程组，即可求解，
（2）根据，总利润单个利润数量，列出关系式，即可求解，
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，以及一次函数的应用，解题的关键是：根据题意，正确列出关系式．
【小问1详解】
解：设甲种纪念品每件进价是元，乙种纪念品每件进价为元，
由题意得，
解得：，
故答案为：甲种纪念品每件进价是元，乙种纪念品每件进价为元，
【小问2详解】
解：设新购甲种纪念品件，则乙种纪念品为件，设销售完这批纪念品获得的利润为元．
由题意可得， ，
解得，
∴，
，
，
随的增大而减小，
且，
当时，有最大值，此时，
答：购进甲种纪念品件，乙种纪念品件时利润最大．
21. 【模型】
同高的两个三角形面积之比等于底边长度之比．
已知，如图，中，为线段上任意一点，连接，则有：．
【模型应用】
（1）如图，任意四边形中，、分别是、边的中点，连接、，若四边形的面积为，则 ___________ ．
（2）如图，在任意四边形中，点、分别是边、上离点和点最近的三等分点，连接、，若四边形的面积为，则 ___________．
（3）如图，在任意四边形中，点、分别是边、上离点和点最近的等分点，连接、，若四边形的面积为，则 ___________ ．
【拓展与应用】
（4）如图，若任意的十边形的面积为，点、、、、、、、分别是、、、、、、、边上离点、、、、、、、最近的四等分点，连接、、、、、、、，则图中阴影部分的面积是___________．
【答案】[模型应用]（1）；（2）；（3）；[拓展与应用]（4）
【解析】
【分析】本题考查了四边形面积、三角形面积、三角形的中线性质以及多边形面积等知识；
[模型应用]（1）由三角形的中线性质得，，即可解决问题；
（2）连接，由模型得，，即可解决问题；
（3）连接，由模型得，,根据，即可求解；
[拓展与应用]（4）连接、、，由（3）得：，同理，，，，根据 ，即可求解．
【详解】解：[模型应用]（（1）E、分别是、边的中点，
，，
，，
，，
，
故答案为：；
（2）如图，连接，

点、分别是边、上离点和点最近的三等分点，
，，
，，
，，
，
故答案为：；
（3）如图，连接，

点、分别是边、上离点和点最近的等分点，
，，
，，
，，




，
故答案为：；
[拓展与应用]（4）如图，连接、、，

由（3）得：，
同理，，，，
，





，
故答案为：．
22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点两点，与轴交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，其中．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出时的取值范围．
【答案】（1）
（2）当或时
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，数形结合是解题的关键．
（1）由点得出，，由，得出然后得出，根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）先求反比例函数解析式，联立两个解析式得点坐标，根据图象利用即可求得答．
【小问1详解】
解：点，
，，
，
，
，
，
把，代入得，
，
，
一次函数的解析式：；
【小问2详解】
解：把代入得，，
，
联立，
或，
，
由图可知：当或时，，
即当或时．
23. 如图，平行四边形，延长至，延长至，使，连结、．

（1）证明：；
（2）若是中点，且平分，则平行四边形满足 ___________时，四边形是矩形？请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2），见解析
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定：
（1）根据平行四边形的性质，利用进行证明即可；
（2）根据有一个角为直角的平行四边形是矩形，添加条件即可．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
；
【小问2详解】
解：平行四边形满足，四边形是矩形．
理由：，
，
又为的中点，
，
，
又四边形是平行四边形，
，
四边形为平行四边形，
平分，
，
又，
，
，
，
，，
，
，
，
四边形是矩形．
故答案为：．
24. 火炮射程的远近主要与炮弹发射初速度和发射角度有关，假设在这两个因素都固定的前提下（忽略空气阻力、炮口与底面的高度等其他因素），某科研机构对新研制的火炮（如图1）进行测试，射击时，炮弹飞行的竖直高度单位：百米与水平距离x（单位：百米）近似满足二次函数关系在某次测试时，以炮口为坐标原点，以火炮和山丘所在水平线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，经观测发现，当炮弹飞行的水平距离是百米时，达到最大高度是百米；山丘位于火炮正前方，山丘顶部距炮口的水平距离为百米，山丘高为百米；
（1）求出满足炮弹飞行轨迹的函数关系式；
（2）判断炮弹是否能够越过山丘，并请说明理由；
（3）若在山丘另一侧点处设置一目标物假设火炮、山丘、目标物在同一水平线上；炮弹的最大杀伤半径为百米，则目标物应该设置在距山丘顶部水平距离为多少百米范围内，才能使射击有效？
【答案】（1）
（2）炮弹能够越过山丘，见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际问题，涉及待定系数法求二次函数解析式，求函数值，解方程等知识点，理解题意，根据题意建立函数模型是解题的关键；
(1)由条件“炮弹飞行的水平距离是12百米时，达到最大高度是2.88百米”，设二次函数顶点式求解即可；
(2)代入，求出函数值，再与2.3比较大小；
(3)求出炮弹落地点到炮口的距离，结合炮弹的最大杀伤半径和山丘M顶部距炮口的水平距离，求出目标物距山丘顶部的水平距离d满足的条件．
【小问1详解】
由题意知，二次函数的顶点为，
设满足炮弹飞行轨迹的函数关系式为：，
代入得，
，
；
【小问2详解】
山丘顶部距炮口的水平距离为百米，
当时，，
炮弹能够越过山丘；
【小问3详解】
令，得或，
炮弹落在距离炮口百米的地方，
炮弹的最大杀伤半径为百米，山丘顶部距炮口的水平距离为百米，
为使射击有效，目标物应该设置在距山丘顶部水平距离应满足，
．
25. 如图，在四边形中，，，，，，是上一点且，过点作，交延长线于点，连接．动点从点出发以的速度沿线段向终点匀速运动；同时动点从点出发以的速度沿线段向终点匀速运动，过点作，交于点，交于点，当点到达点时，点也停止运动．设运动时间为，．解答下列问题：
（1）当为何值时，四边形是平行四边形；
（2）设的面积为，求与的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使平分四边形的面积？
（4）当为何值时，为等腰三角形？
【答案】（1）当时，四边形是平行四边形
（2）
（3）存在某一时刻时，平分四边形的面积
（4）当或或时，为等腰三角形．
【解析】
【分析】（1）列出、、关于的代数式，通过，得到，即可求解，
（2）由，得到，求出，关于的代数式，代入，即可求解，
（3）根据，代入，即可求解，
（4）分三边各自为底三种情况，进行讨论，根据腰长相等，列出等式，即可求解，
本题考查了，梯形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，解题的关键是：用含的代数式，表示出线段的长度，熟练掌握等腰三角形存在性的三种情况．
【小问1详解】
解：过点作于点，如图，
，，
四边形为矩形，
，，
，
∴，
∴，
，动点从点出发以的速度沿线段向终点匀速运动，动时间为，
，
，
动点从点出发以的速度沿线段向终点匀速运动，
，
四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，解得：，
故答案为：当，四边形是平行四边形，
【小问2详解】
解：过点作，交的延长线于点，延长交于点，如图，
∵，
，
四边形为矩形，
．
∵，
，
∴，即：，
∴，
，
∴，
，
故答案为：，
【小问3详解】
解：存在某一时刻时，平分四边形的面积，理由：
∵平分四边形的面积，
∴，
∴，解得：或（不合题意，舍去），
故答案为：存在某一时刻时，平分四边形的面积，
【小问4详解】
解：①当时，如图，
，，
∴，
∵，
，
∴，
∴，解得：，
②当时，
，
，
③当时，
过点作于点，如图，
则：，
，，
，
∴，即：，解得：，
故答案为：当为或或时，为等腰三角形．体温（）
36.2
36.3
36.5
36.6
36.8
天数（天）
3
3
4
2
2