2023年河南省商丘市 夏邑县第二初级中学二模数学模拟试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列实数为无理数的是（ ）
A. B. 0.2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据无理数的定义解答即可．
【详解】解：A．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B．0.2是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C．是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D．是无理数，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，解题的关键是注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
2. 由5个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在主视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线．
【详解】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3. 据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到．已知，则用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：∵，
∴28nm=2.8×10-8m．
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4. 已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如图方式放置，点A，B分别落在直线m，n上．若∠1＝70°．则∠2的度数为（ ）
A. 30°B. 40°C. 60°D. 70°
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质求得∠ABD，再根据角的和差关系求得结果．
【详解】解：∵mn，∠1=70°，
∴∠1=∠ABD=70°，
∵∠ABC=30°，
∴∠2=∠ABD-∠ABC=40°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质．
5. 若一次函数的图象经过点，，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据-3＜4即可得出结论．
【详解】解：∵一次函数y=2x+1中，k=2＞0，
∴y随着x的增大而增大．
∵点（-3，y1）和（4，y2）是一次函数y=2x+1图象上的两个点，-3＜4，
∴y1＜y2．
故选：A．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象的增减性是解答此题的关键．
6. 为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单价为x元，则下列方程中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】设第二次采购单价为x元，则第一次采购单价为(x+10)元，根据单价=总价÷数量，结合总费用降低了15%，采购数量与第一次相同，即可得出关于x的分式方程．
【详解】解：设第二次采购单价为x元，则第一次采购单价为(x+10)元，
依题意得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
7. 调查某少年足球队全体队员的年龄，得到数据结果如下表：
则该足球队队员年龄的众数是( )
A. 15岁B. 14岁C. 13岁D. 7人
【答案】C
【解析】
【分析】根据众数的定义即一组数据中出现次数最多的数据，即可得出答案．
【详解】解：∵年龄是13岁的人数最多，有7个人，
∴这些队员年龄的众数是13；
故选：C．
【点睛】本题考查了众数，掌握众数的定义是本题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数据．
8. 对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】先根据新定义得到关于x的方程为，再利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于x的方程为是解题的关键．
9. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是（用含的代数式表示）（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据旋转的性质可得，BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，则∠B=∠BDC，利用三角形内角和可求得∠B，进而可求得∠E，则可求得答案．
【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，且
∴BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，
∴∠B=∠BDC，
∴，
∴，
∴，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转变换、三角形内角和、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质．
10. 已知二次函数y=x2−2x−3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当−13时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求得抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的交点坐标，画出草图，利用数形结合，即可求解．
【详解】解：y=x2−2x−3=(x-1)2-4，
∴对称轴为直线x=1，
令y=0，则(x-1)2-4=0，
解得x=-1或3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)，
二次函数y=x2−2x−3的图象如图：
由图象知．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．利用数形结合解题是关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若分式有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为，可得，然后求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件、解一元一次不等式等知识点，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不为零．
12. 写出一个解集为x＞1的一元一次不等式：__________．
【答案】2x-1＞1（答案不唯一）
【解析】
【详解】试题分析：解：移项，得x﹣1＞0（答案不唯一）．
故答案x﹣1＞0．
考点：不等式的解集.
13. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么两辆汽车经过这个十字路口时，第一辆车向左转，第二辆车向右转的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中第一辆车向左转，第二辆车向右转的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中一辆车向右转，一辆车向左转的结果有2种，
∴一辆向右转，一辆向左转的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
14. 将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A、B两点.若厘米，则的长度为________厘米．（结果保留）
【答案】##
【解析】
【分析】直接根据弧长公式进行计算即可．
【详解】，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长公式，即，熟练掌握知识点是解题的关键．
15. 如图，在矩形纸片中，，，点是的中点，点为上一动点，作关于直线的对称图形，点A的对应点为点，作关于直线的对称图形，点的对应点为当点落在矩形的边上时，的长为______．

【答案】或
【解析】
【分析】根据题意可得点、、三点共线，再根据含角的直角三角形三边关系计算，具体分（1）当点落在边上，（2）当点落在边上两种情况计算即可解答．
【详解】解：由题意得：，
，即点、、三点共线，分以下两种情况讨论：
当点落在边上时，如图：

、关于直线对称，、关于直线对称，
，
，
，
，
，
，，，
；
当点落在边上时，如图：

、关于直线对称，、关于直线对称，
，即，
，，
，
，
，
故AE的长为：或．
【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是根据轴对称的性质得到等角及等量线段．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算法则化简分式，再把特殊角的三角函数值代入，求出a值，然后把a值代入化简式计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，
原式
【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
17. 宁夏某枸杞育种改良试验基地对新培育的甲、乙两个品种各试种一亩，从两块试验地中各随机抽取棵，对其产量（千克/棵）进行整理分析．下面给出了部分信息：
甲品种：，，，，，，，，，
乙品种：如图所示
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：______，______；
（2）若乙品种种植棵，估计其产量不低于千克的棵数；
（3）请从某一个方面简要说明哪个品种更好．
【答案】（1）3.2，3.5
（2）乙品种种植棵，估计其产量不低于千克的棵数是180棵
（3）乙品种更好，产量稳定
【解析】
【分析】（1）利用中位数和众数的定义即可求出；
（2）用300乘以产量不低于3.16千克的百分比即可；
（3）根据方差可以判断乙品种更好，产量稳定．
【小问1详解】
解：把甲品种的产量从小到大排列：2.0，2.5，3.1，3.1，3.2，3.2，3.2，3.6，3.8，3.9，中位数是3.2，
乙品种的产量3.5千克的最多有3棵，所以众数为b=3.5，
故答案为：3.2，3.5．
【小问2详解】
300180（棵）；
答：乙品种种植棵，估计其产量不低于千克的有180棵
【小问3详解】
∵甲品种的方差为0.29，乙品种的方差为0.15，且0.29＞0.15，
∴乙品种更好，产量稳定．
【点睛】本题考查折线统计图，中位数、众数、方差以及样本估计总体，理解中位数、众数、方差、样本估计总体的方法是正确求解的前提．
18. 北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆．为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为的励志条幅（即）．小亮同学想知道条幅的底端到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点处，在点正上方点处测得条幅顶端的仰角为，然后向教学楼条幅方向前行到达点处（楼底部点与点，在一条直线上），在点正上方点处测得条幅底端的仰角为，若，均为（即四边形为矩形），请你帮助小亮计算条幅底端到地面的距离的长度．（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】条幅底端F到地面的距离FE的长度约为5.7米．
【解析】
【分析】设AC与GE相交于点H，根据题意可得：AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，然后设CH＝x米，则AH＝（12＋x）米，在Rt△CHF中，利用锐角三角函数的定义求出FH的长，从而求出GH的长，最后再在Rt△AHG中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：设AC与GE相交于点H，
由题意得：
AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，
设CH＝x米，
∴AH＝AC＋CH＝（12＋x）米，
在Rt△CHF中，∠FCH＝45°，
∴FH＝CH•tan45°＝x（米），
∵GF＝8米，
∴GH＝GF＋FH＝（8＋x）米，
在Rt△AHG中，∠GAH＝37°，
∴tan37°＝，
解得：x＝4，
经检验：x＝4是原方程的根，
∴FE＝FH＋HE＝5.65≈5.7（米），
∴条幅底端F到地面的距离FE的长度约为5.7米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
19. 北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱，人们争相购买．现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元，购买甲、乙两种型号各10个共需1760元．
（1）求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？
（2）某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共50个，求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”？
【答案】（1）甲种型号的单价是98元，乙种型号的单价是78元
（2）最多可购买甲种型号的“冰墩墩”30个
【解析】
【分析】（1）根据题意，设乙种型号的单价是x元，则甲种型号的单价是元，根据“购买甲、乙两种型号各10个共需1760元”的等量关系列出一元一次方程，解出方程即可得出答案；
（2）根据题意，设购买甲种型号的“冰墩墩”a个，则购买乙种型号的“冰墩墩”个，根据“计划用不超过4500元”列出不等式，即可得出答案．
【小问1详解】
设乙种型号的单价是x元，则甲种型号的单价是元．
根据题意得：
解得：．
∴
答：甲种型号单价是98元，乙种型号的单价是78元．
【小问2详解】
设购买甲种型号的“冰墩墩”a个，则购买乙种型号的“冰墩墩”个．
根据题意，得：
解得：
∴a最大值是30．
答：最多可购买甲种型号的“冰墩墩”30个．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关系和数量关系是本题的关键．
20. 如图，在中，为的直径，点E在上，D为的中点，连接并延长交于点C．连接，在的延长线上取一点F，连接，使．
（1）求证：为的切线；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）证明见解析；
（2）3；
【解析】
【分析】（1）连接AD，由圆周角定理可得∠ADB=90°，由等弧对等角可得∠BAD=∠CAD=∠BAC，再进行等量代换可得∠ABF=90°便可证明；
（2）连接AD、BE，由圆周角定理可得∠AEB=90°，∠BOD=2∠BAD，于是∠BOD=∠BAC，由△OBF∽△AEB可得OB∶AE=OF∶AB，再代入求值即可；
【小问1详解】
证明：如图，连接AD，
AB是圆的直径，则∠ADB=90°，
D为中点，则∠BAD=∠CAD=∠BAC，
∵，
∴∠CBF=∠BAD，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABF=∠ABD+∠CBF=90°，
∴AB⊥BF，
∴BF是⊙O的切线；
【小问2详解】
解：如图，连接AD、BE，
AB是圆的直径，则∠AEB=90°，
∵∠BOD=2∠BAD，∠BAC=2∠BAD，
∴∠BOD=∠BAC，
又∵∠ABF=∠AEB=90°，
∴△OBF∽△AEB，
∴OB∶AE=OF∶AB，
∴OB∶4=∶2OB，OB2=9，
OB＞0，则OB=3，
∴的半径为3；
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质；正确作出辅助线是解题关键．
21. 某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/、12元/，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的关系如图所示．
（1）写出图中点B表示的实际意义；
（2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1500元．求a的值．
【答案】（1）当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等
（2），
（3）80
【解析】
【分析】（1）结合图象可知：B点表示的意义为：当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等；
（2）利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）分别表示出甲的利润，乙的利润，再根据甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1500元建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：由图可知：
B表示的实际意义：当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等．
【小问2详解】
解：由图可知：过，，
设甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为：，
∴，解得：，
∴甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为：；
当时，乙函数图象过，，
设乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为：，利用待定系数法得：，解得：，
∴；
当时，乙函数图象过，，
设乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为：，利用待定系数法得：，解得：，
∴；
综上所述：乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为；
【小问3详解】
解：甲的利润为：，
乙的利润为：
∴当时，
甲乙的利润和为：，解得（舍去）；
当时，
甲乙的利润和为：，解得；
∴当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1500元．
【点睛】本题考查一次函数图象的实际应用，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，结合图象获取有用信息．
22. 6月13日，某港口的潮水高度y（）和时间x（h）的部分数据及函数图像如下：
（数据来自某海洋研究所）
（1）数学活动：
①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图像．
②观察函数图像，当时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？
（2）数学思考：
请结合函数图像，写出该函数的两条性质或结论．
（3）数学应用：
根据研究，当潮水高度超过260时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？
【答案】（1）①见解析；②，
（2）①当时，y随x的增大而增大；②当时，y有最小值80
（3）和
【解析】
【分析】（1）①根据表格数据在函数图像上描点连线即可；
②根据函数图像估计即可；
（2）从增减性、最值等方面说明即可；
（3）根据图像找到y=260时所有的x值，再结合图像判断即可．
【小问1详解】
①
②观察函数图像：
当时，；
当y的值最大时，；．
【小问2详解】
答案不唯一．
①当时，y随x的增大而增大；
②当时，y有最小值80．
【小问3详解】
根据图像可得：当潮水高度超过260时和，
【点睛】本题考查函数图像的画法、从函数图像获取信息，准确的画出函数图像是解题的关键．
23. 我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．
（1）如图一，在等腰中，，边上有一点D，过点D作于E，于F，过点C作于G.利用面积证明：．
（2）如图二，将矩形沿着折叠，使点A与点C重合，点B落在处，点G为折痕上一点，过点G作于M，于N.若，，求的长．
（3）如图三，在四边形中，E为线段上的一点，，，连接，且，，，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
分析】（1）根据题意，利用等面积法，根据等腰中，，即可得到结论；
（2）根据题中条件，利用折叠性质得到，结合矩形中得到，从而有，从而确定是等腰三角形，从而利用（1）中的结论得到，结合勾股定理及矩形性质即可得到结论；
（3）延长交于，连接，过点作于，根据，，，得到是等腰三角形，从而由（1）知，在中，，在中，，，联立方程求解得，从而得到结论．
【小问1详解】
证明：连接，如图所示：
在等腰中，，边上有一点D，过点D作于E，于F，过点C作于G，
由得，
；
【小问2详解】
解：连接，过点作于，如图所示：
根据折叠可知，
在矩形中，，则，
，即等腰三角形，
在等腰中，，边上有一点G，过点G作于M，于N，过点作于，由（1）可得，
在中，，，则，
在四边形中，，则四边形为矩形，
，即；
【小问3详解】
解：延长交于，连接，过点作于，
在四边形中，E为线段上的一点，，，则，
又，
，
，即是等腰三角形，
由（1）可得，
设，
，，，
在中，，
在中，，，
，解得，
经检验，x=1是方程的解用符合题意，
，即．
【点睛】本题考查几何综合，涉及到等腰三角形的判定与性质、等面积求线段关系、折叠的性质、勾股定理求线段长、相似三角形的判定与性质等知识点，读懂题意，掌握（1）中的证明过程与结论并运用到其他情境中是解决问题的关键．年龄/岁
11
12
13
14
15
人数
3
4
7
2
2
平均数
中位数
众数
方差
甲品种
乙品种
x（h）
…
11
12
13
14
15
16
17
18
…
y（）
…
189
137
103
80
101
133
202
260
…