2023年甘肃省陇南市成县中考数学三模模拟试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 估计的值在（ ）
A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间
【答案】B
【解析】
【分析】因为4<7<9，根据不等式的性质得到，即可得到答案．
【详解】∵4<7<9
∴
故选：B
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，估算无理数的本质就是确定这个无理数的取值范围，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方，一般情况下常见整数的平方都应牢记，这样面对一个无理数，就能快速准确地进行估算．
2. 如图，已知a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）
A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°
【答案】D
【解析】
【详解】解：如图，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠3=90°﹣40°=50°，
∵a∥b，
∴∠2+∠3=180°．
∴∠2=180°﹣50°=130°．
故选D．
3. 已知一次函数的图象如图所示，当时，y的取值范围是
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】观察图象得到直线与x轴的交点坐标为（2，0），且图象经过第一、三象限， y随x的增大而增大，所以当x＜2时，y＜0．
【详解】解：∵一次函数y＝kx＋b与x轴的交点坐标为（2，0），且图象经过第一、三象限，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＜2时，y＜0．
故选D．
【点睛】本题考查了一次函数的性质：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，k≠0）的图象为直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小.
4. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A m＜﹣1B. m＞1C. m＜1且m≠0D. m＞﹣1且m≠0
【答案】D
【解析】
【分析】由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m≠0且Δ＞0，即，两个不等式的公共解即为m的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得m＞﹣1且，
∴m的取值范围为m＞﹣1且．
∴当m＞﹣1且时，关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，根据题意列出不等式组是解题的关键．
5. 在中，，，的平分线交于点，若，则长为（ ）
A. B. 6C. D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】如图，根据直角三角形两锐角互余可得∠ABC=60°，根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD=30°，可得∠A=∠ABD，可得BD=AD，根据含30°角的直角三角形的性质可得CD的长，利用勾股定理即可得答案．
【详解】∵，，
∴∠ABC=90°-30°=60°，
∵BD为∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴∠A=∠ABD，
∴BD=AD=8，
∴CD=BD=4，
∴BC==，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形性质的应用，30°角所对的直角边等于斜边的一半；熟练掌握相关性质是解题关键．
6. 某班级开展“共建书香校园”读书活动．统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的本数，并绘制出如图所示的折线统计图．则下列说法正确的是（ ）
A. 从2月到6月，阅读课外书的本数逐月下降
B. 从1月到7月，每月阅读课外书本数的最大值比最小值多45
C. 每月阅读课外书本数的众数是45
D. 每月阅读课外书本数的中位数是58
【答案】D
【解析】
【分析】根据折线统计图的变化趋势即可判断A，根据折线统计图中的数据以及众数的定义，中位数的定义即可判断B，C，D选项．
【详解】A.从2月到6月，阅读课外书的本数有增有降，故该选项不正确，不符合题意；
B.从1月到7月，每月阅读课外书本数的最大值为78比最小值28多50，故该选项不正确，不符合题意；
C. 每月阅读课外书本数的众数是58，故该选项不正确，不符合题意；
D.这组数据为： 28，33，45，58，58，72，78，则每月阅读课外书本数的中位数是58，故该选项正确，符合题意；
故选D
【点睛】本题考查了折线统计图，求极差，求中位数，从统计图获取信息是解题的关键．
7. 如图，菱形的对角线，交于点，过作于点，延长交于点，若，，则的值为（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形的性质可求出OA、OB的长，利用勾股定理可得AB的长，利用菱形的面积公式即可得答案．
【详解】∵菱形的对角线，交于点，，，
∴OA=，，，AB//CD，
∴AB==5，
∵于点，延长交于点，
∴，
∴S菱形ABCD=，即，
解得：EF=，
故选：C．
【点睛】本题考查菱形的性质及面积，菱形的对角线互相垂直且互相平方；熟练掌握菱形的性质及菱形的面积公式是解题关键．
8. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，
∴可列方程为：，
故选：A．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般．
9. 如图，是的内接三角形，，是直径，，则的长为（ ）
A. B. C. 5D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接CD，根据AB=BC，得∠BAC=∠BCA=30°，∠ABC=120°，根据圆的内接四边形对角互补，得∠D=60°，根据AD是直径，得到Rt△ACD，利用60°的正弦计算即可．
【详解】如图，连接CD，
∵AD是的直径，
∴∠ACD=90°，
∵AB=BC，∠BAC=30°，
∴∠BCA=30°，∠ABC=120°，
∴∠D=60°，
∴AC=ADsin60°=10×=，
故选D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆的内接四边形的性质，直径所对圆周角是直角，特殊角的三角函数，灵活运用圆的内接四边形的性质，直径所对圆周角是直角，特殊角的三角函数是解题的关键．
10. 已知学校、花店、书店在同一直线上．如图反映的过程是：小华从学校出发步行到花店，在那里停留一段时间后，又以相同速度步行到书店，在书店共停留了5min．图中x表示时间，y表示小华与学校的距离．小清也从学校出发，沿同一条路步行去书店，他步行的速度与小华相同，最后，小清在书店遇到小华．小清出发的时间可能是小华出发后的（ ）
A. 1~4minB. 6~9minC. 11~14minD. 16~19min
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象获取信息，可得小华在花店停留了5分钟，在书店停留了5分钟，分析题意，即可得到答案．
【详解】由图可知，小华在花店停留了5分钟，在书店停留了5分钟，
小清在书店遇到小华
小清出发的时间要比小华晚5分钟以上，10分钟以下
小清出发的时间可能是小华出发后的6~9min
故选：B．
【点睛】本题考查了从函数图象中获取信息，准确理解题意是解题的关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】根据积的乘方运算求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了积的乘方运算．解题的关键在于正确的运算．
12. 分解因式：________．
【答案】##
【解析】
【分析】直接根据平方差公式因式分解即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握平方差公式是解题的关键．
13. 一次函数的图象经过点、，则一次函数的解析式为_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，注意利用一次函数的特点来列出方程组求解是解题关键．
设一次函数解析式为 把点和的坐标代入，解方程组求出k和b的值即可．
【详解】解：设一次函数解析式为
可得出方程组
解得，即该一次函数解析式为：．
故答案为．
14. 如图，在中，是的中点，且，，交于点，，，则的周长等于______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查的是垂直平分线的性质、三角形中位线的性质等知识，正确求得的值是解题的关键．由线段垂直平分线的性质得出，由三角形中位线定理得出的长，即可得出答案．
【详解】解：∵是的中点，且，
∴，，
∵，
∴，，
∴的周长．
故答案为：．
15. 如图，点为正八边形的中心，则的度数为______．
【答案】．
【解析】
【分析】连接OA、OB，根据正多边形的性质求出，再根据圆周角定理计算即可．
【详解】解：作正八边形的外接圆，连接OA、OB，如图：
∴，F、O、B共线，
由圆周角定理得：
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，掌握正多边形的圆心角的求法、圆周角定理是解题的关键．
16. 如图，等边三角形ABC内接于，，则图中阴影部分的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据内接于圆O的等边三角形的性质可得，将阴影部分的面积转化为扇形的面积，利用扇形面积的公式计算可求解．
【详解】解：∵等边三角形ABC内接于，
∴点O为等边三角形ABC的中心，
∴，
∵，
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，等边三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
17. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，然后写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了二次函数的性质．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
而抛物线与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
当时，．
故答案为：
18. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．如图，在中，，以其三边为边分别向外作正方形，即可证明勾股定理．连接交于点，连接，．若，则的值为______．
【答案】．
【解析】
【分析】由题意，以点A为原点，AB为x轴，垂直AB为y轴建立直角坐标系，过C作CN⊥AB于点N；然后证明∽，由相似三角形的性质的二道点C和点G的坐标，利用待定系数法求出直线CG，再得到点M的坐标，即可得到答案．
【详解】解：如图，以点A为原点，AB为x轴，垂直AB为y轴建立直角坐标系，过C作CN⊥AB于点N；
由正方形的性质可知：，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴∽，
∴，
令，则，，
∴，
∴点C为，点G为，
设直线CG为，则
，解得，
∴；
令，则，
∴点M为；
∴，，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式，余角的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的分析题意，求出点M的坐标．
三、解答题（本大题共10小题，共88.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值，再计算算术平方根和乘方，最后计算加减法即可．
【详解】解：原式

．
20. 解方程：．
【答案】．
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程解，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：方程两边同时乘以，得，
解得：；
经检验是原方程的根．
【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．
21. 如图，在中，，，请用尺规作图法在AB上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】作的垂直平分线交于点，点即为所求．
【详解】解：如图，点D即为所求．
理由如下，
如图，连接，的垂直平分线交于点，
∴
∵在中，，，
∴,
∴，
∴
∴，即．
【点睛】本题考查了作垂直平分线，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握基本作图以及含度角的直角三角形的性质是解题的关键．
22. 如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树和教学楼的高，先在A处用高米的测角仪测得古树顶端H的仰角为，此时教学楼顶端G恰好在视线上，再向前走10米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角为，点A、B、C三点在同一水平线上．
（1）求古树的高．
（2）求教学楼的高．（参考数据：，）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明是等腰直角三角形，得，即可得出结果；
（2）设，则，，证明是等腰直角三角形，得，再列关于的一元一次方程即可得到结果．
【小问1详解】
解：在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
答：古树的高为米．
【小问2详解】
解：在中，，
设，则，，
在中，，
等腰直角三角形，
，即，
解得：，
∴，
∴
答：教学楼的高为米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
23. 李优为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，游戏者同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，那么他就赢了，因为红色和蓝色在一起配成了紫色．

（1）转动一次B盘，转出蓝色的概率为 ．
（2）利用画树状图或列表的方法求游戏者获胜的概率．（这里红、白、黄、绿、蓝分别用字母A、B、C、D、E表示）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中游戏者获胜（配成了紫色）的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：转动一次B盘，转出蓝色的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中游戏者获胜（配成了紫色）的结果有1种，
∴游戏者获胜的概率为．
【点睛】此题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．正确画出树状图是解题的关键．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
24. 某公司准备招聘两名技术人员，采取了先笔试后面试的方式进行招聘，两项成绩的满分均为100分，根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分数折算成综合成绩（综合成绩满分仍为100分）六名应聘的最终得分如下表所示：
应聘者笔试、面试分数统计表
根据以上信息解答下列问题：
（1）这六名应聘者笔试成绩的众数是 分，中位数是 分；
（2）求笔试成绩和面试成绩占综合成绩的百分比；
（3）利用第（2）问所求两项占综合成绩的百分比求出D应聘者的综合成绩m的值，按照综合成绩排名录取前两名应聘者，最终录取的是谁？
【答案】（1）90，87
（2）笔试成绩占60%，面试成绩占40%
（3）m的值是89.6，最终录取的是F和D
【解析】
【分析】(1 )先把这组数据从小到大排列，然后根据中位数和众数的定义解答，找出最中间两个数的平均数就是中位数，再找出面试成绩中出现的次数最多的数即是众数；
(2)设笔试成绩和面试成绩的比，利用加权平均数的计算方法，列方程求出这个比值，则可得出百分比；
(3)根据笔试成绩和面试成绩各占的百分比，分别求出六名应聘者的综合成绩，即可得出答案．
【小问1详解】
(1)解： ∵六名应聘者的笔试成绩为90分的出现两次，出现次数最多，
∴众数为90分，
将六名应聘者的笔试成绩从小到大排序为：80， 85，86，88，90，90，
则中位数为： （分），
故答案为：90， 87；
【小问2详解】
解：设笔试成绩所占比例为x，则面试成绩所占比例为(1-x)，
则90x+85(1-x)=88，
解得x = 0.6，
∴1- x=0.4，
∴笔试成绩占60%，面试成绩占40%；
【小问3详解】
解：D应聘者的综合成绩为：
m=88 × 60%+ 92 ×40%= 89.6（分），
∴综合成绩从高到底排序为：F， D，A，E，B，C，
∴m的值是89.6，最终录取的是F和D．
【点睛】本题考查了加权平均数、中位数、众数、加权平均数的计算公式，解题的关键是能灵活运用统计有关知识列出算式．
25. 反比例函数的图象如图所示，一次函数（）的图象与的图象交于，两点，

（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中面出该函数的图象；
（2）观察图象，直接写出不等式的解集；
（3）一次函数的图象与x轴交于点C，连接，求的面积．
【答案】（1）一次函数的表达式为；函数图象见解析；
（2）或
（3）2
【解析】
【分析】（1）把，分别代入求出m，n的值，再运用待系数法求出a，b的值即可；
（2）根据交点坐标，结合函数图象即可解答；
（3）先求出点C的坐标，再根据三角形面积公式求解即可．
【小问1详解】
∵一次函数（）的图象与的图象交于，两点，
∴把，分别代入，得，
，
解得，，
∴，，
把，代入，得：
，
解得，
∴一次函数的表达式为；
画出函数图象如下图：
小问2详解】
∵直线与反比例函数交于点A（1，4），B（-2，-2）
∴当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，
∴不等式的解集为或；
【小问3详解】
如图，

对于，当时，，
解得，，
∴点C的坐标为（-1，0）
∵A（1，4）
∴
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系．
26. 如图，是⊙的直径，是⊙的切线，、是⊙的弦，且，垂足为E，连接并延长，交于点P．
（1）求证：；
（2）若⊙的半径，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据是的切线，得出．根据，可证．得出．根据同弧所对圆周角性质得出即可；
（2）连接．根据直径所对圆周角性质得出，．可证．得出．根据勾股定理．再证．求出即可．
【小问1详解】
证明：∵是的切线，
∴．
∵
∴，
∴．
∴．
∵，
∴．
【小问2详解】
解：如图，连接．
∵为直径，
∴
，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
，
∴．
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查圆的切线性质，直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，熟练掌握圆周角性质和三角形相似判定与性质是解题关键．
27. （1）如图①，在中，，，，点是边上任意一点，则的最小值为______．
（2）如图②，在矩形中，，，点、点分别在、上，求的最小值；
（3）如图③，在矩形中，，，点是边上一点，且，点是边上的任意一点，把沿翻折，点的对应点为点，连接、，四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出四边形面积的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，
【解析】
【分析】本题考查四边形综合应用，主要考查了矩形的性质，点到直线的距离，轴对称，解本题的关键是确定出满足条件的点的位置，题目综合性较强．
（1）根据垂线段最短，利用用三角形的面积即可得出结论；
（2）先根据轴对称确定出点和的位置，再利用面积求出，进而求出，最后用三角函数即可求出的最小值；
（3）先确定出时，四边形的面积最小，再用锐角三角函数求出点到的距离，最后用面积之和即可得出结论．
【详解】解：（1）过点作于，如图：

根据垂线段最短可知此时最小，
在中，，，
∴，
∵，
，
故答案为：；
（2）如图，作出点关于的对称点，过点作于，交于，连接，
此时最小；
四边形是矩形，
，，
∴，
∵，
，
，
∵点与点关于对称，
∴，
在中，，
，
在中，；
的最小值为；
（3）四边形的面积存在最小值，最小值为，理由如下：
如图，连接，
四边形是矩形，
，，，
∴，
，，
点在上的任何位置时，点始终在的下方，
设点到的距离为，
，
当四边形的面积最小时，最小，
∵把沿翻折，点的对应点为点，
∴，
∴点轨迹是以点为圆心，为半径的圆在矩形内部的一部分上的点，
时，最小，
由折叠知，
延长交于，则，
在中，，
在中，，，
，
，
．
28. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知，P点为抛物线上一动点（不与A、D重合）．
（1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，求的最大值；
（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），直线l的表达式为：；（2）最大值：18；（3）存在，M的坐标为：或或或．
【解析】
【分析】（1）将点A、D的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解；
（2），即可求解；
（3）分NC是平行四边形的一条边、NC是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可．
【详解】解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：，解得：，
故直线l的表达式为：，
将点A、D的坐标代入抛物线表达式，
同理可得抛物线的表达式为：；
（2）直线l的表达式为：，则直线l与x轴的夹角为，
即：则，
设点P坐标为、则点，
，故有最大值，
当时，其最大值为18；
（3）由题意得，，
①当NC是平行四边形的一条边时，
设点P坐标为、则点，
由题意得：，即：，
解得或0或4（舍去0，此时M和C重合），
则点M坐标为或或；
②当NC是平行四边形的对角线时，
则NC的中点坐标为，
设点P坐标为、则点，
N、C，M、P为顶点四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点，
即：，
解得：或（舍去0，此时M和C重合），
故点；
故点M的坐标为：或或或．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．类别
A
B
C
D
E
F
笔试成绩（分）
90
86
80
88
85
90
面试成绩（分）
85
84
84
92
80
90
综合成绩（分）
88
85.2
81.6
m
83
90