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2023-2024学年江西省抚州一中八年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）
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这是一份2023-2024学年江西省抚州一中八年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列三个数中，能组成一组勾股数的是( )
A. 2，3，4B. 6，7，8C. 6，8，10D. 9，16，25
2.|− 3|的相反数是( )
A. −3B. − 3C. 3D. 3
3.有一组数据如下：5，6，7，a，9，它们的平均数是7，那么这组数据的方差是( )
A. 2B. 2C. 10D. 10
4.我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买琎，人出半，盈四：人出少半，不足三.问人数、价格几何？”意思是：一起去买琎(琎：一种像玉的石头)，每个人出12两，则多4两；每个人出13两，则不足3两.问人数、琎的价格分别是多少？如果设人数x人，琎的价格为y两，那么可列方程组为( )
A. 12x+4=y13x+3=yB. 12x−4=y13x+3=yC. 12x−4=y13x−3=yD. 12x+4=y13x−3=y
5.若2m−4与3m−1是同一个数的平方根，则m的值是( )
A. −3B. −1C. 1D. −3或1
6.在同一直角坐标系中，一次函数y=kx+b和y=bx+k的图象可能正确的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7. 16的算术平方根是______．
8.如图，填写一个能使AB//CD的条件：______．
9.在同一平面直角坐标系中，已知一次函数y1=kx−2(k为常数，k≠0)和y2=x+1.若两函数的图象在第一象限相交于点P，点P的横坐标是2，则方程组kx−2=yx+1=y的解是______．
10.某校九年级(1)班40名同学中，14岁的有1人，15岁的有21人，16岁的有16人，17岁的有2人，则这个班同学年龄的中位数是______岁．
11.若点P在第二象限，且点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，则点P的坐标是______．
12.已知在平面直角坐标系中A(−2 3,0)、B(2,0)、C(0,2).点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为______．
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
(1)计算：( 5−1)( 5+1)+|1− 2|−(π−2)0+ 8；
(2)解方程组：x−2y=−32x+y=9．
14.(本小题6分)
如图，四边形ABCD中，∠C=90°，BD平分∠ABC，AD=3，E为AB上一点，AE=4，ED=5，求CD的长．
15.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点均在格点上．
(1)在网格中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
(2)直接写出B1的坐标；
(3)若网格的单位长度为1，求△A1B1C1的面积．
16.(本小题6分)
如图，AB//CD，AD//BC，∠B=50°，∠EDA=60°，延长BC和ED交于点O，求∠CDO．
17.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)，与y轴交于点B(0,2)，且与正比例函数y=32x交于C(m,3).求m的值及一次函数y=kx+b的表达式．
18.(本小题8分)
某校在一次广播操比赛中，初二(1)班、初二(2)班、初二(3)班的各项得分如下：
(1)填空：根据表中提供的信息，在服装统一方面，三个班得分的平均数是______；在动作整齐方面三个班得分的众数是______；在动作准确方面最有优势的是______班．
(2)如果服装统一、动作整齐、动作准确三个方面的重要性之比为2：3：5，那么这三个班的排名顺序怎样？为什么？
(3)在(2)的条件下，你对三个班级中排名最靠后的班级有何建议？
19.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象l1：y=−x+4与y轴、x轴分别交于点A，B，与正比例函数图象l2：y=13x交于点C．
(1)求点C的坐标；
(2)求△OBC的面积；
(3)若直线l3：y=kx+2与y轴交于点D，直线l3与直线l1交于点P，且△ADP的面积与△OBC的面积相等，求P点的坐标．
20.(本小题8分)
阅读材料：善于思考的小军在解方程组2x+5y=3①4x+11y=5②时.采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y=5，即2(2x+5y)+y=5③．
把方程①代入③得：2×3+y=5，∴y=−1，
所以y=−1代入①得x=4，∴方程组的解为x=4y=−1．
请你解决以下问题：
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组3x−2y=5①9x−4y=19②；
(2)已知x，y满足方程组3x2−2xy+12y2=47①2x2+xy+8y2=36②，求x2+4y2的值．
21.(本小题9分)
如图，已知AB//CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P=90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．
(1)当△PMN在如图1所示的位置时，求出∠PFD与∠AEM的数量关系．
(2)当△PMN在如图2所示的位置时，求证：∠PFD−∠AEM=90°，
(3)在(2)的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON=20°，∠PEB=30°，求∠N的度数．
22.(本小题9分)
元旦节当天，同学们为友谊长存，决定互送礼物，于是去某礼品店购进了一批礼品.已知购进3个A种礼品和2个B种礼品共需54元，购进2个A种礼品和3个B种礼品共需46元．
(1)A，B两种礼品每个的进价是多少元？
(2)该店计划用4200元全部购进A，B两种礼品，请你回答以下问题：
①设购进A种礼品x个，B种礼品y个，求y关于x的函数关系式．
②该店进货时，A种礼品不少于60个，已知A种礼品每个售价为20元，B种礼品每个售价为9元，若该店全部售完获利为W元，试说明如何进货获利最大？最大为多少元？
23.(本小题12分)
我们规定，有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形.如图：OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°.回答下列问题：
(1)证明：△OAC和△OBD是兄弟三角形；
(2)取BD的中点P，连接OP，试证明AC=2OP.(小王同学根据要求的结论，想起老师上课讲的“中线倍长”的辅助线的构造方法)；
(3)求证：OP⊥AC．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、22+32=4+9=13≠42，故2，3，4不是勾股数，不符合题意；
B、62+72=36+49=85≠82，故6，7，8不是勾股数，不符合题意；
C、62+82=36+64=100=102，故6，8，10是勾股数，符合题意；
D、92+162=81+256=337≠252，故9，16，25不是勾股数，不符合题意，
故选：C．
根据勾股数的定义逐项判断即可．
本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，熟练掌握勾股数的定义是解此题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：|− 3|= 3的相反数是：− 3．
故选：B．
直接利用绝对值的性质结合相反数的定义得出答案．
此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵数据5，6，7，a，9的平均数是7，
∴5+6+7+a+95=7，
解得：a=8，
∴s2=15[(5−7)2+(6−7)2+(7−7)2+(8−7)2+(9−7)2]=2，
∴这组数据的方差是2．
故选：A．
根据算术平均数的计算公式求出a的值，根据方差的计算公式计算即可．
本题考查算术平均数和方差的计算，解题的关键是掌握方差的计算公式：一般地设n个数据，x1，x2，…，xn的平均数为x−，则方差为s2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+...+(xn−x−)2]．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意得：12x−4=y13x+3=y，
故选：B．
根据“每个人出12两，则多4两；每个人出13两，则不足3两”列出方程组即可．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，解题的关键是找到等量关系．
5.【答案】D
【解析】解：当2m−4=3m−1时，m=−3，
当2m−4+3m−1=0时，m=1．
故选：D．
依据平方根的性质列方程求解即可．
本题主要考查的是平方根的性质，明确2m−4与3m−1相等或互为相反数是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：A、一条直线反映k>0，b>0，一条直线反映k>0，b<0，故本选项错误；
B、一条直线反映出k>0，b<0，一条直线反映k>0，b<0，一致，故本选项正确；
C、一条直线反映k<0，b>0，一条直线反映k>0，b<0，故本选项错误；
D、一条直线反映k>0，b<0，一条直线反映k<0，b<0，故本选项错误．
故选：B．
根据k和b的符号判断即可得出答案．
此题考查了一次函数图象与k和b符号的关系，关键是掌握当b>0时，(0,b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b<0时，(0,b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
7.【答案】2
【解析】解： 16=4，4的算术平方根是2，
故答案为：2．
根据算术平方根，即可解答．
本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．
8.【答案】∠ABD=∠BDC
【解析】解：∵∠ABD=∠BDC
∴AB//CD(内错角相等，两直线平行)．
故答案为：∠ABD=∠BDC.(答案不唯一)
欲证AB//CD，在图中发现AB、CD被一直线BD所截，且已知内错角∠ABD和∠BDC，故可按内错角相等，两直线平行补充条件．
解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养“执果索图”的思维方式与能力．
9.【答案】x=2y=3
【解析】解：由题意可得把点P的横坐标2代入函数y2=x+1得：y=3，
∴方程组kx−2=yx+1=y的解是x=2y=3；
故答案为：x=2y=3．
由题意易得当x=2时，y=3，然后问题可求解．
本题主要考查一次函数交点问题，熟练掌握一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键；
10.【答案】15
【解析】解：∵该班有40名同学，
∴这个班同学年龄的中位数是第20和21个数的平均数，
∵15岁的有21人，
∴这个班同学年龄的中位数是15岁；
故答案为：15．
根据中位数的定义找出第20和21个数的平均数，即可得出答案．
此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，熟练掌握中位数的定义是本题的关键．
11.【答案】(−5,3)
【解析】解：∵点P在第二象限，且点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，
∴点P的横坐标是−5，纵坐标是3，
∴点P的坐标是(−5,3)．
故答案为：(−5,3)．
根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
12.【答案】(0,0)，(2 33,0)，(−2,0)
【解析】解：∵点P、A、B在x轴上，
∴P、A、B三点不能构成三角形．
设点P的坐标为(m,0)．
当△PAC为直角三角形时，
①∠APC=90°，易知点P在原点处坐标为(0,0)；
②∠ACP=90°时，如图，
∵∠ACP=90°
∴AC2+PC2=AP2，
∴(2 3)2+22+m2+22=(m+2 3)2，
解得，m=2 33，
∴点P的坐标为(2 33,0)；
当△PBC为直角三角形时，
①∠BPC=90°，易知点P在原点处坐标为(0,0)；
②∠BCP=90°时，
∵∠BCP=90°，CO⊥PB，
∴PO=BO=2，
∴点P的坐标为(−2,0)．
综上所述点P的坐标为(0,0)，(2 33,0)，(−2,0)．
因为点P、A、B在x轴上，所以P、A、B三点不能构成三角形．再分Rt△PAC和Tt△PBC两种情况进行分析即可．
本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗漏的进行分类．
13.【答案】解：(1)( 5−1)( 5+1)+|1− 2|−(π−2)0+ 8
=5−1+ 2−1−1+2 2
=3 2+2；
(2)x−2y=−3①2x+y=9②，
由①+②×2得：5x=15，
解得x=3，
将x=3代入①得：3−2y=−3，
解得y=3，
∴原方程组的解为：x=3y=3．
【解析】(1)根据实数的混合运算法则进行计算即可；
(2)利用加减消元法解二元一次方程组即可．
本题考查了实数的混合运算，加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握运算法则及运算顺序是解此题的关键．
14.【答案】解：∵AD=3，AE=4，ED=5，
∴AD2+AE2=ED2，
∴∠A=90°，
∴DA⊥AB，
∵∠C=90°，
∴DC⊥BC，
∵BD平分∠ABC，
∴DC=AD，
∵AD=3，
∴CD=3．
【解析】此题考查勾股定理的逆定理以及角平分线的性质，关键是根据勾股定理的逆定理得出DA⊥AB．
根据勾股定理的逆定理得出DA⊥AB，由角平分线的性质得出DC=AD，即可得出答案．
15.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
；
(2)B1(5,2)；
(3)△A1B1C1的面积=3×4−12×1×4−12×2×2−12×2×3=5．
【解析】(1)利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1、B1、C1即可；
(2)根据A1、B1、C1的位置写出坐标即可；
(3)矩形面积减去周围三个三角形面积即可．
本题考查作图−轴对称变换，三角形的面积等知识．几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
16.【答案】解：∵AD//BC，∠EDA=60°，
∴∠O=∠EDA=60°，
∵AB//CD，∠B=50°，
∴∠DCO=∠B=50°，
∴∠CDO=180°−∠DCO−∠O=180°−50°−60°=70°．
【解析】根据两直线平行，同位角相等可得∠O=∠EDA=60°，∠DCO=∠B=50°，再根据三角形内角和定理进行计算即可．
本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
17.【答案】解：∵将点C(m,3)代入y=32x，
∴3=32m，
∴m=2，
∴C(2,3)，
将B(0,2)，C(2,3)代入一次函数的解析式为y=kx+b得：
2=b3=2k+b，解得k=12b=2，
∴y=12x+2．
【解析】将点C(m,3)代入y=32x，可得m=2，再用待定系数法求一次函数的解析式即可．
本题考查一次函数的性质，待定系数法求函数的解析式，能待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
18.【答案】89分 78分 初二(1)
【解析】解：(1)服装统一方面的平均分为：80+97+903=89分；
动作整齐方面的众数为78分；
动作准确方面最有优势的是初二(1)班；
(2)∵初二(1)班的平均分为：80×2+84×3+87×52+3+5=84.7分；
初二(2)班的平均分为：97×2+78×3+80×52+3+5=82.8分；
初二(3)班的平均分为：90×2+78×3+85×52+3+5=83.9；
∴排名最好的是初二一班，最差的是初二(2)班；
(3)加强动作整齐方面的训练，才是提高成绩的基础．
(1)用算术平均数的计算方法求得三个班的服装统一的平均数，找到动作整齐的众数即可；
(2)利用加权平均数分别计算三个班的得分后即可排序；
(3)根据成绩提出提高成绩的合理意见即可；
本题考查了平均数和加权平均数的计算．要注意，当所给数据有单位时，所求得的平均数与原数据的单位相同，不要漏单位．
19.【答案】解：(1)解方程组y=−x+4y=13x，解得：x=3y=1，
∴点C坐标为(3,1)；
(2)对于y=−x+4，当x=0时，y=4，当y=0时，由0=−x+4得：x=4，
∴点A坐标为(0,4)，点B坐标为(4,0)，又点C坐标为(3,1)，
∴OB=4，
∴S△OBC=12×4×1=2；
(3)∵y=kx+2与y轴交于点D，
∴点D坐标为(0,2)，则AD=2，
设P的横坐标为a，
由S△ADP=12AD⋅|a|=|a|=2得：a=±2，
将a=2代入y=−x+4得：y=2，则P点的坐标为(2,2)；
将a=−2代入y=−x+4得：y=6，则P点的坐标为(−2,6)，
综上，P点的坐标为(2,2)或(−2,6)．
【解析】(1)两函数解析式联立方程组求解即可；
(2)先求出点A、B的坐标，利用三角形面积公式即可解答；
(3)先求出点D坐标和AD，利用三角形的面积公式和坐标与图形的性质列式计算即可求解．
本题考查一次函数的图象上点的坐标特征、三角形的面积等知识．
20.【答案】解：(1)将方程②变形：3x+6x−4y=19即3x+2(3x−2y)=19③，
把方程①代入③得：3x+10=19，
∴x=3，
把x=3代入①得y=2，
∴方程组的解为x=3y=2；
(2)①+2×②得到，7x2+28y2=119，
∴x2+4y2=17．
【解析】(1)将方程②变形：3x+6x−4y=19即3x+2(3x−2y)=19③把方程①代入③得：3x+10=19，可得x=3，再代入①求出y即可；
(2)①+2×②得到，7x2+28y2=119，可得x2+4y2=17即可．
本题考查解二元一次方程组等知识，解题的关键是学会用整体代入法解决问题，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】解：(1)∠PFD与∠AEM的数量关系为∠PFD+∠AEM=90°．
如图①，过点P作PH//AB，
∵AB//CD，
∴PH//CD，
∴∠PFD=∠NPH，∠AEM=∠HPM，
∵∠MPN=90°，
∴∠NPH+∠HPM=90°
∴∠PFD+∠AEM=90°．
(2)证明：设PN与AB相交于点G，如图②，
∵AB//CD，
∴∠PFD=∠PGB，
∵∠PGB−∠PEB=90°，∠PEM=∠AEM，
∴∠PFD−∠AEM=90°．
(3)如图②，∵∠PEB=30°，∠P=90°，
∴∠PFD=∠PGB=∠P+∠PEB=120°，
∴∠OFN=∠PFD=120°，
∵∠DON=20°，∠OFN+∠DON+∠N=180°，
∴∠N=180°−∠OFN−∠DON=180°−120°−20°=40°．
【解析】(1)作PH//AB，又AB//CD，根据平行线的性质、对顶角相等解答；
(2)根据平行线的性质、三角形的外角的性质计算；
(3)利用(2)的结论、三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是三角形内角和定理的应用、三角形的外角的性质、平行线的性质，掌握三角形内角和定理、正确作出辅助线是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设A种礼品每个的进价是m元，B种礼品每个的进价是n元，
根据题意得：{3m+2n=542m+3n=46,
解得{m=14n=6,
∴A种礼品每个的进价是14元，B种礼品每个的进价是6元；
(2)①根据题意得：14x+6y=4200，
∴y=−73x+700；
②∵A种礼品不少于60个，
∴x≥60，
根据题意得W=(20−14)x+(9−6)(−73x+700)=−x+2100，
∵−1<0，
∴W随x的增大而减小，
∴x=60时，W取最大值，最大值为−60+2100=2040(元)，
此时y=−73x+700=−73×60+700=560，
答：购进A种礼品60个，B种礼品560个，获利最大，最大为2040元．
【解析】(1)设A种礼品每个的进价是m元，B种礼品每个的进价是n元，根据题意，列出二元一次方程组进行求解即可；
(2)①根据A种礼品的费用加上B种礼品的费用等于4200元，列出解析式即可；②根据A种礼品的总利润加上B种礼品的总利润等于W，列出函数关系式，由一次函数性质进行求解即可．
本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
23.【答案】(1)证明：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=360°−∠AOB−∠COD=360°−90°−90°=180°，
又∵OA=OB，OC=OD，
∴△OAC和△OBD是兄弟三角形；
(2)延长OP至E，使PE=OP，
∵点P为BD的中点，
∴BP=DP，
在△BPE△BPE和△DPO△DPO中，
BP=DP∠BPE=∠DPOPE=PO，
∴△BPE≌△DPO(SAS)，
∴EB=OD，∠BEP=∠DOP，
∴BE//OD，
∴∠EBO+∠BOD=180°，
又∵∠AOC+∠BOD=180°，
∴∠EBO=∠COA，
∵EB=OD，OC=OD，
∴BE=OC，
在△EBO和△COA中，
BE=OC∠EBO=∠COABO=OA，
∴△EBO≌△COA(SAS)，
∴OE=AC，
又∵OE=OP+PE=2OP，
∴AC=2OP；
(3)如图，延长PO交AC于点M，
∵△EBO≌△COA，
∴∠BOE=∠A，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOE+∠AOM=180°−∠AOB=180°−90°=90°，
∴∠A+∠AOM=∠BOE+∠AOM=90°，
∴∠AMO=180°−(∠A+∠AOM)=180°−90°=90°，
∴OP⊥AC．
【解析】(1)证明∠AOC+∠BOD=180°，由兄弟三角形的定义可得出结论；
(2)延长OP至E，使PE=OP，证明△BPE≌△DPO(SAS)，由全等三角形的性质得出EB=OD；证明△EBO≌△COA(SAS)，由全等三角形的性质得出OE=AC，则可得出结论；
(3)延长PO交AC于点M，根据全等三角形的性质得出∠BOE=∠A，根据平角定义得到∠BOE+∠AOM=90°，则∠A+∠AOM=90°，根据三角形内角和定理及垂直的定义即可得解．
本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，周角和平角的定义，中点的定义，全等三角形的判定与性质，平行线的定义和性质，三角形内角和定理，垂直的定义等知识点．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．服装统一
动作整齐
动作准确
初二(1)班
80
84
87
初二(2)班
97
78
80
初二(3)班
90
78
85
1.下列三个数中，能组成一组勾股数的是( )
A. 2，3，4B. 6，7，8C. 6，8，10D. 9，16，25
2.|− 3|的相反数是( )
A. −3B. − 3C. 3D. 3
3.有一组数据如下：5，6，7，a，9，它们的平均数是7，那么这组数据的方差是( )
A. 2B. 2C. 10D. 10
4.我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买琎，人出半，盈四：人出少半，不足三.问人数、价格几何？”意思是：一起去买琎(琎：一种像玉的石头)，每个人出12两，则多4两；每个人出13两，则不足3两.问人数、琎的价格分别是多少？如果设人数x人，琎的价格为y两，那么可列方程组为( )
A. 12x+4=y13x+3=yB. 12x−4=y13x+3=yC. 12x−4=y13x−3=yD. 12x+4=y13x−3=y
5.若2m−4与3m−1是同一个数的平方根，则m的值是( )
A. −3B. −1C. 1D. −3或1
6.在同一直角坐标系中，一次函数y=kx+b和y=bx+k的图象可能正确的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7. 16的算术平方根是______．
8.如图，填写一个能使AB//CD的条件：______．
9.在同一平面直角坐标系中，已知一次函数y1=kx−2(k为常数，k≠0)和y2=x+1.若两函数的图象在第一象限相交于点P，点P的横坐标是2，则方程组kx−2=yx+1=y的解是______．
10.某校九年级(1)班40名同学中，14岁的有1人，15岁的有21人，16岁的有16人，17岁的有2人，则这个班同学年龄的中位数是______岁．
11.若点P在第二象限，且点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，则点P的坐标是______．
12.已知在平面直角坐标系中A(−2 3,0)、B(2,0)、C(0,2).点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为______．
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
(1)计算：( 5−1)( 5+1)+|1− 2|−(π−2)0+ 8；
(2)解方程组：x−2y=−32x+y=9．
14.(本小题6分)
如图，四边形ABCD中，∠C=90°，BD平分∠ABC，AD=3，E为AB上一点，AE=4，ED=5，求CD的长．
15.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点均在格点上．
(1)在网格中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
(2)直接写出B1的坐标；
(3)若网格的单位长度为1，求△A1B1C1的面积．
16.(本小题6分)
如图，AB//CD，AD//BC，∠B=50°，∠EDA=60°，延长BC和ED交于点O，求∠CDO．
17.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)，与y轴交于点B(0,2)，且与正比例函数y=32x交于C(m,3).求m的值及一次函数y=kx+b的表达式．
18.(本小题8分)
某校在一次广播操比赛中，初二(1)班、初二(2)班、初二(3)班的各项得分如下：
(1)填空：根据表中提供的信息，在服装统一方面，三个班得分的平均数是______；在动作整齐方面三个班得分的众数是______；在动作准确方面最有优势的是______班．
(2)如果服装统一、动作整齐、动作准确三个方面的重要性之比为2：3：5，那么这三个班的排名顺序怎样？为什么？
(3)在(2)的条件下，你对三个班级中排名最靠后的班级有何建议？
19.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象l1：y=−x+4与y轴、x轴分别交于点A，B，与正比例函数图象l2：y=13x交于点C．
(1)求点C的坐标；
(2)求△OBC的面积；
(3)若直线l3：y=kx+2与y轴交于点D，直线l3与直线l1交于点P，且△ADP的面积与△OBC的面积相等，求P点的坐标．
20.(本小题8分)
阅读材料：善于思考的小军在解方程组2x+5y=3①4x+11y=5②时.采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y=5，即2(2x+5y)+y=5③．
把方程①代入③得：2×3+y=5，∴y=−1，
所以y=−1代入①得x=4，∴方程组的解为x=4y=−1．
请你解决以下问题：
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组3x−2y=5①9x−4y=19②；
(2)已知x，y满足方程组3x2−2xy+12y2=47①2x2+xy+8y2=36②，求x2+4y2的值．
21.(本小题9分)
如图，已知AB//CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P=90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．
(1)当△PMN在如图1所示的位置时，求出∠PFD与∠AEM的数量关系．
(2)当△PMN在如图2所示的位置时，求证：∠PFD−∠AEM=90°，
(3)在(2)的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON=20°，∠PEB=30°，求∠N的度数．
22.(本小题9分)
元旦节当天，同学们为友谊长存，决定互送礼物，于是去某礼品店购进了一批礼品.已知购进3个A种礼品和2个B种礼品共需54元，购进2个A种礼品和3个B种礼品共需46元．
(1)A，B两种礼品每个的进价是多少元？
(2)该店计划用4200元全部购进A，B两种礼品，请你回答以下问题：
①设购进A种礼品x个，B种礼品y个，求y关于x的函数关系式．
②该店进货时，A种礼品不少于60个，已知A种礼品每个售价为20元，B种礼品每个售价为9元，若该店全部售完获利为W元，试说明如何进货获利最大？最大为多少元？
23.(本小题12分)
我们规定，有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形.如图：OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°.回答下列问题：
(1)证明：△OAC和△OBD是兄弟三角形；
(2)取BD的中点P，连接OP，试证明AC=2OP.(小王同学根据要求的结论，想起老师上课讲的“中线倍长”的辅助线的构造方法)；
(3)求证：OP⊥AC．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、22+32=4+9=13≠42，故2，3，4不是勾股数，不符合题意；
B、62+72=36+49=85≠82，故6，7，8不是勾股数，不符合题意；
C、62+82=36+64=100=102，故6，8，10是勾股数，符合题意；
D、92+162=81+256=337≠252，故9，16，25不是勾股数，不符合题意，
故选：C．
根据勾股数的定义逐项判断即可．
本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，熟练掌握勾股数的定义是解此题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：|− 3|= 3的相反数是：− 3．
故选：B．
直接利用绝对值的性质结合相反数的定义得出答案．
此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵数据5，6，7，a，9的平均数是7，
∴5+6+7+a+95=7，
解得：a=8，
∴s2=15[(5−7)2+(6−7)2+(7−7)2+(8−7)2+(9−7)2]=2，
∴这组数据的方差是2．
故选：A．
根据算术平均数的计算公式求出a的值，根据方差的计算公式计算即可．
本题考查算术平均数和方差的计算，解题的关键是掌握方差的计算公式：一般地设n个数据，x1，x2，…，xn的平均数为x−，则方差为s2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+...+(xn−x−)2]．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意得：12x−4=y13x+3=y，
故选：B．
根据“每个人出12两，则多4两；每个人出13两，则不足3两”列出方程组即可．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，解题的关键是找到等量关系．
5.【答案】D
【解析】解：当2m−4=3m−1时，m=−3，
当2m−4+3m−1=0时，m=1．
故选：D．
依据平方根的性质列方程求解即可．
本题主要考查的是平方根的性质，明确2m−4与3m−1相等或互为相反数是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：A、一条直线反映k>0，b>0，一条直线反映k>0，b<0，故本选项错误；
B、一条直线反映出k>0，b<0，一条直线反映k>0，b<0，一致，故本选项正确；
C、一条直线反映k<0，b>0，一条直线反映k>0，b<0，故本选项错误；
D、一条直线反映k>0，b<0，一条直线反映k<0，b<0，故本选项错误．
故选：B．
根据k和b的符号判断即可得出答案．
此题考查了一次函数图象与k和b符号的关系，关键是掌握当b>0时，(0,b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b<0时，(0,b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
7.【答案】2
【解析】解： 16=4，4的算术平方根是2，
故答案为：2．
根据算术平方根，即可解答．
本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．
8.【答案】∠ABD=∠BDC
【解析】解：∵∠ABD=∠BDC
∴AB//CD(内错角相等，两直线平行)．
故答案为：∠ABD=∠BDC.(答案不唯一)
欲证AB//CD，在图中发现AB、CD被一直线BD所截，且已知内错角∠ABD和∠BDC，故可按内错角相等，两直线平行补充条件．
解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养“执果索图”的思维方式与能力．
9.【答案】x=2y=3
【解析】解：由题意可得把点P的横坐标2代入函数y2=x+1得：y=3，
∴方程组kx−2=yx+1=y的解是x=2y=3；
故答案为：x=2y=3．
由题意易得当x=2时，y=3，然后问题可求解．
本题主要考查一次函数交点问题，熟练掌握一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键；
10.【答案】15
【解析】解：∵该班有40名同学，
∴这个班同学年龄的中位数是第20和21个数的平均数，
∵15岁的有21人，
∴这个班同学年龄的中位数是15岁；
故答案为：15．
根据中位数的定义找出第20和21个数的平均数，即可得出答案．
此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，熟练掌握中位数的定义是本题的关键．
11.【答案】(−5,3)
【解析】解：∵点P在第二象限，且点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，
∴点P的横坐标是−5，纵坐标是3，
∴点P的坐标是(−5,3)．
故答案为：(−5,3)．
根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
12.【答案】(0,0)，(2 33,0)，(−2,0)
【解析】解：∵点P、A、B在x轴上，
∴P、A、B三点不能构成三角形．
设点P的坐标为(m,0)．
当△PAC为直角三角形时，
①∠APC=90°，易知点P在原点处坐标为(0,0)；
②∠ACP=90°时，如图，
∵∠ACP=90°
∴AC2+PC2=AP2，
∴(2 3)2+22+m2+22=(m+2 3)2，
解得，m=2 33，
∴点P的坐标为(2 33,0)；
当△PBC为直角三角形时，
①∠BPC=90°，易知点P在原点处坐标为(0,0)；
②∠BCP=90°时，
∵∠BCP=90°，CO⊥PB，
∴PO=BO=2，
∴点P的坐标为(−2,0)．
综上所述点P的坐标为(0,0)，(2 33,0)，(−2,0)．
因为点P、A、B在x轴上，所以P、A、B三点不能构成三角形．再分Rt△PAC和Tt△PBC两种情况进行分析即可．
本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗漏的进行分类．
13.【答案】解：(1)( 5−1)( 5+1)+|1− 2|−(π−2)0+ 8
=5−1+ 2−1−1+2 2
=3 2+2；
(2)x−2y=−3①2x+y=9②，
由①+②×2得：5x=15，
解得x=3，
将x=3代入①得：3−2y=−3，
解得y=3，
∴原方程组的解为：x=3y=3．
【解析】(1)根据实数的混合运算法则进行计算即可；
(2)利用加减消元法解二元一次方程组即可．
本题考查了实数的混合运算，加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握运算法则及运算顺序是解此题的关键．
14.【答案】解：∵AD=3，AE=4，ED=5，
∴AD2+AE2=ED2，
∴∠A=90°，
∴DA⊥AB，
∵∠C=90°，
∴DC⊥BC，
∵BD平分∠ABC，
∴DC=AD，
∵AD=3，
∴CD=3．
【解析】此题考查勾股定理的逆定理以及角平分线的性质，关键是根据勾股定理的逆定理得出DA⊥AB．
根据勾股定理的逆定理得出DA⊥AB，由角平分线的性质得出DC=AD，即可得出答案．
15.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
；
(2)B1(5,2)；
(3)△A1B1C1的面积=3×4−12×1×4−12×2×2−12×2×3=5．
【解析】(1)利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1、B1、C1即可；
(2)根据A1、B1、C1的位置写出坐标即可；
(3)矩形面积减去周围三个三角形面积即可．
本题考查作图−轴对称变换，三角形的面积等知识．几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
16.【答案】解：∵AD//BC，∠EDA=60°，
∴∠O=∠EDA=60°，
∵AB//CD，∠B=50°，
∴∠DCO=∠B=50°，
∴∠CDO=180°−∠DCO−∠O=180°−50°−60°=70°．
【解析】根据两直线平行，同位角相等可得∠O=∠EDA=60°，∠DCO=∠B=50°，再根据三角形内角和定理进行计算即可．
本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
17.【答案】解：∵将点C(m,3)代入y=32x，
∴3=32m，
∴m=2，
∴C(2,3)，
将B(0,2)，C(2,3)代入一次函数的解析式为y=kx+b得：
2=b3=2k+b，解得k=12b=2，
∴y=12x+2．
【解析】将点C(m,3)代入y=32x，可得m=2，再用待定系数法求一次函数的解析式即可．
本题考查一次函数的性质，待定系数法求函数的解析式，能待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
18.【答案】89分 78分 初二(1)
【解析】解：(1)服装统一方面的平均分为：80+97+903=89分；
动作整齐方面的众数为78分；
动作准确方面最有优势的是初二(1)班；
(2)∵初二(1)班的平均分为：80×2+84×3+87×52+3+5=84.7分；
初二(2)班的平均分为：97×2+78×3+80×52+3+5=82.8分；
初二(3)班的平均分为：90×2+78×3+85×52+3+5=83.9；
∴排名最好的是初二一班，最差的是初二(2)班；
(3)加强动作整齐方面的训练，才是提高成绩的基础．
(1)用算术平均数的计算方法求得三个班的服装统一的平均数，找到动作整齐的众数即可；
(2)利用加权平均数分别计算三个班的得分后即可排序；
(3)根据成绩提出提高成绩的合理意见即可；
本题考查了平均数和加权平均数的计算．要注意，当所给数据有单位时，所求得的平均数与原数据的单位相同，不要漏单位．
19.【答案】解：(1)解方程组y=−x+4y=13x，解得：x=3y=1，
∴点C坐标为(3,1)；
(2)对于y=−x+4，当x=0时，y=4，当y=0时，由0=−x+4得：x=4，
∴点A坐标为(0,4)，点B坐标为(4,0)，又点C坐标为(3,1)，
∴OB=4，
∴S△OBC=12×4×1=2；
(3)∵y=kx+2与y轴交于点D，
∴点D坐标为(0,2)，则AD=2，
设P的横坐标为a，
由S△ADP=12AD⋅|a|=|a|=2得：a=±2，
将a=2代入y=−x+4得：y=2，则P点的坐标为(2,2)；
将a=−2代入y=−x+4得：y=6，则P点的坐标为(−2,6)，
综上，P点的坐标为(2,2)或(−2,6)．
【解析】(1)两函数解析式联立方程组求解即可；
(2)先求出点A、B的坐标，利用三角形面积公式即可解答；
(3)先求出点D坐标和AD，利用三角形的面积公式和坐标与图形的性质列式计算即可求解．
本题考查一次函数的图象上点的坐标特征、三角形的面积等知识．
20.【答案】解：(1)将方程②变形：3x+6x−4y=19即3x+2(3x−2y)=19③，
把方程①代入③得：3x+10=19，
∴x=3，
把x=3代入①得y=2，
∴方程组的解为x=3y=2；
(2)①+2×②得到，7x2+28y2=119，
∴x2+4y2=17．
【解析】(1)将方程②变形：3x+6x−4y=19即3x+2(3x−2y)=19③把方程①代入③得：3x+10=19，可得x=3，再代入①求出y即可；
(2)①+2×②得到，7x2+28y2=119，可得x2+4y2=17即可．
本题考查解二元一次方程组等知识，解题的关键是学会用整体代入法解决问题，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】解：(1)∠PFD与∠AEM的数量关系为∠PFD+∠AEM=90°．
如图①，过点P作PH//AB，
∵AB//CD，
∴PH//CD，
∴∠PFD=∠NPH，∠AEM=∠HPM，
∵∠MPN=90°，
∴∠NPH+∠HPM=90°
∴∠PFD+∠AEM=90°．
(2)证明：设PN与AB相交于点G，如图②，
∵AB//CD，
∴∠PFD=∠PGB，
∵∠PGB−∠PEB=90°，∠PEM=∠AEM，
∴∠PFD−∠AEM=90°．
(3)如图②，∵∠PEB=30°，∠P=90°，
∴∠PFD=∠PGB=∠P+∠PEB=120°，
∴∠OFN=∠PFD=120°，
∵∠DON=20°，∠OFN+∠DON+∠N=180°，
∴∠N=180°−∠OFN−∠DON=180°−120°−20°=40°．
【解析】(1)作PH//AB，又AB//CD，根据平行线的性质、对顶角相等解答；
(2)根据平行线的性质、三角形的外角的性质计算；
(3)利用(2)的结论、三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是三角形内角和定理的应用、三角形的外角的性质、平行线的性质，掌握三角形内角和定理、正确作出辅助线是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设A种礼品每个的进价是m元，B种礼品每个的进价是n元，
根据题意得：{3m+2n=542m+3n=46,
解得{m=14n=6,
∴A种礼品每个的进价是14元，B种礼品每个的进价是6元；
(2)①根据题意得：14x+6y=4200，
∴y=−73x+700；
②∵A种礼品不少于60个，
∴x≥60，
根据题意得W=(20−14)x+(9−6)(−73x+700)=−x+2100，
∵−1<0，
∴W随x的增大而减小，
∴x=60时，W取最大值，最大值为−60+2100=2040(元)，
此时y=−73x+700=−73×60+700=560，
答：购进A种礼品60个，B种礼品560个，获利最大，最大为2040元．
【解析】(1)设A种礼品每个的进价是m元，B种礼品每个的进价是n元，根据题意，列出二元一次方程组进行求解即可；
(2)①根据A种礼品的费用加上B种礼品的费用等于4200元，列出解析式即可；②根据A种礼品的总利润加上B种礼品的总利润等于W，列出函数关系式，由一次函数性质进行求解即可．
本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
23.【答案】(1)证明：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=360°−∠AOB−∠COD=360°−90°−90°=180°，
又∵OA=OB，OC=OD，
∴△OAC和△OBD是兄弟三角形；
(2)延长OP至E，使PE=OP，
∵点P为BD的中点，
∴BP=DP，
在△BPE△BPE和△DPO△DPO中，
BP=DP∠BPE=∠DPOPE=PO，
∴△BPE≌△DPO(SAS)，
∴EB=OD，∠BEP=∠DOP，
∴BE//OD，
∴∠EBO+∠BOD=180°，
又∵∠AOC+∠BOD=180°，
∴∠EBO=∠COA，
∵EB=OD，OC=OD，
∴BE=OC，
在△EBO和△COA中，
BE=OC∠EBO=∠COABO=OA，
∴△EBO≌△COA(SAS)，
∴OE=AC，
又∵OE=OP+PE=2OP，
∴AC=2OP；
(3)如图，延长PO交AC于点M，
∵△EBO≌△COA，
∴∠BOE=∠A，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOE+∠AOM=180°−∠AOB=180°−90°=90°，
∴∠A+∠AOM=∠BOE+∠AOM=90°，
∴∠AMO=180°−(∠A+∠AOM)=180°−90°=90°，
∴OP⊥AC．
【解析】(1)证明∠AOC+∠BOD=180°，由兄弟三角形的定义可得出结论；
(2)延长OP至E，使PE=OP，证明△BPE≌△DPO(SAS)，由全等三角形的性质得出EB=OD；证明△EBO≌△COA(SAS)，由全等三角形的性质得出OE=AC，则可得出结论；
(3)延长PO交AC于点M，根据全等三角形的性质得出∠BOE=∠A，根据平角定义得到∠BOE+∠AOM=90°，则∠A+∠AOM=90°，根据三角形内角和定理及垂直的定义即可得解．
本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，周角和平角的定义，中点的定义，全等三角形的判定与性质，平行线的定义和性质，三角形内角和定理，垂直的定义等知识点．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．服装统一
动作整齐
动作准确
初二(1)班
80
84
87
初二(2)班
97
78
80
初二(3)班
90
78
85
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